EXPERIMENTO 2 MEDIDAS DE VISCOSIDADE DE FLUIDOS NEWTONIANOS E NÃO-NEWTONIANOS

Universidade de Brasília Faculdade de Tecnologia Departamento de Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Fluidos II Professores: Francisco Ricardo da Cunha / Gustavo Coelho Abade Monitores: Adriano Possebon; Murilo Vidigal; Nuno Dias EXPERIMENTO 2 MEDIDAS DE VISCOSIDADE DE FLUIDOS NEWTONIANOS E NÃO-NEWTONIANOS

1 INTRODUÇÃO TEÓRICA Fluidos são materiais que se deformam continuamente quando submetidos a uma tensão de cisalhamento, sendo assim diferenciados dos sólidos, que são materiais que se deformam de um valor fixo para uma dada tensão. Segundo a lei da viscosidade de Newton, a tensão exercida sobre o líquido é proporcional à velocidade com que as partes do líquido se deslocam umas em relação as outras, isto é, proporcional ao gradiente de velocidade (ou taxa de deformação). Assim, suponha o escoamento de um líquido entre duas placas paralelas distanciadas de uma altura d. A placa superior se desloca com velocidade U e a inferior está fixa (figura 1.1). Figura 1.1: Cisalhamento simples entre placas paralelas. O escoamento é unidirecional (laminar) em que uma lâmina de fluido desliza paralelamente com relação a outra. A placa superior desloca-se com velocidade tangencial U e inferior é fixa. O escoamento se dá em regime permanente e é incompressível. A tensão de cisalhamento τ é dada por: τ U/d τ = µ γ (1.1) em que γ é a taxa de cisalhamento em qualquer ponto do fluido e é uma razão entre a velocidade da placa superior e a distância entre as placas. A constante de proporcionalidade µ é denominada viscosidade. No sistema SI a viscosidade possui unidade de Pa.s, e uma unidade comumente utilizada é o Poise (P), sendo que 1 cp = 1 mpa.s. Para os fluidos newtonianos (ou lineares), como a água, a glicerina e o óleo de soja, µ é uma constante que depende apenas das propriedades físicas do fluido, como a temperatura. A razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica ρ do fluido é deno- 1

minada viscosidade cinemática (ν) ou coeficiente de difusão molecular hidrodinâmico. A viscosidade dinâmica mede, em termos efetivos, a eficiência de transporte de quantidade de movimento ou vorticidade entre camadas adjacentes de um fluido quando sujeito a cisalhamento. De outra maneira pode-se interpretar a viscosidade do fluido como a resistência que o mesmo tem à forças tangenciais aplicadas. A viscosidade dinâmica de fluidos newtonianos varia com a temperatura segundo a lei de Arrhenius: µ = Ae B/T, (1.2) em que T é a temperatura absoluta e A e B são constantes do fluido. Enquanto que para gases a viscosidade aumenta com o aumento da temperatura, já que uma flutuação típica de velocidade molecular é proporcional a T, nos líquidos, em que as moléculas possuem mobilidade bem menor, a viscosidade diminui com o aumento da temperatura. Nesse caso, o mecanismo preponderante para transportar quantidade de movimento por flutuações moleculares é a coesão molecular, praticamente inexistente em gases diluídos. Na natureza e na indústria são também encontrados diversos fluidos que não apresentam esse comportamento linear. Fluidos como soluções poliméricas, sangue, suspensões e emulsões apresentam viscosidade dependente da taxa de cisalhamento. Esses fluidos são denominados não-newtonianos viscosos ou simplesmente newtonianos generalizados nos quais existe uma dependência da viscosidade dinâmica com a taxa de cisalhamento, mas os mesmos não apresentam efeitos elásticos, diferenças de tensões normais e como os fluidos newtonianos são também instantâneos (i.e. sem memória). Neste caso a tensão se relaciona com a taxa de cisalhamento da seguinte maneira: τ = µ( γ) γ. (1.3) A viscosidade dinâmica depende além da temperatura de uma propriedade do escoamento e nessas circunstâncias é denominada viscosidade aparente do fluido nãonewtoniano viscoso. Um dos modelos ad hoc mais usados para caracterizar a viscosidade aparente de um fluido newtoniano generalizado foi proposto por Ostwald (fluido power law ) e é dado pela seguinte correlação empírica: µ( γ) = c γ n 1. (1.4) 2

em que c e n são constantes do fluido determinadas experimentalmente. É importante notar que substituindo a equação (1.4) em (1.3), obtém que τ = c γ n, (1.5) o que resulta realmente em uma dependência não linear entre a tensão e a taxa de deformação. Note que quando c = µ constante e n = 1, o modelo recupera a condição linear puramente newtoniana. Quando n < 1 os fluidos são denominados não-newtonianos pseudo-plásticos e quando n > 1 não-newtonianos dilatantes. A figura (1.2) mostra o comportamento desses fluidos. Figura 1.2: Comportamento de um fluido não-newtoniano em que a viscosidade aparente segue a lei de potência (power-law). (a): tensão de cisalhamento em função da taxa de cisalhamento. (b): viscosidade aparente em função da taxa de cisalhamento. 1.1 OBJETIVOS Este experimento tem por objetivo a familiarização do aluno com diferentes formas de medir a viscosidade de fluidos newtonianos e não-newtonianos. Serão medidas as viscosidades dos seguintes fluidos: Água Óleo de Soja Óleo Mineral Óleo de Silicone 3

Solução de Poliacrilamida. As medições de viscosidade serão realizadas utilizando-se os seguintes aparatos e instrumentos do Laboratório de Microhidrodinâmica e Reologia - VORTEX: Cannon-Fenske Viscosímetro de Cilindros Concêntricos Tubo Capilar - Bomba de Seringa Aparato de Stokes - Sedimentação de uma Esfera em Fluido Viscoso (óleo de silicone). 1.2 CANNON-FENSKE O Cannon-Fenske é basicamente um tubo em U disposto na vertical, como mostra a figura (1.3). De um lado é formado por um tubo capilar e do outro é composto por Figura 1.3: Esquema ilustrativo do aparato Cannon-Fenske. Aqui g é a aceleração da gravidade local. um tubo de maior diâmetro. A medição da viscosidade é feita através da medição do tempo que o fluido leva para escoar entre as marcas 1 e 2. A diferença de pressão devido à altura h entre 1 e 2 ( P) é igual a soma das pressões perdidas pelo fluido 4

devido a aceleração na entrada do tubo até ser atingido o perfil parabólico ( P 1 ) e as perdas por atrito ao longo do capilar ( P 2 ). Assim: P = ρg h = P 1 + P 2 = V 2 16ρ t 2 π 2 d + V 128µL (1.6) 4 t πd 4 e isolando a viscosidade cinemática temos: ( ) πg hd 4 ( V 1 ν = t 128LV 8πL) t = A t B t (1.7) com A e B constantes. Para um intervalo de tempo t suficientemente longo tal que A t B/ t, o termo proporcional ao inverso do intervalo de tempo pode ser desprezado em relação ao termo proporcional a t. Portanto a viscosidade cinemática é dada por: ( ) πg hd 4 ν = K t com K =. (1.8) 128LV A constante K é fornecida pelo fabricante na tabela 1 (ver apêndice 1 para detalhes), incluindo os intervalos da viscosidade cinemática associada a cada numeração do viscosímetro Cannon-Fenske. A viscosidade deve obedecer ao intervalo associado para que o fluido com uma determinada viscosidade escoe no capilar apropriado a uma velocidade ou vazão suficientemente pequena tal que a condição acima para t seja atendida e o erro dessa aproximação seja o menor possível. 1.2.1 Aparato Experimental e Procedimentos Os instrumentos usados nessa etapa são: Densímetro - Marca: Specific Gravity, ERTO CO. ASTM 86 Viscosímetro Cannon-Fenske - Marca: Induchem LAB Glass CO. Banho Térmico - Marca: Cannon; modelo CT-2000 Cronômetro - Marca: Cronobio; modelo SW2018 Com este instrumento serão determinadas as viscosidades dos óleos de soja e mineral em função da temperatura. Primeiro é feita a medição da massa específica do fluido no densímetro. O fluido é então colocado no Cannon-Fenske previamente selecionado. O Cannon-Fenske é colocado dentro do banho térmico e é selecionada a temperatura 5

em que se deseja medir a viscosidade. É necessário aguardar em torno de 15 minutos para que o fluido entre em equilíbrio térmico com a temperatura escolhida (segundo o fabricante). Então, é feita a medida do tempo que o fluido leva para escoar entre os pontos A e B. Com esse t em segundos e a constante do viscosímetro utilizado é possível determinar ou calcular a viscosidade cinemática do fluido. Multiplicando esse valor pela massa específica do fluido encontramos a sua viscosidade dinâmica. 1.3 VISCOSÍMETRO DE CILINDROS CONCÊNTRICOS O referido viscosímetro baseia-se no escoamento laminar no espaçamento entre dois cilindros rotativos. Quando o espaçamento entre os cilindros é pequeno o suficiente, o líquido de trabalho entre os mesmos experimenta sempre uma taxa constante de cisalhamento γ (Figura 1.4). Figura 1.4: Esquema do escoamento entre cilindros rotativos. O cilindro maior de raio R 2 permanece fixo enquanto o cilindro menor de raio R 1 gira com velocidade ω. O fluido ocupa o espaço entre os cilindros δ. Seja R 1 o raio do cilindro interno, R 2 o raio do cilindro externo e ω a velocidade angular do cilindro interno (com o externo estacionário), a taxa de cisalhamento é determinada por: γ = R 1ω R 2 R 1 (1.9) Sendo T o torque do fluido sobre o cilindro de Raio R 1, a tensão de cisalhamento é dada por: τ rθ = T 2πR 2 1L (1.10) 6

em que L é o comprimento do cilindro imerso no líquido. Igualando-se a equação constitutiva para fluido newtoniano (equação 1.1), a expressão da tensão de cisalhamento é dada por: τ rθ = µ γ = T 2πR 2 1L µ = T 2πR 2 1L γ. (1.11) E portanto obtém-se a seguinte expressão para a viscosidade do fluido: µ = T (R 2 R 1 ) 2πR 3 1Lω. (1.12) Assim, para uma dada velocidade angular de rotação do cilindro interno é possível obter a viscosidade do fluido medindo-se o torque do fluido aplicado sobre este cilindro. Com esse mesmo aparato é possível medir também viscosidades aparentes de fluidos não newtonianos. 1.3.1 Aparato Experimental e Procedimentos O aparato utilizado nessa etapa do experimento é composto por: Viscosímetro de Couette - Marca: Brookfield, PROGAMMABLE DV-II + VIS- COSIMETER Computador - com os softwares VBLOADER e WINGATHER Pipeta graduada - Marca: Costar, 20 o C 5ML. Com a pipeta são colocados 8 ml do líquido que se deseja medir no viscosímetro. É aberto então o software VBLOADER para entrar com os parâmetros do experimento, como a velocidade angular e o tempo de execução. O software WINGATHER armazena os dados em um arquivo de texto. Com esse arquivo são obtidos os dados principais do experimento. A figura(1.5) mostra o viscosímetro utilizado. Com esse viscosímetro serão avaliadas as viscosidades dos óleos de soja e mineral e da solução de poliacrilamida em função da taxa de cisalhamento. 1.4 TUBO CAPILAR Nesse passo é determinada a viscosidade efetiva de um fluido a partir da Lei de Poiseuille. Considere que o fluido escoa em um tubo de raio R, como mostra a figura (1.6). 7

Figura 1.5: Viscosímetro Brookfield de cilindros concêntricos utilizado nos experimentos. (Laboratório do Vortex - ENM - UnB) Figura 1.6: Escoamento laminar em tubo capilar. Resolvendo a equação de Navier-Stokes para escoamento unidirecional em tubo determina-se um perfil de velocidade parabólico que integrado em uma seção do tubo resulta na seguinte expressão para vazão: Q = πr4 8µ P L (1.13) para fluidos newtonianos. Q é a vazão e P/L é o gradiente de pressão. Conhecendose, então, a vazão e o gradiente de pressão encontra-se a viscosidade µ. A viscosidade µ obtida é denominada viscosidade efetiva do fluido, já que é determinada através da vazão do mesmo em um tubo capilar. Para fluidos não-newtonianos generalizados é 8

utilizada a relação entre a taxa de cisalhamento e a tensão na parede. A tensão de cisalhamento na parede é dada por: ( ) Po P L R τ w = µ( γ w ) γ w = L 2 (1.14) e a taxa de cisalhamento: γ w = Q ( ) d ln Q 3 +. (1.15) πr 3 d ln P Portanto encontra-se a viscosidade na parede a partir da vazão e da variação de pressão. A dedução das equações (1.14) e (1.15) é apresentada no apêndice 2. 1.4.1 Aparato Experimental e Procedimentos Os instrumentos que compõe a bancada de medição da viscosidade efetiva são (ver figura 1.7): Figura 1.7: Esquema do aparato bomba de seringa e tubo capilar para determinação da viscosidade em escoamento com cisalhamento quadrático (a taxa de cisalhamento não é constante). Manômetro - Marca: ZÜRICH, modelo: Z-10-B, Faixa: 0 a 280 mmhg Bomba de Seringa - Marca: Cole Parmer, Faixa: 1,426 µl/h a 36 ml/min Seringa - Marca: Arti Glass, 20 ml Tubo Capilar - Marca: Vorsicht Glass, com diâmetro interno de 300 µm. 9

Primeiramente, preenche-se a seringa com o fluido teste. Posiciona-se a seringa com cautela na bomba de seringa. Então é imposta uma vazão na bomba. É feita a leitura no manômetro da diferença de pressão obtida entre a bomba desligada e a bomba ligada. Com essa diferença de pressão e com a vazão (que é dado de entrada), pode-se determinar a viscosidade efetiva e a viscosidade aparente do fluido sujeito a cisalhamento quadrático. Nessa bancada serão medidas as viscosidades da água e da solução de poliacrilamida. 1.5 MEDIDA DE VISCOSIDADE POR MEIO DA SEDIMENTAÇÃO DE UMA ESFERA A sedimentação de uma esfera em baixos números de Reynolds (Re 0) é regida pela Lei de Stokes. Essa lei é obtida a partir da solução das equações de Navier-Stokes em coordenadas esféricas com as seguintes condições de contorno: r = R ; u = U T r ; u = 0 (1.16) em que U T é a velocidade terminal da esfera e R é o raio da esfera. A força de arrasto viscoso F d agindo sobre a esfera nessas condições é dada por F d = 6πµRU T (1.17) Portanto para uma esfera se movendo com velocidade constante U T (velocidade terminal) sob ação da gravidade, a equação do movimento (segunda lei de Newton) se reduz ao balanço entre a força de arrasto e o peso líquido (peso da esfera menos a força de empuxo) da mesma, já que não há aceleração. Assim: F d = P liq 6πµRU T = ρg 4 3 πr3 (1.18) em que P liq é o peso líquido da esfera de raio R, g é a aceleração gravitacional local e ρ é a diferença entre a massa específica da esfera e do fluido. Logo: µ = 2 ρgr2 9U T. (1.19) 10

Figura 1.8: Ilustração de uma partícula rígida esférica sedimentando em um fluido viscoso em baixo número de Reynolds. Desta maneira, pode-se determinar a viscosidade de um fluido viscoso conhecendo-se a diferença entre as massas específicas, a velocidade terminal da esfera e o raio da esfera. A figura (1.8) mostra um esquema desse arranjo experimental. A equação (1.19) não leva em consideração a influência das paredes do reservatório no movimento da partícula. A parede produz um distúrbio em primeira ordem do tipo d/d, que é um decaimento típico de movimentos de corpos em baixos Reynolds. De um ponto de vista prático um reservatório infinito não é possível e assim diante do decaimento lento d/d existe sempre algum efeito de parede sobre o movimento da esfera. Propõe-se uma correlação empírica para corrigir os efeitos de parede na medida de viscosidade como sendo: µ c = µ 1 2, 104 d ( 3 d D D) + 2, 09 0, 95 ( ) 5 d (1.20) D em que µ c é a viscosidade corrigida e D é o comprimento característico do reservatório de confinamento do fluido. 1.5.1 Aparato Experimental e Procedimentos Para a realização do experimento de Stokes são utilizados os seguintes instrumentos: 11

Computador - com os programas VideoTizer e Sion Image Recipiente de vidro Câmera de vídeo - Marca: Panasonic, OMNIMOVIE VHS/HQ; Frequência de captura: 30Hz Nessa etapa é medida a viscosidade do óleo de silicone. Primeiramente o reservatório é preenchido com o referido óleo. Em seguida, a esfera é inserida na superfície livre do líquido. O movimento descendente da esfera é filmado. Essa filmagem é digitalizada no computador para que, pelo uso dos programas Sion Image e Videotizer, o movimento da esfera seja quantificado juntamente com o intervalo de tempo necessário para ocorrer um deslocamento significativo da mesma. Assim é possível traçar o gráfico de deslocamento versus tempo, obtendo a velocidade terminal U T e com isso a viscosidade do fluido. 1.6 RELATÓRIO O relatório deverá conter os seguintes elementos: 1. Introdução teórica 2. Descrição dos experimentos 3. Resultados Cannon-Fenske: apresentar os gráficos da viscosidade da água e da viscosidade do óleo de soja em função da temperatura e comparar com a Lei de Arrhenius, obtendo as constantes A e B para cada material 4. Resultados Viscosímetro de Cilindros Concêntricos: apresentar os gráficos dos óleos de soja e mineral e da solução de poliacrilamida em função da taxa de cisalhamento. Comparar o gráfico da poliacrilamida com uma Power Law, determinando as constantes n e C para esse fluido. 5. Resultados Tubo Capilar: traçar o gráfico de (P o P L ) versus Q para a água e determinar a viscosidade através da inclinação da reta obtida. Determinar a viscosidade da solução de poliacrilamida em função da taxa de cisalhamento na parede a partir das equações para fluidos não-newtonianos (equações 1.14 12

e 1.15). Comparar esse resultado com o resultado obtido no viscosímetro de cilindros concêntricos. 6. Resultados do experimento de Stokes: com a velocidade terminal encontrada obter a viscosidade sem correção µ e a viscosidade corrigida µ c, analisando se é significativa a diferença entre as duas. 7. Conclusões: analisar brevemente os experimentos realizados e classificar os fluidos estudados como newtonianos ou não newtonianos, expondo os argumentos para essa classificação. BIBLIOGRAFIA Barnes, H. A., Hutton, J. F., Walters K., 1989, An Introduction to Rheology, 1. ed - Elsevier Science Cengel, Y. A., Cimbala, J. M., 2007, Mecânica dos Fluidos - Fundamentos e Aplicações, 1 ed. - Editora McGrawHill Cunha, F. R., 2010, Notas de aula do curso de Mecânica dos Fluidos 2, Universidade de Brasília, Departamento de Engenharia Mecânica Larson, R. G., 1999, The structure and rheology of complex fluids, 1 ed. - Oxford University Press. Pao, R. H. F., 1967, Fluid Dynamics, 1 ed. - Purdue University Press. APÊNDICE 1 A tabela abaixo contém as constantes de cada Cannon-Fenske e a faixa em que a viscosidade cinemática deve estar situada para que o erro relativo à aproximação que considera uma dependência linear da viscosidade cinemática com o t seja o menor possível (dados fornecidos pelo fabricante). 13

Tabela 1.1: Classificação dos Viscosímetros Número Constante K Variação da Viscosidade (centistokes/segundo) (centistokes) 25 0.002 0.5 a 2 50 0.004 0.8 a 4 75 0.008 1.6 a 8 100 0.015 3 a 15 150 0.035 7 a 35 200 0.1 20 a 100 300 0.25 50 a 250 350 0.5 100 a 500 400 1.2 240 a 1200 450 2.5 500 a 2500 500 8 1600 a 8000 600 20 4000 a 20000 APÊNDICE 2 A partir de um balanço integral de forças na região do tubo tem-se: P o πr 2 P L πr 2 2τ w πrl = 0 (1.21) e portanto: ( ) Po P L R τ w = (1.22) L 2 que é a equação (1.14). A relação entre a tensão de cisalhamento em um ponto ao longo do tubo e a tensão na parede é dada por: τ = r R τ w. (1.23) A vazão no capilar é dada por: R Q = 2π u(r)rdr. (1.24) 0 14

Uma intergração por partes da equação acima leva a: [ ] R Q = π ur 2 0 R r 2 R 2π 0 2 γ(τ)dr = π r 2 γ(τ)dr, (1.25) 0 já que a velocidade na parede é nula. Utilizando a mudança de variáveis na equação (1.25), tem-se: r = R τ τ w (1.26) Q = πr3 τ 3 w τw 0 γ(τ)τ 2 dτ, (1.27) cuja derivação resulta em: γ w = 1 τ 2 w E, finalmente, substituindo a relação obtida para τ w : que é a equação (1.15). ( ) d τ 3 w Q. (1.28) dτ w πr 3 γ w = Q ( ) d ln Q 3 +, (1.29) πr 3 d ln P 15