PRVA 55/8 Págs. EXAME A NÍVEL DE ESCLA EQUIVALENTE A EXAME NACINAL 1.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 86/89, de 9 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos Duração da prova: 150 minutos 008 PRVA ESCRITA DE MATEMÁTICA 1.ª FASE VERSÃ 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUP I. A prova é constituída por dois Grupos, I e II. Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, subdivididas em alíneas, num total de doze. V.S.F.F. 55.V1/1
Formulário Comprimento de um arco de circunferência α r (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r raio) Áreas de figuras planas Diagonal maior Diagonal menor Losango: Base maior + Base menor Trapézio: Altura Polígono regular: Semiperímetro Apótema Sector circular: α r (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r raio) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: π r g (r raio da base; g geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 π r (r raio) Volumes Pirâmide: 1 Área da base Altura Cone: 1 Área da base Altura Esfera: 4 r π (r raio) Progressões Soma dos n primeiros termos de uma Prog. Aritmética: u + u 1 n n n Prog. Geométrica: u 1 r 1 1 r Regras de derivação ( u + v) = u + v ( u v) = u v+ u v u u v u v v v n n ( ) = ( ) 1 u = n u u ( n R ) (sen u) = u cosu (cos u) = u sen u (tg u ) = u cos u u u ( e ) = u e u u + ( a ) = u a ln a ( a R \{1}) (ln u ) = uu (log ) u ln ( + a u = u a a R \ {1}) Trigonometria sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b tg a + tg b tg(a + b) = 1 tga tgb Compleos n n ( ρ cis θ) = ρ cis ( nθ) n ρ cis θ = n ρ cis θ + kπ n, k {0,..., n 1} Limites notáveis sen = 0 e 1 = 0 ln( + 1) 0 ln = + e p + lim 1 lim 1 lim = 1 lim 0 lim =+ ( p R ) 55.V1/
Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Na figura junta está parte da representação gráfica de uma função f de domínio. Qual das seguintes pode ser a representação gráfica da função f ', primeira derivada de f? (A) (B) (C) (D) V.S.F.F. 55.V1/
. Seja g uma função de domínio + definida por g () log5 ( 5 ) =. Qual das seguintes epressões pode também definir a função g? (A) log (5 ) (B) 1+ log ( ) (C) 4 + log ( ) (D) log (15 ) 5 5 5 5. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função h, real de variável real. Tal como a figura = são assimptotas do gráfico da função h. sugere, as rectas de equações = 0 e Qual é o valor de h ( ) lim? + e (A) + (B) (C) 0 (D) 4. Na figura está representado um triângulo [ ABC ], rectângulo em A. B A π 6 C Sabe-se que AC = e que a amplitude do ângulo ABC é igual a π 6. Qual é o valor da área do triângulo [ ABC ]? (A) (B) (C) (D) 55.V1/4
5. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é i 0 4 P( X = i ) 0,1 0, a (a designa um número real) Indique o valor médio da variável X. (A) 1, 9 (B), (C), 9 (D), 6. Lança-se dez vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Qual é a probabilidade de, nos dez lançamentos, sair «face 1» eactamente três vezes? 7 10 (A) 1 5 7 ( ) ( ) C (B) 1 5 6 6 6 6 7 C (D) 6 6 10 C 10 (C) 1 5 ( ) ( ) 7. Considere o número compleo z = a + bi, em que a > 0 e b < 0. Dos seguintes números, qual é o que pode representar o número compleo simétrico de z? (A) cis5 π 8 (B) cis15π 8 (C) cis π 8 (D) cis9 π 8 V.S.F.F. 55.V1/5
Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, pretende-se sempre o valor eacto. 1. Em, conjunto dos números compleos, considere z = + i 1.1. Sejam e números reais tais que w = + 6 + i + i. Sem usar a calculadora, determine os valores de e de de modo que w = z. i 1.. Considere agora, no plano compleo, os pontos A e B, imagens geométricas dos compleos z e z, respectivamente. Represente o triângulo [ AB ] no plano compleo e calcule a sua área.. Considere a função f, de domínio R, definida por e 1 se < 0 f () = se = 0 + se > 0 Sem recorrer à calculadora (ecepto para eventuais cálculos numéricos), resolva as três alíneas seguintes..1. Mostre que a função f é contínua em = 0... Prove, usando o teorema de Bolzano, que a equação f () = tem pelo menos uma solução em ]0, 4[... Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1.. Sejam g uma função real e g ' a sua derivada, ambas de domínio Usando processos eclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes..1. Justifique que o gráfico de g ' não admite assimptotas oblíquas. g = + + R, e tais que '( ) ln.. Verifique que g''( ) = ln + e estude g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à eistência de pontos de infleão. 55.V1/6
4. Suponha que o número aproimado de clientes numa certa loja varia segundo o seguinte modelo: ct ( ) = 5 + 15 sen(0,4 t), t 10 Sabe-se que: t é medido em horas e o instante t = 0 corresponde ao número de clientes às 10 horas da manhã; argumento da função seno vem em radianos. 4.1. Segundo este modelo, quantos clientes havia, aproimadamente, às 9 horas da manhã? Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 4.. Durante algum tempo depois das 10 horas da manhã, o número de clientes da loja foi superior a 5. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, calcule esse tempo. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Se usar cálculos intermédios, conserve, pelo menos, duas casas decimais. 5. Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, paus, copas e ouros. Em cada naipe há um Ás, três figuras (Rei, Dama e Valete) e mais nove cartas (do Dois ao Dez). 5.1. De um baralho completo etraem-se, sucessivamente e sem reposição, seis cartas. De quantas maneiras se pode fazer a etracção se as quatro primeiras forem ases? 5.. Retiram-se, agora, simultaneamente, quatro cartas de um baralho completo. Qual é a probabilidade de, nessas quatro cartas, haver três figuras? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas. 5.. Considere o seguinte problema: Dados quatro baralhos completos iguais, retiram-se, ao acaso, uma carta de cada baralho. Qual é a probabilidade de haver ou só cartas de espadas ou só figuras? Uma resposta correcta para este problema é 1 + 1 54 4 4 Numa pequena composição, eplique porquê. A sua composição deve incluir: uma referência à Regra de Laplace; uma eplicação do número de casos possíveis; uma eplicação do número de casos favoráveis. FIM V.S.F.F. 55.V1/7
CTAÇÕES Grupo I...6 Cada resposta certa.... 9 Cada resposta errada.... 0 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II...17 1.... 1 1.1....1 1.....8.... 6.1....1.....1.....1.... 4.1....10.....14 4.... 4 4.1....10 4.....14 5.... 5.1.... 8 5.....1 5.....1 TTAL...00 55.V1/8