Versão Online ISBN 978-85-8015-040-7 Cadernos PDE VOLUME II O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE Produção Didático-Pedagógica 2008
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS COORDENAÇÃO ESTADUAL DO PDE UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA MARIA ESTER SENGER SCHWAB ESCALA, UMA DAS REPRESENTAÇÕES DA PROPORCIONALIDADE PONTA GROSSA 2008
MARIA ESTER SENGER SCHWAB ESCALA, UMA DAS REPRESENTAÇÕES DA PROPORCIONALIDADE Unidade didática desenvolvida como avaliação parcial no Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE. Orientadora: Profª. Drª. Marlene Perez. PONTA GROSSA 2008
Unidade didática: Escala, uma das representações da proporcionalidade. Conteúdo básico: razão e proporção. Conteúdo estruturante: números e álgebra. Conteúdo específico: escala Os problemas de ampliações e de escala parecem-nos bem adaptados ao estudo da proporcionalidade. Estes problemas podem mobilizar os conhecimentos: geométrico, aritmético, numérico e algébrico. O essencial deste trabalho nesta unidade didática, consiste em usar uma ferramenta, a escala, que permite resolver problemas além de ser objeto de saber socialmente organizado e culturalmente reconhecido. Quando você vai desenhar uma árvore, por exemplo, ela não fica no tamanho natural. A não ser que você consiga um papel gigante para que o desenho seja tão grande quanto a árvore. Difícil, não? Mas, é possível colocar o mundo, um continente, um país, uma região, um estado, uma cidade que seja numa folha de papel? Ao desenhar, quando você diminui ou aumenta um objeto mesmo sem saber, você está trabalhando com uma escala. Quer dizer, cada ponto da figura real tem correspondência com a figura desenhada e as medidas de uma são proporcionais às medidas da outra. Quem de nós não aprecia uma bela representação gráfica? O mundo vive o momento da imagem. É crescente o aumento da informação com a ascensão da tecnologia. As leituras destas representações gráficas exigem nossa interpretação e compreensão. Muitas vezes temos acesso às informações e imagens, porém, temos que saber ler e interpretá-las. Como o raciocínio matemático pode contribuir nesta tarefa? O procedimento é simples: em se tratando de representar uma cidade, um mapa pode auxiliar acompanhado dos elementos que nela existem. Para que a representação seja perfeita temos que reduzir tudo em escala para manter as formas, os tamanhos e as distâncias em dimensões proporcionais às reais. Segundo a Sociedade Americana de Fotogrametria (SLAMA, 1980), um mapa é a representação (geralmente sobre uma superfície plana) de toda ou
de uma região da Terra, mostrando o tamanho relativo e a posição das feições em uma determinada escala ou projeção. Se vamos reduzir em escala uma cidade, temos que saber o tamanho real dela e o tamanho do papel disponível para representá-la. Se vamos reduzir em escala a cidade em que moramos 10 mil vezes menor do que ela realmente é, devemos representar seus elementos (praças, ruas, etc.) na mesma proporção, assim a distância entre eles, também. Esta escala pode ser expressa em palavras, 1 cm por 100 m, como não podemos trabalhar com unidades diferentes temos que transformar os 100 m em centímetros. Assim 1 em fração a razão 1:10000 ou, o denominador representa o número de 10000 vezes que a realidade foi reduzida. Exemplo 1: Se a distância entre uma Catedral e um ginásio de esportes é de 250 m, (porque 250 m é igual a 25000 cm, e 25000 dividido pela escala, que é 10000, é igual a 2,5 cm), no mapa a distância será de 2,5 cm. Uma escala é um coeficiente de proporcionalidade, cujas dimensões reais e as dimensões representadas formam séries proporcionais. A escala não constitui um objeto usado apenas na matemática, ela é um elemento que permite trazer as matemáticas operatórias para outras disciplinas. A escala é uma razão que tem muita aplicação no conjunto das ciências, na arquitetura ao desenhar uma casa ela também é utilizada. Exemplo 2: A frente de uma casa tem 8,40 m e está representada na figura com uma grandeza de 4 cm. Vamos calcular a razão entre a grandeza da casa na figura e a sua grandeza real. Essa razão procurada é a escala. Vamos calcular? Primeiro vamos transformar o comprimento da casa em centímetros: 8,40 m = 840 cm comprimento na figura comprimento real 4 cm 840 cm 1 210
Nesse caso, a escala indica que cada centímetro na figura vale, na realidade, 210 cm. Essa escala pode ser representada usando uma das seguintes notações: 1: 210 ou 1 210 Nos problemas de escala, o plano ou o mapa é um objeto físico sobre o qual o aluno, é convidado a fazer medições. Para saber o tamanho ou distância real, deverá interpretar a escala que vem acompanhando o mapa. Exemplo 3: Sabendo-se que Porto Alegre e Curitiba em linha reta, separam-se por 560 km e a escala no mapa é de 1:14000000. Com que grandeza seria representada esta distância? Primeiro vamos transformar a distância em centímetros: 560 km = 56000000 cm distância no mapa distância real x cm 56000000 cm Nesse caso, a escala do mapa é 1:14000000, que indica cada centímetro no mapa vale, na realidade, 14000000 cm ou 140 km. Quer dizer que usando a escala do mapa encontraremos a grandeza que representa a distância entre Porto Alegre e Curitiba: 1 14000000 x 56000000 Assim 56000000 x, logo a grandeza que representa a distância entre Porto 14000000 Alegre e Curitiba é 4 cm. Atividades: 1 Determine a distância real entre as cidades A e B em cada situação: a) A B se no mapa a escala é 1:50000 3 cm b) A B se no mapa a escala é 1:100000 4 cm
c) A B se no mapa a escala é 1:250000 2,5 cm d) A B se no mapa a escala é 1:1000000 3,6 cm 2 Num mapa de escala 1:1000000, a distância entre duas cidades é de 2 cm. Qual é a distância real? Explique com suas palavras. 3 Num mapa feito na escala 1:8000 a distância de 6 km com que grandeza será representada? Explique e escreva a resposta. 4 Se a distância de 6 km fosse feita num mapa na escala de 1:5000, com que grandeza seria representada? Explique. 5 Num mapa pode ler-se: 2 centímetros para 1 quilômetro. Qual é a escala deste mapa? Qual é a importância da leitura dos mapas? Os mapas são importantes instrumentos para o estudo geográfico, pois permitem o conhecimento e o domínio sobre determinado território. A arte e a técnica aplicada na confecção de mapas é objeto de uma ciência: a Cartografia, ciência ou arte que estuda os mapas. Carto: carta, mapa. Grafia: estudo, ciência, conhecimento. Para que os mapas sejam úteis, é preciso que sigam algumas regras, chamadas convenções, que são a chamada linguagem cartográfica, ou seja, a linguagem dos mapas representada pelos símbolos ou legendas, elemento que indica o significado dos símbolos e cores usados no mapa. A idéia de fazer mapas é muito antiga, já existem a milhares de anos, antes mesmo da invenção do papel. Civilizações antigas gravavam em barro, ou argila os aspectos do espaço que queriam representar de forma bastante simples. Os mapas procuram representar da melhor maneira fatos e aspectos que compõem o espaço geográfico. Para tanto, existem vários tipos de mapas, os quais devem apresentar os seguintes elementos: título, escala e legenda. Entre os tipos de mapas, temos o mapa político (país dividido em estados, o
mundo dividido em países, que é o mapa mundi), o mapa temático (representa elementos específicos como mapa das reservas minerais), mapa físico (mostra aspectos da natureza como o clima, relevo, hidrografia, vegetação), mapa econômico (mostra a produção industrial, atividades agrícolas, rodovias, ferrovias), mapa demográfico (mostra a distribuição da população). Quais são as escalas mais conhecidas? Além das escalas numéricas existem as escalas gráficas que permitem medir diretamente as distâncias no mapa e convertê-las nas distâncias reais. As escalas gráficas podem ser apresentadas com um segmento de reta dividido em partes iguais ou como uma linha curta que dá uma idéia geral das distâncias reais. Exemplo 4: 0 50 m 100 m 150 m 200 m O segmento de reta no mapa é de 6 cm, e no real corresponde a 200 m, qual é a escala numérica desse mapa? medida do segmento corresponde no real 6cm 200 m 6cm 20000 cm 3 cm 10000 cm Logo a escala numérica desse mapa é de 3:10000. Atividades: 1- Em um mapa da América do Sul com escala gráfica de 1 cm = 650 km na realidade. Se quisermos calcular a distância real entre Caracas e Brasília sendo a distância entre elas, no mapa, de 5,5 cm. Qual é a distância real entre elas? 2- Um projeto simples de planta de uma loja está representado a seguir:
Estoque Espaço de vendas Escritório 0 25 50 metros a) Qual é a escala do desenho da loja? b) Meça o espaço destinado à vendas, o espaço para armazenamento e o espaço para escritório. Determine a área em metros quadrados, que corresponde a cada um. 3- Pesquisa: Para fixar melhor estes conhecimentos procure diferentes tipos de escalas (numéricas e gráficas) que encontramos nos mapas. Escolha duas cidades que você sabe a distância que as separa pela estrada, interprete a legenda da escala e faça os cálculos e compare se a estrada fosse em linha reta, qual seria a real distância. Para ampliar, diminuir e para reduzir, aumentar. A escala é uma das representações da proporcionalidade. A escala é ao mesmo tempo uma ferramenta que permite resolver problemas e um objeto de saber socialmente organizado e culturalmente reconhecido. Segundo Douady (1986 apud Levain 1997, p.104), dizemos que um conceito é uma ferramenta desde que concentremos o nosso interesse na utilização que fazemos dela para resolver um problema. A escala de um mapa será sempre uma escala de redução e para saber quantas vezes o tamanho real da área geográfica foi reduzido de modo que tornasse possível sua representação num mapa, com uma escala numérica 1:900000 (um por novecentos mil), significa que a medida real foi reduzida novecentos mil vezes para que fosse possível a sua representação no mapa. Para representar objetos muito pequenos, usamos uma escala de ampliação onde representamos dez vezes maior o objeto real (10:1, dez para um) ou cem vezes maior (100:1, cem para um), dependendo do objeto que se queira
representar. Desde que um desenho seja o modelo reduzido ou ampliado de um outro eles estão à escala um do outro. (Levain, 1997, p. 106). Trabalhar com escalas garante ampliações e reduções bastante fiéis ao objeto representado, buscando as semelhanças e evitando deformações. Quanto maior o denominador, menor será a escala, e também menor será a riqueza de detalhes. Quanto menor o denominador, maior será a escala, e também a riqueza de detalhes. Ao compararmos duas escalas, é maior a escala que tem o menor denominador: assim 1:25 000 é maior que 1:100 000. Como devemos proceder para ampliar e reduzir uma figura? Ao ampliarmos uma figura estamos aumentando a riqueza de detalhes, para isto diminuímos o denominador que significa estarmos aumentando a escala: uma escala 1:100, queremos ampliar 5 vezes, logo o denominador será reduzido 5 vezes, ficando a nova escala em 1:20. Ao reduzirmos uma figura estamos reduzindo a riqueza de detalhes, devemos adotar um procedimento inverso do que foi adotado para ampliar, aumentar o valor do denominador, e conseqüentemente diminuindo a escala: uma escala de 1:100, queremos reduzir 5 vezes, logo o denominador será aumentado 5 vezes, ficando a nova escala em 1:500. A escala nos mapas representa uma área geográfica maior em menor escala, o mapa mundi pode se apresentar com uma escala 1:40 000 000; enquanto o estado do Paraná que tem uma área menor geralmente é apresentado com uma escala maior 1:900 000. Para explicar melhor convém apresentar a escala em uma só dimensão, para compreender como isto acontece. Faça os primeiros exercícios de escala com apenas uma dimensão, por exemplo: a largura da sala de aula. A primeira escala a ser usada é 1:100 (lêse um para cem), pois é a mais simples. Ela determina que cada centímetro do papel equivale a 100 cm da sala ( 1 metro ). Se a sua sala tiver 5 metros de
largura, nessa escala, terá 5 centímetros, pois 500 centímetros ( 5 metros) divididos por 100 ( o valor da escala ) resultam em 5 centímetros. 5 cm Para ampliar, diminua a escala. Com a escala 1:50, é possível representar a mesma largura com um segmento duas vezes maior. No caso, cada centímetro do papel corresponde a 50 centímetros ( 0,5 metros ) da sala. Os 5 metros serão representados em 10 cm, pois 500 cm divididos por 50 ( o valor da escala ) resultam em 10 cm. 10 cm Para reduzir, aumente a escala: Se o papel onde se está desenhando é pequeno demais, devemos reduzir a representação. Isso se faz aumentando a escala para, por exemplo, 1:200. No caso, um centímetro da folha equivale a 200 cm ( 2 metros ) da sala. Para representar os 5 metros, usaremos então um segmento de 2,5 centímetros, pois 500 cm : por 200 ( o valor da escala ) resultam 2,5 cm. 2,5 cm
Exemplo 5: Entre os desenhos A, B, C, D, E, e F, abaixo, quais são ampliações ou reduções do desenho número 1? Faça um círculo da que estiver correta Comentários: trata-se de reconhecer uma ampliação e uma redução de uma figura geométrica. As relações muito simples, do dobro na figura E e da metade na figura A. A quadrícula 0,5 facilita o reconhecimento da redução. As figuras B e C estão mais alteradas do que as formas das figuras D e F em relação à ampliação. Resolver problemas de ampliação (ou de redução) e de escala dizem respeito a problemas de proporcionalidade. Resolva os seguintes problemas para verificar por si próprio as aptidões que você tem neste conteúdo: Atividades: 1 Imagine que você tenha um avião em miniatura. Para voar, o seu modelo precisa ter medidas proporcionais com o avião original. - Toda escala é diretamente proporcional. - Quando se diz que um modelo está em escala 1:25, isso significa que ele é 25 vezes menor do que o original. Se a envergadura de asa do avião original tem 10 metros. Qual será a envergadura do modelo?
2 Represente as figuras de acordo com as escalas:
3 Terminar a construção do retângulo A B C D para que ele seja uma ampliação do retângulo ABCD. A 3cm B 1,5cm C D C D 6cm 4 Terminar a construção do retângulo A B C D de modo que ele seja uma ampliação do retângulo ABCD. A 5cm B 3cm C D A 6cm C 5 Terminar a construção do retângulo A B C D de modo que ele seja uma ampliação do retângulo ABCD. A 1,5cm 3cm B C D C D 5cm
6 Terminar a construção do retângulo A B C D de modo que ele seja uma ampliação do retângulo ABCD. A 5cm B 3cm C D A 9cm B Como foi utilizada a proporcionalidade antigamente para calcular medidas inacessíveis? Segundo Matsubara e Zanirato, (s/d), na antigüidade Tales de Mileto (624A.C.-546A.C.), filósofo e matemático grego. O mais antigo dos chamados Sete Sábios da Grécia, se ofereceu para determinar a altura da pirâmide real, sem escalar o monumento. Na presença do rei Amasis teve lugar a prova. O sábio percebeu a areia do deserto egípcio até a extremidade da sombra projetada pelo monumento. Precisamente no vértice da sombra, cravou sua bengala no solo, verticalmente. A sombra do bastão revelava a Tales a procurada altura da pirâmide.
Raios de sol Estaca Vara de medir Suponha que, para facilitar o problema, Tales tenha aguardado o momento em que, atingida uma certa altura pelo sol, o comprimento da sombra do bastão tivesse se tornado igual ao seu próprio comprimento. Nesse caso, bastava um raciocínio muito simples para inferir que no mesmo instante o comprimento da sombra da pirâmide era igual a altura da mesma. Diz-se que o rei Amasis se mostrou profundamente surpreendido com essa aplicação prática de uma ciência abstrata. A pirâmide, o bastão e a sombra de ambos representam a primeira construção geométrica pura que nos é transmitida pela história. Atividades: 1 - A fotografia tirada da escola tem 12 cm de comprimento por 9 cm de altura. Deseja-se ampliá-la, de forma que tenha 36 cm de comprimento. Qual será a altura da ampliação? 2 - Na feira de ciência um grupo vai trabalhar com escalas e resolveu fazer uma miniatura semelhante a pirâmide de Quéops no Egito, que tem sua base quadrada com aproximadamente 230 metros de lado e a altura aproximadamente de 146 metros. Será trabalhada numa escala de 1:400. Qual será o comprimento do lado e da altura? 3 - Dentre as alternativas dos quadros, qual é a outra forma correta da escala 1 cm : 3,5 km? 1 : 3,5 1 : 3500 1 : 350000
4 - De Brasília a Santiago, em linha reta num mapa da América do Sul, são 4,5 cm são os que as separam. Se a escala no mapa indica 0 650km, o que significa que cada centímetro no mapa representa na realidade. Qual é a distância real que separa a capital do Brasil à capital do Chile? Fonte: Graça Maria Lemos Ferreira, Moderno atlas geográfico. São paulo, Moderna, 1997 Quando estamos diante de seqüências que formam uma proporção, ou seja, se dividirmos ou multiplicarmos os elementos de uma mesma coluna pelo mesmo número, o resultado é sempre igual. Dizemos que as grandezas são diretamente proporcionais. Uma maneira prática para sabermos se duas grandezas são diretamente proporcionais, basta fazermos a pergunta: se dobrarmos, triplicarmos, etc. uma das grandezas o que acontece com a outra grandeza? Se ela também duplicar, triplicar, etc. as grandezas serão diretamente proporcionais. Com certeza você já teve a oportunidade de ver uma planta baixa de uma casa ou de um apartamento. Qual é a diferença entre a planta baixa e um mapa?
Ao colocarmos no papel a nossa casa, nossa escola, colocamos todas as informações de uma área pequena, em que todos os detalhes podem ser desenhados. Estamos fazendo a representação de uma planta baixa, diferente de um mapa que representa uma área grande onde é praticamente impossível inserir todos os detalhes. Para representar uma planta baixa, também usamos a escala. AS Cozinha W.C. Dormitório Hall 1,5 cm Sala Dormitório E1 Escada E2 A escala é a razão entre cada comprimento indicado na planta e o comprimento real correspondete. Cada centímetro nessa planta equivale, na realidade, a 200 cm, ou seja 2 metros. A largura da sala no desenho é 1,5 cm, o que significa que a largura real é 200 vezes 1,5 cm, isto é, 3 metros. Desafio: Escala 1:200 Agora você é o arquiteto. Faça a planta de sua casa. Utilize a escala 1:100. Atividades: 1 - Complete a tabela: Escala 1:500 1:800 Comprimento na 2 cm cm 1,4 cm planta Comprimento real m 40 m 2,80 cm 2 Um arquiteto fez uma maquete e para representar um imóvel de 25 metros de altura ele usou uma caixa de fósforos de 5 cm de altura. Por qual número devemos multiplicar a caixa de fósforos para obtermos a altura do imóvel? 3 - A planta de uma casa está na escala 1:200. A largura da sala no desenho é de 1,5 cm. Qual é a largura real? 4 - Um jardim retangular mede 50 metros de comprimento e 30 metros de largura. Representamos este jardim por um desenho à escala de 1:100. Qual é o comprimento do jardim nesse desenho?
5 - Imagine um quarto ideal e dê as suas dimensões. Este quarto mede metros de comprimento e metros de largura. Calcule uma escala que te permita representar este quarto numa folha A4 (formato 21 x 29,7 cm). O plano deve ser o maior possível. Escreva a escala desse quarto representado no papel. 6 - Queres fazer a planta de um laboratório que mede 14 m de comprimento por 9 m de largura. Por quanto deves dividir as dimensões desse laboratório para representá-lo em uma folha A4 (formato 21 x 29,7 cm)? A planta deve ser a maior possível. 7 - A planta baixa é também uma representação de uma construção (casa, apartamento, ou salas de escritórios) vista de cima, em tamanho reduzido, cujas medidas são proporcionais as medidas reais. A planta baixa ao lado representa um conjunto de escritórios e uma sala de recepção na escala 1 : 200. Responda: a) Qual o significado da escala 1 : 200? b) Qual é a largura real do escritório 1, em metros? c) Qual é a área do escritório 1 em metros quadrados? d) Quais são as dimensões em metros do escritório 3? e) Faça o desenho de um cômodo retangular cujas dimensões são 3,5 m por 6 m, usando essa escala. Banheiro Sala de recepção Escritório 1 Escritório 3 Escritório 2
8 - Faça uma estimativa: COZINHA SALA BANHEIRO Na planta baixa ao lado, qual você imagina que seja a escala? Isto é cada centímetro no papel deve corresponder a quantos centímetros no real? QUARTO QUARTO ÁREA DE SERVIÇO Considerações finais: Toledo e Toledo (1997), escrevem que a proporcionalidade constitui um dos temas de maior importância no ensino de matemática, pois é a partir dela que se formam as noções de razão, proporção, número racional, medida, regra de três, porcentagem, probabilidades, semelhança de figuras, escalas. Pesquisas de vários autores comprovam que o esquema de proporcionalidade só estará completamente construído quando o aluno atingir o período operatório formal, por volta dos 15 anos. Mas, desde os primeiros anos de vida a criança já utiliza de forma prática as relações proporcionais. Apesar do uso prático no cotidiano, o conceito de proporcionalidade, apresenta grandes dificuldades em termos de formulação e aplicação. Cabe à escola colocar os alunos em situações do dia a dia, como as que envolvem escala, nas quais pratiquem, de modo intuitivo a idéia de razão e proporção. Com esta familiarização, inicia-se a etapa do estabelecimento de relações, da descoberta de propriedades que poderá levá-los a elaborar o conceito de proporcionalidade.
REFERÊNCIAS: BIANCHINI, E. e PACCOLA, H. A matemática tem razão. São Paulo: moderna, 1998 LEVIAN, J.P. Aprender a matemática de outra forma. Lisboa: Artes Gráficas, 1997. MATSUBARA, R. e ZANIRATTO, A. BIG MAT: Matemática. 6ª série. São Paulo: Instituto Brasileiro de Edições Pedagógicas, s/d. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná. Curitiba: SEED, 2006. TOLEDO, Marilia e TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois: a construção da matemática. FTD, São Paulo, 1997. SOCIEDADE AMERICANA de FOTOGRAMETRIA SLAMA (Mapa), 1980. Disponível em <http://br.geocities.com/sousaraujo/ano1_texto5.html>. Acesso em 14 outubro 2008.