É POSSÍVEL SE TER RACIOCÍNIO FUNCIONAL NO NÍVEL DOS ANOS INICIAIS? UMA INVESTIGAÇÃO COM ESTUDANTES DO 5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

É POSSÍVEL SE TER RACIOCÍNIO FUNCIONAL NO NÍVEL DOS ANOS INICIAIS? UMA INVESTIGAÇÃO COM ESTUDANTES DO 5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL Sandra Magina Universidade Estadual de Santa Cruz Brasil sandramagina@gmail.com Rozimeire Soares de Oliveira Porto Universidade Estadual da Bahia Brasil rozi_porto3@hotmail.com RESUMO Este artigo tem por objetivo analisar as estratégias utilizadas por estudantes do 5 o ano do Ensino Fundamental ao resolverem três situações-problema que envolvem o conceito de função. O estudo tomou como suporte teórico a teoria dos campos conceituais (VERGNAUD, 1996, MAGINA, 2007, MAGINA, SANTOS, MERLINI, 2016) e os estudos pautados na investigação sobre early algebra (BLANTON et. al. 2007, CARRAHER; SCLIEMANN, 2016, KAPUT, 2017), em que se defende que o raciocínio funcional está presente tanto em situações aritméticas e algébricas. Esse raciocínio pode ser identificado nos teoremas-em-ação utilizados pelos estudantes ao resolverem situações aditivas e/ou multiplicativas. O estudo conclui que é possível a formação conceitual da função nesta etapa escolar desde que o professor tenha conhecimento do teorema-em-ação que subjaz o comportamento do estudante. E ainda que este utilize os conhecimentos intuitivos dos estudantes para transformá-lo em conhecimento explícito no que se refere a uma função. PALAVRAS-CHAVE: Estudo Diagnóstico; Ensino Fundamental; Early Algebra; Raciocínio Funcional ABSTRACT This paper aims to analyze the strategies used by students from 5th year of elementary school to solve three problems involving concept of function. The study took as theoretical support the theory of conceptual fields (VERGNAUD, 1996, MAGINA, 2007, MAGINA, SANTOS, MERLINI, 2016) and studies based on early algebra research (BLANTON et al 2007, CARRAHER, SCLIEMANN, 2016, KAPUT, 2017), in which it is argued that functional reasoning is present in both arithmetic and algebraic situations. This reasoning can be identified in the theorems-in-action used by students when solving additive and / or multiplicative situations. The study concludes that it is possible the conceptual formation of the function in this stage school since the teacher has knowledge of the theorem-in-action that underlies the

2 behavior of the student. And even if it uses students' intuitive knowledge to turn it into explicit knowledge about a function. KEYWORDS: Diagnostic Study; Elementary school, Early Algebra; Functional Reasoning. INTRODUÇÃO O raciocínio funcional no tocante ao Ensino Fundamental se confunde com as noções de sequências (gráficas, pictóricas e numéricas), com a proporcionalidade e se revela no estudo das funções de 1º e 2º grau. Na tentativa de interpretar, organizar e generalizar o padrão de uma sequência temos a propensão de tentar criar ou estabelecer ordem ao caos (VALE et al, 2006) e nessa investigação construtiva ter-se-á as primeiras evidências do raciocínio funcional. Podemos presumir que um dos pré-requisitos básicos para este se apoia nas estruturas multiplicativas, por ter nela uma filiação conceitual (VERGNAUD, 1996). Isto porque nas relações quaternárias das estruturas multiplicativas as relações funcionais estão sempre presentes (MAGINA; MERLINI; SANTOS, 2016). No âmbito dessa teoria, Magina et al (2008) ressaltam que um teorema-em-ação representa as relações (operações ou sistemas) matemáticas locais que os estudantes utilizam ao resolver uma situação-problema. Se apresentam de forma implícita nos sistemas empíricos que os estudantes se apropriam e utilizam naquela situação-problema. Estas relações podem ser legitimadas pelos teoremas ou axiomas matemáticos institucionalizados. Além disso, a proporcionalidade situa-se como um apoio para o raciocínio funcional (SPINILLO, 1994). No que concerne as operações básicas, conjecturamos que estas trazem em seu escopo estruturas implícitas que funcionam como uma instância específica de uma função e suas relações (CARRAHER; SCHLIEMANN; SCHWARTZ, 2005). Posto isto, podemos dizer que uma operação é uma função. Ou seja, que há relação entre o sistema de numeração decimal e os padrões algébricos; e que as operações aritméticas e as funções representam a natureza algébrica da aritmética, visto que o algoritmo da multiplicação é um modelo algébrico (CARRAHER; SCHLIEMANN, 2016, KAPUT, 2017, KAPUT; CARRAHER; BLANTON, 2008, LINS; GIMENEZ, 2001 ).

3 Teremos nestes tipos de raciocínio uma estreita relação funcional, pois a partir da análise das regras e do comportamento dos padrões os estudantes desenvolvem um forte sentido do número em concomitância com o conceito de função e suas variações (VALE et al, 2006). A evidência desta relação situa-se no estudo destinado à função e suas relações no campo de domínios do Ensino Fundamental, entre outros. A FUNÇÃO SOB O OLHAR DOS EDUCADORES MATEMÁTICOS O Raciocínio funcional presente em muitas situações aritméticas e algébricas. Ela surge quando buscamos generalizações. Por exemplo, em generalizações de situações multiplicativas muito simples, do tipo sabendo que 1 carro tem 4 rodas, quantas rodas têm 5 carros?, isto é, em situações aritméticas. É possível expressar algebricamente essa situação como: f( ) = 4x. Em outras palavras, foi estabelecido uma relação funcional linear entre a quantidade de carro e de roda, em que esta última depende da primeira. Analogamente, também é possível fazer generalizações a partir da identificação de regularidade de um determinado padrão icônico, como. Nesse caso poderíamos fazer as seguintes perguntas: 1 o 2 o 3 o 4 o a) Quantos palitos seriam necessários para construir 8 triângulos seguindo esse mesmo padrão apresentado na figura? b) E para construir esse mesmo desenho, agora com 22 triângulos? c) Há algum modo de escrevermos matematicamente esse padrão de tal forma que uma pessoa possa saber quantos palitos são necessários para construir qualquer número de triângulos dentro desse padrão oferecido? Na primeira pergunta o estudante pode facilmente respondê-la acertadamente construindo triângulo por triângulo até chegar nos 8 solicitados e depois contar o número de palitos gasto para tal. Na segunda pergunta já se torna um pouco cansativo a construção dessa quantidade de triângulo e talvez aí o estudante já busque identificar alguma regularidade nesse padrão. A partir dos resultados de seu estudo Merino, Cañadas e Molina (2013) afirmam que alunos conseguem identificar uma grande quantidade de padrões existentes antes mesmo de aprenderem formalmente tal conceito

4 e apesar de não estarem habituados com esse tipo de situação-problema. Os resultados encontrados por Merlini et al (2016), em estudo realizado com estudantes do 5 o ano do Ensino Fundamental, também vão na mesma direção e os autores concluem que o raciocínio funcional pode ser utilizado por crianças em idade precoce. Ideias tais como relação e associação, que subjaz a noção de função pode ser trabalhada com sucesso, mesmo com crianças muito jovens (p. 4). O ESTUDO O presente artigo é um recorte de uma pesquisa de mestrado (PORTO, 2018). O objeto matemático do estudo foi aportado nas vertentes algébricas da sequência, da equação e da função em concomitância com as variáveis de representação (icônica e não-icônica) e de nível de dificuldade (simples e sofisticado). Para isto optamos por uma metodologia de base descritiva com uma abordagem diagnóstica. Tal estudo esteve apoiado na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1996), em especial nas estruturas multiplicativas e na ideia de teoremas em ação (VERGNAUD 1998; MAGINA et al, 2008) e, ainda, nas discussões de cunho psicológicos sobre a Early Algebra, advindos dos estudos de Carraher, Schiliemann e Brizuela (2006), Blanton et. al (2007), Yamanaka e Magina (2008) e Kieran et al (2016), entre outros. Para efeito deste artigo, traremos os resultados encontrados para um grupo de 80 estudantes do 5º ano. Esses se submeteram a aplicação coletiva de um instrumento diagnóstico, com resolução individual, dentro do qual havia três situações-problema na vertente da função, nas representações icônica e numérica e com níveis de dificuldade simples e sofisticada. Neste momento é relevante esclarecer o conceito de função a que esta discussão se destina. Consideramos uma função como uma relação (operação) Matemática entre dois conjuntos A e B não vazios, em que, para cada elemento do conjunto A, existe um único elemento no conjunto B. Em notação simbólica teremos, f f : A B ou A B / A B (DANTE, 2008; IEZZI; MURAKAMI, 2013; LIMA et al, 2016). De forma geral uma função representa uma relação de ordem, de proporcionalidade, de funcionalidade e de formalização algébrica relevante no campo da Matemática e de diferentes áreas do conhecimento científico.

5 Investigamos a vertente da função em três situações-problema do instrumento supracitado, perfazendo um total de seis itens. Buscamos investigar os esquemas de ação (ou sua tentativa) que apresentassem vestígios de um raciocínio funcional local. Cabe ressaltar que as situações-problema, apesar de ostentarem conhecimentos matemáticos e de serem acessíveis ao desenvolvimento cognitivo dos estudantes dos anos iniciais, fazem pouca ou nenhuma parte dos currículos das escolas regulares do Ensino Fundamental. As situações-problema que analisamos encontram-se no Quadro 1, a seguir. Quadro 1: Situações-problema que foram analisadas neste artigo. Situação-problema Q1.NA VENDA DE DONA ANA, COM R$ 2,00 SE COMPRA 3 BOMBONS VERMELHOS COMO MOSTRA A FIGURA ABAIXO Variáveis do Estudo a priori Objeto'Matemático:"Função" DIOGO GASTOU R$ 10,00 COMPRANDO ESSES BOMBONS VERMELHOS. QUANTOS BOMBONS ELE COMPROU? Tipo'de'Representação:"Icônica" Nível'de'dificuldade:"simples Q.6 NA LANCHONETE DA PRACINHA ESTÁ ACONTECENDO UMA PROMOÇÃO. MONTE SEU PRÓPRIO SANDUÍCHE BÁSICO COMPLEMENTO PARA CADA UM DOS INGREDIENTES ACRESCENTA Objeto'Matemático:"Função" Pão + Bife + R$ 1,00 FELIPE, ARTUR E PEDRO FORAM LANCHAR. CADA UM DELES VAI QUERER INCREMENTAR SEU SANDUÍCHE. FELIPE PEDIU O BÁSICO MAIS QUEIJO, OVO E CEBOLA. ARTUR SOLICITOU O BÁSICO MAIS QUEIJO E BACON. PEDRO TURBINOU O DELE, ACRESCENTANDO O BÁSICO: QUEIJO, OVO, TOMATE, ALFACE, CEBOLA E BATATA PALHA. QUANTO CADA UM DOS AMIGOS PAGOU POR SEU SANDUÍCHE? TODOS PAGARAM O MESMO VALOR? POR QUÊ? Q10. TRÊS AMIGOS FORAM AO PARQUE DE DIVERSÃO. CADA UM LEVOU UMA QUANTIA DE DINHEIRO PARA GASTAR NOS BRINQUEDOS. 1. LÚCIA LEVOU 2 NOTAS DE 10 REAIS E MAIS 4 NOTAS DE 2 REAIS; 2. JOÃO LEVOU A METADE DAS NOTAS DE 10 REAIS E A METADE DAS NOTAS DE 2 REAIS QUE LÚCIA LEVOU; 3. BETO LEVOU A QUANTIA DE LÚCIA E JOÃO JUNTOS. A) QUANTAS NOTAS DE 10 REAIS E QUANTAS DE 2 REAIS BETO LEVOU? B) QUANTAS NOTAS DE 10 REAIS E DE 2 REAIS OS TRÊS AMIGOS LEVARAM JUNTOS PARA O PARQUE?! Tipo'de'Representação:"Icônica" Nível'de'dificuldade:"simples"" Objeto'Matemático:"Função" Tipo'de'Representação:"numérica"" Nível'de'dificuldade:"sofisticada

6 ANÁLISE DOS RESULTADOS Numa primeira análise das respostas dos estudantes do 5º ano, referente às três situações-problema, identificamos 400 registros (Q1= 80, Q6= 160 e Q10=160), que os classificamos dentro de duas categorias distintas: G1 e G2. Categorizamos como G1 as respostas que não conseguimos compreender ou mesmo supor o raciocínio do estudante., assim dentre essas respostas estão aquelas classificadas como falta de esquemas. No G2 encontram-se as respostas analisáveis, aquelas que apresentam em seus registros uma operação ou uma sequência de operações ou ainda aquelas que se encontram em linguagem corrente. Estas ocorrências foram da ordem de 244 para G1 e 156 para G2. Assim, a análise qualitativa desse artigo se concentrou apenas nos 156 registros de G2. Optamos neste recorte por apresentar uma análise qualitativa dos resultados encontrados na pesquisa matriz. Assim, nesta análise discutiremos os esquemas de ação e os níveis de raciocínio algébrico apresentados por esses estudantes quando das resoluções das situações-problema envolvendo noções básicas de função. Para identificar o nível do raciocínio algébrico dos estudantes, reportamos aos comportamentos identificados nos extratos dos protocolos de respostas dos estudantes. Estes níveis de raciocínio foram divididos em duas categorias: N1 de primeira ordem, sendo aqueles em que se evidencia uma forma de raciocinar com noções primárias sobre os conhecimentos algébricos, o que implica no estabelecimento parcial entre as variáveis; e N2 de segunda ordem, sendo aquele em que essas noções são mais consistentes e mais bemacabadas, com os estudantes estabelecendo a relação completa entre as variáveis. Apresentamos na Tabela 1 a classificação das resoluções dos estudantes, segundo a ordem dos níveis de raciocínio algébrico (N1 e N2). Tabela 1: Nível Raciocínio algébrico identificado nas ações dos estudantes do 5º ano Nível de raciocínio % do Tipo de comportamento RACIOCÍNIO ALGÉBRICO DE 1ª ORDEM (N1) 52,8% RACIOCÍNIO ALGÉBRICO DE 2ª ORDEM (N2) 47,2%

7 Notemos que os percentuais dos tipos de comportamento dos estudantes foram muito similares, o que implica dizer que aproximadamente metade dos estudantes conseguiram estabelecer relações completas entre as variáveis. Importante lembrar que esses estudantes nunca tiveram qualquer aprendizagem formal sobre álgebra, em geral, ou função, em particular. Assim, nossa análise dar-se-á a partir dos esquemas de ações utilizados por esses estudantes em suas respostas às três questões do instrumento. Os esquemas em ação apresentados pelos estudantes do 5º ano nos exemplos a seguir exibem, em seu repertório, ideias empíricas (esperado) que variam desde uma simples operação até uma configuração sistemática sofisticada (teorema-em-ação). Figura 1: Exemplo de resposta que apresenta um raciocínio funcional, segundo uma estrutura aditiva Q1. NA VENDA DE DONA ANA COM R$2,00 SE COMPRA TRÊS BOMBONS VERMELHOS COMO MOSTRA A FIGURA ABAIXO: DIOGO GASTOU R$ 10,00 COMPRANDO ESSES BOMBONS VERMELHOS. QUANTOS BOMBONS ELE COMPROU? Fonte: dados da pesquisa. É possível notar no esquema de ação do estudante, apresentado na Figura 1, que este percebe a relação funcional entre a quantidade de bombons e o valor monetário em questão, apresentando em seu esquema de ação uma estrutura sequencial aditiva. Podemos pressupor que este estudante traz de forma implícita a ideia de uma função como uma operação aditiva (CARRAHER; SCHLIEMANN, 2016; KAPUT, 2017). Estabelece um fator generalizador a partir de uma sequência aditiva recursiva configurando-a como uma instância específica de uma função e suas relações (CARRAHER; SCHLIEMANN; SCHWARTZ, 2005). Conjecturamos em seu esquema de ação vestígios de um raciocínio funcional primário (N1). Figura 2: Exemplo de resposta que apresenta um raciocínio funcional, segundo uma estrutura proporcional

8 Q1. NA VENDA DE DONA ANA COM R$2,00 SE COMPRA TRÊS BOMBONS VERMELHOS COMO MOSTRA A FIGURA ABAIXO: DIOGO GASTOU R$ 10,00 COMPRANDO ESSES BOMBONS VERMELHOS. QUANTOS BOMBONS ELE COMPROU? Fonte: dados da pesquisa. O esquema de ação utilizado pelo estudante da Figura 2 demonstra que ele compreende a relação funcional estabelecida entre a quantidade de bombons e o seu valor monetário. Seu esquema difere do estudante anterior porque este verbaliza a relação proporcional implícita na situação-problema. Identificamos em suas estratégias um conhecimento de proporcionalidade direta na variabilidade entre duas grandezas iguais para resolver uma situação-problema (KAPUT, CARRAHER, BLANTON, 2008). Este emprega formas empíricas de raciocinar baseadas em estimativas e habilidades perceptuais (SPINILLO, 1994), ou seja, apresenta um pensamento qualitativo coeso entre as grandezas (bombons e valor monetário) e de acordo com seu nível cognitivo. Em seus registros operacionais e em linguagem corrente, pudemos identificar o teorema-em-ação que baliza sua estratégia de resolução, sustentada por operações de divisão e multiplicação. Nesse caso, a resolução foi classificada no N2 Quadro 2: Apresentação do teorema-em-ação e sua representação Teorema-em-ação Estrutura escalar 10 2 x 3 Fonte: Elaboração das autoras. Já o esquema apresentado pelo estudante da Figura 3 exibem estratégias operatórias aportadas na representação numérica e icônica. Estas parecem fazer parte de seu repertorio adaptativo e demonstram que este estudante apresenta um raciocínio funcional implícito (não faz parte de seu contexto curricular). Figura 3: Exemplo de resposta que apresenta raciocínio funcional, segundo uma estrutura escalar funcional

9 Q1. NA VENDA DE DONA ANA COM R$2,00 SE COMPRA TRÊS BOMBONS VERMELHOS COMO MOSTRA A FIGURA ABAIXO: DIOGO GASTOU R$ 10,00 COMPRANDO ESSES BOMBONS VERMELHOS. QUANTOS BOMBONS ELE COMPROU? Fonte: dados da pesquisa. O estudante da Figura 3 estabelece uma relação entre as grandezas distintas (quantidade de bombons e valor monetário) que pode ser considerada avançada para seu momento escolar. Nós classificamos essa resolução como N2. Podemos presumir que um dos pré-requisitos básicos para o raciocínio funcional se apoia nas estruturas multiplicativas, por ter nela uma filiação, uma continuidade conceitual (VERGNAUD, 1996). Conjecturamos ainda, vestígios da existência de um raciocínio funcional apoiado pela proporcionalidade direta (SPINILLO, 1994) apresentada na situaçãoproblema Q1. Insistimos na premissa de que um raciocínio funcional adaptativo pode ser reflexo da metodologia de estudo e da abordagem conceitual das quatro operações básicas da aritmética (adição, subtração, multiplicação e divisão) ao longo dos anos iniciais. Isto porque em sua base operacional, há as noções de função. Este tipo de adequação conceitual pode ter base no repertório acumulado (capacidade adaptativa) que subjaz em seu repertório cognitivo (VERGNAUD, 1996). Para Schliemann e Carraher (2016) uma estrutura funcional consiste em estabelecer relações entre duas ou mais variáveis e encontrar a razão que ligam estas variáveis. Então quando um estudante consegue estabelecer e manipular estas razões, ele exibe um raciocínio funcional, conforme podemos observar nos exemplos apresentados na Figura 4 a seguir. Figura 4. Exemplos de um raciocínio funcional, segundo a relação entre duas variáveis.

10 Q.6.NA LANCHONETE DA PRACINHA ACONTECENDO UMA PROMOÇÃO. MONTE SEU PRÓPRIO SANDUÍCHE BÁSICO COMPLEMENTO PARA CADA UM DOS INGREDIENTES ACRESCENTA PÃO + BIFE + R$ 1,00 FELIPE, ARTUR E PEDRO FORAM LANCHAR. CADA UM DELES VAI QUERER INCREMENTAR SEU SANDUÍCHE. Exemplo I FELIPE, ARTUR E PEDRO FORAM LANCHAR. CADA UM DELES VAI QUERER INCREMENTAR SEU SANDUÍCHE. FELIPE PEDIU O BÁSICO MAIS QUEIJO, OVO E CEBOLA. ARTUR SOLICITOU O BÁSICO MAIS QUEIJO E BACON. PEDRO TURBINOU O DELE, ACRESCENTANDO O BÁSICO: QUEIJO, OVO, TOMATE, ALFACE, CEBOLA E BATATA PALHA. QUANTO CADA UM DOS AMIGOS PAGOU POR SEU SANDUÍCHE? TODOS PAGARAM O MESMO VALOR? POR QUÊ? Exemplo II Fonte: dados da pesquisa. Observamos que os estudantes identificam a relação de dependência entre as variáveis (o custo e o complemento). Todavia diferem na forma de manipular as operações que define o valor variável. No exemplo I o estudante necessita de uma adição reiterada, traz a ideia de continuidade entre a adição e a multiplicação (VERGNAUD, 1996). Ambos esquemas apresentam um raciocínio funcional implícito que podem ser balizados pelo teorema-em-ação a seguir (Quadro 3). Quadro 3: Teorema-em-ação, segundo os comportamentos do estudante Lei de recorrência da função Teorema por trás da ação Teorema-em-ação f(3) = 5+1+1+1 Exemplo I f(2)= 5+1+1 f(6)= 5+1+1+1+1+1+1 f(x) = 5 + x f(3)= 5 +3.1 f(2) = 5+2.1 f(6)= 5 + 6.1 Exemplo II Fonte: dados da pesquisa. O teorema-em-ação que subjaz o conhecimento dos estudantes é de base intuitiva, e que segundo Magina et al (2008) podem ser empregados para estender o uso destas

11 relações para situações mais complexas e na formação de um campo conceitual. Sua existência tende a ser um fator relevante para entendermos como atividades que trazem em seu contexto um raciocínio funcional (implícito) podem ser percebidas e, ainda, manipuladas pelos estudantes do 5º ano, do Ensino Fundamental. Sob a ótica de nossa classificação, enquanto a resoluções do Exemplo I foi classificada como N1, a do Exemplo II classificamos como N2. CONSIDERAÇÕES FINAIS Analisando os esquemas de ação dos estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental identificamos: que estes trazem em seu repertório competências necessárias a formação do raciocínio funcional ancorado em operações básicas da adição; que é possível a formação conceitual da função nesta etapa escolar desde que o professor tenha conhecimento do teorema-em-ação que subjaz o comportamento do estudante; e ainda que este utilize os conhecimentos intuitivos dos estudantes para transformá-lo em conhecimento explícito no que se refere a uma função. Ademais, a função precisa ser vista não apenas como um recurso matemático para resolução de situações-problema, mas como instrumento cognitivo capaz influenciar o comportamento de grandezas variáveis.. Entendemos que a apropriação desta operação (função) coexiste independentemente do nível escolar de um estudante e do campo do conhecimento científico. Isto posto, o estudo do conceito de função não deveria estar desvinculado de sua procedência operacional, o que não inviabiliza sua formação desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Outro fator que tende a ser dirimido é a questão da organização curricular, em que a aritmética precede a álgebra, visto que os primeiros vestígios do raciocínio algébrico não obedecem uma ordem hierárquica conceitual. REFERÊNCIAS BLANTON, M. et al. Early Algebra. In: VICTOR, J. K. (Ed.) Algebra: Gateway to a Technological Future. Columbia/USA: The Mathematical Association of America, 2007.

12 CARRAHER, D., W; SCHLIEMANN, A., D. Powerful Ideas in Elementary School Mathematics. In: Handbook of International Research in Mathematics Education. Routledge. New York. 2016. CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A.; BRIZUELA, B. Arithmetic and Algebra in early Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics Education, Vol 7, 2006. DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática,Vol único, 2008; IEZZI, G., MURAKAMI C, MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar: Limites, Derivadas, noções de Integrais, São Paulo, 2013 KAPUT, J. Teaching and Learning a New Algebra With Understanding. 1999. Disponível em < www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/da/.../kaput_99algund.pdf.> Consultado em 05 de janeiro de 2017. KAPUT J.J., CARRAHER, D., BLANTON, M. Algebra in the Early Grades. Ed.Lawrence Erlbaum Associates. New York. 2008 KIERAN, Carolyn et al. Early Algebra: Research into its Nature, its Learning, its Teaching. Hamburg: ICME, 2016. LIMA, E. L. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Ed. IMPA, 2006. LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. 4. ed. Campinas: Papirus, 2001. MAGINA, S. A. Teoria dos Campos Conceituais: contribuições da Psicologia para a prática docente. São Paulo: PROEM, 2007. MAGINA S, CAMPO, T.; NUNES, T.; GITIRANA, V. Repensando adição, subtração: contribuições da Teoria dos Campos Conceituais. São Paulo: PROEM, 2008. MAGINA, Sandra; MERLINI, Vera; SANTOS, Aparecido. A estrutura multiplicativa a luz da teoria dos campos conceituais: uma visão com foco na aprendizagem In: Castro Filho et al. (Org.) Matemática, Cultura e Tecnologia: perspectivas internacionais. Curitiba: CRV, 2016, p.66-82 MERINO, E.; CAÑADAS, M. C.; MOLINA, M. Uso de representaciones y patrones por alumnos de quinto de educación primaria en una tarea de generalización. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 2(1), 20013, pp. 24-40. SPINILLO, A. G. Raciocínio proporcional em crianças: Considerações acerca de alternativas educacionais. Revista Pro-Posições, 5(1), 1994, pp.109-114. VALE et. al. Os padrões no ensino e aprendizagem da álgebra. In: VALE, I. et al. Números e álgebra na aprendizagem da matemática e na formação dos professores. Sociedade Portuguesa de Ciências da Educação: Gráfica Visão, 2006. VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na escola elementar. ed. rev. Maria Lúcia Faria Mouro, tradução. Curitiba: Ed da UFPR, 2014.. A teoria dos Campos Conceituais. In: BRUN, J. Didáctica das Matemáticas. Maria José Figueiredo, tradução. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. YAMANAKA, O. & MAGINA, S. Um estudo da Early Algebra sob a luz da Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. In: Encontro Paulista de Educação Matemática, 9. Anais. SBEM/SBEM-SP. Bauru: São Paulo, 2008.