PROBLEMAS DO TIPO ADITIVO: A VISÃO DOS PCN DE MATEMÁTICA

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1 PROBLEMAS DO TIPO ADITIVO: A VISÃO DOS PCN DE MATEMÁTICA KAZAKEVICH, Juliana Godoi [email protected] VARGAS, Fabiane Larissa da Silva [email protected] KAJIHARA, Olinda Teruko (orientadora) [email protected] Universidade Estadual de Maringá Formação de professores e intervenção pedagógica Introdução No início da década de 1950, o Instituto Nacional de Estudos Pedagógicos publicou o livro Matemática no curso primário: sugestões para a organização e desenvolvimento de programas, em que enfatizava a aprendizagem das operações a partir do emprego de técnicas e de memorização de fatos matemáticos. Não havia preocupação com o ensino do conceito de operação e de suas propriedades (INEP, 1952 apud NUNES et al., 2005). Na década de 1960, a Matemática Moderna chegou ao Brasil (SOARES; DASSIE; ROCHA, 2004). Esse movimento foi introduzido no país, principalmente por meio dos livros didáticos, e não contou com a participação dos professores para a sua formulação (BRASIL, 1997b; MORETTI; NUNES, 2006). Em relação ao curso primário, a Matemática Moderna enfatizou que o ensino de técnicas operatórias deveria ser substituído pelo ensino voltado para a compreensão e para o desenvolvimento de conceitos e da inteligência da criança. O professor não deveria apresentar problemas prontos para os seus alunos resolverem, mas estimulá-los a criarem os seus próprios problemas. A tabuada não deveria ser ensinada mecanicamente: a partir da aprendizagem da decomposição de números naturais e da propriedade distributiva (BURIGO, Anais da Semana de Pedagogia da UEM. Volume 1, Número 1. Maringá: UEM,

2 1989), a criança compreenderia que a operação 9 x 15 poderia ser calculada por meio das operações 9 x 10 e 9 x 5. O Movimento da Matemática Moderna não conseguiu unificar, democratizar e tornar mais acessível o ensino da matemática, mas levou os professores a refletirem sobre sua prática e sobre os objetivos do ensino (SOARES; DASSIE; ROCHA, 2004). No final da década de 1990, o governo federal elaborou os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), a partir de estudos das propostas curriculares dos estados e municípios brasileiros, de análise das pesquisas realizadas pela Fundação Carlos Chagas sobre os currículos oficiais e, ainda, de informações sobre as experiências de outros países. Também foram analisados: o Plano Decenal de Educação, pesquisas nacionais e internacionais, dados estatísticos sobre o desempenho dos alunos do Ensino Fundamental e experiências em sala de aula difundidas em encontros, seminários e publicações. A proposta inicial foi discutida em âmbito nacional, nos anos de 1995 e 1996, por docentes de universidades públicas e privadas, técnicos de secretarias municipais e estaduais de educação, instituições representativas de diferentes áreas do conhecimento, especialistas e educadores (BRASIL, 1997a). Os Parâmetros Curriculares Nacionais visam garantir que todos os alunos desenvolvam suas capacidades e aprendam um conjunto de conhecimentos necessários para exercer sua cidadania. Assim sendo, o documento constitui um conjunto de diretrizes que norteiam a organização dos currículos escolares e seus conteúdos mínimos (BRASIL, 1997a). Os PCN enfatizam a necessidade de o professor de matemática saber identificar as principais características dessa ciência, seus métodos, suas ramificações e aplicações, conhecer as características psicológicas, culturais e sociológicas de seus alunos, assim como ter clareza se suas próprias concepções sobre a matemática, uma vez que elas determinam sua prática docente (BRASIL, 1997b, p. 25). No primeiro e no segundo ciclos do Ensino Fundamental (1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries), a Matemática deve levar o aluno a estruturar o seu pensamento, a desenvolver formas de raciocínio, a resolver problemas envolvendo situações da vida cotidiana e do mundo do trabalho, e auxiliar na construção de conhecimentos em outras áreas curriculares (BRASIL, 1997b). O presente trabalho tem como objetivo apresentar as recomendações dos PCN da área de Matemática para o ensino de problemas do tipo aditivo. Anais da Semana de Pedagogia da UEM. Volume 1, Número 1. Maringá: UEM,

3 Os PCN e a Teoria dos Campos Conceituais A recomendação dos Parâmetros Curriculares Nacionais é que o ponto de partida da atividade matemática seja o problema. Conceitos matemáticos devem ser abordados por meio de problemas que exijam o uso de estratégias para resolvê-las. Assim sendo, o problema não consiste em um exercício a ser resolvido de forma quase mecânica (BRASIL, 1997b). Os PCN propõem que os conteúdos da Matemática, no Ensino Fundamental, sejam divididos em quatro blocos: números e operações, grandezas e medidas, espaço e forma e tratamento da informação (BRASIL, 1997b). Em relação às operações, o ensino da matemática deve levar o aluno a analisar, a interpretar, a resolver e a formular situações-problema; a compreender os significados das operações; a compreender que situações-problema podem ser resolvidas por operações, assim como que diferentes operações podem resolver um mesmo problema (BRASIL, 1997b). A teoria que fundamenta as recomendações dos PCN para o ensino dos problemas é a dos Campos Conceituais, elaborada por Gerard Vergnaud, discípulo de Piaget e diretor de pesquisa do Centro Nacional de Pesquisa Científica da França (VEGNAUD, 2008). O foco de sua teoria é o próprio conteúdo do conhecimento e a análise conceitual do domínio desse conhecimento (VERGNAUD, 1994 apud MOREIRA, 2002, p. 7). Segundo Vergnaud (1996 apud MOREIRA, 2002, p. 7), no momento em que nos interessamos por aquilo que se passa na sala de aula, somos obrigados a nos interessar pelo conteúdo do conhecimento. Um campo conceitual é um conjunto de situações, cujo domínio progressivo exige uma variedade de conceitos, de procedimentos e de representações simbólicas em estreita conexão (MAGINA et al. 2001, p. 6). O conceito nunca se encontra isolado e é por meio de problemas que os seus sentidos são formados no escolar. É preciso, portanto, trabalhar os diferentes significados de um conceito por meio de diferentes tipos de problemas (MOREIRA, 2002). A adição e a subtração são exemplos de conceitos que ganham sentido quando considerados como parte de um campo conceitual, ou seja, o campo das estruturas aditivas. De acordo com Vergnaud (2009), existem seis categorias de relações aditivas: 1ª) composição de duas medidas que resulta em uma outra medida; 2ª) aplicação de uma transformação sobre uma medida que resulta em outra medida; Anais da Semana de Pedagogia da UEM. Volume 1, Número 1. Maringá: UEM,

4 3ª) relação que liga duas medidas; 4ª) composição de duas transformações que resulta em uma transformação; 5ª) realização de uma operação sobre uma relação que resulta em um estado relativo; 6ª) composição de duas relações que resulta em um estado relativo. A primeira categoria de relações aditivas permite formar duas classes de problemas: busca da composta, a partir da combinação de duas medidas elementares; e busca de uma medida elementar, a partir do conhecimento da composta e de outra medida elementar (VERGNAUD, 2009). Por exemplo: a) Em uma sala de aula há 15 meninos e 10 meninas. Quantos alunos há na sala de aula? b) Em uma sala há 25 alunos. 15 são meninos. Quantas meninas há nessa sala? A segunda categoria de relações aditivas possibilita formar seis classes de problemas: busca do estado final de uma transformação positiva; busca do estado final de uma transformação negativa; busca do valor da transformação positiva; busca do valor da transformação negativa; busca do estado inicial de uma transformação positiva; busca do estado inicial de uma transformação negativa (VERGNAUD, 2009). A quarta categoria de relações aditivas permite formar duas classes de problemas: busca da composta, a partir da composição de duas transformações (positivas ou negativas) elementares; busca de uma transformação elementar, a partir do conhecimento da composta e da outra transformação elementar (VERGNAUD, 2009). Por exemplo: a) José jogou duas partidas de um jogo. Na primeira, ganhou 10 figurinhas. Na segunda, perdeu 5 figurinhas. Ao final do jogo, quantas figurinhas ele tinha? b) José jogou duas partidas de um jogo. Na primeira, ganhou 10 figurinhas. Ao final do jogo, José tinha, ao todo, 2 figurinhas. O que ocorreu na segunda partida? Vários conceitos fazem parte das estruturas aditivas; eles fazem parte de um conhecimento que os alunos adquirem ao longo da escolarização e, portanto, devem ser trabalhados nas séries iniciais (MAGINA, 2001). É por isso que os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática recomendam que nas séries iniciais do Ensino Fundamental sejam trabalhadas relações aditivas de mudança ou de transformação, de combinação, de comparação e de composição de transformações (BRASIL, 1997b). Os problemas aditivos de transformação envolvem a ideia de mudança positiva (acréscimo) ou negativa (diminuição) de um estado inicial (BRASIL, 1997b). Por exemplo: a) Anais da Semana de Pedagogia da UEM. Volume 1, Número 1. Maringá: UEM,

5 Pedro tinha 20 pirulitos. Ele ganhou mais 10 pirulitos de sua mãe. Quantos pirulitos ele tem agora? b) Maria tinha 15 figurinhas. Ela perdeu 5 num jogo. Quantas figurinhas ela tem agora? Os problemas aditivos de combinação não envolvem uma transformação, mas situações em que é preciso juntar duas quantidades para se chegar a uma terceira (BRASIL, 1997b). Em alguns problemas de combinação, são dadas as partes e o todo deve ser calculado. Por exemplo: Paulo ganhou 4 bombons e 10 pirulitos. Quantos doces ele ganhou? Em outros problemas de combinação, são dadas uma parte e o todo, e a outra parte deve ser calculada (BRASIL, 1997b). Por exemplo: Em uma sala de aula há algumas meninas e 8 meninos. No total, há 16 alunos. Quantas meninas há nessa classe? Em um terceiro tipo de problemas aditivos, é estabelecida uma comparação entre duas quantidades, e não ocorre uma transformação (BRASIL, 1997b). A comparação pode ser positiva (Bia tem algumas balas e João tem 15. Se Bia tem 7 balas a mais que João, quantos balas tem João?) ou negativa (Luís tem algumas carrinhos e Pedro tem 7 a menos do que ele. Se Pedro tem 20 carrinhos, quantos carrinhos tem Luís?). Nos problemas aditivos de composição, duas ou mais transformações levam a outra transformação. As duas transformações podem ser positivas (BRASIL, 1997b). Por exemplo: Hoje pela manhã mamãe comprou 10 botões e à tarde comprou mais 4. Quantos botões mamãe comprou hoje? Uma transformação pode ser positiva, e outra, negativa (BRASIL, 1997b). Por exemplo: Hoje pela manhã ganhei 12 lápis e à tarde dei 5 para meu irmão. Com quantos lápis fiquei? Nos anos iniciais de escolarização, os alunos ainda não dispõem de conhecimentos e de competências para resolver problemas aditivos de grande complexidade. A competência para resolver problemas deve ser desenvolvida ao longo da escolarização. Dessa forma, os problemas que envolvem as estruturas aditivas devem ser trabalhados durante todo o Ensino Fundamental, para que os estudantes desenvolvam raciocínios mais complexos (BRASIL, 1997b). Considerações finais A Teoria dos Campos Conceituais considera que é por meio de situações-problema que um conceito adquire significado. Durante a escolarização, o aluno vivencia duas classes de Anais da Semana de Pedagogia da UEM. Volume 1, Número 1. Maringá: UEM,

6 situações: a primeira, formada por aquelas em que a criança dispõe das competências necessárias para lidar com elas; a segunda, em que o escolar, por não ter todas as competências necessárias, precisa de um tempo maior para refletir, explorar e fazer tentativas que poderão conduzi-lo ou não ao sucesso (NUNES, 2005). Para lidar com a segunda classe de situações, é imprescindível que o professor atue como mediador. No entanto, muitos professores, em função de sua formação inicial, não colocam a criança em contato com as mais variadas situações. Continuam, dessa forma, repetindo um ensino voltado para as regras. Parte dos problemas no ensino de Matemática decorre da má formação inicial dos professores dos anos iniciais, e isso se repete na formação continuada. Decorrentes dos problemas da formação de professores, as práticas nas salas de aula baseiam-se no uso dos livros didáticos, que, infelizmente, muitas vezes são de qualidade insatisfatória. A implantação de propostas inovadoras, por sua vez, esbarra na falta de uma formação profissional qualificada (NUNES, 2005). Apesar de os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática terem sido publicados no final da década de 1990, até hoje os professores desconhecem os vários significados da adição e da subtração e, por isso, diferentes tipos de problemas aditivos não têm sido trabalhados nas escolas. Esse desconhecimento das relações aditivas tem sido registrado em vários estudos. Magina (2011), por exemplo, solicitou a 103 professores das séries iniciais, da rede pública de São Paulo, que elaborassem quatro problemas de estrutura aditiva. Entre os problemas redigidos pelos professores, 88,43% eram do tipo busca do terceiro estado de uma combinação e de busca do estado final de uma transformação. Resultados semelhantes aos de Magina (2011) foram registrados por Etcheverria (2010), que solicitou a 11 professores do segundo aos quinto anos, da rede pública municipal de Amargosa (BA), que elaborassem seis problemas de adição e de subtração. A pesquisadora verificou que 68,7% dos problemas eram do tipo busca do terceiro estado de uma combinação e de busca do estado final de uma transformação. É evidente que os professores trabalham, em sala de aula, apenas os significados da adição que conhecem e, por isso, os problemas do tipo modelo são os que os seus alunos mais dominam. Um estudo que evidencia isso foi realizado por Santana, Cazorla e Campos (2007) com 1021 escolares da primeira, segunda, terceira e quarta séries da rede pública da Bahia. Os alunos resolveram 17 problemas aditivos de composição, de transformação e de Anais da Semana de Pedagogia da UEM. Volume 1, Número 1. Maringá: UEM,

7 comparação: 86,2% dos participantes acertaram o de busca do terceiro estado de uma combinação, e apenas 39,1% o de busca do valor da transformação. A ampliação do conhecimento das relações aditivas, ao longo do tempo, depende das experiências que a criança vivencia dentro e fora da escola e, por isso, é fundamental que o professor coloque-a em contato com uma diversidade de problemas aditivos (MAGINA, 2001). REFERÊNCIAS BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília, DF, 1997a. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF, 1997b. BURIGO, E. Z. Movimento da Matemática Moderna no Brasil: estudo da ação e do pensamento de educadores matemáticos nos anos f. Dissertação (Mestrado em Educação) Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, ETCHEVERRIA, T. C. Um estudo sobre o campo conceitual aditivo nos anos iniciais do ensino fundamental. In: 33ª Reunião Anual da Anped - Caxambu, Disponível em: < Acesso em: 04 set VERGNAUD, G. Gerard Vergnaud: Todos perdem quando a pesquisa não é colocada em prática" [entrevista] Disponível em: < Acesso em: 10 jun MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. São Paulo: PROEM, MAGINA, S. A pesquisa na sala de aula de matemática das séries iniciais do ensino fundamental. Contribuições teóricas da psicologia. Educar em Revista, Curitiba, p , Disponível em: < Acesso em: 18 dez MOREIRA, M. A. A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Investigações em Ensino de Ciências, Porto Alegre, v. 7, n. 1, p. 7-29, Disponível em: Anais da Semana de Pedagogia da UEM. Volume 1, Número 1. Maringá: UEM,

8 < iencias/artigos/moreiram.pdf>. Acesso em: 04 jul NUNES, T. et al. Educação matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, SOARES, F. dos S.; DASSIE, B. A.; ROCHA, J. L. da. Ensino de matemática no século XX: da Reforma Francisco Campos à matemática moderna. Horizontes, Bragança Paulista, v. 22, n. 1, p. 7-15, VERGNAUD, G. Os problemas de tipo aditivo. In: VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas de ensino da matemática na escola elementar. Curitiba: Ed. da UFPR, p Anais da Semana de Pedagogia da UEM. Volume 1, Número 1. Maringá: UEM,