INVESTIGANDO O CAMPO ADITIVO EM PROBLEMAS ELABORADOS POR PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS

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1 INVESTIGANDO O CAMPO ADITIVO EM PROBLEMAS ELABORADOS POR PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS Teresa Cristina Etcheverria Universidade Federal do Recôncavo da Bahia tetcheverria@gmail.com Resumo:A presente pesquisa teve como objetivo diagnosticar os estágios de desenvolvimento do Campo Conceitual das Estruturas Aditivas de estudantes e seus respectivos professores, dos anos iniciais do Ensino Fundamental de três escolas municipais da região urbana de Amargosa BA. Nesta primeira etapa do projeto foi empregado um estudo exploratório que faz uso da aplicação de instrumentos como questionários e testes. Com base na teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, analisamos os dados coletados estabelecendo uma relação entre os problemas de adição e/ou subtração elaborados pelas professoras e o desempenho dos seus alunos na resolução de situações aditivas. Foi observado que a maioria dos problemas elaborados pelas professoras representa situações prototípicas de composição e transformação e que essas são as situações nas quais os estudantes apresentaram melhores resultados. Palavras chaves: Estruturas Aditivas; Situações-problema; Professoras e Estudantes. Introdução Este trabalho está vinculado à pesquisa intitulada Um Estudo Sobre o Domínio das Estruturas Aditivas nas séries iniciais do ensino fundamental no Estado da Bahia (PEA) financiada pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Bahia (FAPESB). A referida pesquisa trata de uma proposta interinstitucional envolvendo nove núcleos de pesquisa da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, Regional Bahia (SBEM-BA), sediados nas seguintes universidades baianas: Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS), Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB), Universidade do Estado da Bahia (UNEB) (Campus VII, VIII e IX), Universidade Católica de Salvador (UCSal) com o Grupo EMFoco, Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB) e a Universidade Federal da Bahia Campus de Barreiras (UFBA). Também participa do estudo uma pesquisadora colaboradora, da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, do Grupo de Pesquisa Reflexão Planejamento Ação Reflexão REPARE em Educação Matemática. 1

2 Através do referencial teórico, Teoria dos Campos Conceituais, este projeto busca mapear os estágios de desenvolvimento do Campo Conceitual das Estruturas Aditivas de estudantes e seus respectivos professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental de escolas públicas urbanas do Estado da Bahia. Também, se propõe a investigar a prática dos professores no ensino das Estruturas Aditivas, propiciando a reflexão da ação do professor, a fim de promover o desenvolvimento de estratégias de ensino que possibilitem a expansão e apropriação deste Campo Conceitual pelos estudantes. Este texto tem como propósito classificar problemas de adição e subtração elaborados pelas professoras dos anos iniciais de três escolas municipais de Amargosa - BA, à luz da Teoria dos Campos Conceituais de Gerárd Vergnaud, fazendo um comparativo com o desempenho dos alunos dessas turmas em situações-problemas do Campo Aditivo. A Teoria dos Campos Conceituais A Teoria dos Campos Conceituais defende a idéia de que o desenvolvimento cognitivo se apóia na conceitualização. Para Vergnaud (1991), o conhecimento está organizado em campos conceituais e o domínio destes, por parte do sujeito, se desenvolve ao longo de um período de tempo através da experiência, maturidade e aprendizagem. A experiência está vinculada às vivências cotidianas de interação do sujeito com o objeto; a maturidade se refere ao crescimento fisiológico e ao desenvolvimento do sistema nervoso; e a aprendizagem é um fator que atua na construção do conhecimento do aluno e tem influência da atuação do professor (planejamento, proposta). Para Vergnaud (ibid.) a aquisição do conhecimento se dá por meio de situações e problemas vivenciados. Dessa forma, os conceitos têm um domínio de validade restrito que varia de acordo com a experiência e com o desenvolvimento cognitivo de cada um. Diante disso, o autor destaca que o pesquisador deve ver um conceito como resultado da junção de três conjuntos, são eles: o conjunto das situações que tornam o conceito significativo (S); o conjunto das representações simbólicas que ajudam o sujeito a explicitar o significado do conceito (R); e o conjunto de invariantes (objetos, características) usados para analisar e dominar as situações (I). 2

3 Vergnaud (1996) adverte que, para o estudo e uso de um conceito durante a aprendizagem, deve se considerar ao mesmo tempo os três conjuntos (S, I, R) e, também, as inter-relações entre o conceito em estudo e os demais conceitos envolvidos no processo. Nos anos iniciais, para que os conceitos de adição e subtração se efetivem, o estudante precisa identificar e se apropriar dos invariantes existentes nesses conceitos. Para que isso aconteça, não faz sentido estudar isoladamente a adição e a subtração, pois as mesmas pertencem ao mesmo campo conceitual, o das Estruturas Aditivas. As situações encontradas nas Estruturas Aditivas podem ser classificadas como: Composição: situações que relacionam o todo com as partes. Por exemplo: Numa turma há 7 meninos e 9 meninas. Quantas crianças há nessa turma? Transformação: situações que relacionam o estado inicial com um estado final através de uma transformação. Por exemplo: Paulo tinha 7 bolinhas de gude e ganhou 5 bolinhas de gude de seu irmão. Quantas bolinhas de gude Paulo tem agora? Comparação: situações onde temos um referente, um referido e uma relação entre eles. Por exemplo: André tem 5 anos. Paulo é 6 anos mais velho que André. Quantos anos Paulo tem? Essas situações abordam conceitos inerentes à Estrutura Aditiva, como por exemplo: juntar, retirar, transformar e comparar. Tais conceitos fazem parte da estrutura das situações, por isso os alunos precisam mais do que saber resolver operações numéricas, necessitam ter competência para resolver variados tipos de situações com diferentes níveis de complexidade. Dessa forma, cabe ao professor estar atento às classes dos problemas que propõe para não ficar repetindo situações. As estruturas consideradas mais simples estão nas situações-problema chamadas de protótipos, que podem ser de composição ou de transformação. Nos protótipos de composição temos duas partes e queremos saber o todo, nos de transformação, conhecemos o estado inicial, a transformação e queremos encontrar o estado final. As situações prototípicas de transformação podem estar relacionadas a um esquema de juntar, quando há ganho, ou ao esquema de retirar, quando há perda. 3

4 Os esquemas utilizados pela criança na resolução das situações prototípicas se desenvolvem em seu cotidiano ainda antes dela começar sua trajetória escolar, e a partir desses esquemas de ação elas começam a compreender as operações de adição e subtração. Os esquemas de ação que as crianças desenvolvem na vida diária precisam ser coordenados com o sistema de numeração para que elas possam dar uma resposta numérica. Nunes et al. (2002), afirma que por mais simples que seja a situação aditiva, ela requer a coordenação entre os esquemas de ação e o sistema numérico utilizado. Vale salientar que as três categorias destacadas, embora apresentem diferentes níveis de complexidade, trabalham com um único raciocínio. Para avançar no nível de complexidade sugere-se a proposição de problemas que envolvem mais de um raciocínio aditivo numa mesma situação, os problemas mistos. Nos problemas mistos existe a possibilidade de combinação das três categorias: composição, transformação e comparação. Pode acontecer uma composição de transformações, isto é, a situação proposta envolve tanto transformação quanto composição. Por exemplo: Ricardo saiu de casa com um envelope de figurinhas, perdeu 7 na primeira partida, depois perdeu mais 9 na segunda partida. Quantas figurinhas Ricardo perdeu? No exemplo citado se conhece apenas o valor das transformações, os estados iniciais e finais são desconhecidos. Embora a criança não precise dessas informações para resolver o problema, a falta delas pode ser um elemento dificultador na resolução, pois a falta de um valor de partida faz com que muitas crianças considerem o problema como impossível de ser solucionado. Para Vergnaud (1991), além dessa, existem outras possibilidades de combinação, tais como: a transformação de uma relação e a composição de duas relações. Magina et al. (2008), destaca: composição de transformações, transformação de composição e comparação com composição de transformação. Segundo Moreira (2004, p.23), desenvolvendo novos esquemas os alunos tornam-se capazes de enfrentar situações cada vez mais complexas. Assim, se faz necessário que o professor identifique às dificuldades presentes nos problemas que propõe, para não ficar repetindo situações que exigem do aluno sempre o mesmo raciocínio. Dessa forma, cabe a ele propor uma ação planejada que oportunize a vivência de um conjunto de situações que envolvam vários conceitos de naturezas distintas. 4

5 Procedimentos Metodológicos Esta primeira parte do estudo foi do tipo levantamento que segundo Fiorentini e Lorenzato (2006) é um estudo exploratório que faz uso da aplicação de instrumentos como questionários e testes (previamente validados) num grupo de sujeitos, definido como amostra, para, a partir desses resultados, termos uma visão geral de uma situação ou problema. Este estudo diagnóstico foi realizado na cidade de Amargosa, que se localiza no Recôncavo da Bahia. Participaram da pesquisa professoras e estudantes de onze turmas dos anos iniciais que fazem parte de três escolas públicas da zona urbana. O critério de escolha das escolas baseou-se no melhor desempenho no Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) e para as turmas, foram escolhidas as de melhor desempenho em cada ano escolar. Entendemos por turma de melhor desempenho aquela na qual não existe defasagem ano escolar-idade e nem haja estudantes repetindo o mesmo ano. A aplicação dos questionários às onze (11) professoras e do instrumento com os dezoito (18) problema aos trezentos e trinta e um (331) estudantes aconteceu no mês de maio de A aplicação dos instrumentos aconteceu por escola, no mesmo horário para todas as turmas escolhidas, com duração média de duas horas e contou com a participação de quatro graduandos do curso de Licenciatura em Matemática. As respostas dadas aos dezoito (18) problemas foram categorizadas como certas, atribuindo-se um ponto e não certas (erradas ou deixadas em branco), atribuindo-se zero pontos. Como dois problemas estavam divididos em a e b, o número de respostas corretas variou de zero a vinte. As situações-problema que fizeram parte da pesquisa foram elaboradas pela pesquisadora coordenadora do projeto. O instrumento aplicado às professoras continha quarenta (40) questões, sendo uma questão para avaliar a relação dos professores com os problemas aditivos, dez (10) ligadas a sua formação e desenvolvimento profissional e vinte e nove ligadas às concepções e hábitos em relação ao ensino, a aprendizagem da matemática e ao livro didático. 5

6 Protótipo 1ª extensão Protótipo 1ª extensão 4ª extensão 2ª extensão 3ª extensão 4ª extensão X Encontro Nacional de Educação Matemática Análise e Reflexões Cada professora elaborou seis (6) problemas, o que formou um total de sesenta e seis (66) problemas elaborados. Destes, cinqüenta e oito (58) foram classificados: quarenta e oito (48) se incluíram nas três primeiras relações de base propostas por Vergnaud (1991), composição, transformação e comparação (Ver tabela 1), e dez (10) deles foram classificados segundo Magina et al. (2008) como problemas mistos, sendo: um (1) de transformação de composição, um (1) de comparação com composição de transformação, cinco (5) de composição de transformações e três (3) de composição com comparações. Os oito (8) problemas restantes não foram classificados ou por serem inconsistentes ou por proporem somente contas ou por não apresentarem uma relação ternária. A Tabela 1 mostra os porcentuais de problemas elaborados pelas professoras, classificados nas três categorias de base propostas por Vergnaud (1991): composição, transformação e comparação. Tabela 1: Problemas elaborados pelas professoras Classificação das situações-problema na Teoria de Vergnaud Composição Transformação Comparação Porcentagem de problemas elaborados por extensão 25,8% 8,6% 31% 1,7% 0% 6,9% 8,6% 0% 6

7 Porcentagem de problemas elaborados por categoria 34,4% 32,7% 15,5% Considera-se importante destacar que as professoras elaboraram problemas que abrangeram pelo menos três tipos de situação, com exceção de uma que elaborou seis problemas protótipos sendo cinco de transformação e um de composição. Esse dado evidencia um indicativo de que as professoras costumam variar os problemas propostos, abordando diferentes situações. Magina et al. (2008) afirma que para dominar as estruturas aditivas, o aluno precisa ser capaz de resolver diversos tipos de situações-problema. Embora as professoras tenham elaborado problemas que contemplam as três categorias, observamos que 67,1% estão nas categorias de composição e transformação, 15,5% na categoria de comparação e 17,2% são problemas mistos. Vale salientar que 56,8% dos problemas elaborados apresentam pouca complexidade, sendo que representam situações prototípicas de composição e transformação. Isso parece evidenciar que apesar das situações serem variadas, na sua maioria, possui o mesmo grau de complexidade, o que dificulta a expansão do campo conceitual aditivo pelos estudantes. O maior número de problemas elaborados ocorreu na categoria de composição (34,4%) e o menor número na categoria de comparação (15,5%). Observando o desempenho geral dos estudantes, embora se considere que o índice está baixo em todas as categorias, percebe-se que eles obtiveram melhores resultados na categoria de composição e resultados mais baixos na categoria de comparação. Esses índices evidenciam que há uma relação entre os problemas elaborados pelas professoras e o desempenho evidenciado por seus alunos. Além disso, para Santos (2006) os livros didáticos adotados pelas escolas públicas abordam com menor freqüência as situações de comparação. Com o propósito de verificar se há alguma relação entre os problemas elaborados pelas professoras e o desempenho dos alunos, buscou-se dados que auxiliassem a estabelecer essa relação. Para isso, a seguir, na Tabela 2, apresentamos o percentual de acertos dos alunos dessas onze turmas nos dezoito problemas do instrumento aplicado. 7

8 Protótipo 1ª extensão Protótipo 1ª extensão 4ª extensão 2ª extensão 3ª extensão 4ª extensão X Encontro Nacional de Educação Matemática Tabela 2: Porcentual de acerto dos estudantes nos problemas do instrumento aplicado Classificação das situações-problema na Teoria de Vergnaud Composição Transformação Comparação Porcentagem de acerto dos estudantes por extensão Porcentagem de acerto dos estudantes por categoria 67,2% 32,4% 55,2% 35,4% 35,1% 41,8% 29,9% 25,8% 49,8% 41,9% 31,8% Investigando os problemas que representam as situações prototípicas de composição e transformação, percebe-se que o maior número de acertos está nas situações aditivas. Esse grupo de problemas envolve esquemas de ação adquiridos pelas crianças antes delas cursarem o primeiro ano escolar. Analisando a porcentagem de acerto dos estudantes nos quatro problemas que correspondem aos protótipos de composição e transformação, observa-se que a porcentagem de acertos nas situações positivas (65,8%), que envolvem esquema de juntar e ganhar, e são representadas pela adição, foi superior aos acertos nas situações negativas (47,4%), que envolvem o esquema de retirar, representada pela subtração. Diante disso, percebe-se que dentre as situações de menor complexidade ligadas ao raciocínio aditivo, se destacam as que envolvem o esquema de juntar, ganhar. Para Magina et al. (2008), as crianças se apropriam da representação da situação de adição um pouco antes da de subtração. Comparando a porcentagem de problemas que dizem respeito à extensão das estruturas aditivas elaborados pelas professoras e a porcentagem de acerto dos estudantes nesse tipo de problema, observa-se que as professoras elaboraram um pequeno número, 25,8% do total, e que os estudantes tiveram um desempenho que variou entre 25,8% (4ª 8

9 extensão) a 41,8% (2ª extensão), ambos na categoria de comparação, o que não é considerado um bom resultado. Esse resultado parece evidenciar que as situações-problema que envolvem as extensões, sejam elas de comparação, composição ou transformação, são pouco trabalhadas. Segundo Magina et al. (2008), para que as crianças estendam seus conhecimentos sobre as estruturas aditivas, os problemas relativos às diferentes extensões devem ser trabalhados sistematicamente na sala de aula, pois esse processo não ocorre de maneira espontânea. Ainda vale destacar que o menor índice de acerto ocorreu nos problemas de comparação 4ª extensão (25,8%) e observa-se que as professoras não elaboraram nenhum problema desse tipo. Considerações Finais A partir da classificação dos problemas elaborados pelas professoras e do percentual de acerto dos alunos nos problemas do instrumento aplicado, verifica-se que, em geral, há uma relação entre os índices apresentados. O maior número de problemas elaborados (56,8%) foram situações prototípicas de composição e transformação e o índice de acerto dos alunos em situações desse tipo ficou em 61,2%. Levando-se em conta que segundo Vergnaud (1991), problemas protótipos são resolvidos por crianças entre 4 e 5 anos, que, muitas vezes, ainda não freqüentam a escola, cabe investigar sobre qual a contribuição das professoras na ampliação do campo conceitual aditivo. Além disso, foi constatado que as situações nas quais os alunos apresentaram menor percentual de acerto foram as que constaram pouco ou nem constaram nos problemas elaborados pelas professoras. Este fator é mais uma evidencia da relação entre os problemas elaborados pelas professoras e o desempenho revelado por seus alunos. Esse contexto é revelador de que ensinar o conceito de adição e subtração não significa, apenas, repetir situações-problema que envolvem sempre o mesmo raciocínio. Deve-se estar atento para perceber se a criança já se apropriou do conceito trabalhado e, para isso, sugere-se o uso de situações com enunciados e valores numéricos diferentes. 9

10 Diante do exposto, considera-se que este estudo diagnóstico possa contribuir na formação das professoras dos anos iniciais, oportunizando uma reflexão acerca da construção do campo conceitual aditivo. Referências FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da Teoria dos Campos Conceituais. 3ª ed - São Paulo: PROEM, MOREIRA, M. A. A teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. In: MOREIRA, M. A. (Org.) A teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a investigação nesta área. Porto Alegre: Instituto de Física da UFRGS, p NUNES, T. et al. Introdução à Educação Matemática: números e operações numéricas. 2ª. ed.- São Paulo: PROEM, SANTOS, M. S. Estruturas Aditivas: um olhar em livros didáticos do 2º ciclo do Ensino Fundamental. Apresentada como monografia na Universidade Estadual de Santa Cruz. Ilhéus: UESC, VERGNAUD, G. A. El niño, las matemáticas y la realidad: problemas de la enseñanza de las matemáticas em la escuela primária. México: Trillas, 1991., A Teoria dos Campos Conceituais. In: BRUN, Jean (Org.). Didáctica das Matemáticas. (Trad.) Lisboa: Instituto Piaget, p