DESEMPENHO DOS ALUNOS DO 5 ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL AO LIDAREM COM SITUAÇÕES-PROBLEMA DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS

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1 XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática A sala de aula de Matemática e suas vertentes UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019 DESEMPENHO DOS ALUNOS DO 5 ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL AO LIDAREM COM SITUAÇÕES-PROBLEMA DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS Cleiciane Dias das Neves Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia UESB cleiciane.dias@outlook.com Ana Paula Perovano Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia UESB Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho UNESP apperovano@uesb.edu.br Resumo: Este texto apresenta um recorte do nosso trabalho de Iniciação Científica, em andamento, no qual objetivamos perceber como os estudantes do 5 ano lidam com situações-problema envolvendo as Estruturas Multiplicativas. Apresentaremos neste trabalho quais as estratégias os alunos participantes da nossa investigação empregaram que os conduziram ao erro. Concordamos com a literatura no sentido de compreendermos ser importante analisar os erros dos alunos a fim de buscar estratégias para sanar as dificuldades acerca dos conteúdos. Trata-se de uma pesquisa de caráter qualitativo, e, para a coleta dos dados aplicamos um questionário contendo 14 situações-problema envolvendo as Estruturas Multiplicativas. Apresentaremos o desempenho dos alunos em duas situações presente no questionário pertencente ao eixo de proporção simples da classe muitos para muitos. Do que levantamos até o momento, percebemos que estes alunos, em sua maioria, estão tendo dificuldades em identificar a operação correta para responder a situações-problema da relação quaternária, especificamente em situações relacionadas à proporção simples, da classe muitos para muitos. Estão também confusos no que tange a unidades de medida convencionais e no sistema numérico decimal. Dessa forma, ressaltamos a necessidade um olhar mais acurado para as estratégias que os alunos empregam ao responder situações-problema de matemática em nossa prática docente. Palavras-chave: Proporção Simples. Estruturas Multiplicativas. Ensino Fundamental. INTRODUÇÃO Os alunos se deparam no seu dia-a-dia e no ambiente escolar com diversas situações que envolvem a ideia de metade, ganho, juntar, perder, dividir, assim, não podemos negar a presença das operações elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão no nosso dia a dia. [...] (SOUZA, 2016, p.1). A experiência com as situações do cotidiano bem como com as vivenciadas na escola ao longo do tempo, viabilizam o desenvolvimento das competências e concepções dos estudantes (MAGINA et al, 2008) e a escola é o espaço instituído, onde as In: Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. pp.xxx. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM. ISBN:

2 crianças organizarão suas informações e estratégias, de modo a proporcionar condições para a construção de novos conhecimentos matemáticos. Nessa construção é importante a análise das estratégias que os alunos utilizam para resolverem situações-problemas. Ao examinar as estratégias dos alunos, cabe ao professor buscar entender quais os meios utilizados pelo seu aluno para realizar a tarefa solicitada, já que o aluno pode utilizar diferentes caminhos para produzir uma resposta correta e salientam que [...] somente esta análise [das estratégias com erros] que permitirá que o professor conheça quais são as dificuldades enfrentadas por seus alunos e os meios para remediar a situação. (MAGINA et al, 2008, p.12). Nessa perspectiva, buscamos, nesse texto, apresentar um recorte do nosso trabalho de Iniciação Científica, em andamento, financiada pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Bahia FAPESB, que faz parte do projeto intitulado Investigando o Ensino e a Aprendizagem do Bloco de Conteúdos: Números e Operações. Nesse texto, nos debruçaremos em analisar estratégias de resolução dos estudantes do 5 ano do Ensino Fundamental, na esfera da relação quaternária, especificamente em situações relacionadas à proporção simples, da classe muitos para muitos. TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS E ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS Tendo como interesse fornecer um panorama de como ocorre a apropriação do conhecimento pelos estudantes, o professor e pesquisador Vergnaud formulou a Teoria dos Campos Conceituais TCC, que subsidia o trabalho do professor em sua prática possibilitando-o entender como a aprendizagem acontece. Na visão de Santana (2012, p.18) a TCC também tem como [...] finalidade principal [...] fornecer informações que tornam possível estudar as filiações e rupturas entre os conhecimentos do ponto de vista do saber fazer e dos saberes expressos envolvidos. [...]. Magina et al (2008) ressaltam que ao conhecer essa teoria o docente se torna mais instrumentalizado para propor situações que permitam a ampliação da aprendizagem dos conceitos pelos alunos, tendo como consequência a melhoria da sua prática em sala de aula. Segundo Gitirana et al (2014) Vergnaud não vê sentido em tratar os conceitos isoladamente uma vez que para o entendimento de um conceito é preciso mobilizar outros conceitos bem como é necessário vivenciar várias situações com diferentes graus de

3 complexidade para que a apropriação conceitual de fato ocorra. Sobre isso Magina et al (2008) argumentam que Os alunos devem dominar conceitos matemático, porém cada conceito pode ser inserido em um campo conceitual, que, por sua vez, é definido como um conjunto de situações cuja apropriação requer o domínio de vários conceitos de naturezas diferentes. (MAGINA et al, 2008, p.10) De acordo com as autoras, conceito e situação possuem uma estreita relação, uma vez que uma situação está vinculada a mais de um conceito e o conceito para ganhar sentido necessita de diferentes situações. Nessa linha de pensamento Magina et al (2008) argumentam, fundamentadas nas ideias de Vergnaud, que os conceitos podem ser agrupados em campos conceituais. Vergnaud define um campo conceitual como sendo [...] um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, conteúdos, e operações de pensamento, conectados uns aos outros e provavelmente interligados durante o processo de aquisição (VERGNAUD, 1982, p.40 apud SANTANA, 2012, p.18 tradução da autora). Vergnaud destaca que na Matemática podemos considerar dois campos conceituais: campo conceitual aditivo e campo conceitual multiplicativo (MERLINI; MAGINA; SANTOS, 2010). Nossa discussão, neste texto, versa sobre o Campo Conceitual Multiplicativo ou simplesmente Estruturas Multiplicativas. As Estruturas Multiplicativas podem ser compreendida como um conjunto de situações e problema que envolvem as operações de multiplicação e divisão ou as duas em simultâneo. Além disso, segundo Gitirana et al (2014) está presente nesse campo conceitual outros conceitos tais como fração, funções linear, bilinear, e não linear, composição de funções lineares, razão, taxa, proporção, espaço vetorial, análise dimensional, combinação, produto cartesiano, área, volume, isomorfismo, entre outros. (p.24). Promover a aprendizagem desses conceitos pressupõem a experiência com situações que abarquem diferentes raciocínios e que incentive a busca de diferentes estratégias para encontrar a solução. O domínio da multiplicação e a divisão é concebido quando o aluno é capaz de resolver diversas situações envolvendo o campo multiplicativo, dessa forma [...] Não basta saber realizar o cálculo numérico. (GITIRANA et al, 2014, p.38). Segundo a TCC o professor precisa ter clareza que para que aja a ampliação do conhecimento de seus alunos é preciso oferecer situações que não limitem o raciocínio, e isso será possível se o professor tiver

4 entendimento acerca dos diferentes tipos de situações pertencentes a um determinado campo conceitual. Fazendo uma releitura dos tipos de problemas elencados por Vergnaud na TCC, Merlini, Magina e Santos (2010) apresentam um quadro que sintetiza a classificação das situaçõesproblema pertencentes às Estruturas Multiplicativas, conforme o exposto no quadro abaixo. Quadro 1: Esquema do Campo Conceitual Multiplicativo. Fonte: Adaptado de Merlini, Magina e Santos (2010) De acordo com o esquema temos que as situações envolvendo as Estruturas Multiplicativas podem ser divididos em duas relações quais sejam: as relações quaternárias e relações ternárias. A primeira é caracterizada pela existência de quatro grandezas agrupadas duas a duas. Já a segunda trata-se de duas grandezas que formam uma terceira grandeza diferente e independente das anteriores. A relação quaternária se subdivide em dois eixos denominados de proporção simples e de proporção múltipla, ambos podem pertencer à classe de problemas um para muitos ou muito para muitos do tipo discreto ou contínuo. As situações ternárias na perspectiva de Merlini, Magina e Santos (2010) são tratadas como uma relação entre dois elementos, de mesma natureza ou grandeza, que se compõem para formar um terceiro elemento. [...] (p.5). As situações pertencentes a essa relação podem ser classificadas em dois eixos, comparação multiplicativa e produto de medidas, cada um desses eixos se subdivide em duas classes, no

5 caso da comparação multiplicativa podemos ter a relação desconhecida ou o referente ou referido desconhecido ambos do tipo discreto ou contínuo. O eixo produto de medidas se subdivide na classe configuração retangular podendo ser do tipo discreto ou contínuo e combinatória do tipo discreto. Nosso foco nesse texto será nas relações quaternárias, situações de proporção simples da classe muitos para muitos. Quando o professor conhece as Estruturas Multiplicativas e a respectiva classificação deste campo conceitual estará melhor instrumentalizado para criar situações que amplie os conhecimentos dos alunos acerca dos conteúdos de multiplicação e divisão, desse modo, ratificamos a necessidade de o docente conhecer as situações que compõem essa estrutura para melhor direcionar sua prática e para ter condições de identificar as dificuldades dos alunos no que tange a esses conceitos. METODOLOGIA A abordagem de nossa pesquisa é qualitativa, que segundo Ludke e André (1986) citando Bogdan e Biklen (1982) envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em retratar a perspectiva dos participantes. (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p. 13). Nosso foco, neste trabalho, está centrado nas respostas erradas apresentadas pelos alunos, buscaremos descrever quais as estratégias foram empregadas que os conduziram ao erro. Empregamos como instrumento para coleta dos dados um questionário, utilizado na pesquisa As estruturas multiplicativas e a formação de professores que ensinam Matemática na Bahia (PEM). Essa pesquisa mapeou o desempenho dos alunos de uma escola pública do município de Barra da Estiva. Tivemos a curiosidade em identificar como alunos do 5º ano do Ensino Fundamental lidaram com situações-problemas relacionadas à relação quaternária do eixo proporção simples da classe muitos para muitos. Barra da Estiva fica a 465 km de Salvador e a 189 km de Vitória da Conquista. Segundo o site da prefeitura é uma cidade que possui habitantes. No último censo o Índice de Desenvolvimento da Educação Básica IDEB do município vem ultrapassando as metas projetadas desde 2007 como pode ser observado na Imagem 1 a seguir:

6 Imagem 1: Ideb observado e metas projetadas para o município de Barra da Estiva Fonte: site do INEP 1 Pelos dados apresentados, percebemos que o índice alcançado pelo município vem crescendo, o que consideramos significativo. Nosso instrumento de coleta de dados foi o questionário do projeto As estruturas multiplicativas e a formação de professores que ensinam Matemática na Bahia (PEM) que contém 14 situações-problema pertencentes as Estruturas Multiplicativas. O questionário foi aplicado individualmente, sem consulta. Orientamos aos estudantes para que respondessem da forma que acreditassem ser adequada para encontrar a solução e pedimos para que eles deixassem registrado as estratégias que utilizaram para descobrir a resposta de cada situaçãoproblema. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Conforme já anunciamos, nosso foco serão as situações-problema da relação quaternária do eixo proporção simples da classe muitos para muitos. O quadro 2 abaixo explicita as questões que foram analisadas. Q3: Para fazer 3 fantasias são necessários 5 m de tecido. Ana tem 35 m de tecido. Quantas fantasias ela pode fazer? Quadro 2: questões do questionário Q12. Em uma gincana na Escola Saber, a cada 3 voltas correndo na quadra o aluno marca 4 pontos. Alex deu 15 voltas correndo na quadra. Quantos pontos ele marcou? Uma possibilidade que permitiria encontrar o valor das questões seria através do cálculo relacional conforme o ilustrado abaixo: 1

7 Figura 1: Proposta de resolução para a Q3 e Q12 A tabela a seguir apresenta o desempenho dos alunos nas questões que analisaremos neste estudo. Tabela 1: Categoria das respostas encontradas QUESTÃO 3 QUESTÃO 12 ACERTOS 1 3 ERROS EM BRANCO -- 1 Fonte: Dados da pesquisa Pelos dados da tabela identificamos que o número de respostas corretas foi muito baixo, sendo apenas um acerto na questão 3 e três na questão 12. Consideramos esse resultado aquém do que esperávamos por se tratar de alunos do 5 ano. Isso motivou o nosso interesse em verificar quais estratégias conduziram os alunos ao erro. Gitirana et al (2014) enfatizam a importância de analisar as estratégias dos alunos principalmente as estratégias erradas pois elas tendem a evidenciar dificuldades dos alunos diante do conteúdo abordado, e assim, ao identificar as dificuldades o professor poderá traçar alternativas para sanar as dificuldades dos alunos. Na questão três encontramos apenas um acerto. Entre os erros, nos deparamos com seis respostas finais sem cálculo, três estratégias que empregaram a multiplicação de dados da situação-problema, 18 que dividiram os dados, três que somaram os dados e um que fez uma combinação de operações. Destacamos o extrato de dois alunos como representativo do grupo de alunos que utilizaram a divisão de dois dados do problema.

8 Figura 2: Extrato da resposta dos alunos BDE521 e BDE532 Fonte: Dados da pesquisa O aluno BDE521 optou por dividir 35 metros pela quantidade de fantasias, no caso 3. Ele não percebeu que a cada 5 metros de tecido seria possível produzir 3 fantasias, assim, para obter a resposta ele deveria ter dividido a quantidade de tecido por 5 e depois multiplicar por 3 obtendo como resposta 21 fantasias. Diferentemente deste aluno, o aluno BDE532 dividiu a quantidade total de metros de tecidos que Ana possui (35m) pela quantidade necessária para produzir 3 fantasias, porém ele não multiplicou o resultado da operação por 3 (quantidade de fantasias a cada cinco metros de tecido), e por isso não encontrou a resposta correta. Observamos também que BDE521 registrou a resposta final em tecidos o que supomos que este aluno assumiu tecidos como sendo unidade de medida o que nos leva a supor que não compreendeu ainda as medidas convencionais de comprimento. Um aluno (BDE507) escreveu uma combinação de operações, conforme explicitado na figura abaixo: Figura 3: Extrato da resposta do aluno BDE507 Fonte: Dados da pesquisa Entendemos que ele apresentou uma multiplicação do número de fantasias pela quantidade de tecidos em metros. Na sequência subtraiu a quantidade de tecido que Ana possui do resultado da multiplicação. Este aluno também registrou tecidos como sendo a unidade de medida da resposta.

9 Ainda no que se refere as repostas erradas, notamos que três alunos optaram pela multiplicação dos dados da situação-problema como estratégia de resolução. A figura 4 ilustra duas dessas estratégias. Figura 4: Extratos dos alunos BDE523 e BDE529, respectivamente. Fonte: Dados da pesquisa A resposta de BDE523 chamou bastante a nossa atenção, pois esse aluno agrupa todos os dados da situação-problema para efetuar o algoritmo da multiplicação, coloca zero após o número três (quantidade de fantasias) e após o número cinco (quantidade de metros de tecido necessários para fazer três fantasias) convertendo unidade em dezenas. Esse registro expõe que, este aluno empregou um procedimento que se distancia do procedimento escolar ao agrupar três parcelas para multiplicar e nos dá indícios que este aluno pode ainda não ter compreendido o sistema numérico decimal, nos parece que ele não reconheceu que o zero representa uma ausência de quantidade e, ao mesmo tempo, um valor posicional. O aluno BDE529 também recorreu à multiplicação, pelo registro desse aluno é possível vislumbrar que ele monta o algoritmo adequadamente, entretanto, erra o resultado da operação. Cabe ainda ressaltar que ambos os alunos registraram a resposta final em tecidos ao invés de fantasias. Consideramos que possivelmente essa possa ser uma confusão de parte dessa turma. Em relação a questão 12, encontramos três acertos e uma resposta em branco. Dentre os erros, nos deparamos com sete respostas finais sem cálculo, 12 alunos que recorreram a multiplicação dos dados e cinco respostas em que os alunos somaram dois dos dados do problema. A seguir ilustraremos um dos extratos que empregou uma estratégia pertencente ao Campo Aditivo que chamou nossa atenção.

10 Figura 5: Extrato da resposta do aluno BDE508 Fonte: Dados da pesquisa O aluno BDE508, embora não tenha explicitado o sinal de adição, pela forma com que agrupou os dados e pelo resultado da operação inferirmos que ele tenha recorrido a esta operação. Observamos que este aluno escreveu os números correspondentes a quantidade inicial de voltas (3) e a quantidade de pontos (4), escrevendo 34 e somou com a quantidade total voltas (15). Consideramos que este aluno pode ter uma dificuldade na compreensão do sistema numérico decimal. Quatro alunos empregaram a operação de divisão para encontrar a resposta, veja o extrato de dois desses alunos explicitado na figura 6. Figura 6: Extrato da resposta dos alunos BDE530 e BDE529 Fonte: Dados da pesquisa Ambos os alunos optaram pela divisão como operação para resolver a situaçãoproblema apresentada. Percebemos que BDE530 acerta a resposta da operação que escolheu, inclusive fazendo a prova de seus cálculos. Já BDE529 erra a resposta pois ao montar o algoritmo da divisão chamou a nossa atenção que ele colocou dois dados da questão um ao lado do outro formando o número 34 e tentou dividir esse número por 15 referente ao total de voltas, além disso, errou a resposta da operação escolhida. Diante dessas respostas confirmamos a necessidade um olhar mais acurado para as estratégias que os alunos empregam ao responder situações-problema em matemática pois, além de nos dá pistas sobre que diferentes caminhos foram utilizados para chegar a respostas

11 correta possibilita conhecer as dificuldades que os alunos estão enfrentando, (MAGINA et al, 2008, p.12). CONSIDERAÇÕES FINAIS Do que levantamos até o momento, percebemos que estes alunos, em sua maioria, estão tendo dificuldades em identificar a operação correta para responder a situações-problema da relação quaternária, especificamente em situações relacionadas à proporção simples, da classe muitos para muitos. Estão confusos no que tange a unidades de medida convencionais e no sistema numérico decimal. Consideramos que essas dificuldades precisam ser trabalhadas pois, a compreensão do sistema numérico decimal [...] possibilita a ampliação das potencialidades de lidar com algoritmos e procedimentos operatórios e a ampliação do campo numérico, passando do universo dos números resultados da contagem para os números resultados das medições, dos números inteiros aos números quebrados e por que não? para o universo dos números que extrapolam os limites da primeira imaginação: reais, imaginários, hiper-reais... (BRASIL, 2014, p. 7) Pela citação acima, consideramos que o sistema numérico decimal é a base que sustenta os procedimentos operatórios, os algoritmos e a ampliação do campo numérico, assim qualquer dificuldade na compreensão desse sistema acarretará um obstáculo no entendimento dos alunos sobre adição, multiplicação e divisão, como vimos nos extratos acima. Dessa forma, consideramos pertinente que o docente dê atenção às estratégias que os alunos empregam, pois essas estratégias podem evidenciar os conhecimentos que os alunos já dominam e também as possíveis dificuldades em determinados conteúdos, podendo assim, ao planejar suas aulas de matemática incluir situações que possibilite que as dificuldades dos alunos sejam sanadas. REFERÊNCIAS BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: Construção do Sistema de Numeração Decimal / Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Brasília: MEC, SEB, GITIRANA, Verônica. CAMPOS, Tânia Maria Mendonça. MAGINA, Sandra. SPINILLO, Alina. Repensando multiplicação e divisão: contribuições da teoria dos campos conceituais. São Paulo: PROEM, 2014.

12 MAGINA, Sandra. CAMPOS, Tânia Maria Mendonça. GITIRANA, Verônica. NUNES, Terezinha. Repensando a adição, subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. 3ª ed. São Paulo: PROEM, MERLINI, Vera Lucia. MAGINA, Sandra Maria Pinto. SANTOS, Aparecido dos. O desempenho dos alunos de 4ª série do Ensino Fundamental frente a problemas de Estrutura Multiplicativa. In: X Encontro Nacional de Educação Matemática X ENEM. Salvador BA, Jul. de SANTANA, Eurivalda Ribeiro dos Santos. Adição e subtração: o suporte didático influencia a aprendizagem do estudante?. Ilhéus, BA: Editus, SOUZA, Emília Isabel Rabelo de. Estrutura multiplicativa: o tipo de situação-problema que o professor dos anos finais do ensino fundamental elabora. In: XII ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática. São Paulo SP, 13 a 16 de jul