Estruturas Multiplicativas nos anos iniciais: Analisando situaçõesproblema

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1 Estruturas Multiplicativas nos anos iniciais: Analisando situaçõesproblema Débora Cabral Lima 1 GD7 Formação de Professores que ensinam Matemática Resumo. Este trabalho tem o objetivo de compreender como os professores ensinam as Estruturas Multiplicativas no 5º ano do Ensino Fundamental em uma escola municipal da região sul da Bahia. Para isso, analisamos quatro situações-problema, relacionadas com as Estruturas Multiplicativas, elaboradas pelas professoras dos anos iniciais, Sara e Bia. O suporte teórico utilizado para a análise e discussão dos resultados é a Teoria dos Campos Conceituais (TCC) de Vergnaud (1983, 1996, 2009). A discussão das produções centrou-se em situações-problema da relação Quaternária, eixo da proporção simples, classe um para muitos dos tipos discreto e contínuo. No esquema da Estrutura Multiplicativa, elaborado por Magina, Santos e Merlini (SANTOS, 2015), identificamos quatro categorias que estão implícitas no eixo das proporções, são elas: as grandezas, as medidas de grandeza, as Relações escalar multiplicativo e funcional e as operações (multiplicação e/ou divisão) realizadas para resolver as situações. Os protocolos analisados indicam que as professoras elaboraram situações-problema envolvendo medidas discretas na divisão partitiva e quotitiva e, para as contínuas recorreram a operação multiplicação. Os resultados mostram que as situações-problema elaboradas apresentavam lacunas conceituais, embora demonstrassem saberes inerentes às Estruturas Multiplicativas, cujas produções referem-se a proporção simples da relação Quaternária. Palavras-chave: Campos Conceituais; Estrutura Multiplicativa; Relação Quaternária. Introdução O presente trabalho está ancorado no projeto OBEDUC, intitulado Um estudo sobre o domínio das Estruturas Multiplicativas no Ensino Fundamental que tem como objeto de estudo a formação do professor que ensina Matemática nos anos iniciais. A indagação que nos motivou a realizar este trabalho é: Quais os saberes que os professores mobilizam para ensinar as Estruturas Multiplicativas nos anos iniciais do Ensino Fundamental? Para nortearmos a organização temos como objetivo compreender como os professores ensinam as Estruturas Multiplicativas nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Assim, este trabalho está organizado da seguinte forma: uma apresentação da Teoria dos Campos Conceituais enfatizando as Estruturas Multiplicativas, a metodologia, apresentação e análise dos dados e as considerações. 1 Universidade Estadual de Santa Cruz, cabraldebora@yahoo.com.br, orientadora: Drª. Maria Elizabete Souza Couto.

2 A Teoria dos Campos Conceituais O matemático, filósofo e também psicólogo Gérard Vergnaud foi orientando de Jean Piaget que estudou como desenvolve a estrutura cognitiva nas crianças. Com base nesses estudos, Vergnaud elaborou a Teoria dos Campos Conceituais (TCC) tendo como referencial os contextos escolares, propondo uma teoria que: Pelo facto de proporcionar um quadro para a aprendizagem, interessa à didática; mas não é, por si só, uma teoria didática. A sua principal finalidade é fornecer um quadro que permita compreender as filiações e as rupturas entre conhecimentos, nas crianças e nos adolescentes, entendendo como «conhecimentos», tanto o saber fazer como os saberes expressos. (VERGNAUD, 1996, p. 155, grifo do autor). Assim, a TCC é uma teoria cognitivista que fornece um quadro teórico para trabalhar com elementos que fazem parte do desenvolvimento intelectual do indivíduo, tais como, a linguagem, o raciocínio, a percepção e a memória. O fato da TCC não ser uma teoria didática significa que a metodologia desenvolvida pelo professor tem um quadro teórico que dê suporte à aprendizagem, ou seja, auxilia o professor a analisar os processos pelos quais as crianças adquirem o conhecimento em relação a um dado conceito, permitindo que o mesmo tenha mais clareza sobre o que ensina em sala de aula. Segundo Vergnaud (1996), o quadro teórico da TCC tem a finalidade de compreender as filiações e as rupturas existentes entre conhecimentos. Quando o professor estiver elaborando situações deve elencar as mais diferentes, de modo a propiciar não apenas filiações, mas também rupturas. Nesse caso, a filiação da multiplicação está ligada a adição por meio da soma de parcelas iguais; isto é, o aluno ainda continua resolvendo as situações com o conhecimento do Campo Aditivo. Para Santos, uma dos motivos para esse fato, pode estar relacionada com a própria concepção de currículo que norteia a ação pedagógica do professor, qual seja: a ideia de que o currículo apresenta uma sequência lógica de conteúdos: primeiro se aprende a adição, depois a subtração e, em seguida, a multiplicação e a divisão. (SANTOS, 2015, p. 100) Nesse caso, o professor, enquanto mediador do ensino e da aprendizagem, pode elaborar um conjunto de tarefas complexas para que haja reflexão sobre as condições de solução para cada situação, isto é, proporcionar caminhos para aprendizagem de novos conhecimentos. Assim, a ruptura é alcançada à medida que o aluno compreende que a adição de parcelas iguais não é suficiente para resolver e compreender algumas situaçõesproblema que envolvam as Estruturas Multiplicativas.

3 Para tentar compreender como os estudantes constroem o pensamento matemático, Vergnaud (1996) explorou os campos conceituais, Aditivo e Multiplicativo, para desenvolver os seus estudos em sala de aula, visto a interdependência entre eles, bem como, as diferentes dificuldades inerentes a cada campo. E, para a aprendizagem de um conceito, a criança precisa se deparar com diferentes situações. Portanto, para que o professor consiga mediar, de forma consistente, a Estrutura Multiplicativa. E, a TCC permite a esse profissional, organizar situações adequadas à compreensão das crianças, desde que, esteja fundamentado pelos seus conceitos. Para Vergnaud (1996), o conceito não pode ser limitado à definição. Ao trabalhar um conceito são evocadas diversas situações e, por meio delas o conceito tem sentido para as crianças. Santana (2012, p. 23) fez uma releitura do que seja conceito, admitindo que é a formulação de uma ideia através das palavras e do pensamento. Com base nessa afirmativa podemos conclui que é a maneira como a criança se utiliza da linguagem para explicitar ou registrar um conhecimento. A formação do Campo Conceitual, proposta por Vergnaud (1996), envolve uma terna de conjuntos representada como C (S, I, R) em que, no caso do Multiplicativo, pode ser explicado da seguinte maneira: C é o conceito que é formado por S: o conjunto das situações que dão sentido ao conceito (é a referência para trabalhar o conceito); são ideias de proporção, de comparar, combinar; I: o conjunto dos invariantes, as propriedades para relacionar e operacionalizar, ou seja, resolver as situações (o significado); R: o conjunto das formas de linguagem utilizadas - desenhos, contagem pictórica, os diagramas - para representar os procedimentos (o significante). Assim, para resolver as tarefas, a criança se organiza diante de uma classe de situações (o esquema) contém conhecimentos-em-ação, isto é, elementos cognitivos implícitos nas escolhas para desenvolver as representações; elas estão na ação do indivíduo. Verganud (1996) classifica de invariantes operatórios o teorema-em-ação e o conceito-em-ação, os quais vinculam o conceito e a situação.

4 Vale salientar que a aprendizagem é alcançada se o sujeito dispõe de competências necessárias (conhecimentos prévios sobre adição, subtração, multiplicação, metade, dobro etc.) para resolver uma classe de situações, para as quais devem ser desenvolvidas com determinada habilidade. Esse processo não é imediato, trata-se de um tempo que é individual para a aprendizagem de cada um. As Estruturas Multiplicativas O Campo Conceitual Multiplicativo (CCM), ao qual chamaremos de Estruturas Multiplicativas, abrange diversos conceitos, dentre eles podemos citar: a multiplicação, a divisão, dobro, metade, triplo, a fração, funções linear, bilinear e não linear, razão, taxa, proporção, espaço vetorial, isomorfismo, combinação, produto cartesiano, área, volume. Para o domínio de diversos conceitos das Estruturas Multiplicativas, tais como: adição, multiplicação, proporção, análise combinatória etc., Vergnaud (2009), mostra duas categorias: o Isomorfismo de Medidas e o Produto de Medidas. Dentre elas, a primeira é de interesse da nossa pesquisa, por prevalecer a proporcionalidade direta entre grandezas; se uma grandeza é ampliada ou reduzida, o mesmo acontece com a outra; e é composta por problemas elementares de proporção simples entre conjuntos de naturezas distintas. A Figura 1 mostra um esquema do CCM, elaborado por Magina, Santos e Merlini (SANTOS, 2015), com base na TCC de Vergnaud (1983; 1996; 2009), para sintetizar as ideias do Campo Multiplicativo. Figura 1: Esquema do Campo Conceitual Multiplicativo Fonte: SANTOS (2015, p. 105).

5 No esquema apresentado na Figura 1, nas situações-problema que pertencem aos eixos das proporções da relação Quaternária ficam implícitas, as grandezas, as medidas de grandeza, as Relações do escalar multiplicativo e funcional e as operações multiplicativas (multiplicação e/ou divisão) utilizadas para resolvê-las, as quais estão interligadas conforme Figura 2. Figura 2: Esquema das categorias implícitas no eixo das proporções Fonte: Material produzido na pesquisa (2015) A Figura 1 mostra que o campo das Estruturas Multiplicativas está dividido em duas relações: Quaternária e Ternária, mas vamos eleger para este trabalho uma discussão sobre a relação Quaternária envolvendo o eixo da proporção simples; a classe um para muitos; e o tipo discreto e contínuo com foco na Relação do escalar multiplicativo. Relação Quaternária A relação Quaternária envolve quatro quantidades diferentes, que são diretamente proporcionais. Vergnaud (2009, p. 72), afirma que as relações quaternárias colocam frequentemente em jogo dois conjuntos de referência e não apenas um - são as grandezas - e a correspondência entre eles. Entendemos que o fato de serem proporcionais, garante que a Relação entre as medidas de grandeza é a mesma. A Relação (Ibid, p. 60) é uma transformação que faz passar do primeiro estado ao segundo. Nesse caso, podemos afirmar que seja a conexão entre as medidas, ou seja, de uma medida para outra. A relação Quaternária apresenta três eixos, a proporção simples, a proporção dupla e a proporção múltipla que, estão divididos em duas classes de situações são elas: a classe de situações de um para muitos e a de muitos para muitos, as quais podem ser do tipo discreta ou contínua. Para compreender como a relação quaternária está organizada descreveremos o significado de cada uma delas para analisar como a identificamos nas situações-problema.

6 A Proporção Simples é uma relação proporcional entre duas grandezas, envolvendo quatro quantidades, em que cada grandeza contém duas medidas. Quando uma situação-problema estiver associando uma unidade de medida de grandeza, com mais de uma unidade de medida da outra grandeza, estamos na classe um para muitos, ou seja, está explícita a relação entre uma unidade de uma grandeza com uma das medidas da outra grandeza. A relação de uma unidade está expressa na situação. Essa classe da relação quaternária pode conter quantidade de dois tipos: discreto - provém de uma contagem e assume um valor inteiro (Natural), ou contínuo - pode ser dividido inúmeras vezes, considerar qualquer valor, não necessariamente de domínio do conjunto dos números Naturais, mas Racionais. Apresentaremos um exemplo para ilustrar os componentes implícitos e explícitos em uma situação-problema referente ao Campo Conceitual Multiplicativo. A Situação 1 a seguir é apresentada nesse trabalho conforme elaboradas pelo grupo colaborativo E-mult e mostra um exemplo da relação Quaternária, eixo da proporção simples, classe um para muitos, cuja operação é uma multiplicação do tipo discreta e será representada na Figura 3 uma possível solução para a análise vertical de grandezas / o Escalar Multiplicativo. Situação 1: Joana sabe que em um pacote há 6 biscoitos. Ela tem 5 pacotes. Quantos biscoitos Joana tem? Figura 3: Proposta de resolução da Situação 1 com o Escalar Multiplicativo Fonte: Material de pesquisa produzido nos estudos do E-mult (2014/2015) Esta situação apresenta duas grandezas de natureza distintas, são elas: a quantidade de pacotes e a quantidade de biscoitos. A análise dessa situação-problema possibilita perceber a existência de duas relações: a) a Relação do Escalar Multiplicativo está descrita na transformação entre as medidas de uma mesma grandeza (Figura 3); b) a Relação Funcional ocorre entre as medidas de grandezas distintas.

7 Assim, ao responder uma situação por meio do Escalar Multiplicativo a Relação observada está centrada entre as medidas de uma mesma grandeza, a qual é representada por um número (o operador escalar). Para responder essa situação observamos a Relação existente entre as medidas apresentadas para a grandeza (quantidade de pacotes) e, pela proporcionalidade, atribuir a mesma Relação à outra grandeza (quantidade de biscoitos) assim, encontrar a medida (x) de quantidade de biscoitos. Ao analisar a Relação existente entre a medida da grandeza - quantidade de biscoitos - observamos que de um pacote para cinco pacotes houve uma ampliação cinco vezes maior (multiplicou por cinco) em relação ao estado inicial. Esse operador (x5) é que faz a passagem /transformação de um pacote para cinco pacotes. E, pela proporcionalidade entre as grandezas, a Relação se mantém, ou seja, a Relação entre as medidas da grandeza quantidade de biscoitos também será cinco vezes maior. Dessa forma, seis biscoitos com o operador (x5) vezes cinco, correspondem a 30 (trinta) biscoitos (6 x 5 = 30). Vergnaud (1983) classifica o operador entre as medidas de mesma grandeza como operador escalar, por não apresentar dimensão. Dessa forma, entendemos que a análise vertical é um Escalar Multiplicativo, cujo escalar é a Relação entre essas medidas. Para a compreensão das situações-problemas da relação Quaternária é importante entender o lugar das medidas e das grandezas nos estudos das Estruturas Multiplicativas. De acordo com os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) (BRASIL, 1998), o estudo das grandezas e das medidas revela ser importante no currículo por sua utilidade no dia a dia. Além disso, sugere a possibilidade de dialogar com outras disciplinas do conhecimento podendo auxiliar na aprendizagem dos alunos. De acordo com Baltar (2014, p.5), a grandeza mensurável não é apenas um número (a medida em certa unidade), mas uma entidade que inclui de modo inseparável um número e uma unidade de medida. Nesse sentido, para a representação numérica de grandeza podemos assumir que é um par formado pelo número (medida) e sua referência, a unidade de medida escolhida. Metodologia O presente trabalho é uma abordagem de natureza qualitativa e tem como objeto de estudo o Campo Conceitual Multiplicativo na prática pedagógica de professoras dos anos iniciais.

8 Segundo André (1995), numa pesquisa qualitativa espera-se mostrar a complexidade da rede de operações que constitui a experiência habitual mostrando como se estrutura a produção de conhecimento nas redes de relações que se estabelece para a construção do conhecimento. Este trabalho faz parte de uma pesquisa mais ampla do OBEDUC/E-mult, com financiamento da CAPES e está sendo realizado em três instituições de ensino superior (Universidade Estadual de Santa Cruz, Universidade Federal de Pernambuco e Universidade Federal do Ceará). O material empírico que estamos apresentando faz parte dos dados produzidos em uma escola da rede municipal de ensino de uma cidade do sul da Bahia. Trabalhamos com duas professores da educação básica. O primeiro passo da pesquisa solicitou que os professores elaborassem situações-problema referentes as Estruturas Multiplicativas. Nesse momento, vamos apresentar dados referentes a elaboração de situações-problema envolvendo o campo multiplicativo. Análise dos dados Neste trabalho apresentamos duas situações de cada professora, as quais foram analisadas e pertencem a relação Quaternária. A escolha foi motivada pela considerável porcentagem das elaborações envolvendo a proporcionalidade entre quatro quantidades diferentes. As Situações-problema elaboradas por Sara As situações-problema 1 e 2, propostas por Sara, foram classificadas pelos membros do E- mult, núcleo de Ilhéus, como Quaternárias e serão descritas, sem haver qualquer alteração, discutidas e analisadas a seguir. A situação 1 (S1) foi classificada como relação Quaternária, eixo da proporção simples, classe um para muitos do tipo discreto. S1: Minha mãe comprou 5 dúzias de jambre e precisa dividir para os 5 irmãos, quanto cada um ganhará? Fonte: Situação-problema extraída do protocolo da professora Sara A grandeza, dúzia de jambre, utilizada por Sara faz parte do vocabulário local e refere-se a uma fruta. Em relação ao termo dividir para os irmãos, cabe ressaltar que a expressão dividir sugere partes iguais. Dessa forma impede a possibilidade de haver duplicidade de interpretação da situação-problema. A Figura 4 mostra um possível esquema de resolução com o escalar multiplicativo, quanto a interpretação em unidade, e em dúzia.

9 Figura 4: Proposta de resolução para a S1 Fonte: Material de pesquisa produzido nos estudos do E-mult (2014/2015). Para resolver a Situação 1, o professor, inicialmente, precisa associar que 5 dúzias de jambre correspondem a 60 unidades desta fruta e, em seguida, encontrar a Relação entre as medidas. A segunda resposta é mais simples, pois as medidas das grandezas (quantidade de dúzias e quantidade de irmãos) são menores e facilita o cálculo do algoritmo. A situação 2 (S2) pertence a relação Quaternária, eixo da proporção simples, classe um para muitos do tipo contínuo, cuja operação é uma multiplicação. S2: Uma passagem de ônibus custa R$2,20 cada. Uma família com 8 pessoas quanto irá pagar? Fonte: Protocolo da professora Sara Sara mobilizou conhecimentos referentes a medidas, discretas e contínuas na elaboração da situação S2. Um fator positivo, refere-se a da forma como estão sendo apresentadas, o que exige domínio de conceitos e propriedades dos campos numéricos Naturais e Racionais, necessário para resolvê-la, tais como operacionalizar para obter números naturais e decimais. Podemos observar que a proposta para o enunciado direciona a percepção da procura pelo produto das 8 passagens compradas ao valor unitário de R$ 2,20, mesmo utilizando diversos esquemas para chegar a resposta. As Situações-problema elaboradas por Bia A professora Bia elaborou situações que foram classificadas como integrantes da relação Quaternária. A situação 3 (S3), proposta por Bia, trata da relação Quaternária, eixo da

10 proporção simples, classe um para muitos do tipo discreto, cuja operação para resolução é uma multiplicação. S3: A avó de João gastou uma dúzia de ovos para fazer 2 bolos. Quantas dúzias seriam necessárias para fazer 6 bolos? Fonte: Protocolo da professora Bia A situação S3 tem uma linguagem de simples compreensão, com as grandezas (1 dúzia, 2 bolos e 6 bolos) estão evidentes. Essa situação apresenta uma Relação entre as medidas de bolo (2 e 6), que é de três vezes mais e, o escalar multiplicativo é (x 3). A situação 4 (S4) foi classificada como relação Quaternária, eixo da proporção simples, classe um para muitos do tipo discreto, cuja operação de resolução é uma divisão por quota isto é, entre as medidas da mesma grandeza. S4: Tenho 340 moedas para distribuir em 2 cofrinhos. Quantas moedas colocarei em cada um? Fonte: Protocolo da professora Bia As lacunas dessa situação estão: no verbo distribuir que, não indica a ação de distribuição equitativa e não fica claro o valor das moedas (0,05, 0,10, 0,25, 0,50, 1,00) que serão colocadas nos cofrinhos. Nesse caso há várias possibilidades para resolução: distribuir as moedas colocando 10 moedas em um cofrinho e 330 moedas no outro; escolher colocar moedas de mesmo valor no cofrinho. Após essa análise, recorremos ao quadro das Estruturas Multiplicativas, Figura 1, para apresentar a análise conforme: Relação, Eixo, Classe e Tipo. Por fim, acrescentamos a operação que estava indicada em cada situação-problema. Os dados coletados nos protocolos de Sara e Bia demonstram o trabalho que estão desenvolvendo em sala de aula com as Estruturas Multiplicativas. As situações-problema correspondem a relação Quaternária e nos levam a inferir que suas produções são equivalentes, mesmo contendo lacunas conceituais, possibilidade de várias interpretações, entretanto, apresentam proporção simples - divisão por quota, medidas discretas e contínuas. Sara elaborou situações com medidas pertencentes ao campo numérico dos Racionais e, com medidas discretas e contínuas. Para a resolução foram identificadas operação de multiplicação, divisão e divisão por partição.

11 Bia elaborou situações com medidas discretas e com a operação multiplicação e divisão por quota. As situações-problemas propostas por Bia e Sara possibilitam a compreensão do TCC, que é o de compreender filiações e rupturas entre os Campos Conceituais. Nesse caso, os Campos, Aditivo e Multiplicativo, pois constatamos que elas utilizaram a multiplicação e a divisão partitiva e/ou por quota. Um fator importante na elaboração e no contexto das situações refere-se ao sentido que está sendo atribuído para o professor e o aluno. Segundo Vergnaud (2009), tem que fazer sentido para as crianças e assim sintam-se desafiadas a responder, seja por meio de modelos elaborados ou, por intermédio de material concreto (objetos), ícones (desenhos). E, o fato de tornar uma situação com simples compreensão pode permitir diferentes esquemas explícitos de resolução. Considerações Finais Os resultados mostram que as sistuações-problema elaboradas apresentavam lacunas conceituais, embora demonstrassem/mobilizassem saberes inerentes às Estruturas Multiplicativas, cujas produções referem-se a proporção simples da relação Quaternária. As situações-problemas elaboradas por Sara e Bia ajudaram-nos a inferir que elas mobilizam saberes evocados no campo das Estruturas Multiplicativas e, mesmo havendo produções que emergem mais de uma interpretação, estão de acordo com a proposta de Vergnaud (1983, 1996, 2009) e com o estudo Teoria dos Campos Conceituais e com o esquema da Estrutura Multiplicativa (Figura 1). Elas elaboraram situações da relação Quaternária, eixo das proporções simples, utilizando medidas discretas e/ou contínuas, cujas operações para a resolução foram a multiplicação e a divisão. REFERÊNCIAS ANDRÉ, Marli. Avanços no conhecimento etnográfico da escola. In: FAZENDA, I. (Org). Pesquisa em Educação e as transformações do conhecimento, São Paulo: Papirus, BALTAR, P. M. Um salto para o futuro. Grandezas e medidas no ciclo da alfabetização. Ano XXIV-Boletim 8- Setembro de Tv Escola. BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: Matemática. Brasília, D. F: MEC/SEF, 1998.

12 MAGINA, Sandra Maria Pinto. SANTOS, Aparecido dos. MERLINI, Vera Lucia. O raciocínio de estudantes do Ensino Fundamental na resolução de situações das estruturas multiplicativas. Ciênc. Educ., Bauru, v. 20, n.2, p , SANTANA, Eurivalda Ribeiro. Estruturas Aditivas: o suporte didático influencia a aprendizagem do estudante? Tese (Educação Matemática/Doutorado PUC/SP). São Paulo, SANTOS, Aparecido dos. Formação de professores e as estruturas multiplicativas: reflexões teóricas e práticas. 1. Ed. Curitiba: Appris, VERGNAUD, Gerard. Multiplicate structures. IN: RESH, R.; LANDAU, M. (Orgs.). Acquisitions of mathematics concepts and processes. New York. Academic Press, A Teoria dos Campos Conceituais. In. BRUN, J. Didáctica das matemáticas. Tradução por Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, P A Criança, A Matemática e a Realidade: Problemas de ensino da matemática na escola elementar. Tradução de Maria Lúcia Faria Moro. Curitiba: UFPR, O longo e o curto prazo na aprendizagem da matemática. Educar em Revista, Curitiba, Brasil, n. Especial 1/2011, p Editora UFPR.