A INTRODUÇÃO DO RACIOCÍNIO FUNCIONAL NO 5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL: UMA INTERVENÇÃO

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1 A INTRODUÇÃO DO RACIOCÍNIO FUNCIONAL NO 5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL: UMA INTERVENÇÃO Antonio César Nascimento Teixeira 1 GDnº 1 Educação Matemática nos anos Iniciais do Ensino Fundamental O objetivo deste estudo é identificar as possibilidades de introduzir o raciocínio funcional, no 5º ano do Ensino Fundamental em uma escola pública do sul do Estado da Bahia, trabalhando com a função polinomial do 1º grau, a partir de situações referentes à proporção simples. Dessa forma visa responder a seguinte questão de pesquisa: Como se dá a compreensão sobre funcionalidade em estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental? Quais estratégias eles utilizam ao se deparar com atividades que explorem o raciocínio funcional? Este projeto está pautado nas ideias da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1996) no que se refere à Estrutura Multiplicativa, enfocando o eixo da Proporção Simples e as classes um para muitos e muitos para muitos. O procedimento metodológico escolhido é o da pesquisa quase-experimental (RUDIO, 2001). É esperado que, a partir desse trabalho os estudantes se apropriem de raciocínio funcional na resolução das situações de proporção simples. Palavras-Chave: Anos Iniciais; Estrutura Multiplicativa; Função; Proporção Simples; Intervenção. Introdução Como professor da Rede Pública do Estado de São Paulo desde 1987, trabalhando com estudantes do Ensino Médio, em especial com os do 1º ano, pudemos perceber que eles apresentam certas dificuldades na compreensão do conceito e propriedades das funções em geral. As orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) indicam que as primeiras noções de função polinomial de 1º e 2º graus iniciam, comumente, no 9º ano do Ensino Fundamental, contudo nossa proposta é de antecipar essa introdução já no 5º ano. Desse modo, com as devidas adaptações didáticas necessárias, essas noções já poderiam ser tratadas desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Essa introdução antecipada se justifica pelo fato de termos encontrado um estudo correlato, no 7º ano, (PIRES, 2009) que trabalhou com função afim a partir de modelagem matemática. 1 Universidade Estadual de Santa Cruz, cesinhascs@uol.com.br, Bolsista CAPES, orientadora Dra. Sandra Magina. Este projeto de dissertação está inserido no âmbito do Projeto FAPESB (PES0019/2013)

2 2 Corroboram com essa ideia Carraher, Martinez, Schliemann (2007); Canavarro (2007) e Yamanaka, Magina (2008), quando expõe seus estudos sobre a Early Algebra concluindo ser possível adiantar alguns conteúdos que são ministrados apenas nos anos finais do Ensino Fundamental ou no Ensino Médio. Isso posto, o objetivo de nosso estudo é investigar o raciocínio funcional introdutório dos estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental. A partir deste objetivo construímos nossa questão de pesquisa a qual encontra-se assim expressa: Como se dá a compreensão sobre funcionalidade em estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental? Quais estratégias eles utilizam ao se deparar com atividades que explorem o raciocínio funcional? Para alcançar o objetivo e responder a questão de pesquisa, dividimos nosso trabalho em quatro capítulos que passamos a transcrever. 1. A Álgebra (Capítulo em Construção) 2. Fundamentação Teórica Esse capítulo é dedicado a apresentarmos as ideias teóricas que fundamentaram nosso estudo. Iniciamos discutindo a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1996), em especial naquilo que interessa para este estudo, qual seja, as Estruturas Multiplicativas no seu eixo Relações quaternárias. Na sequência abordamos a Early Algebra, pois julgamos que esse aporte teórico está diretamente relacionado com esta pesquisa, uma vez que estamos trabalhando álgebra já nos anos iniciais Teoria dos Campos Conceituais Nosso interesse nesse estudo é trabalhar, a partir de situações-problema, norteados pela Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1996), a qual postula que é por meio da situação que o sujeito é confrontado com novas experiências e, para resolvê-las, ele se utiliza dos conhecimentos já apropriados na tentativa de novas descobertas. A Teoria dos Campos Conceituais é uma teoria cognitiva que visa fornecer um quadro coerente e alguns princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem

3 3 de competências complexas, notadamente das que relevam das ciências e das técnicas (VERGNAUD, 1996, p. 155). Nela distingue-se duas classes de situações, a saber: 1 classe de situações para as quais o sujeito dispõe, no seu repertório, num dado momento do seu desenvolvimento, e em determinadas circunstâncias, das competências necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação; 2 classes de situações para as quais o sujeito não dispõe de todas as competências necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e de exploração, a hesitações, a tentativas abordadas, conduzindo-o, quer ao êxito, quer ao fracasso (VERGNAUD, 1996, p.156). Desse modo, ao tentar solucionar a situação o sujeito poderá utilizar conhecimentos apreendidos dentro de um determinado domínio, o qual poderá ou não ser efetivo para resolvê-la. Ao professor cabe então propor uma variedade de situações, compostas por diferentes relações nas quais um conceito possa ser desenvolvido com seus estudantes, em busca de uma evolução nas suas resoluções. No caso de nossa pesquisa, o conceito a ser trabalhado é o de função, especificamente da função polinomial do 1º grau. Isto leva-nos a entender a afirmação de Vergnaud, qual seja, que para haver a compreensão de um conceito, por mais simples que ele possa ser, tal compreensão não será atingida advinda de apenas um tipo de situação. Da mesma forma, uma simples situação sempre envolverá mais de um conceito. Para entendermos melhor essa teoria, transcrevemos a seguir o que é campo conceitual para Vergnaud: O sentido do desenvolvimento e do funcionamento de um conceito no decurso da aprendizagem ou quando de sua utilização, deve considerar, ao mesmo tempo: o plano das situações, o dos invariantes operatórios e o das representações simbólicas. Não há em geral bijeção entre significantes e significados, nem entre [esquemas] invariantes e situações. Um conceito se constitui através de uma variedade de situações, e diferentes invariantes estão envolvidos em diferentes situações. Ao mesmo tempo, uma situação não pode ser analisada pela via de um único conceito, pois sua resolução mobiliza, como já vimos, vários esquemas (VERGNAUD, 1985, 1990, 194, apud FRANCHI et al, 1999, p ). Dentre os campos conceituais nos interessa o campo conceitual multiplicativo, cujas situações envolve o tratamento de uma ou mais operação de multiplicação e/ou divisão. Segundo essa teoria, o estudo do desenvolvimento de um campo conceitual requer o reconhecimento, por parte do pesquisador, de que um conceito seja formado por uma terna de conjuntos (S, I, R), sendo: S é um conjunto de situações que tornam o conceito significativo;

4 4 I é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) que podem ser reconhecidos e usados pelo sujeito para analisar e dominar essas situações; R é um conjunto de representações simbólicas que podem ser usadas para pontuar e representar esses invariantes e, portanto, representar as situações e os procedimentos para lidar com eles. (MAGINA, 2008, p.7). Neste estudo consideramos o conjunto de situações como sendo aquele formado pelas sequências, quer sejam com figuras, quer sejam numéricas, relações um para muitos e as relações muitos para muitos. O conjunto de invariantes é aquele formado pela relação fixa entre as grandezas e o conjunto de representações é formado pela linguagem natural, representações pictóricas e representações algébricas. Essa variedade de situações das quais emergem o conceito em que pretendemos trabalhar, fazem parte das Estruturas Multiplicativas (VERGNAUD, 2009), mais especificamente das relações quaternárias no que se refere a proporção, apresentado a seguir Estruturas Multiplicativas Para Vergnaud (2009) as situações do campo conceitual multiplicativo são classificadas como relação quaternária e relação ternária. A primeira refere-se a situações que comportam quatro quantidades de duas grandezas distintas, duas a duas. Quanto às situações referentes à relação ternária, estas comportam três quantidades, em que uma é produto das outras duas. Para o propósito deste estudo, interessa-nos as relações quaternárias no eixo de proporção simples. Pensemos no seguinte exemplo: DOIS CARROS POSSUEM 8 RODAS. QUANTAS RODAS POSSUEM 6 CARROS? Notemos que se trata de uma situação-problema envolvendo quatro quantidades de duas grandezas distintas (carros e rodas), duas a duas, sendo a quantidades de carros (2), a quantidade de rodas (8) e quer saber a quantidade de rodas (?), considerando a quantidade de 6 carros. Assim temos três quantidades e queremos determinar a quarta, por isso é chamada de relação quaternária. Nas situações relativas às relações quaternárias, Vergnaud (2009) destaca dois tipos de análise: a vertical, centrada na noção do operador-escalar que opera com as quantidades de mesma grandeza; e a horizontal, centrada na noção de operador-funcional, que permite passar de uma quantidade para outra, porém de grandezas distintas. Nosso estudo se

5 5 pautará sobre tal análise horizontal, pois esta está diretamente relacionada com o raciocínio funcional, que é o objeto de nossa pesquisa. Abaixo apresentamos os esquemas relacionados a cada uma das análises, relativos ao exemplo anterior: Análise vertical operador escalar Esquema 1 - Análise de um problema utilizando o operador escalar (vertical) QUANTIDADE QUANTIDADE DE CARROS DE RODAS 2 8 x 3 x 3 6? Fonte: Inspirado no esquema de Vergnaud (2009) Análise horizontal operador-funcional Esquema 2 - Análise de um problema utilizando o operador funcional (horizontal) QUANTIDADE QUANTIDADE DE CARROS DE RODAS 2 f (x 4) 8 6 f (x 4)? Fonte: Inspirado no esquema de Vergnaud (2009) Vergnaud (2009, p. 252) ainda afirma que é nessa análise horizontal que está a raiz das dificuldades encontradas para fazer a criança compreender a noção de função. Ele aponta que a noção de correspondência entre as quantidades de grandezas distintas e a representação em tabela não apresenta qualquer dificuldade aos estudantes. Contudo, a análise dessa correspondência em termos de função, é por seu lado, muito mais delicada porque implica não somente a noção de relação numérica, mas também aquela de quociente de dimensões (Ibid., p.252). No exemplo supracitado, podemos observar um operador-funcional f, que estabelece uma relação entre as duas grandezas (carros e rodas) e essa relação é fixa (f(x) = 4x). E mais, para descobrir essa relação é preciso dividir a quantidade de rodas conhecida (8) pela quantidade inicial de carros conhecida (2), ou, ainda, multiplicar por oito meios (x 8/2), como mostra o Esquema 3 abaixo:

6 6 Esquema 3 - Explicação do uso do operador funcional (horizontal) QUANTIDADE QUANTIDADE DE CARROS 2 x 8/2 8 DE RODAS SE QUEREMOS ENCONTRAR A QUANTIDADE DE RODAS QUE POSSUEM 6 CARROS, TEMOS: 2 carros x 8rodas 2carros = 8 rodas ENTÃO, PODEREMOS APLICAR ESSA MESMA RELAÇÃO A 6 CARROS PARA ENCONTRAR: 6 carros x 8rodas 2carros = 24 rodas Fonte: Inspirado no esquema de Vergnaud (2009) Vergnaud reitera sua posição no cuidado que devemos ter ao lidar com situações semelhantes a esta, quando cita [...] não se deve subestimar a dificuldade de certas noções como as relações, de proporção, de fração e de função que exigem precauções didáticas importantes bem depois do ensino elementar. Apesar disso, essas noções devem ser tratadas desde o ensino elementar. (VERGNAUD, 2009, p.265, grifo nosso). Dessa forma, considerando as ponderações acima afirmadas por Vergnaud e o objetivo desta pesquisa, investigar a compreensão introdutória do raciocínio funcional no 5º ano do Ensino Fundamental a partir de situações de proporção simples, passamos a explicitar o que vem a ser uma relação quaternária, o eixo proporção simples e as classes um para muitos e muitos para muitos. A classe um para muitos é aquela em que uma das quantidades é a unidade. Por exemplo: UM CARRO POSSUI 4 RODAS. QUANTAS RODAS POSSUEM 5 CARROS? Parte-se da quantidade de rodas de um (1) carro, para chegar a quantidade de rodas de cinco (5) carros. Classificamos, também, na classe um para muitos as situações que partem de muitos e chegam na unidade, como a partir da quantidade de rodas que possuem cinco carros e quer chegar na quantidade de rodas que possui um carro. EXEMPLO: SABENDO QUE CINCO CARROS POSSUEM 20 RODAS, QUANTAS RODAS POSSUI UM CARRO? Portanto, na classe um para muitos a unidade sempre será uma das quantidades.

7 7 Na classe muitos para muitos, a unidade não está explicitamente presente nas quantidades. Retomemos nosso primeiro exemplo: Dois carros possui 8 rodas. Quantas rodas possuem 6 carros? Temos as quantidades, 2 e 6 para carros e 8 e 24 (essa última quantidade a ser determinada), para rodas. Percebe-se que a unidade não está nas quantidades (embora, nessa situação, possa ser encontrada) e por isso chamamos de muitos para muitos. Após a explanação de nossa fundamentação teórica no que tange à Teoria dos Campos Conceituais, especificamente as Estruturas Multiplicativas no seu eixo Relações quaternárias, definido a relação da proporção simples e o pensamento funcional, e considerando que a função é um dos conceitos da álgebra escolar, na sequência discutiremos as ideias de um grupo de pesquisadores que tem se tornado forte na Educação Matemática que é a Early Algebra Early Algebra Em conjunto com a Teoria dos Campos Conceituais, elegemos também, como aporte teórico a Early Algebra, por entendemos que ela está diretamente relacionada com esta pesquisa, uma vez que estamos trabalhando álgebra já nos anos iniciais. Sabemos que atualmente inúmeras pesquisas referem-se à possibilidade de antecipar a introdução da álgebra para os estudantes do Ensino Fundamental. Para abrirmos a discussão referente a álgebra nos anos iniciais, trouxemos Carraher, Schliemann e Schwartz (2007, apud Carraher, Martinez e Schliemann, 2008, p. 5, tradução nossa) que citam álgebra inicial entrelaça com temas tradicionais do currículo do ensino fundamental, introduz a notação algébrica de forma gradual, e depende fortemente de ricos contextos de suporte.. Os autores afirmam que o ensino da álgebra nos anos iniciais pode ser totalmente articulado com os temas trabalhados dentro do currículo dos anos iniciais. Isso significa que estudantes dessa faixa etária já podem estar aptos a compreender o raciocínio algébrico. Contudo há um alerta com relação a apresentação da álgebra, que seja de forma gradual e esteja dentro de um contexto. A preocupação é relevante ao pensarmos no ensino algébrico apenas e tão somente como técnicas de resolução. Nesse sentido, Yamanaka e Magina (2008) chamam a atenção ao citar que a Matemática nas séries iniciais se baseia em aritmética e na fluência calculatória, constituindo-se puramente em uma abordagem procedimental e que essa abordagem aponta para um cenário de insucessos em termos das realizações estudantis.

8 8 Concordamos com essas afirmações, pois julgamos que a matemática é mais do que fluência calculatória ou procedimentos repetidos. A matemática deve levar o estudante a ser reflexivo, pensando e analisando qual a melhor forma de solução para um problema. Alguns pesquisadores são favoráveis a inclusão do pensamento algébrico no currículo de Matemática. Nesse sentido Canavarro (2007, p. 91), pondera que uma abordagem algebrizada da aritmética poderá contribuir para ancorar de forma mais sustentada a aprendizagem da álgebra nos anos posteriores. que Corroborando com essas ideias, Carraher, Martinez e Schliemann (2008) pontuam Precisamos entender e promover a transição de uma matemática fundamentada, em grande parte, em observação empírica e casos particulares para uma baseada na coerência lógica e, em última análise, raciocínio sobre estruturas matemáticas que tem pouco ou nenhum pé no mudo empírico (p. 3, tradução nossa). Ainda conforme essa citação, podemos entender que uma compreensão profunda da aritmética necessita de generalizações matemáticas e um entendimento dos princípios básicos algébricos. Em Carraher, Martinez e Schliemann (2008), temos o recorte de um estudo com o relato de duas lições a respeito de funções lineares em sala de aula cuja participação contou com 15 estudantes que participaram por 3 anos de investigação longitudinal em duas salas de aula de uma escola metropolitana de Boston. Os estudantes participaram das investigações sobre álgebra inicial desde o início da terceira série durante 3 horas por semana e ainda participavam de suas aulas regulares de matemática. Nesse recorte, os autores concluem: Mas há boas razões para a introdução de funções como mapeamentos de entrada e saída. Podemos querer introduzir generalizações para os estudantes através das próprias formas são encontradas no interior do campo da matemática. Mas, mais uma vez, este é inconsistente com a forma como os jovens estudantes aprendem. Eles devem primeiro aprender a fazer generalizações matemáticas sobre problemas para os quais eles estão autorizados a procurar padrões e relações de nota e estruturas. Aos poucos, eles aprendem a formular essas generalizações, utilizando a notação algébrica. Ainda mais gradualmente, eles vão aprender a derivar novas informações ao refletirem sobre as expressões algébricas produzidas por eles mesmos e as que outros produziram. (p. 20, tradução nossa).

9 9 Pelo descrito nessa seção, entendemos que nosso trabalho pode ser classificado como inserido na Early Algebra, e com foco em nosso objetivo, observaremos se as sugestões mencionadas se confirmam. 3. Procedimentos Metodológicos Neste capítulo, descrevemos os procedimentos metodológicos adotados para atingir nosso objetivo e, assim, respondermos à seguinte questão de pesquisa: Como se dá a compreensão sobre funcionalidade em estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental? Quais estratégias eles utilizam ao se deparar com atividades que explorem o raciocínio funcional? Desse modo, iniciamos o capítulo apresentando a opção teóricometodológica, em seguida o desenho geral do experimento que corresponde: (a) ao universo de estudo, no que diz respeito aos participantes; (b) aos instrumentos diagnósticos; (c) à intervenção de ensino Opção Teórico-Metodológica Optamos por realizar uma pesquisa quase-experimental, de caráter intervencionista, com a finalidade de introduzir o pensamento funcional aos estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental. Segundo Fiorentini e Lorenzato As pesquisas experimentais, quase-experimentais ou de laboratório caracterizam-se pela realização de experimentos que visam verificar a validade de determinadas hipóteses em relação ao fenômeno ou problema. Entendemos por experimento aquela parte da investigação na qual se manipulam certas variáveis e se observam seus efeitos sobre outras. Esses estudos podem ser realizados em laboratórios ou não, podendo ser caracterizados como quaseexperimentais ou, simplesmente, experimentais. (2012, p.71) Na perspectiva de Rudio (2001) este estudo está definido como uma variação do plano clássico da pesquisa experimental, pois este não conta com o grupo controle. Este estudo, segundo o autor conta com um Grupo único comparado antes e depois Às vezes não podemos encontrar um grupo de controle para realizarmos um experimento. Neste caso, contamos apenas com um grupo experimental grupo único.[...] Há, portanto, um pré-teste antes da aplicação do fator experimental e um pós-teste depois. Este plano permite obter informação da influência que o fator experimental exerce sobre os indivíduos e certas modificações que produz [...] (RUDIO, 2001, p. 85). Nesse sentido, esta pesquisa busca testar a eficácia de uma intervenção de ensino planejada para introduzir o pensamento funcional com uma turma do 5º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública de Ilhéus BA. Para tanto o estudo foi constituído de duas etapas

10 10 distintas: uma envolvendo a aplicação de instrumentos diagnósticos (pré e pós-testes 1 e 2) e outra voltada para a intervenção de ensino (fator experimental) aqui referida Desenho Geral do Experimento Nesta seção apresentaremos dois tópicos de nossa metodologia, quais sejam, o universo do nosso estudo, especificando a nossa amostra, e as etapas do estudo. Dentro da descrição dessas etapas, listaremos os instrumentos utilizados em cada uma delas e os procedimentos Universo do Estudo A pesquisa foi desenvolvida em uma escola da rede pública municipal do sul da Bahia, em uma classe de estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental. A escola funciona nos turnos, matutino e vespertino. Possui 535 estudantes do 1º ao 5º ano, divididos em 22 turmas, 11 em cada turno. A escola possui espaço amplo para recreação, sala de informática, biblioteca e salas para administração. O corpo docente é composto por 18 professores, todos com formação em nível superior (17 em Pedagogia e 1 em História) e duas coordenadoras pedagógicas, ambas com formação em Pedagogia. A classe em que o estudo foi realizado é do período matutino, cujo horário de início da aula é às 7h30min e seu término às 11h30min. A turma era composta por 30 alunos matriculados mas somente 29 frequentavam a aula Etapas do Estudo Nesta seção descrevemos as etapas do estudo e como citamos anteriormente, ele foi dividido em duas: aquela voltada para a aplicação dos instrumentos diagnósticos (chamaremos de Etapa Diagnóstica, composta por três instrumentos: pré-teste, pós-teste 1 e pós-teste 2) e uma outra etapa, a aplicação de uma intervenção de ensino (chamaremos de Etapa Intervenção). Na Etapa diagnóstica, aplicamos três instrumentos diagnósticos, todos explorando os mesmos conteúdos. O pré-teste foi aplicado com o intuito de diagnosticar o pensamento funcional dos estudantes antes da intervenção. Uma semana após a intervenção de ensino, aplicamos o primeiro pós-teste, denominado por pós-teste 1, o qual foi composto pelas mesmas questões do pré-teste, porém com a ordem das questões alterada. A finalidade desse pós-teste 1 foi o de avaliar o desempenho dos estudantes para resolver questões

11 11 relacionadas ao pensamento funcional após a intervenção, ou seja, em última análise queríamos investigar se houve ou não evolução no pensamento funcional dos estudantes, após nossa intervenção de ensino. Por fim, 60 dias após a aplicação do pós-teste 1, aplicamos o segundo pós-teste, denominado por pós-teste 2, o qual foi uma cópia do pósteste 1. A finalidade desse último instrumento foi o de investigar o que realmente ficou apreendido pelos estudantes sobre o assunto. Tanto o pré-teste quanto os dois pós-testes foram compostos por quatro situações, com três subitens, relativas à proporção simples, cuja abordagem perpassou por sequência e raciocínio funcional. Assim, todos os instrumentos tiveram 12 itens. Os resultados obtidos podem ser analisados qualitativamente considerando as ações, esquemas e processos utilizados pelos estudantes na resolução das situações problema, antes e após as intervenções, bem como podemos analisar os resultados quantitativamente, verificando a porcentagem de acertos dos estudantes, antes e após as intervenções. (Testes diagnósticos: pré-teste, pós-testes 1 e 2 em construção) A intervenção foi composta de cinco encontros semanais. (Essa etapa está em construção) 4. Análise dos dados (Capítulo a ser construído após coleta dos dados) REFERÊNCIAS BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática, 3ª ed. São Paulo: Contexto, BIEMBENGUT, M.S. e HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino, 8ª série. São Paulo: Contexto, BLANTON, L. M. et al. Early Algebra. In: Algebra: Gateway to a Technological Future, Columbia/USA, The Mathematical Association of America, 2007, p BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, CANAVARRO, A. P. O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos primeiros anos. Quadrante, v. XVI, n. 2, p , CARRAHER, D. W.; MARTINEZ, M. V.; SCHLIEMANN, A. D. Early álgebra and matematical generalization. ZDM Mathematics Education, v. 40, p. 3-22, 2008.

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