IDENTIFICAÇÃO USANDO TÉCNICAS DE SUBESPAÇOS DE UMA PLANTA DE BOMBEAMENTO DE ÁGUA - UM ESTUDO DE CASO Rodrigo Augusto Ricco, Anny Verly, Bruno Otávio Soares Teixeira, Luis Antonio Aguirre Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos, 6627; 31.270-901 Belo Horizonte, MG, Brasil Emails: ricco@ufmg.br, annyverly@ufmg.br, brunoot@ufmg.br, aguirre@cpdee.ufmg.br Abstract This paper describes a case study on subspace identification methods. This empirical method differs from traditional ones and presents some advantages in the case of multivariable systems. The Combined Robust Algorithm is applied in the identification of a water pumping plant. The results achieved are compared with well known prediction error methods. The algorithms performance is assessed using statistical criteria and free-run simulation. Keywords Multivariable identification, subspace identification methods, prediction error methods. Resumo Este trabalho apresenta um estudo de caso de identificação de sistemas que usa o método por subespaços. Este método empírico se diferencia dos tradicionais, com relação a utilização de ferramentas algébricas e representação dos modelos, além de apresentar vantagens na estimação dos parâmetros de sistemas multivariáveis. O Algoritmo Robusto Combinado foi aplicado na identificação de uma planta de bombeamento de água. Para verificar a acurácia dos resultados, este método é comparado com os de predição de erro. O desempenho de tais algoritmos é verificado utilizando-se critérios estatísticos de qualidade e simulação livre dos modelos obtidos. Palavras-chave de erro. Identificação multivariável, métodos de identificação por subespaços, métodos de predição 1 Introdução Na modelagem matemática de sistemas, existem basicamente duas formas de obtenção de modelos: a identificação de sistemas (Ljung, 1987; Aguirre, 2007) e a modelagem pela física do processo (Garcia, 2005). A identificação de sistemas é uma forma empírica de obtenção de modelos, baseada em experimentos e coleta de dados, enquanto a modelagem pela física do processo é um procedimento baseado no conhecimento sobre os fenômenos envolvidos. Sabe-se que o conhecimento das relações físicas do processo pode exigir um esforço significativo e específico para cada sistema, o que muitas vezes é difícil. Por outro lado, a identificação de sistemas, exige pouco ou praticamente nenhum conhecimento específico do processo. Por essas razões, têm sido de grande interesse estudar essa área. Nesse contexto, a identificação de sistemas se fortaleceu no campo da engenharia a partir da década de 60. Grande parte da literatura referente à identificação de sistemas, nos anos 70 e 80, se desenvolveu sob o aspecto de como encontrar modelos polinomiais, como os métodos de predição de erro (PE), e o método das variáveis instrumentais (VI) (Aguirre, 2007). Contudo, em meados dos anos 90 é publicado o primeiro livro (Van Overschee e De Moor, 1996), que descreve a teoria de identificação por subespaços de forma abrangente e aplicável a sistemas industriais. A partir desse primeiro marco, a teoria se difundiu rapidamente e nos últimos 15 anos tem atraído a atenção da comunidade científica internacional e de pesquisadores renomados, tais como, (Ljung e McKelvey, 1996), (Katayama, 2005) e (Qin, 2006). Em geral, as estimativas dos métodos de identificação por subespaços (SIM) não são tão precisas como nos métodos de predição de erro (Qin, 2006). Todavia, esses métodos oferecem uma alternativa atrativa dentre as técnicas que obtém modelos por meio de dados de entrada e saída, devido a parametrização simples e generalista de sistemas de múltiplas-entradas e múltiplas-saídas (MIMO). Por utilizar técnicas da teoria de álgebra e serem algoritmos não iterativos, eles estimam as matrizes de estados de forma rápida. Além disso, os algoritmos dos SIM também são atraentes graças ao uso da representação em espaço de estados, que é muito conveniente para a estimação, filtragem, predição e controle (Qin, 2006). Por isso, a popularidade dos SIM na indústria aumentaram de forma significativa nos últimos anos (Borjas e Garcia, 2004; Chui e Maciejowski, 2005). No âmbito nacional, alguns pesquisadores, tais como, (Clavijo e Barreto, 2002) e (Borjas e Garcia, 2004), vêm desenvolvendo trabalhos com estes métodos. Entretanto, dada a relevância internacional do tema, são poucas as publicações nacionais. Como exemplo, pode-se citar o CBA 2010 1, no qual apenas um trabalho versando sobre o assunto foi publicado em seus anais (Giesbrecht e Bottura, 2010). O objetivo deste artigo é dar um passo na direção de difundir melhor as técnicas de identificação 1 Congresso Brasileiro de Automática 2010, Bonito-MS. ISSN: 2175-8905 - Vol. X 296

por subespaços. Para esse fim, decidiu-se comparar o desempenho de tal técnica com procedimentos conhecidos. Neste estudo é utilizada uma planta multivariável de bombeamento de água, instalada no Centro de Pequisas Hidráulicas da UFMG. O presente artigo está organizado da seguinte maneira. Na Seção 2, apresentam-se alguns conceitos principais da teoria de identificação por subespaços. A Seção 3 descreve a planta de bombeamento de água e como foram realizados os testes para obtenção dos dados de identificação. Na Seção 4, são expostos os resultados experimentais. Por fim, a Seção 5 encerra o artigo com discussões e conclusões. 2 Fundamentos 2.1 Modelo em espaço de estados Os SIM tratam sistemas discretos, lineares e invariantes no tempo. Basicamente o método visa, por meio de dados medidos de entrada-saída u k e y k, encontrar os estados x k, construindo computacionalmente um modelo em espaço de estados, descrito por: com E[ ( wk v k x k+1 = Ax k + Bu k + w k, (1) y k = Cx k + Du k + v k, (2) ) ( w T k v T k ) ] = ( Q S S T R ), (3) em que os vetores u k R m e y k R l são as medições das entradas e saídas, respectivamente, no instante de tempo k, enquanto x k R n é o vetor de estados. A matriz A R n n é a matriz dinâmica do sistema, B R n m é a matriz de entrada, C R l n é a matriz de saída e o termo D R l m é a matriz de transmissão direta. As variáveis w k e v k são vetores não mensuráveis conhecidos como ruído de processo e de medição, respectivamente. Supõe-se que esses ruídos são brancos, estacionários, não correlacionados e possuam média nula. As matrizes Q, R e S são as matrizes de covariância das sequências de ruído w k e v k. Esse procedimento divide o problema de identificação no espaço de estados em dois subproblemas mais simples: x d k+1 = Ax d k + Bu k, y d k = Cx d k + Du k. x s k+1 = Ax s k + w k, y s k = Cx s k + v k. 2.3 Equações Matriciais de Entrada-Saída As equações (1) e (2) podem ser reformuladas e colocadas em forma de equações matriciais como: Y p = Γ i Xp d + Hi d U p + Yp s, (5) Y f = Γ i X d f + H d i U f + Y s f, (6) X d f = A i X d p + d i U p, (7) em que Y p e Y f são denominados vetores de saídas passadas e futuras, respectivamente. Pelo empilhamento de Y p e Y f são formados os blocos de Hankel da saída. Os vetores U p e U f são chamados de vetores de entradas passadas e futuras, respectivamente. Eles também formam um bloco de Hankel, mas nesse caso da entrada de dados. X f é a seqüência de estados futuros. i é a inversa da matriz de controlabilidade estendida. Γ i é a matriz de observabilidade estendida. H i é definida uma matriz Toeplitz. Mais detalhes sobre as definições citadas acima podem ser obtidas em (Van Overschee e De Moor, 1996; Katayama, 2005). Pode-se definir as matrizes dos blocos de Hankel pelo empilhamento de entradas e saídas, ou seja, W p = [U p Y p ] T. Vale destacar que as matrizes U p e Y p possuem o mesmo número de linhas i e colunas j. Essas matrizes são empilhadas da mesma forma para cada subsistema, determinístico e estocástico. 2.4 Propriedades Geométricas Por meio das definições dadas na subseção 2.3 pode-se representar a equação (6) de acordo com a Figura 1. 2.2 Subsistemas Determinístico e Estocástico Como descrito em (Van Overschee e De Moor, 1996) o sistema representado pelas equações (1) e (2) pode ser dividido em dois subsistemas, um determinístico e outro estocástico, por meio da divisão do estado (x k ) e saída (y k ) em componentes determinística ( d ) e estocástica( s ): x k+1 = x d k+1 + x s k+1, (4) y k = y d k + y s k. Figura 1: Representação geométrica da equação matricial (6). Analisando a Figura 1, verifica-se que no subespaço gerado pelas matrizes W p e pelo vetor U f ISSN: 2175-8905 - Vol. X 297

são realizadas projeções oblíquas com o vetor Y f. A projeção oblíqua é formada pela projeção do espaço linha de Y f ao longo do espaço linha de U f e no espaço linha de W p. Denota-se essa projeção por O i = Y f / Uf W p = Γ i X f. Por sua vez, uma análise minuciosa mostra que os estados futuros podem ser estimados por uma combinação linear dos dados de entrada e saída passados com os dados de entrada e saída futuros. Desconsiderando o ruído de medição, tem-se que a projeção Ŷf pode ser considerada como uma predição ótima dos dados de saídas futuras Y f, dadas as medições de entradas e saída passadas W p, e as medições das entradas futuras U f. Vale destacar que o estado inicial X 0 para i = 0 deveria ser X d p + X s p. Mas, a parte estocástica do estado inicial X s p é desconhecida e assim é assumida como zero. Por outro lado, deve-se notar que, quando as entradas u k são ruído branco, o estado inicial é X 0 = 0. Pois, nesse caso, não há correlação entre o estado inicial verdadeiro X d p + X s p e as entradas de U p e U f. 2.5 Algoritmo O diferencial dos métodos de identificação por subespaços em relação aos métodos tradicionais se deve à facilidade de obter os estados diretamente a partir das medições dos dados de entrada-saída de um sistema. Ao longo das seções anteriores, evidenciou-se que isso é possível por meio da projeção oblíqua. De acordo com (Van Overschee e De Moor, 1996), verifica-se, também, que os SIM não fazem distinção entre o número de saídas do sistema, ou seja, ele modela da mesma forma tanto um sistema de 1 saída quanto um de N saídas. O algoritmo usado neste trabalho é conhecido como Algoritmo Robusto Combinado 2 (ARC), maiores detalhes podem ser consultados em (Van Overschee e De Moor, 1996). 3 Descrição do Sistema O sistema em estudo é projetado para a realização de testes que permitem a medição e controle da vazão de água, bem como suas respectivas pressões internas. Uma visão geral sobre tal aparato experimental é dada na Figura 2. As duas motobombas (MB 1 e MB 2), com motores de 20 cv, são responsáveis pela sucção da água do reservatório para os dutos de escoamento. Cada motobomba é acionada por um inversor de frequência. Durante a realização dos testes para identificação, acionou-se apenas a MB 2. Como pode ser observado, a água é succionada do reservatório 1 para o reservatório 2. Deve-se ressaltar que, também, há um fluxo de água de um reservatório para o outro. Ao longo das tubulações foram instalados dois sensores. Sendo, um sensor 2 Do inglês Robust combined algorithm. eletromagnético e o outro piezoresistivo, responsáveis por mensurar a vazão e a pressão interna, respectivamente. Figura 2: Esquemático do sistema de bombeamento de água. MB 1 e MB 2 são as motobombas 1 e 2, respectivamente. 3.1 Testes para a Identificação O inversor de frequência é utilizado na configuração escalar, ou seja, relação tensão-frequência (V/F ) constante. Essa relação V/F varia linearmente com um sinal contínuo de entrada que excursiona de 0V a 5V. Assim, estabelece-se o sinal de entrada do inversor como a entrada u do sistema. Os sinais de saída dos sensores de vazão e pressão variam de 4 a 20mA. Eles são devidamente condicionados de forma que excursionem de -10V a 10V. Esses sinais são escolhidos como sinas de saída da planta, sendo, y 1 o sinal de vazão e y 2 o sinal de pressão. Os dados de entrada e saídas são coletados por meio de uma placa de aquisição de dados National Instruments modelo NI USB- 6008. O ensaio ao degrau do sistema é realizado excursionando numa faixa de operação de 3V a 5V. A constante de tempo obtida é de aproximadamente 6, 89s. De posse da constante de tempo, pode-se escolher a frequência de amostragem (f a ) do sistema. Na prática, f a é normalmente escolhida de 5 a 10 vezes maior do que a maior frequência de interesse (f s ) contida nos dados. Assim, a f a escolhida é de 20Hz. Optou-se por superamostrar o sistema, pois, se for necessário pode ser feita uma decimação no sinal antes da identificação. Projetou-se, assim, um sinal de entrada com característica aleatória. Sendo que, cada patamar do sinal de excitação (aleatório) é mantido por 8 segundos. Esse ensaio é realizado por um período de 40 minutos, resultando num total de 48000 amostras. A massa de dados é dividida, sendo 25000 amostras utilizadas para a identificação e as 23000 amostras restantes, utilizadas para a validação. Os dados de entrada e saídas utilizados para a identificação, devidamente decimados, podem ser vistos na Figura 3. ISSN: 2175-8905 - Vol. X 298

D = [ 0, 02 0 0, 01 0 ]. Nos modelos polinomiais lineares (ARMAX 3 ) e não-lineares (NARMAX 4 ), ao contrário dos SIM, é necessário encontrar um modelo (M) para cada saída, ou seja, M 1 para y 1 e M 2 para y 2. Levando isso em consideração, as etapas para a estimação dos parâmetros utilizando MQE são descritas a seguir, ambas valem para modelos ARMAX e NARMAX: Figura 3: Dados de identificação do sistema, sendo: (a) sinal aleatório de comando do inversor em volts, (b) sinal de saída correspondente a vazão, em volts, (c) sinal de saída correspondente a pressão, em volts. 4 Resultados Experimentais 4.1 Identificação do Sistema De posse dos dados do ensaio de excitação aleatória, o passo seguinte é realizar a identificação do sistema. A identificação é realizada por dois métodos, o de identificação por subespaços com o ARC e o de predição de erro com o mínimos quadrados estendido (MQE). Detalhes sobre o MQE podem ser vistos em (Aguirre, 2007). Conforme descrito na Seção 2.5, uma das vantagens do SIM é que não há necessidade de encontrar um modelo para cada saída (vazão e pressão). Uma outra vantagem é que os SIM não necessitam de muitos parâmetros de inicialização. O único parâmetro de inicialização que deve-se determinar é a ordem do modelo. A ordem do modelo é definida com base na minimização do erro de simulação, ou, ajuste do modelo aos dados, em porcentagem. Sendo assim, após algumas simulações variando a ordem do sistema, escolhe-se o modelo de quarta ordem, pois é a representação que melhor se adapta aos dados. O ARC produz um modelo linear (1) - (2) com parâmetros: A = C = 0, 80 0, 28 0, 05 0, 07 0, 21 0, 78 0, 06 0, 23 0, 12 0, 04 0, 78 0, 05 0, 05 0, 11 0, 04 0, 95 0 0, 26 B = 0 0, 28 0, 06 0, 0, 03 0 [ 0, 26 0, 07 0, 17 0, 06 0, 26 0, 17 0, 18 0, 03, ], 1. Primeiramente, são gerados modelos com todos os termos candidatos. A fim de se realizar uma comparação direta com o ARC, definese os máximos atrasos para u em M 1 e M 2, para y 1 em M 1 e para y 2 em M 2, de 4 atrasos. Os máximos atrasos do termo de ruído (e), para os modelos linear e não-linear são definidos como 4 para M 1 e M 2. Deve-se ressaltar, que nos modelos NARMAX definese o grau de não-linearidade igual a 2, uma vez que, no sistema em estudo não são notadas grandes diferenças para grau de nãolinearidades maiores. 2. O número de termos a serem considerados no modelo são estimados utilizando o critério de Akaike; 3. Tendo a estrutura dos modelos bem definida, o passo seguinte é estimar os valores dos parâmetros para cada modelo utilizando MQE. Os parâmetros dos modelos ARX e NARX, desconsiderando o termo MA, não são aqui apresentados por restrição de espaço. 4.2 Validação dos Modelos Para facilitar a visualização do ajuste dos algoritmos, parte da simulação livre dos modelos lineares, para as duas saídas, é mostrada na Figura 4. Verifica-se que esses modelos não conseguem chegar aos picos. Isso se deve ao fato dos ganhos dos sistemas lineares serem fixos. Contudo, verifica-se que o ARC e o MQE modelam alguns aspectos do comportamento dinâmico do sistema. Também é utilizada, na validação, a autocorrelação dos resíduos (r ξξ ) e a correlação cruzada dos resíduos com a entrada (r ξu ), para os modelos M 1 e M 2 (ARMAX) obtidos pelo MQE, como mostrado na Figura 5. Deve-se destacar, que não é realizada a análise dos resíduos para o ARC. Pois, nesse algoritmo, não há modelo de ruído que garanta que os resíduos sejam brancos. Nessa perspectiva, não seria interessante comparar o ARC com o MQE. Contudo, a análise dos resíduos do 3 Do inglês, Auto-Regressive with Movie Average and exogenous inputs. 4 Do inglês, Non-linear Auto-Regressive with Movie Average and exogenous inputs. ISSN: 2175-8905 - Vol. X 299

MQE-ARMAX serve de parâmetro para indicar se há ou não informações, contidas nos dados, que os modelos não conseguem explicar. baixa correlação cruzada dos resíduos com a entrada, como mostrado na Figura 5. Supõe-se que ao succionar a água do reservatório 1, massas de ar também passam pela tubulação, ocasionando esses eventos. Vale destacar que esses picos aparecem durante todo o ensaio; veja Figura 3. A análise dos resultados dos modelos lineares sugere uma hipótese de que posssivelmente o processo seja não-linear, a tal ponto de impedir um bom ajuste por parte dos modelos lineares. Para testar essa hipótese, modelos NARMAX, são obtidos. Para avaliar a qualidade dos modelos obtidos, por cada algoritmo, usa-se o indicador de desempenho conhecido como RMSE 5. Os valores do RMSE para os modelos de vazão e os de pressão, estão mostrados na Tabela 1, nessa análise os termos de ruido (MA) são desconsiderados. z Figura 4: Validação dinâmica para os modelos lineares. (a) y 1 - vazão e (b) y 2 - pressão. ( ) dados experimentais de saída, ( ) dados estimados pelo MQE-ARX e ( ) dados estimados pelo ARC. Tabela 1: Comparação entre os modelos obtidos. Algoritmo NT RMSE Ttot(s) y L 1 6 0,62 0,38 y MQE 2 6 0,92 NL y 1 10 0,61 1,57 y 2 9 0,91 y SIM L 1 0,64 36 0,28 y 2 0,92 L - linear - ARX e em espaço de estados. NL - não-linear - NARX. NT - número de termos de processo. Ttot(s) - tempo total requerido para estimação em segundos. Figura 5: Autocorrelação dos resíduos e correlação cruzada dos resíduos com a entrada dos modelos ARMAX, obtidos pelo MQE. (a) M 1 e (b) M 2.( ) r ξξ (τ), ( ) r ξu (τ) e (- -) intervalo de confiança de 95%. Dessa análise estatística, na Figura 5a, percebe-se que os resíduos do modelo M 1 possuem uma pequena correlação no atraso τ = 5, isso indica que os parâmetros estão levemente polarizados, pois os resíduos não são totalmente brancos. Essa polarização é passível de ser retirada com o aumento da ordem do modelo. Entretanto, para fins de comparação com o ARC manteve-se a ordem igual a 4. Verifica-se que apesar dessa polarização, o modelo M 1 consegue acompanhar os dados do sistema, em alguma medida; veja Figura 4. Na Figura 4b, pode-se notar que um pico positivo e um negativo aparecem durante o ensaio. Esses picos não podem ser modelados pelos algoritmos (ARC e MQE), pois eles não são resultantes da excitação de entrada. Isso é sugerido pela Como pode ser visto, a redução dos valores de RMSE dos modelos não-lineares é desprezível se comparada aos lineares. O que leva à rejeição da hipótese de que os dados sejam não-lineares, ou ao menos com não-linearidades representáveis por modelos com grau de não-lineariedade até 3. Essa constatação reforça as observações feitas anteriormente sobre certos saltos nos sinais medidos. Uma outra análise, por meio de correlações nãolineares (r ξξ 2 e r ξ2 ξ2), dos modelos ARMAX, é realizada para verificar possíveis não-linearidades nos dados. Constata-se, por meio das Figuras 6 e 7 que o sistema não apresenta correlações nãolineares significativas. Sendo assim, os modelos lineares obtidos pelo ARC e MQE modelaram a parte explicável contida nos dados. No presente momento, ainda não se sabe a origem de tais saltos. Como o estudo proposto é de caráter comparativo, julga-se que tais características não sejam um impedimento. Em trabalhos posteriores, contudo, a origem desses fenômenos deve ser melhor compreendida. Da Tabela 1 observa-se, também, que os modelos obtidos por MQE e pelo SIM possuem resultados próximos. Apesar do número de termos do ARC ser maior, o tempo de simulação total (Ttot) é cerca de 74% do tempo do MQE- ARMAX e cerca de 18% do tempo do MQE- 5 RMSE - Erro Médio Quadrático. ISSN: 2175-8905 - Vol. X 300

NARMAX. Dessa análise, verifica-se que o tempo requerido pelo ARC para estimar os parâmetros do modelo em espaço de estados é menor do que o MQE, pois ele não é iterativo. A análise do tempo de estimação dos parâmetros, pelos algoritmos, foi realizada por meio das funções tic e toc do MATLAB R. No presente trabalho, mostra-se que os métodos de subespaços permitem a determinação direta dos estados do sistema por meio de técnicas de projeção da teoria de álgebra. Tais técnicas envolvem princípios e conceitos que tornam mais simples a modelagem multivariável. Essa teoria recente é tida como uma das mais promissoras na área de identificação de sistemas, apesar de ainda não ser muito utilizada, especialmente no Brasil. Os métodos de identificação por subespaços (SIM) e os de predição de erro (PE) são aplicados a uma planta de bombeamento de água, para identificação multivariável. Apesar dos mínimos quadrados extendidos (MQE - ARX e NARX) produzirem modelos com RMSE ligeiramente menores, no estudo apresentado, verificou-se que o algoritmo robusto combinado (SIM) é competitivo com o algoritmo de MQE (PE). Além dos SIM serem de fácil implementação, eles também são eficientes e rápidos quando tratam sistemas multivariados, pois a sua aplicação em tais sistemas, especialmente com vistas para controle, é vantajosa quando comparada aos demais algoritmos. Agradecimentos O presente trabalho foi realizado com o apoio financeiro da CAPES - Brasil. Também gostaríamos de agradecer o apoio da FAPEMIG e CNPq. Referências Figura 6: Autocorrelações não-lineares dos resíduos do modelo ARMAX obtido pelo MQE para M 1. (a) r ξξ 2(τ) e (b) r ξ 2 ξ2(τ). (- -) intervalo de confiança de 95%. Figura 7: Autocorrelações não-lineares dos resíduos do modelo ARMAX obtido pelo MQE para M 2. (a) r ξξ 2(τ) e (b) r ξ 2 ξ2(τ). (- -) intervalo de confiança de 95%. 5 Conclusões Aguirre, L. A. (2007). Introdução à Identificação de Sistemas: técnicas lineares e não-lineares aplicadas a sistemas reais, 3 ed, Editora da UFMG, Belo Horizonte. Borjas, S. D. M. e Garcia, C. (2004). Modelagem de FCC usando métodos de identificação por predição de erro e por sub-espaços, IEEE Latin America Transactions 2(2): 108 113. Chui, N. L. C. e Maciejowski, J. M. (2005). Subspace identification - a Markov parameter approach, International Journal of Control 78(17): 1412 1436. Clavijo, D. G. e Barreto, G. (2002). Métodos de subespaços para identificação de sistemas: Propostas de alterações, implementações e avaliações, Tese de Mestrado, Programa de Pós-graduação da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação - UNICAMP. Garcia, C. (2005). Modelagem e simulação de processos industriais e de sistemas eletromecânicos, 2a ed, EDUSP, São Paulo. Giesbrecht, M. e Bottura, C. P. (2010). Uma proposta imuno-inspirada para a solução algébrica da equação de Riccati no problema de identificacao de séries temporais no espaço de estado, XVIII CBA - Congresso Brasileiro de Automática, Bonito- MS, pp. 2498 2503. Katayama, T. (2005). Subspace methods for system identification : a realization approach., 1 ed, Springer, Kyoto, Japan. Ljung, L. (1987). System Identification: Theory for the User, Prentice-Hall, London. Ljung, L. e McKelvey, T. (1996). A least squares interpretation of sub-space methods for system identification, Proceedings of 35th IEEE Conference on Decision and Control (1): 335 342. Qin, S. (2006). An overview of subspace identification, Computers & Chemical Engineering 30(10-12): 1502 1513. Van Overschee, P. e De Moor, B. (1996). Subspace identification for linear systems, 1 ed, Kluwer Academic, Belgium. ISSN: 2175-8905 - Vol. X 301