Análise de egressão Linear Múltipla I Aula Gujarati e Porter - Capítulo 8 Wooldridge - Capítulo 5 Heij et al., 004 Seção 4..4
Introdução Ao longo dos próximos slides nós discutiremos uma alternativa para testar um conjunto de restrições nos parâmetros que precisa apenas dos resultados obtidos sob o modelo restrito. Este teste é baseado no método de Lagrange para minimização sob restrições.
Teste LM (Teste do Multiplicador de Lagrange)
Considere o seguinte modelo de regressão linear múltipla: y i = 0 + x i + x i +... + k x ki + i, i =,,..., n. que pode ser escrito na forma linear geral y β Ainda, considere a hipótese linear geral: H H o A : β r : β r ε β r 0 4
5, r y y r S O método de Lagrange afirma que as estimativas de mínimos quadrados, sob H 0, podem ser obtidas minimizando a seguinte função de Lagrange Teste LM
(b) 0 (a) 0 r y Assim, as condições de primeira ordem são dadas por: Teste LM
Pré-multiplicando (a) por Teste LM e usando (b) em (a), vem que - r (como podemos interpretar esse resultado?)
8 Não é difícil provar que: ; 0 g N Teste LM ) ( então, n N n Se μ x Σ μ x Σ ; μ x esultado
9 Do resultado anterior, vem que ) ( g LM Teste LM Ainda, podemos reescrever o resultado anterior como ) ( g r r LM
Teste LM Como é desconhecido, o substituímos pelo seu estimador consistente que, nesse caso, é dado por n em que, - vetor de resíduos associado à estimação, por MQO, dos parâmetros do modelo restrito.
Dessa forma, Teste LM Greene (008) mostra que o resultado anterior pode ser escrito como ) ( g r r LM ) ( g LM
Teste LM Ainda, Greene (008) também afirma que o resultado anterior pode ser escrito como: em que, LM n ( g) - coeficiente de determinação associado à estimação dos parâmetros do modelo cuja variável resposta é em função das variáveis explicativas do modelo irrestrito.
Cálculo da Estatística LM (via Eviews) (i) (ii) (iii) (iv) (v) Estime os parâmetros do modelo restrito; Salve os resíduos do modelo restrito estimado em (i); egrida os resíduos obtidos em (ii) em função de todas as variáveis explicativas do modelo irrestrito; Calcule LM = n. ê [n é o tamanho amostral utilizado no passo (iii)]; Compare o valor da estatística LM com um valor crítico da distribuição g, para um determinado nível de significância fixado: se LM > g, rejeitamos a hipótese nula.
Exemplo No arquivo HPICE.xls estão dispostos dados sobre 88 residências. Foram observadas as variáveis: price preço da residência, em milhares de dólares; assess valor avaliado, em milhares de dólares; bdrms número de dormitórios; lotsize área do terreno, em pés ; sqrft área construída, em pés ; colonial ( = casa no estilo colonial). 4
Exemplo (cont.) Utilizando os dados do arquivo anteriormente citado: a) Estime os parâmetros do modelo log( price) 0 log( assess) lotsize 3sqrft 4bdrms escreva os resultados na forma usual e interprete as estimativas dos parâmetros. 5
Exemplo (cont.) Solução: item (a) 6
7 047844 0 7687 0 7737 88 0,08393 0,9 0,78 0,947875 0,093445 ) log( 067 0 5,870 6,670 6 0 776 63050 0 5 6, σ,, n bdrms sqrft lotsize assess price a ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( Exemplo (cont.) Solução: item (a)
Exemplo (cont.) b) Verifique, a partir da condução de um teste LM, com 5% de significância, se o modelo de regressão proposto em (a) é estatisticamente significante. H0 : β β β3 β4 0 H : pelo menos um parâmetro A difere de zero 8
Solução: item (b) Estimação do modelo restrito 9
Solução: item (b) egressão dos resíduos do modelo restrito em função de todas as variáveis explicativas
Solução: item (b) LM = 88* 0,7737 = 68,08754 (0,05; 4) = @qchisq(0.95, 4) = 9,48 p-valor < 0,00
Exercício c) Conduza um teste LM que seja capaz de verificar a validade das seguintes hipóteses de interesse: H H 0 A : : β β Ainda, em termos do problema, qual o significado prático do resultado obtido?
Tabela Qui-quadrado Probabilidade (p) gl 0.005 0.00 0.05 0.050 0.00 0.00 0.300 0.400 0.500 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995 7.88 6.63 5.0 3.84.7.64.07 0.7 0.45 0.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.60 9. 7.38 5.99 4.6 3..4.83.39 0. 0.0 0.05 0.0 0.0 3.84.34 9.35 7.8 6.5 4.64 3.66.95.37 0.58 0.35 0. 0. 0.07 4 4.86 3.8.4 9.49 7.78 5.99 4.88 4.04 3.36.06 0.7 0.48 0.30 0. 5 6.75 5.09.83.07 9.4 7.9 6.06 5.3 4.35.6.5 0.83 0.55 0.4 6 8.55 6.8 4.45.59 0.64 8.56 7.3 6. 5.35.0.64.4 0.87 0.68 7 0.8 8.48 6.0 4.07.0 9.80 8.38 7.8 6.35.83.7.69.4 0.99 8.95 0.09 7.53 5.5 3.36.03 9.5 8.35 7.34 3.49.73.8.65.34 9 3.59.67 9.0 6.9 4.68.4 0.66 9.4 8.34 4.7 3.33.70.09.73 0 5.9 3. 0.48 8.3 5.99 3.44.78 0.47 9.34 4.87 3.94 3.5.56.6 6.76 4.73.9 9.68 7.8 4.63.90.53 0.34 5.58 4.57 3.8 3.05.60 8.30 6. 3.34.03 8.55 5.8 4.0.58.34 6.30 5.3 4.40 3.57 3.07 3 9.8 7.69 4.74.36 9.8 6.98 5. 3.64.34 7.04 5.89 5.0 4. 3.57 4 3.3 9.4 6. 3.68.06 8.5 6. 4.69 3.34 7.79 6.57 5.63 4.66 4.07 5 3.80 30.58 7.49 5.00.3 9.3 7.3 5.73 4.34 8.55 7.6 6.6 5.3 4.60 6 34.7 3.00 8.85 6.30 3.54 0.47 8.4 6.78 5.34 9.3 7.96 6.9 5.8 5.4 7 35.7 33.4 30.9 7.59 4.77.6 9.5 7.8 6.34 0.09 8.67 7.56 6.4 5.70 8 37.6 34.8 3.53 8.87 5.99.76 0.60 8.87 7.34 0.86 9.39 8.3 7.0 6.6 9 38.58 36.9 3.85 30.4 7.0 3.90.69 9.9 8.34.65 0. 8.9 7.63 6.84 0 40.00 37.57 34.7 3.4 8.4 5.04.77 0.95 9.34.44 0.85 9.59 8.6 7.43 4.40 38.93 35.48 3.67 9.6 6.7 3.86.99 0.34 3.4.59 0.8 8.90 8.03 4.80 40.9 36.78 33.9 30.8 7.30 4.94 3.03.34 4.04.34 0.98 9.54 8.64 3 44.8 4.64 38.08 35.7 3.0 8.43 6.0 4.07.34 4.85 3.09.69 0.0 9.6 4 45.56 4.98 39.36 36.4 33.0 9.55 7.0 5. 3.34 5.66 3.85.40 0.86 9.89 5 46.93 44.3 40.65 37.65 34.38 30.68 8.7 6.4 4.34 6.47 4.6 3..5 0.5 6 48.9 45.64 4.9 38.89 35.56 3.79 9.5 7.8 5.34 7.9 5.38 3.84.0.6 7 49.65 46.96 43.9 40. 36.74 3.9 30.3 8. 6.34 8. 6.5 4.57.88.8 8 50.99 48.8 44.46 4.34 37.9 34.03 3.39 9.5 7.34 8.94 6.93 5.3 3.56.46 9 5.34 49.59 45.7 4.56 39.09 35.4 3.46 30.8 8.34 9.77 7.7 6.05 4.6 3. 30 53.67 50.89 46.98 43.77 40.6 36.5 33.53 3.3 9.34 0.60 8.49 6.79 4.95 3.79