Modelos de Nível de Serviço e Otimização dos Estoques na Cadeia de Suprimentos Probabilidade de Não Faltar Produto e Vendas Perdidas

Modelos de Nível de Serviço e Otimização dos Estoques na Cadeia de Suprimentos Probabilidade de Não Faltar Produto e Vendas Perdidas Peter Wanke, D.Sc. 1. Introdução É universalmente reconhecida a grande importância do conceito nível de serviço no desenho das operações logísticas, na comunicação de expectativas com relação aos níveis de estoque, na relação entre clientes e fornecedores e na segmentação de produtos e mercados em função de sua importância ou rentabilidade. Um dos principais indicadores de nível de serviço adotados pelas empresas é o de disponibilidade de produto. No entanto, verifica-se que esse indicador de disponibilidade pode aparecer sob diferentes modelos de medição em diferentes empresas na cadeia, o que geralmente causa alguma confusão. Será que todas as empresas estão falando a mesma língua? uando se ouve a expressão 90% de disponibilidade de produto, exatamente ao quê ela está se referindo? Por exemplo, dentre os diferentes modelos de medição ou aferição para o indicador de disponibilidade de produto, cabe destacar os mais comuns, conforme discussão a seguir. Probabilidade de não faltar produto, ou o complemento da probabilidade de faltar produto: esse indicador reflete quais são as chances de haver falta durante o ressuprimento, independentemente da magnitude da falta. Mais especificamente, 85% de probabilidade de não faltar produto indicam que, em média, de cada 100 ressuprimentos haverá falta em 15 deles, não importando o quanto se falta (se uma unidade ou mil unidades, esse indicador é o mesmo). Numa cadeia de suprimentos típica, a probabilidade de (não) faltar produto tende a ser o modelo de nível de serviço mais empregado nas relações industriais, ou seja, entre fornecedores e fabricantes, e nos contratos que apresentam um forte viés de penalizar as faltas de produto com multas, independentemente de sua magnitude, visando

garantir a confiabilidade do fornecimento. Alguns acordos de nível de serviço (SLA- Service Level Agreement) entre montadoras de automóveis e fabricantes de autopeças contemplam multas caso o fornecimento Just in Time seja afetado por quebras no tamanho dos lotes do fornecedor. Vendas perdidas, ou a base de cálculo do Fill Rate: esse indicador reflete qual o tamanho médio de falta durante o ressuprimento, nas situações em que há falta. Retornando ao item anterior, se 15 em cada 100 ressuprimentos apresentam falta, no modelo de vendas perdidas é possível estimar, a partir de uma distribuição de probabilidade da demanda no tempo de resposta, qual o tamanho esperado de cada falta. Como, por exemplo, 0 unidades em média para cada um dos 15 ressuprimentos. Pode-se perceber que, numa cadeia de suprimentos típica, os modelos de venda perdida tendem a ser empregados na relação entre fabricantes de bens de consumo e varejistas e entre varejistas e o consumidor final. Grande ênfase é colocada no nível de atendimento da demanda ou no Fill Rate, ou seja, na razão entre duas estimativas: a da demanda atendida e a da demanda total. Mais especificamente, o Fill Rate pode ser aproximado por: FR (Demanda atendida)/(demanda total) FR 1 (Vendas perdidas)/(demanda total) Se o tamanho de lote for suficientemente grande, o mesmo pode ser empregado como aproximação para a demanda total, na forma: FR 1 (Vendas perdidas)/(tamanho de lote) Também se pode perceber que, para empresas que operam com razoável cobertura dos estoques, em termos percentuais o indicador de Fill Rate sempre será maior que o indicador de probabilidade de não faltar produto. Finalmente, ao adotar as vendas perdidas como o modelo básico de planejamento do serviço, as empresas denotam sua

preocupação, não com multas por quebra de contratos de fornecimento, mas sim com margens de contribuição eventualmente perdidas por não haver o produto em estoque para negociação. Deve ser lembrado que a margem de contribuição, ou o preço menos o custo variável (mc p cv), é uma outra forma de medir os custos da falta de determinado produto. Pendências, ou backorders: esse indicador reflete qual o tamanho esperado das pendências totais para um determinado produto, sempre que ocorrer falta num determinado ressuprimento e a situação não puder ser caracterizada como venda perdida, ou seja, sempre que o cliente ou consumidor aceitar esperar. É um modelo de nível de serviço bastante comum em atacadistas e alguns fabricantes de bens de consumo, também sendo verificado no serviço pós-venda, quando da assistência técnica de peças de reposição e em setores oligopolizados, quando a alternativa dos clientes é a importação. Existir pendências não quer dizer que não existam custos de falta: nesse caso, os custos de falta estão associados ao valor tempo do dinheiro da margem de contribuição que o produto gera. Isso porque o que poderia ser faturado hoje e entrar no caixa da empresa só vai entrar quando a pendência for sanada. Neste artigo, indicamos as soluções analíticas para os dois primeiros modelos de nível de serviço (probabilidade de não faltar produto e vendas perdidas) e apresentamos, através de dois pequenos estudos de caso, como otimizar tamanhos de lote e pontos de pedidos considerando os custos logísticos totais como ponto de partida. Em cada caso são consideradas duas situações básicas: uma em que a demanda no tempo de resposta é considerada simétrica e modelada pela distribuição Normal e outra em que a demanda no tempo de resposta é considerada assimétrica e modelada pela distribuição Exponencial. Num artigo futuro será discutido o modelo de pendências. A seção seguinte apresenta uma breve descrição dessas duas importantes distribuições de probabilidade.. Uma Breve Revisão sobre Distribuição Exponencial e Normal

No uadro 1 é apresentada a função densidade de probabilidade (f(x)) para as distribuições Normal e Exponencial, em sua forma analítica e em sua forma para implementação no MS-Excel. Também são apresentadas a forma analítica e a forma no MS-Excel para a Probabilidade de faltar produto durante um determinado ressuprimento (A(x)), que pode ser avaliada para um determinado ponto de pedido (x r). No uadro, μ e σ representam, respectivamente, a média e o desvio-padrão da demanda no tempo de resposta, sendo que, no caso da distribuição Exponencial, μ σ. Especificamente, se r μ (ponto de pedido é a média da demanda no tempo de resposta), no caso da distribuição Normal A(r) 50%, e A(r) 36,79%, no caso da distribuição Exponencial. Percebe-se que a distribuição Exponencial é assimétrica, com viés da demanda no tempo de resposta ser menor que o ponto de pedido. Apesar de a distribuição Normal ser simétrica ao redor da média e a distribuição Exponencial não ser, ambas distribuições representam rendimentos decrescentes na gestão de estoques com relação aos três modelos de nível de serviço em análise. A queda acentuada à direita dos gráficos do uadro 1 indica um esforço crescente em termos de tamanho de lotes e pontos de pedidos para aumentar esses indicadores a partir de patamares mais altos. Por exemplo, consegue-se aumentar a probabilidade de não faltar produto em 10 pontos percentuais, de 70% para 80%, por exemplo, com muito menos investimento em estoque do que de 80% para 90% em ambas as distribuições. Essa propriedade é importante para que possamos conceitualizar políticas de nível de serviço mais elevado como políticas diferenciadas ou premium. Em outras palavras, oferecer 100% de nível de serviço custa muito e pode ser uma meta difícil de atingir.

f(x) - Distribuição de Freqüências DISTRIBUIÇÃO NORMAL 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0,05 0 0 10 0 30 40 50 60 70 x - Demanda no Tempo de Resposta f(x) - Distribuição de Freqüências DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL,5 1,5 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5,5 3 x - Demanda no Tempo de Resposta f ( x ) 1 1 x μ exp πσ σ 1 x f ( x ) exp μ μ f(x) DIST.NORM(x;µ;σ;FALSO) A(x) não tem integral definida A(x) 1-DIST.NORM(x;µ;σ;VERDADEIRO) f(x)distexpon(x; 1/µ;FALSO) A(x) exp (-x/ µ) A(x) 1-DISTEXPON(x; 1/µ;VERDADEIRO) x r : Avaliação no ponto de pedido uadro 1 Distribuições Normal e Exponencial Em seguida, apresentamos a solução geral para os custos logísticos totais do modelo de probabilidade de não faltar produto. 3. Modelo de Probabilidade de Não Faltar Produto O modelo de Probabilidade de não faltar produto é apresentado no uadro. No canto superior esquerdo, a probabilidade de ocorrência de falta em cada ressuprimento desempenha um papel importante em cada ciclo ou dente-de-serra de uma política (,r), onde é o tamanho de lote (em unidades) e r é o ponto de pedido (em unidades). Sempre que houver falta durante o ressuprimento (parte do dente-de-serra englobada pelo ponto de pedido r), isto é, sempre que a demanda verificada no tempo de resposta for maior que r, os custos totais serão acrescidos de MA(r), ou seja, da probabilidade de ocorrência de falta multiplicada pela multa aplicada à empresa por cada ocorrência (conforme indicado na equação de Custos Totais (CT) apresentada no canto inferior do uadro ).

Como são duas as variáveis de decisão, tamanho de lote e ponto de pedido r, a solução ótima para esse modelo de nível de serviço depende de derivar os Custos Totais em função de e r e de igualá-los a zero, de modo que seja definido o ponto de custo mínimo. O resultado dessa operação é apresentado no canto inferior do uadro, onde são encontrados os valores ótimos para a função densidade de probabilidade avaliada no ponto de pedido r (f(r)) e para o tamanho de lote. r C /D 1 ciclo A(r) T Tamanho de Lote (unidades) Tamanho de Lote (unidades) r Ponto de Pedido (unidades) r Ponto de Pedido (unidades) D Demanda média anual (unidades) D Demanda média anual (unidades) C Cobertura do Lote (em anos) C Cobertura do Lote (em anos) NC Número de ciclos por ano 1/C D/ NC Número de ciclos por ano 1/C D/ µ Demanda média no tempo de resposta (unidades) µ Demanda média no tempo de resposta (unidades) Caq Custo unitário de aquisição ($/unidade) Caq Custo unitário de aquisição ($/unidade) CTR Custo Fixo de Ressuprimento ($/envio) CTR Custo Fixo de Ressuprimento ($/envio) i Taxa de oportunidade do capital (% aa) i Taxa de oportunidade do capital (% aa) M Multa por haver falta ($/ocorrência de falta; faltou ou não faltou) M Multa por haver falta ($/ocorrência de falta; faltou ou não faltou) A(r) Probabilidade de faltar, função de r (%) A(r) Probabilidade de faltar, função de r (%) f(r) Função densidade de probabilidade da demanda no tempo de f(r) Função densidade de probabilidade da demanda no tempo de resposta avaliada no ponto r resposta avaliada no ponto r ES Estoque de segurança ou sobra média ao final do ciclo r - µ ES Estoque de segurança ou sobra média ao final do ciclo r - µ D CT r Caq i CTR M A r + μ + + ( ) D CT Caq i 0; f ( r ) r D M CT 0; D ( CTR + M A ( r )) Caq i LEC D M A ( r ) + Caq i uadro Solução geral do modelo de probabilidade de não faltar produto Em linhas gerais, pode-ser afirmado o seguinte, em termos qualitativos, com relação à solução ótima: Maiores o custo unitário de aquisição do produto (Caq), a taxa de oportunidade do capital (i) e o tamanho de lote, maior o valor de f(r). Observando-se as distribuições de probabilidades Normal e Exponencial, percebe-se que maiores valores de f(r) tendem a estar associados a menores pontos de pedidos (r). Dessa forma, maiores Caq, i e, menor o ponto de pedido. Por outro lado, maiores D (demanda anual) e M (multa incorrida por

haver falta), maior o ponto de pedido. É interessante notar o trade-off entre tamanho de lote (quanto pedir) e ponto de pedido (quando pedir). Em outras palavras, maiores tamanhos de lote naturalmente diminuem a freqüência de colocação dos pedidos, ou seja, levam a operar com pontos de pedidos mais baixos (o pedido de ressuprimento leva mais tempo para ser colocado). O tamanho de lote ótimo () no fundo é uma correção do lote econômico de compras (LEC) para a possibilidade de haver falta (A(r)) e, consequentemente, multa (M) ao final de um ressuprimento. Todas as demais propriedades se mantêm: quanto maiores os custos fixos de ressuprimento (CTR) e a demanda anual (D), maior o lote; por outro lado, quanto maior o custo de aquisição do produto (Caq) e a taxa de oportunidade do capital (i), menor o tamanho de lote.

uadro 3 Soluções Ótimas para as Distribuições Normal e Exponencial no Modelo de Probabilidade de Não Faltar Produto Tanto a solução geral para esse modelo (uadro ) quanto as soluções para as distribuições Normal e Exponencial (uadro 3) podem ser resolvidas através do algoritmo de otimização sugerido no canto inferior do uadro 3. Isso porque termos em r e aparecem nas duas fórmulas. Não existe um único algoritmo de otimização. Cada autor tende a desenvolver o seu e, hoje em dia, com a planilha MS-Excel, fica muito fácil enumerar valores para e r que satisfaçam simultaneamente as duas equações. Deve ser observado que, dependendo da combinação dos parâmetros, pode não ser viável chegar à convergência dos resultados: dessa forma é recomendável sempre enumerar alguns possíveis valores de e r para que o tomador de decisão adquira sensibilidade nos resultados em termos de custos e nível de serviço. Apresentamos a seguir um pequeno estudo de caso, para ilustrar os principais conceitos e sua operacionalização no modelo de probabilidade de não faltar produto. Mini-Caso N o 1: Uma grande montadora de automóveis negociou com seu principal fornecedor de embreagens um Acordo de Nível de Serviço (SLA Service Level Agreement), através do qual, em não havendo cumprimento da entrega do consumo solicitado no ressuprimento JIT, qualquer quantidade de falta que ocorra é punível com uma multa de $.000.000. Considerando os parâmetros a seguir, quais devem ser o lote e o ponto de pedido ótimos adotados pelo fornecedor em suas operações de distribuição e montagem de embreagens? Suponha que o consumo gerado pelo ressuprimento JIT seja simetricamente (Normal) e assimetricamente (Exponencial) distribuído. Suponha também que o desvio-padrão da demanda no tempo de resposta seja igual à média da demanda no tempo de resposta.

No uadro 4, são apresentadas as soluções ótimas para as duas distribuições de probabilidade em termos de, r, da probabilidade de faltar produto (A(r)). Normal Exponencial 30.10 unidades 40.05 unidades r 34.915 unidades 18.313 unidades A(r) 0,8 0,400 CT $ 9.04.976,16/ano $ 7.667.66,15/ano uadro 4 Solução do Mini-Caso N o 1 De acordo com o uadro 4, no caso da distribuição Normal, a solução ótima é o fornecedor operar com um tamanho de lote de 30.10 unidades e um ponto de pedido de 34.915 unidades, implicando quase 3 ocorrências de falta em 100 ressuprimentos, devendo ser observado que num ano típico são esperados 6,6 ressuprimentos (D/). O custo total dessa operação (manutenção de estoques + ressuprimentos + multas) totaliza $ 9.04.976,16/ano. Devemos notar que o principal efeito de uma distribuição assimétrica, no modelo de probabilidade de não faltar produto, está no fato de os lotes aumentarem substancialmente quando comparados aos pontos de pedidos. Oscilações ao redor da média, quando existe viés de alta ou de baixa da demanda no tempo de resposta, são mais bem acomodadas com lotes maiores (pedir mais) e não com pontos de pedidos maiores (pedir antes). No caso da distribuição Exponencial, que apresenta viés de baixa em relação à demanda média no tempo de resposta (pois A(µ) < 50%), os custos totais são menores porque uma menor freqüência de envios, decorrente de tamanhos de lotes

maiores (5 envios por ano), mais do que compensa uma maior probabilidade de faltar produto (40 ocorrências de cada 100). 4. Modelo de Vendas Perdidas O modelo de vendas perdidas é apresentado no uadro 5. No canto superior esquerdo, as vendas perdidas em cada ressuprimento desempenham um papel importante em cada ciclo ou dente-de-serra de uma política (,r). Sempre que houver vendas perdidas durante o ressuprimento, os custos totais serão acrescidos de B(r)mc, ou seja, do valor esperado das vendas perdidas (B(r)) pela margem de contribuição mc de cada produto. Da mesma forma que no modelo anterior, é necessário derivar a equação de custos totais em função das variáveis de decisão e r e igualá-las a zero. uadro 5 - Solução geral do modelo de vendas perdidas

Distribuição Normal Caq i A( r) D mc r r INV.NORM (1 (1 A(r); A(r); µ;σ) µ;σ) Distribuição Exponencial D mc r μ ln Caq i LEC D mc B( r) + Caq i LEC r D mc μ exp μ + Caq i B(r) B(r) σdist.norm(r;µ;σ;falso) --(µ-r)a(r) ALGORITMO ALGORITMO DE DE OTIMIZAÇÃO: OTIMIZAÇÃO: 1) 1) LEC LEC ) ) A(r) A(r) A(r) A(r) 3) 3) r1 r1 r r 4) 4) B(r) B(r) B(r) B(r) 5) 5) 1 1 6) 6) < < > > 1 1 SIM: SIM: 1, 1, RETORNAR RETORNAR AO AO PASSO PASSO NÃO: NÃO: FIM FIM r r é é o o ponto ponto de de pedido pedido ótimo ótimo e e é é o o lote lote ótimo ótimo uadro 6 Soluções Ótimas para as Distribuições Normal e Exponencial no Modelo de Vendas Perdidas Uma análise qualitativa das soluções ótimas apresentadas nos uadros 5 e 6 indica que: Maiores a demanda média no tempo de resposta (μ), a demanda anual (D) e a margem de contribuição (mc) do produto, maior o ponto de pedido (r). Por outro lado, menores pontos de pedidos estão associados a maiores custos unitários de aquisição (Caq), taxas de oportunidade do capital (i) e tamanhos de lote (). Assim como no modelo anterior, no modelo de vendas perdidas também se verifica o trade-off entre tamanhos de lote e pontos de pedidos.

O tamanho de lote ótimo () também é uma correção do lote econômico de compras (LEC) para as vendas perdidas (B(r)) ao longo do ressuprimento, sendo que suas propriedades descritas anteriormente se mantêm. Apresentamos a seguir um outro estudo de caso com a otimização de e r resolvida com o auxílio do algoritmo apresentado no canto inferior do uadro 6. Mini-Caso N o : Uma grande cadeia varejista deseja definir os níveis ótimos de Fill Rate ao consumidor final para os SKUs de determinada linha de alimentos não perecíveis, utilizando informações relacionadas às margens de contribuição e aos custos de aquisição junto ao fabricante. Considerando os seguintes parâmetros da operação, quais devem ser o lote e o ponto de pedido ótimos adotados pelo varejista em seu ressuprimento? Suponha que o consumo seja simetricamente (Normal) e assimetricamente (Exponencial) distribuído. Suponha também que o desvio-padrão da demanda no tempo de resposta seja igual à média da demanda no tempo de resposta. No uadro 7, são apresentadas as soluções para as duas distribuições de probabilidade em termos que, r, A(r), B(r) e do Fill Rate aproximado. Normal Exponencial 4.909 40.48 R 41.336 40.175 A(r) 0,143 0,134 B(r) 3.05.683

Fill Rate 1 3.05 / 4.909 0,988 1.683 / 40.48 0,9333 Aproximado CT R$ 18.489,66 R$ 10.845,35 uadro 7 Solução do Mini-Caso N o De acordo com o uadro 7, no caso da distribuição Normal a solução ótima é o varejista operar com um tamanho de lote de 4.909 unidades e um ponto de pedido de 41.336 unidades, implicando quase 14 ocorrências de falta em 100 ressuprimentos, devendo ser observado que num ano típico são esperados 4,66 ressuprimentos (D/). O custo total dessa operação (manutenção de estoques + ressuprimentos + vendas perdidas) totaliza $ 18.489,66, sendo que o Fill Rate esperado é de 9,88% e a probabilidade de não faltar produto em cada ciclo é de 85,7%. Devemos notar que os principais efeitos de uma distribuição assimétrica com viés de menor demanda no tempo de resposta, no modelo de vendas perdidas, são os menores custos totais, decorrentes de menores faltas e de níveis de estoque médio um pouco menores. Existe um virtual empate entre os indicadores de Fill Rate e os de probabilidade de faltar produto. Basicamente, porque em grosso modo, nos modelos de venda perdida, diferentes distribuições de probabilidade tendem a apresentar soluções ótimas semelhantes. Conclusões O nível de serviço pode ser definido de diferentes formas na cadeia de suprimentos e por isso é fundamental um adequado entendimento das principais maneiras de se medir os indicadores de disponibilidade de produto. Neste artigo foram apresentadas e discutidas as principais características de dois importantes modelos: probabilidade de não faltar produto e vendas perdidas. Num artigo futuro será desenvolvido e discutido o modelo de pendências.

Dentre as principais conclusões que podem ser tecidas sobre cada um dos modelos analisados vale destacar: Maiores pontos de pedidos tendem a se verificar com maiores demanda e custo da falta. Por outro lado, maiores custos de aquisição do produto, taxa de oportunidade do capital e tamanhos de lote tendem a reduzir os pontos de pedidos. Existe um claro trade-off entre tamanhos de lotes e pontos de pedidos. Dependendo do tipo de distribuição da demanda no tempo de resposta pode ser mais interessante pedir antes (aumentar o ponto de pedido) do que pedir mais (aumentar o tamanho de lote). Esse trade-off é mais forte nos modelos de probabilidade de não faltar produto do que nos modelos de venda perdida. No fundo, o tamanho de lote ótimo é uma correção do Lote Econômico para situações em que ocorrem multas ou perdas de margem de contribuição durante o ciclo de ressuprimento. Todas as suas propriedades se mantêm. São necessários algoritmos de otimização simples para determinar tamanhos de lotes e pontos de pedidos ótimos, uma vez que termos em e r aparecem simultaneamente nas duas equações. Com as planilhas eletrônicas de hoje em dia isso não constitui obstáculo grave para se determinar as soluções ótimas. Como não poderia deixar de ser, ainda que qualitativamente os trade-offs envolvidos em cada fórmula sejam os mesmos, dependendo da distribuição de probabilidade da demanda no tempo de resposta, as relações funcionais apresentadas nos uadros 4 e 6 variam bastante. Referências

PORTEUS, E.. Foundations of Stochastic Inventory Management. Stanford: Stanford Business Books (00). SILVER, E.; PYKE, D.; PETERSON, R.. Inventory Management and Production Planning and Scheduling. New York: Wiley (00). WANKE, P.. Gestão de Estoque na Cadeia de Suprimentos: Decisões e Modelos uantitativos. São Paulo: Editora Atlas (003). ZIPKIN, P.. Foundations of Inventory Management. New York: McGraw-Hill (000). Peter Fernandes Wanke, D.Sc., é pesquisador do Centro de Estudos em Logística CEL do Coppead/UFRJ Fone: (1) 598-981 peter@coppead.ufrj.br