Lei de Gauss Objetivos: Calcular o Campo Elétrico para placas infinitas isolante e conjunto de placas infinitas.
Sobre a Apresentação Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros: Sears & Zemansky, University Physics with Modern Physics ed. Pearson, 13 a edition Wolfgang Bauer and Gary D. Westfall, University Physics with Modern Physics ed. Mc Graw Hill, Michigan State University, 1 a edition Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 9 a edition.
Placa Isolante Infinita Determinar o campo gerado por uma placa infinita fina, feita de material isolante, com distribuição de carga uniformemente, de densidade superficial σ. A superfície Gaussiana empregada é semelhante a usada no cálculo do campo produzido pela placa condutora, exceto pelo fato da superfície atravessar a placa isolante, como ilustra a figura ao lado. Aplicando a lei de Gauss: E d A= q t onde a carga total será: q t =σ A portanto: Sd E da cos 0 Sc E da cos 90 Se E da cos 0 = σ A
Placa Isolante Infinita E A0E A= σ A 2 E A= σ A E= σ 2 A diferença do campo de uma placa condutora infinita fica por conta do 2 que aparece multiplicando a permissividade do vácuo, para a placa isolante. Embora tenha sido desprezado, o campo dentro do material isolante não é nulo, como no metal. Mais adiante será resolvido um problema do cálculo do campo em material isolante, onde isto será abordado novamente.
Placas Infinitas Conjunto de placas são muito empregadas, principalmente em em circuitos elétricos. Neste próximo problema vou determinar o campo gerado por duas placas condutoras com densidade superficial ±σ. Isoladamente, as cargas irão se distribuir igualmente na superfície direita e esquerda das placas. Na figura ao lado estão dispostas as duas placas condutoras com densidades σ e σ, respectivamente. Por se tratar de placas condutoras infinitas, as cargas se distribuem homogeneamente nas faces direita e esquerda das placas. Observe que representação ao lado é de placas isoladas, ou seja supondo que as cargas da placa positiva não interagem com as cargas da placa negativa. σ σ σ σ
Placas Infinitas Em seguida considere os campos gerados por cada placa à sua direita e à sua esquerda, isoladamente: O Campo E é o campo gerado pela placa positiva à esquerda e à direita desta, enquanto que o campo E é o campo gerado pela placa negativa à esquerda e à direita desta. Pelas resoluções anteriores, seus valores possuem módulos iguais a: E = σ E E σ σ σ σ E E E I II III E E = σ Os campos são iguais em módulo, visto que as densidades são iguais. Em seguida basta calcular o campo em cada região (I, II e III) usando a superposição dos campos nas respectivas regiões.
Placas Infinitas Campo nas regiões I, II e III: E I = E E = σ σ =0 E II =E E = σ σ = 2σ E III =E E = σ σ =0 E E σ σ σ σ E E E I II III E Estes campos resultantes sugerem uma nova redistribuição de cargas nas placas, o que era esperado, uma vez que as cargas da placa positiva vão interagir com as cargas da placa negativa. Para encontrar a nova distribuição de cargas, recorra à aplicação da Lei de Gauss nas superfícies das placas novamente.
Placas Infinitas Para uma discussão mais completa separei as superfícies cilíndricas 1, 2, 3, 4, 5 e 6, ilustradas nas figuras ao lado. Os campos nas regiões I, II e III são os calculados anteriormente: E I =E III =0 E II = 2σ σ 1e σ 1d σ 2e σ 2d E I = 0 E III = 0 1 E II 2 3 6 5 4 Aplicando a Lei de Gauss na superfície 1: S 1 E d A= q t 0= q t q t =0 σ 1 e =0 I II III Como o campo na região I é nulo e o campo no metal também é nulo, a integral à esquerda será nula:
Placas Infinitas O mesmo ocorre na superfície 4, onde o campo na região III é nulo. S 4 E d A= q t σ 1e σ 1d σ 2e σ 2d E I = 0 E III = 0 1 E II 2 3 0= q t q t =0 σ 2 d =0 5 4 Na superfície 2, temos: S 2 S 2i E d A= q t E i d A S 2c 00 S 2e E II d A S 2e E II da cos 0 = σ 1d A q t =σ 1d A E II d A= σ 1 d A 6 I II III
Placas Infinitas Como antes, a primeira integral é nula pois o campo no condutor é nulo, a segunda é nula pois o campo E II é ortogonal ao elemento de área do corpo do cilindro, restando apenas a última integral que resulta em: E II A= σ 1d A E II = σ 1 d Comparando com o campo E II, encontrado anteriormente encontramos a densidade de carga na face interna da placa 1: 2σ ϵ0 = σ 1 d σ 1 d =2 σ O mesmo raciocínio cabe à superfície 3, com uma única diferença, na face interna o campo e o elemento de área são antiparalelos. 00 S 2d 2σ ϵ0 = σ 2 e E II da cos180 = σ 2e A σ 2e = 2σ E II = σ 2e
Placas Infinitas Portanto as cargas se deslocarão para o interior das placas, deixando a parte esterna sem cargas. Para a superfície 5 as integrais de fluxo serão nulas pois as faces da superfície Gaussiana estão dentro do condutor, onde o campo é nulo, e na lateral da superfície o campo E II é ortogonal aos elementos de área da superfície. S 5 E d A= q t q t =0 2σ 2σ E II 5 6 I II III E I = 0 E III = 0 Portanto a carga total dentro da superfície é nula. Isto é esperado pois as densidades de carga nas superfícies internas são iguais em módulos, mas de sinais opostos, totalizando uma carga total nula. A superfície 6 dá a mesma previsão, visto que os campos nas regiões I e III são nulos.
Três Placas Infinitas Apenas para estender a aplicação, considere três placas infinitas condutoras de densidades 5μC/m², 10μC/m² e 3μC/m². Determine o campo em todo o espaço e a distribuição de cargas nas superfícies das placas. σ 1 =5μC /m 2 σ 2 =10μC /m 2 σ 3 =3μ C /m 2 σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 Observe que vou utilizar as densidades de carga fornecidas como módulos. O mesmo para o campo gerado por cada densidade de carga: I II III E 1 = σ 1 = 5μ E 2 = σ 2 = 10μ E 3 = σ 3 = 3μ σ 3 σ 3 IV
Três Placas Infinitas Como antes, coloque o campo gerado por cada placa nas regiões I a IV, como se estas estivessem sozinhas no espaço: Em seguida faça a superposição do campo nas regiões: E I = E 1 E 2 E 3 = 8μ E II =E 1 E 2 E 3 = 18μ E III =E 1 E 2 E 3 = 2μ E IV =E 1 E 2 E 3 = 8μ σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 Observe que os campos nas regiões III e IV apontam para esquerda, os demais todos estão orientados para direita. I II III σ 3 σ 3 E 1 E 1 E 1 E 1 E 2 E 2 E 2 E 2 E 3 E 3 E 3 E 3 IV
Três Placas Infinitas Representando os campo nas regiões I a IV, as densidades de carga nas superfícies podem ser facilmente encontradas comparando a expressão do campo de uma placa condutora como os campo encontrados nas regiões: σ 1e σ 1d σ 2e σ 2d σ 3e σ 3d E I E II E III E IV E= σ Para a densidade na superfície esquerda da placa 1, veja que o campo elétrico gerado, E I, está entrando na placa e portanto a densidade de carga deve ser negativa: σ 1 e = 8μ C/m 2 I II III Para a densidade na superfície direita da placa 1, veja que o campo elétrico gerado E II está saindo da placa e portanto a densidade de carga deve ser positiva: σ 1d =18μC /m 2 IV
Três Placas Infinitas a densidade na superfície esquerda da placa 2 é a mesma da superfície direita da placa 1, pois gera o mesmo campo, no entanto com sinal oposto, pois o campo E II está entrando na placa: σ 2 e = 18μC /m 2 a densidade na superfície esquerda da placa 3 é a mesma da superfície direita da placa 2, pois gera o mesmo campo, no entanto com sinal oposto, pois o campo E III está saindo da placa: σ 3 e =2μ C /m 2 Para a densidade na superfície direita da placa 2, veja que o campo elétrico gerado E III está entrando na placa e portanto a densidade de carga deve ser negativa: σ 2 d = 2μ C /m 2 Para a densidade na superfície direita da placa 3, veja que o campo elétrico gerado E IV está entrando da placa e portanto a densidade de carga deve ser negativa: σ 3 d = 8μ C/m 2
Três Placas Infinitas Em resumo: E I = 8μ σ 1 e = 8μ C/m 2 E II = 18μ { σ 1d=18μ C /m 2 σ 2 e = 18μ C /m 2 E III = 2μ { σ 2 d= 2μ C /m 2 σ 3e =2μ C/m 2 E IV = 8μ σ 3 d = 8μ C /m 2 Observe que a densidade total de cargas nas placas se conserva: σ 1 e σ 1d =10μC /m 2 =2σ 1 σ 2 e σ 2 d = 20μ C/m 2 =2σ 2 σ 3e σ 3 d = 6μ C/m 2 =2σ 3