Exercícios sobre zeros de funções Aula 7 André L. R. Didier 1 6 de Maio de 2015 7/47
Introdução Todas as questões foram obtidas da 3 a edição do livro Métodos Numéricos de José Dias dos Santos e Zanoni Carvalho da Silva. 8/47
Questão 1.6 Representação numérica, aritmética de ponto flutuante, arredondamento Considere a máquina F(10,5, 9,9). Nela, verifique se (a + b) + c = a + (b + c), onde a = 32.424 b = 4.2131 c = 0.000382 9/47
Questão 1.6 F(10,5, 9,9) Normalizando os números, temos: a = 32.424 = 3.2424 10 1 b = 4.2131 = 4.2131 10 0 c = 0.000382 = 3.8200 10 4 10/47
Questão 1.6 F(10,5, 9,9), a = 3.4240 10 1, b = 4.2131 10 0, c = 3.8200 10 4 Fazendo (a + b) + c, temos: (3.2424 10 1 + 4.2131 10 0 ) + 3.8200 10 4 =(3.2424 10 1 + 0.42131 10 1 ) + 3.8200 10 4 =3.6637 10 1 + 3.8200 10 4 =3.6637 10 1 + 0.0000382 10 1 =3.6637 10 1 E fazendo a + (b + c), temos: 3.2424 10 1 + (4.2131 10 0 + 3.8200 10 4 ) =3.2424 10 1 + (4.2131 10 0 + 0.000382 10 0 ) =3.2424 10 1 + 4.2135 10 0 =3.2424 10 1 + 0.42135 10 1 =3.6638 10 1 11/47
Questão 1.6 F(10,5, 9,9), a = 3.4240 10 1, b = 4.2131 10 0, c = 3.8200 10 4 Fazendo (a + b) + c, temos: (3.2424 10 1 + 4.2131 10 0 ) + 3.8200 10 4 =(3.2424 10 1 + 0.42131 10 1 ) + 3.8200 10 4 =3.6637 10 1 + 3.8200 10 4 =3.6637 10 1 + 0.0000382 10 1 =3.6637 10 1 E fazendo a + (b + c), temos: Os resultados são diferentes. 3.2424 10 1 + (4.2131 10 0 + 3.8200 10 4 ) =3.2424 10 1 + (4.2131 10 0 + 0.000382 10 0 ) =3.2424 10 1 + 4.2135 10 0 [arredondamento] =3.2424 10 1 + 0.42135 10 1 =3.6638 10 1 [arredondamento] 11/47
Questão 1.7 Representação numérica, aritmética de ponto flutuante Considere um computador hipotético que trabalha na base 10, com 5 dígitos no significando e 2 dígitos no expoente, denotado por F(10,5, 99,99). Nele calcue o valor de: S = 4 n=0 de duas formas: (i) da maior parcela para a menor e (ii) da menor parcela para a maior. O que dizer 1 diante dos resultados dos itens (i) e (ii)? 1 7 n 1 Alguma propriedade dos números reais não foi verificada? Dos dois resultados, qual o mais próximo do verdadeiro? Etc. 12/47
Questão 1.7 F(10,5, 99,99) ((( ) ) ) 1 Em (i), calculamos: + 1 7 0 7 + 1 1 7 + 1 2 7 + 1 3 7 4. Temos: ((( 1.0000 10 0 + 1.4286 10 1) + 2.0408 10 2) + 2.9155 10 3) + 4.1649 10 4 (( = 1.1429 10 0 + 2.0408 10 2) + 2.9155 10 3) + 4.1649 10 4 ( = 1.1633 10 0 + 2.9155 10 3) + 4.1649 10 4 =1.1662 10 0 + 4.1649 10 4 =1.1666 10 0 Em (ii), calculamos: 1 + ( 1 + ( 1 + ( ))) 1 + 1 7 0 7 1 7 2 7 3 7. Temos: 4 ( ( 1.0000 10 0 + 1.4286 10 1 + 2.0408 10 2 + (2.9155 10 3 + 4.1649 10 4))) ( =1.0000 10 0 + 1.4286 10 1 + (2.0408 10 2 + 3.3319 10 3)) =1.0000 10 0 + (1.4286 10 1 + 2.3740 10 2) =1.0000 10 0 + 1.6660 10 1 =1.1666 10 0 13/47
Questão 1.7 F(10,5, 99,99) ((( ) ) ) 1 Em (i), calculamos: + 1 7 0 7 + 1 1 7 + 1 2 7 + 1 3 7 4. Temos: ((( 1.0000 10 0 + 1.4286 10 1) + 2.0408 10 2) + 2.9155 10 3) + 4.1649 10 4 (( = 1.1429 10 0 + 2.0408 10 2) + 2.9155 10 3) + 4.1649 10 4 ( = 1.1633 10 0 + 2.9155 10 3) + 4.1649 10 4 =1.1662 10 0 + 4.1649 10 4 =1.1666 10 0 Em (ii), calculamos: 1 + ( 1 + ( 1 + ( ))) 1 + 1 7 0 7 1 7 2 7 3 7. Temos: 4 ( ( 1.0000 10 0 + 1.4286 10 1 + 2.0408 10 2 + (2.9155 10 3 + 4.1649 10 4))) ( =1.0000 10 0 + 1.4286 10 1 + (2.0408 10 2 + 3.3319 10 3)) =1.0000 10 0 + (1.4286 10 1 + 2.3740 10 2) =1.0000 10 0 + 1.6660 10 1 =1.1666 10 0 13/47
Questão 1.11.e Representação numérica, aritmética de ponto flutuante Considere o sistema de ponto flutuante dado por F(10,6, 99,99). Os elementos x = 0.4721025 10 8, y = 1.00321 10 5 e z = 0.0072134 10 6 pertencem a essa máquina. Verifique usando as representações de x, y e z neste sistema, se x (y + z) = x y + x z. 14/47
Questão 1.11.e F(10,6, 99,99), x = 0.4721025 10 8, y = 1.00321 10 5, z = 0.0072134 10 6 Normalizando os números, temos: x = 0.4721025 10 8 =4.72102 10 7 y = 1.00321 10 5 =1.00321 10 5 z = 0.0072134 10 6 =7.21340 10 3 15/47
Questão 1.11.e F(10,6, 99,99), x = 0.4721025 10 8, y = 1.00321 10 5, z = 0.0072134 10 6 Normalizando os números, temos: x = 0.4721025 10 8 =4.72102 10 7 [arredondamento] y = 1.00321 10 5 =1.00321 10 5 z = 0.0072134 10 6 =7.21340 10 3 15/47
Questão 1.11.e F(10,6, 99,99), x = 4.72102 10 7, y = 1.00321 10 5, z = 7.21340 10 3 Fazendo x (y + z), temos: 4.72102 10 7 (1.00321 10 5 + 7.21340 10 3) =4.72102 10 7 1.07534 10 5 =5.07670 10 12 Fazendo x y + x z, temos: ( 4.72102 107 1.00321 10 5) + ( 4.72102 10 7 7.21340 10 3) =4.73617 10 12 + 3.40546 10 11 =4.73617 10 12 + 0.340546 10 12 =5.07672 10 12 16/47
Questão 1.11.e F(10,6, 99,99), x = 4.72102 10 7, y = 1.00321 10 5, z = 7.21340 10 3 Fazendo x (y + z), temos: 4.72102 10 7 (1.00321 10 5 + 7.21340 10 3) =4.72102 10 7 1.07534 10 5 =5.07670 10 12 Fazendo x y + x z, temos: ( 4.72102 107 1.00321 10 5) + ( 4.72102 10 7 7.21340 10 3) =4.73617 10 12 + 3.40546 10 11 =4.73617 10 12 + 0.340546 10 12 =5.07672 10 12 Logo, os cálculos têm resultados diferentes. 16/47
Questão 2.1 Bisseção, falsa posição (cordas), M.I.L., Newton e secantes Para cada função: 1. Localizar, se existir, raiz real mais próxima da origem; 2. Determinar analiticamente um intervalo de amplitude 0.1 contendo tal raiz; 3. Aplicar os métodos abaixo para calcular a raiz aproximada: 3.1 Bisseção 2 3.2 Falsa posição (cordas) 3.3 Iterativo linear 3.4 Newton-Raphson 3.5 Das secantes Considere uma máquina com 5 casas decimais e arredondamento padrão. 2 Para o método da Bisseção faça até que o intervalo de separação seja menor que 10 2 e indique quantas iterações serão necessárias antes de aplicar o método. Para os demais métodos, faça até que x i+1 x i 10 3 ou i = 3 17/47
Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x f(x) 18/47
Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x 1 f(x) 18/47
Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x 1 f(x) 1 e 18/47
Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x 1 0 f(x) 1 e 18/47
Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x f(x) 1 1 e 0 1.00000 18/47
Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x f(x) 1 1 e 0 1.00000 1 18/47
Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origem f(x) = x e x + x 2 1 Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem os cálculos para verificar a mudança de sinal: x f(x) 1 1 e 0 1.00000 1 e Há mudança de sinal no intervalo [0,1], logo existe ao menos uma raiz real. 18/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) 0 1.00000 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x 0.1 f(x) 0 1.00000 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) 0 1.00000 0.1 8.79482908 10 1 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) 0 1.00000 0.1 8.79482908 10 1 0.2 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) 0 1.00000 0.1 8.79482908 10 1 0.2 7.15719448 10 1 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) 0 1.00000 0.1 8.79482908 10 1 0.2 7.15719448 10 1 0.3 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) 0 1.00000 0.1 8.79482908 10 1 0.2 7.15719448 10 1 0.3 5.05042358 10 1 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) 0 1.00000 0.1 8.79482908 10 1 0.2 7.15719448 10 1 0.3 5.05042358 10 1 0.4 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) 0 1.00000 0.1 8.79482908 10 1 0.2 7.15719448 10 1 0.3 5.05042358 10 1 0.4 2.43270121 10 1 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) 0 1.00000 0.1 8.79482908 10 1 0.2 7.15719448 10 1 0.3 5.05042358 10 1 0.4 2.43270121 10 1 0.5 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação de amplitude 0.1 f(x) = x e x + x 2 1 Como f é uma função crescente 3 no intervalo [0,1], calculamos os valores de f com incremento de 0.1 a partir de 0: x f(x) 0 1.00000 0.1 8.79482908 10 1 0.2 7.15719448 10 1 0.3 5.05042358 10 1 0.4 2.43270121 10 1 0.5 7.4360635 10 2 Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4, 0.5]. 3 f (x) = (x + 1)e x + 2 x 19/47
Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x, I = [0.4,0.5], l = 10 2 A quantidade de iterações é dada pela fórmula: Substituindo pelos valores: k ln(b 0 a 0 ) lnl ln2 ln( ) ln k ln2 k 20/47
Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x, I = [0.4,0.5], l = 10 2 A quantidade de iterações é dada pela fórmula: Substituindo pelos valores: k ln(b 0 a 0 ) lnl ln2 k ln(0.5 k ln2 ) ln 20/47
Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x, I = [0.4,0.5], l = 10 2 A quantidade de iterações é dada pela fórmula: Substituindo pelos valores: k ln(b 0 a 0 ) lnl ln2 ln(0.5 0.4) ln k ln2 k 20/47
Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x, I = [0.4,0.5], l = 10 2 A quantidade de iterações é dada pela fórmula: Substituindo pelos valores: k ln(b 0 a 0 ) lnl ln2 ln(0.5 0.4) ln10 2 k ln2 k 20/47
Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x, I = [0.4,0.5], l = 10 2 A quantidade de iterações é dada pela fórmula: Substituindo pelos valores: k ln(b 0 a 0 ) lnl ln2 ln(0.5 0.4) ln10 2 k ln2 k 3.32193 A quantidade de iterações necessárias é 4. 20/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 0.45 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 1 0.45 0.5 0.475 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 1 0.45 0.5 9.17595 10 2 7.43606 10 2 0.475 1.05683 10 2 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 1 0.45 0.5 9.17595 10 2 7.43606 10 2 0.475 1.05683 10 2 2 0.475 0.5 0.4875 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 1 0.45 0.5 9.17595 10 2 7.43606 10 2 0.475 1.05683 10 2 2 0.475 0.5 1.05683 10 2 7.43606 10 2 0.4875 3.14235 10 2 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 1 0.45 0.5 9.17595 10 2 7.43606 10 2 0.475 1.05683 10 2 2 0.475 0.5 1.05683 10 2 7.43606 10 2 0.4875 3.14235 10 2 3 0.475 0.4875 0.48125 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 1 0.45 0.5 9.17595 10 2 7.43606 10 2 0.475 1.05683 10 2 2 0.475 0.5 1.05683 10 2 7.43606 10 2 0.4875 3.14235 10 2 3 0.475 0.4875 1.05683 10 2 3.14235 10 2 0.48125 1.03101 10 2 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 1 0.45 0.5 9.17595 10 2 7.43606 10 2 0.475 1.05683 10 2 2 0.475 0.5 1.05683 10 2 7.43606 10 2 0.4875 3.14235 10 2 3 0.475 0.4875 1.05683 10 2 3.14235 10 2 0.48125 1.03101 10 2 4 0.475 0.48125 0.478125 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 1 0.45 0.5 9.17595 10 2 7.43606 10 2 0.475 1.05683 10 2 2 0.475 0.5 1.05683 10 2 7.43606 10 2 0.4875 3.14235 10 2 3 0.475 0.4875 1.05683 10 2 3.14235 10 2 0.48125 1.03101 10 2 4 0.475 0.48125 1.05683 10 2 1.03101 10 2 0.478125 1.58339 10 4 21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseção f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], l = 10 2, t = 4, i max = 3 x = a + b 2 a b f(a) f(b) x f(x) 0 0.4 0.5 2.43270 10 1 7.43606 10 2 0.45 9.17595 10 2 1 0.45 0.5 9.17595 10 2 7.43606 10 2 0.475 1.05683 10 2 2 0.475 0.5 1.05683 10 2 7.43606 10 2 0.4875 3.14235 10 2 3 0.475 0.4875 1.05683 10 2 3.14235 10 2 0.48125 1.03101 10 2 4 0.475 0.48125 1.05683 10 2 1.03101 10 2 0.478125 1.58339 10 4 b 4 a 4 = 0.00625 < 10 2 e x = 0.478125 21/47
Questão 2.1.g - aplicar o método das cordas f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], x i+1 x i 10 3, i max = 3 x = a f(b) b f(a) f(b) f(a) a b f(a) f(b) x i f(x i ) x i+1 x i 1 4.00000 10 1 5.00000 10 1 2.43270 10 1 7.43610 10 2 4.76589 10 1 5.28300 10 3 2 4.76589 10 1 5.00000 10 1 5.28300 10 3 7.43610 10 2 4.78142 10 1 1.02000 10 4 1.55292 10 3 3 4.78142 10 1 5.00000 10 1 1.02000 10 4 7.43610 10 2 4.78172 10 1 2.00000 10 6 2.99415 10 5 Encontramos x = 0.478172. 22/47
Questão 2.1.g - aplicar o M.I.L. f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], x i+1 x i 10 3, i max = 3 Inicialmente precisamos determinar uma função geradora ϕ. Como x e x + x 2 1 = 0, podemos escolher ϕ 1 (x) = x = 1 x 2 e. Sua derivada é: ϕ x 1 (x) = (x 2 1) e x 2x e x e 2x Vamos verificar as condições de convergência: 1. As duas funções ϕ 1 e ϕ 1 são contínuas. 2. ϕ 1 (x) k < 1, x I: x ϕ 1 (x) 4.0000 10 1 1.09932 10 0 4.5000 10 1 1.08237 10 0 5.0000 10 1 1.06143 10 0 Logo ϕ 1 não pode ser usada. Trivialmente não podemos escolher. Tente obter ϕ 2 e ϕ 3 isolando os outros termos da equação. 23/47
Questão 2.1.g - aplicar o método new Newton-Raphson f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], x i+1 x i 10 3, i max = 3 A função geradora é definida por: Logo, temos que: Aplicando o método obtemos: Encontramos x = 0.478173. ϕ (x i ) = x i+1 = x i f(x i) f (x i ) ϕ (x i ) = x i+1 = x i x i e x i + x 2 i 1 (x i + 1)e x i + 2 x i x ϕ (x) x i+1 x i 0 4.50000 10 1 4.78909 10 1 1 4.78909 10 1 4.78173 10 1 7.36000 10 4 24/47
Questão 2.1.g - aplicar o método das secantes f(x) = x e x + x 2 1, f (x) = (x + 1)e x + 2 x I = [0.4,0.5], x i+1 x i 10 3, i max = 3 A função geradora é definida por: Aplicando o método obtemos: ϕ (x i ) = x i+1 = x i 1 f(x i ) x i f(x i 1 ) f(x i ) f(x i 1 ) x i x i 1 f(x i ) f(x i 1 ) ϕ (x i ) x i+1 x i 0 4.00000 10 1 5.00000 10 1 2.43270 10 1 7.43610 10 2 4.76589 10 1 1 4.76589 10 1 4.00000 10 1 5.28000 10 3 2.43270 10 1 4.78289 10 1 1.70000 10 3 2 4.78289 10 1 4.76589 10 1 3.90000 10 4 5.28200 10 3 4.78172 10 1 1.17000 10 4 Encontramos x = 0.478172. 25/47