1 Lista de exercícios de MAT 271-29 / I 1. Converta os seguintes números da forma decimal para a forma binária:x 1 = 37; x 2 = 2347; x 3 =, 75; x 4 =(sua matrícula)/1; x 5 =, 1217 2. Converta os seguintes números da forma binária para a forma decimal:y 1 = 1111; y 2 = 111111; y 3 =, 111; y 4 =, 11111111 3. Converta os seguintes números da forma decimal para sua forma na base quatro:z 1 = 5268; z 2 = 2, 5; z 3 = 159357; z 4 =, 1225 4. Seja o SPF dado por F(1,4,-5,5). Dados os números x = 7237; y =, 2145; z = 2, 585, efetue as seguintes operações: w 1 = x + y + z; w 2 = x y z; w 3 = x y ; w 4 = xy z ; w 5 = x y z 5. Dê um argumento convincente para justificar que, se o número fracionário N tem representação finita na base 2 com k dígitos, então sua representação na base 1 também é finita com k dígitos. 6. Seja f(x) = cos(x), tomando x = π e h 1 = π 4, temos que f (π) =. Utitlizando a aproximação gerada derivada por diferença centrada calcule f (π), 932. Calcule o erro de truncamento e compare-o com a estimativa do erro. Faça h 2 = π 8 e h 3 = π 16, em cada caso calcule as aproximações para f (π), os erros de truncamento e compare com as estimativas do erro. 7. Encontre o maior intervalo em que um número q deve se encontrar para aproximar x 4 com erro relativo no máximo de 1 4. 8. Seja o sistema de ponto flutuante dado por F (6, 6, 6, 6). Quantos números reais podem ser representados de forma exata? Verifique se sua matrícula, escrita de traz para frente, tem representação neste sistema. 9. Dado o sistema de ponto flutuante F (2, 18, 1, 14), inverta a ordem dos dígitos de sua matrícula e escreva o novo número na base 2 na forma de ponto flutuante. Este número pode ser representado no sistema dado? Justifique sua resposta. 1. Localize graficamente as raízes das equações a seguir: a) 4 cos(x) e 2x = ; b) x 2 tan(x) = ; c) 1 x ln(x) = ; d) 2x 3x = 11. Calcule o número mínimo de iterações necessárias para, usando o Método da Bissecção a partir de [2.96, 3.35], se atingir uma precisão de x ξ 1 9, onde x é uma aproximação para a raiz ξ. 12. Calcule a precisão máxima obtida no cálculo de x, que é uma aproximação para a raiz ξ, usando o Método da Bissecção com 22 passos a partir do intervalo [1.52, 3.64] 13. Localize graficamente as raízes da equação ln x + 5x 6 x 2 =. Separe cada uma delas em intervalos de comprimento máximo unitário. Justifique sua resposta. 14. Dado o polinômio p(x) = x 3 + 2x 2 + x 2, faça o que se pede. (a) Determine o intervalo onde todas os zeros do polinômio devem estar. (b) Determine quantos zeros positivos existem. Quantos zeros negativos existem? (c) Encontre uma aproximação para uma das raízes de p(x) =, com precisão de sete casas decimais, usando o Método de Newton com no máximo 1 passos e x = 1.
2 Justifique sua resposta. 15. Localize graficamente as raízes da equação e x + 2x x 2 x 3 =. Separe cada uma delas em intervalos de comprimento máximo unitário. Justifique sua resposta. 16. Dado o polinômio p(x) = x 3 + 4x 2 + x 2, faça o que se pede. (a) Determine o intervalo onde todas os zeros do polinômio devem estar. (b) Determine quantos zeros positivos existem. Quantos zeros negativos existem? (c) Encontre uma aproximação para uma das raízes de p(x) =, com precisão de sete casas decimais, usando o Método de Newton com no máximo 1 passos e x = 5. Justifique sua resposta. 17. Aplique o método da Bisseção e da Posição Falsa para calcular a raiz positiva de x 3 15 = com ɛ <, 1, partindo do intervalo [2, ; 3, ]. 18. Aplique o método da Bisseção para resolver: a) e x x 3x 2 = ; b) x 3 + cos x = obtendo os extremos do intervalo inicial a e b graficamente. x ξ <, 1, onde ξ é a raiz exata. Encontre um resultado x tal que 19. Dadas as funções: a)f(x) = x 3 + 3x 1; b)f(x) = x 2 sin x pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos. 2. A fórmula x n+1 = 2x n Ax 2 n é candidata para se determinar o inverso de um número A. Mostre que se a fórmula converge, então converge para 1 A e determine os limites da estimativa inicial x para que isso aconteça. Teste suas conclusões para: A = 9 e x =, 1; e A = 9 e x = 1,. 21. Mostre que x 3 2x 5 sin(x) = tem apenas uma raiz real e determine seu valor correto até 5 casas decimais usando o método de Newton, com no máximo 1 iterações. 22. Mostre que a fórmula para determinar a raiz cúbica de Q, é um caso especial do método de Newton. x n+1 = 1 3 (2x n + Q x 2 n ), n =, 1,... 23. Aplique o método do exercício anterior para calcular a raiz cúbica de 2 com precisão de 1 2 usando o erro relativo e calculando o valor inicial através de gráfico. 24. A equação x 3 2x 1 = possui apenas uma raiz positiva. (a) Em qual dos intervalos seguintes deve estar a raiz:[, 1], [1, 2], [2, 3]? Por quê? (b) Se quiséssemos pesquisar as raízes negativas usando intervalos de amplitude 1 2, até o valor 2, em quais intervalos seriam encontradas tais raízes? (c) Obtenha a menor raiz negativa (em módulo). usando o método das secantes. Trabalhar com arredondamento para 3 casas decimais e no máximo 1 iterações.
3 25. Calcular a raiz de 2x 3 cos(x + 1) 3 =, pertencente ao intervalo [ 1, 2], com precisão de,1 usando o método da bisseção com no máximo 15 passos. Verifique quantos passos no mínimo são necessários para ter uma precisão de 1 8. 26. Determinar a maior raiz de.5x 3.4x 2 + 3sex(x) = com precisão de,5 usando o método da bisseção com no máximo 15 passos. Para calcular o intervalo inicial use um método gráfico. 27. Localize graficamente as raízes da equação do execício 1. Use o método de Newton para calcular uma aproximação, com 8 casas decimais corretas, para cada raiz localizada. 28. Resolva o exercício 2 usando o método de Newton com 7 casas decimais corretas e no máximo 1 passos. 29. Calcular as duas raízes de sen(x) e x 2x 2 + 1 = usando o método de Newton, com a precisão de x n+1 x n 1 5 e no máximo 1 passos. 3. Resolva os exercícios anteriores usando os métodos da Secante e da Posição Falsa, quando possível for, com precisão de,1. 31. Determine as possibilidades para o número de raízes positivas para os polinômios abaixo: (a) p 5 (x) = 2x 5 3x 4 4x 3 + x + 1 (b) p 5 (x) = 4x 5 x 3 + 4x 2 x 1 (c) p 7 (x) = x 7 + 1 32. Determine as possibilidades para o número de raízes negativas para os polinômios do exercício anterior. 33. Nos exercício anterior localize os zeros dos polinômios no plano complexo. Depois, usando o método de Newton encontre as raízes reais. 34. Localize os zeros do polinômio p(x) = x 5 1 9 x3 + 5 21. Usando o método de Newton, encontre as quatro raízes de p(x) = não-nulas com precisão de 6 casas decimais. 35. A raiz de uma função pode ser aproximada pela raiz do seu polinômio interpolador. Use uma parábola para determinar a raiz da função tabelada abaixo: x 1 2 3 4 5 f(x),8421,99,141 -,757 -,959 36. Use uma cúbica para determinar uma aproximação para a única raiz positiva da equação 4 cos x e x =. 37. Dados valores tabelados da variável dependente y em função da variável x, frequentemente pretendese achar o valor de x da variável independente correspondente ao valor y dado. Isto é conhecido como interpolação inversa. A partir da tabela abaixo, determine a raiz de f(x) usando interpolação inversa sobre 3 pontos: x,7 1, 1,2 1,5 1,6 f(x) -2,57-2, -1,23,63,79 38. Sabe-se que f(x) = 5x 3 3x 2 + 2x 2 tem um zero no intervalo [; 1]. Usando interpolação inversa sobre uma tabela de 4 pontos, determine, aproximadamente, esse zero.
4 39. Uma maneira de se calcular a derivada de uma função em um ponto x, quando não se conhece a expressão analítica da mesma, é usar uma tabela para formar um polinômio que aproxime a função, derivar então esse polinômio e avaliar sua derivada em x = x. Dada a tabela abaixo, calcule f (, 5) usando um polinômio interpolador de grau 2: x,4,45,5,55,6 f(x) 1,51 1,49 1,47 1,44 1,42 4. Suspeita-se que a tabela abaixo represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? justifique a sua resposta. x -3, -2, -1,, 1, 2, f(x) -9,, 1,, 3, 16, 41. Qual deve ser o valor de h, se queremos obter ln x, com 3 casas decimais corretas para x 1, através de interpolação linear usando uma tabela para argumentos x i igualmente espaçados de h? 42. Dada uma função f(x), deseja-se calcular a integral de f(x) no intervalo [a; b]. Para isso podemos interpolar f(x) em n + 1 pontos por um polinômio de grau n e integrá-lo. Use esse método para estimar 1 x x 2 + 3x + 2 dx. com n = 4. Compare o resultado com seu valor exato que é ln 9 8. 43. Seja y = f(x) representada pela tabela abaixo. x -3, -2, -1,, 1, 2, f(x) -,5 -,2,2,4,1 -,1 Aproxime um valor para um zero da função f usando interpolação inversa com quatro pontos, se possível for. Justifique sua resposta. 44. Para cada um dos sistemas lineares seguintes, obtenha uma solução por um meio gráfico, se possível for. Explique os resultados do ponto de vista geométrico. x 1 + 2x 2 = 3 x 1 + 2x 2 = 3 x 1 x 2 = 2x 1 + 4x 2 = 6 x 1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 6 2x 1 + x 2 + x 3 = 1 2x 1 + 4x 2 x 3 = 1 45. Utilize a eliminação Gaussiana, com substituição retroativa e operações com arredondamento para quatro dígitos, para resolver os sistemas lineares a seguir: 2x 1 + 3x 2 + x 3 x 4 = 6, 9 x 1 + x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 7, 12 x 1 + x 2 4x 3 + x 4 = 6, 6 2x 1 + 5x 2 + x 3 + 2x 4 = 14, 9 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1, 2 x 1 + x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 12, 2 4x 1 5x 2 + x 3 2x 4 = 12, 3 4x 1 + 6x 2 + 2x 3 + x 4 = 2, 72 46. Dê a fatoração LU de cada matriz do exercício anterior.
5 47. Resolver o sistema linear abaixo usando o MEG com pivoteamento completo, retendo, durante as eliminações, cinco algarismos após a vírgula:, 8754x 1 + 3, 81x 2 +, 9358x 3 + 1, 183x 4 =, 8472 2, 4579x 1, 8758x 2 + 1, 1516x 3 4, 5148x 4 = 1, 1221 5, 235x 1, 8473x 2 2, 3582x 3 + 1, 1419x 4 = 2, 578 2, 115x 1 + 8, 183x 2 1, 3232x 3 + 2, 1548x 4 = 6, 4984 48. Dê a fatoração LU de cada matriz do exercício anterior. 49. Resolver o sistema linear abaixo usando os métodos iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel) com x () = [1; 3; 7; 8; 4; 1; 7] t e ɛ 1 3, retendo, durante os cálculos, cinco casas decimais: 1x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + 3x 5 2x 6 = 6, 57 4x 1 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 + 7x 6 = 68, 448 5x 1 3x 2 15x 3 x 4 4x 5 + x 6 = 112, 5 x 1 + x 2 + 2x 3 + 8x 4 x 5 + 2x 6 = 3, 968 x 1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4 + 9x 5 x 6 = 2, 18 4x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 x 5 + 12x 6 = 1, 882 5. Utilize a eliminação Gaussiana, com substituição retroativa e operações com arredondamento para cinco dígitos, para resolver os sistemas lineares a seguir: (Apresente todas as operações realizadas.) x 1 + x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 7, 12 2x 1 + 5x 2 + x 3 + 2x 4 = 14, 9 x 1 + x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 12, 2 4x 1 + 6x 2 + 2x 3 + x 4 = 2, 72 51. Utilize a fatoração LU com arredondamento para cinco dígitos, para resolver o sistema linear a seguir: (Justifique sua resposta.) 52. Aproxime as seguintes integrais usando: a regra dos trapézios; as regras de Simpson; a quadratura gaussiana com n = 1. x 1 + x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 1, 8 2x 1 + 5x 2 + x 3 + 2x 4 = 7, 6 x 1 + x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 4, 1 4x 1 + 6x 2 + 2x 3 + x 4 = 11, 9 1,5 x 4 dx, 1,6 1 2x x 2 4 dx, 1,5 x 2 1 ln(x) dx, π/2 x sin(x) dx
6 53. A regra dos trapézios aplicada a 2 f(x) dx dá o valor 4, e a regra 1 3 de Simpson dá o valor 2. Qual é o valor de f(1)? 54. A fórmula de quadratura 1 1 f(x) dx = c f( 1) + c 1 f() + c 2 f(1) é exata para polinômios de grau menor ou igual a 2. Determine c, c 1, c 2. 55. Aproxime as integrais do exercício 1 usando: a regra dos trapézios com n = 4; a regra 1 3 a regra 3 8 de Simpson com n = 6; de Simpson com n = 9. 56. Determine o número mínimo n de subintervalos para aproximar I = 2 e calcule a aproximação. Use a regra dos trapézios. Use a regra 1 3 Use a regra 3 8 de Simpson. de Simpson. 57. Aproxime a integral I = π/2 x sin(x) dx usando: a regra dos trapézios com n 1 = 2 e n 2 = 4; a regra 1 3 de Simpson com n 1 = 4 e n 2 = 6; a regra 3 8 de Simpson com n 1 = 6 e n 2 = 9. dx x+4 com precisão de 1 5 Em cada caso melhore a aproximação usando a Extrapolação de Richardson referente à regra. Compare com o valor exato da integral. 58. Calcule as aproximações para os valores das integrais abaixo usando Quadratura Gaussiana com dois pontos: 59. Seja a integral I = 1 x dx 1+x 2. (a) I = 2 4x x2 dx (b) I = 2 dx 1 x (a) Aproxime o integrando por um polinômio de grau 3, p 3, passando pelos pontos x =, x 1 =, 3, x 2 =, 7 e x 3 = 1. (b) Calcule o valor exato de I. (c) Calcule o valor aproximado de I usando o polinômio p 3. 6. Seja a integral I = 1 dx 1+x 2. (a) Aproxime o integrando por um polinômio de grau 3, p 3, passando pelos pontos x =, x 1 =, 3, x 2 =, 6 e x 3 = 1. (b) Calcule o valor exato de I. (c) Calcule o valor aproximado de I usando o polinômio p 3.
7 61. (a) Aproxime a integral I = π/2 x cos(x) dx usando a regra dos trapézios com n 1 = 3 e n 2 = 6. (b) Melhore a aproximação usando a Extrapolação de Richardson referente à regra. (c) Compare com o valor exato da integral, achando o erro cometido. 62. (a) Calcule uma aproximação para o valor da integral anterior usando Quadratura Gaussiana com dois pontos. (b) Compare com o valor exato da integral, achando o erro cometido. 63. Aplique o método de Euler para aproximar as soluções dos seguintes problemas de valor inicial: 1. y (t) = 1 + (t y) 2, 2 t 3, y(2) = 1, h =, 5 2. y (t) = 1 + y t, 1 t 2, y(1) = 2, h =, 25 3. y (t) = cos(2t) + sin(3t), t 1, y() = 1, h =, 25 64. As soluções exatas dos problemas anteriores são dadas abaixo respectivamente. Compare o erro verdadeiro com o limite de erro em cada passo. 1. y(t) = t + 1 1 t 2. y(t) = t ln(t) + 2t 3. y(t) = 1 2 sin(2t) 1 3 cos(3t) + 1 3 65. Aplique o método de Euler para aproximar as soluções dos seguintes problemas de valor inicial: 1. y (t) = t 2 + y 2, t 1, y() =, h =, 2 2. y (t) = t y 2, t 1, y() = 1, h =, 1 Faça o mesmo usando o método de Euler Aperfeiçoado. 66. Por meio do Método das Diferenças Finitas, calcule y(, 4), para o problema de valor de contorno abaixo: y (x) 2y (x) + y(x) = y() = 1 y(1) = Compare com o resultado com a solução exata, achando o erro cometido. 67. Aplique o método de Runge-Kuttta de quarta ordem para aproximar a solução do problema de valor inicial y (t) = t y 2, t 1, y() = 1, nos pontos da malha de pontos igualmente espaçados dentro do intervalo dado, cujo comprimento de um subintervalo é,5. 68. Por meio do Método das Diferenças Finitas, calcule y(, 25), para o problema de valor de contorno abaixo: y (x) 3y (x) + 2y(x) = 2x 3 y() = 1 y(1) = 6, 5367