Natal RN, 25 a 28 de outubro de 215 PREDITOR DE SITH FILTRADO PARA ATENUAÇÃO DE RUÍDO NO CONTROLE DE U ROBÔ ONIDIRECIONAL JESSIVALDO SANTOS, HUBERTO X. ARAÚJO, TITO L.. SANTOS, ANDRÉ G. S. CONCEIÇÃO Laboratório de Robótica-LaR, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia Rua Aristides Novis, nº 2, Federação. CEP 421-63 Salvador-BA - Brasil E-mails: jessivaldojr@hotmail.com,humberto.araujo@ufba.br,tlsantos@ufba.br, andre.gustavo@ufba.br Abstract Several important control issues as nonlinearities, measurement noise, constraints and limited computational resources appears in mobile robots control problems. The remote control of omnidirectional mobile robots generates an undesired communication delay, which increases control design complexity. In this work, the filtered Smith predictor is analyzed in order to attenuate measurement noise by considering a nonlinear model of an omnidirectional mobile robot, controlled with a LQR based state-feedback control law. The three-wheeled robot mobile model is obtained from experimental data. Simulation results are presented in order to evaluate the proposed LQR/filtered Smith predictor strategy in the presence of communication delay and measurement noise. Keywords Omni-Directional Robot, Tracking Control, Filtered Smith Predictor, LQR. Resumo O projeto de um sistema de controle aplicado à robótica móvel apresenta desafios importantes como restrições, nãolinearidades, ruído de medição e recursos computacionais limitados. Para robôs omnidirecionais controlados remotamente, o atraso de comunicação dificulta o projeto do controlador. No presente trabalho, avalia-se a utilização do preditor de Smith filtrado com vistas a atenuar o ruído de medição de um modelo não-linear de um robô omnidirecional controlado a partir de uma realimentação de estado do tipo LQR. O modelo foi obtido a partir de experimentos feitos em um robô com três rodas. Resultados de simulação são apresentados para analisar o comportamento do preditor de Smith filtrado e do controlador LQR na presença de atraso de comunicação e ruído de medição. Palavras-chave Robô Omnidirecional, Controle de Trajetória, Preditor de Smith Filtrado, LQR. 1 Introdução O desenvolvimento da robótica móvel vem ampliando o universo de aplicações dos robôs ominidirecionais. Este tipo de robô se destaca pela capacidade de se mover em qualquer direção, sem a necessidade de reorientação (Li e Zell, 27). Do ponto de vista de controle, estes robôs apresentam desafios interessantes na medida em que, em geral: i) possuem capacidade computacional limitada, ii) apresentam restrições significativas nos atuadores, iii) possuem não-linearidades inerentes e iv) o sistema de controle é afetado por níveis consideráveis de ruídos de medição. Uma das alternativas para superar a limitação computacional se dá através da utilização de uma unidade de processamento remota. Neste tipo de aplicação, surge um atraso de comunicação que afeta o desempenho de controle em malha fechada (Araújo et al., 211). Para superar este tipo de problema, pode-se utilizar estruturas de compensação de atraso a exemplo do preditor de Smith filtrado, avaliado em (Normey-Rico et al., 1999), ou do preditor ótimo, também conhecido como preditor analítico, aplicado em (Araújo et al., 211). Sabe-se que o preditor ótimo, utilizado implicitamente em estratégias de controle preditivo, minimiza o erro de predição no caso nominal (sem incertezas), mas não pode ser aplicado para melhorar requisitos de malha como robustez e atenuação de ruído (Santos e Normey- Rico, 212). Desta forma, o preditor de Smith filtrado se torna uma opção interessante no contexto da robótica móvel para sistemas nos quais a lei de controle é calculada remotamente. Em (Normey-Rico et al., 1999), o preditor de Smith filtrado foi testado num robô ominidirecional com o objetivo de melhorar o comportamento robusto na presença de incertezas paramétricas, mas a atenuação de ruído não foi tratada. Recentemente, o problema da atenuação de ruído foi avaliado no contexto de uma estratégia de controle preditivo para robôs ominidirecionais (Alcantara, Araújo e Santos, 214). Para tanto utilizou-se uma técnica de controle preditivo baseado em modelo, necessitando resolver um problema de otimização convexa com restrição a cada período de amostragem. No entanto, devido ao custo computacional, faz-se necessário utilizar horizontes de controle e predição curtos. Com o presente trabalho, pretende-se avaliar a utilização do preditor de Smith filtrado em conjunto com uma realimentação de estados baseada no Regulador Linear Quadrático (do inglês LQR). O principal interesse é analisar o comportamento em malha fechada na presença de ruídos de medição, utilizandose o modelo do robô ominidirecional desenvolvido em (Conceição et al, 215). Este modelo tem se mostrado mais adequado para descrever o comportamento de um robô ominidirecional se comparado aos utilizados em (Araújo et al., 211) e (Alcantara, Araújo e Santos, 214). Desta forma, o efeito do preditor de Smith filtrado com um controlador LQR será analisado na presença de ruído, sob efeito das não-linearidades do novo modelo, utilizando uma lei 742
de controle simplificada, definida a partir de uma realimentação de estados usual. Na Seção 2, o robô omnidirecional utilizado é apresentado, bem como sua modelagem. Na Seção 3, descrevem-se o regulador linear quadrático LQR (Linear Quadratic Regulator) e as estratégias de compensação de atraso conhecidas como o preditor ótimo e preditor de Smith filtrado. Na Seção 4, os resultados de simulação são apresentados, comparando-se as respostas obtidas a partir de cada preditor, e as conclusões são discutidas na Seção 5. 2 Robô omnidirecional Para realizar a simulação, foi utilizado o modelo não linear de um robô móvel omnidirecional, com três rodas, proposto em (Conceição et al., 215). Os termos não lineares do modelo estão relacionados com as forças de atritos. Serão considerados o atrito de Coulomb, o Stiction e o efeito Stribeck, e o atrito viscoso. 2.2 odelo Dinâmico A relação entre as forças F v e F vn, e o torque Γ, que atuam sobre o robô, e as forças produzidas a partir do torque gerada por cada um dos motores, f mi, é dada por: F v = f m2 cos δ f m3 cos δ, (6) F vn = f m1 + f m2 sen δ f m3 sen δ, (7) Γ = f m1 b + f m2 b + f m3 b. (8) As componentes de força de cada uma das rodas relacionam-se com o torque, T, do motor pela seguinte equação: f mi = T i r i, i = 1,2,3. (9) O torque pode ser determinado por T i = l i K ti i ai, i = 1,2,3, (1) e K t é a constante de torque e i a é a corrente de armadura do motor CC. A dinâmica do motor é descrita pela equação di ai (t) u i (t) = L ai + R ai i ai (t) + K vi w mi (t), i = 1,2,3,(11) e L ai é a indutância da armadura do rotor, e será desprezada na modelagem, pois seu valor é pouco expressivo, R ai é a resistência de armadura, e K vi é a constante de força contra eletromotriz. Aplicando-se a segunda Lei de Newton, tem-se que: Figura 1. Geometria e Sistemas de Coordenadas. 2.1 odelo Cinemático A partir da Figura 1, é possível relacionar a velocidade linear de cada roda i, V mi, com as velocidades do robô no plano, v e v n, e a velocidade de giro do centro de massa, ω, ou seja: V m1 = v n + ωb, (1) V m2 = v cos δ + v n sen δ + ωb, (2) V m3 = v cos δ + v n sen δ + ωb, (3) com b sendo o raio da base, V mi = r i w l mi, i (4) δ = 3, (5) dv(t) dv n (t) dw(t) = F v (t) F av (t), (12) = F vn (t) F av (t), n (13) J = Γ(t) Γ a (t), (14) sendo a massa do robô, J seu momento de inércia, F av e F av n os atritos relativos as forças F v e F vn, e Γ a o atrito relativo ao torque Γ. As componentes de força relativas aos atritos são determinadas pelas seguintes equações: F av (t) = B v V(t) + C v + (F sv δsv C v )e v(t) vsv ] sign(v(t)), (15) F av n (t) = B v n v n (t) + C vn + (F sv n δsvn C v )e vn(t) vsvn ] sign(v n (t)), (16) e r i e l i representam o raio da roda i e a relação de redução do motor i, respectivamente. E w mi é a velocidade angular da roda. 743
Γ a (t) = B ω ω(t) + C ω + (F sω δsω C ω )e ω(t) vsω ] sign(ω(t)), (17) e v s é a velocidade Stribeck nas direções v, v n e w (v sv, v e v sv n s w ) que representa a velocidade de escorregamento, δ s é o termo referente à transição entre o atrito viscoso e o atrito de Coulomb nas direções de v, v n e w (δ sv, δ e δ sv n s ω ), C v, C vn e C ω são os coeficientes de atrito de Coulomb, B v, B vn e B ω são os coeficientes de atrito Viscoso, segundo as direções de v, v n e w, respectivamente. Já os termos F sv, F e F sv n s ω referem-se ao Stiction, ou, mais especificamente, ao atrito estático. O efeito da combinação dos atritos pode ser observado na Figura 2. G = E(t) = F s v +C v F s vn +C vn δsv e V(t) vsv δsvn e Vn(t) vsvn F s ω +C ω e ω(t) vsω ;. (21) δsω ] Os métodos de estimação utilizados para obter os parâmetros do modelo são descritos em (Conceição et al., 215). Para a síntese do controlador LQR, as não linearidades do modelo serão ignoradas. Considerando-se a taxa de amostragem T s = 5ms (Araújo et al., 211) e o segurador de ordem zero, foi encontrado um modelo linear no espaço de estados, em tempo discreto, para o robô: { xk + 1] = A dxk] + B d uk], yk] = C d xk]. (22) Figura 2. Efeito do Atrito Coulomb + Stiction + Stribeck + Viscoso. 2.3 Representação no espaço de estados anipulando-se as equações (1) a (17), obtém-se a seguinte representação matricial para o robô: dx(t) = Ax(t) + Bu(t) + K + G. E(t)]sign(x(t)) { y(t) = Cx(t) (18) com u(t) = u 1 (t) u 2 (t) u 3 (t)] T, (19) x(t) = y(t) = v(t) v n (t) ω(t)] T ; (2) A = 3l2 K 2 t B v 2r 2 R a B = lk t K = 3l2 K t 2 B vn 2r 2 R a 3l2 K t 2 2r 2 JR a B ω 1 rr a b J C v 3 2 1 2 b J 3 2 1 2 b C vn ; C ω 1, C = 1 ]; 1 ; 2.4 Atraso de comunicação Alguns sistemas robóticos móveis possuem baixa capacidade computacional e, por isso, se faz necessário que o processamento das informações e o cálculo da ação de controle sejam realizados por uma camada de software externa ao robô. Eventualmente, a capacidade de processamento pode ser destinada exclusivamente para tarefas de medição e atuação. O tempo gasto na comunicação entre a base e o software de controle insere um atraso considerável na malha de controle e o controlador deve ser capaz de compensar este atraso. Para o problema em análise, após avaliação experimental (Araújo et al., 211), verificou-se que o atraso é da ordem de 5ms, de maneira que o modelo com atraso passa a ser descrito como segue: { xk + 1] = A dxk] + B d uk 1] yk] = C d xk] 3 Controlador (23) O controlador linear quadrático LQR será usado para controlar o robô móvel. A função custo a ser minimizada é definida por J = k= (xk] T QxK] + uk] T Ruk]), (24) fornecendo uma solução ótima para o controlador por realimentação de estado uk] = F{xk]}. (25) As matrizes de ponderação Q e R são escolhidas durante o processo de sintonia do controlador, permi- 744
tindo ajustar o tempo de resposta e limitar o sinal de controle para satisfazer as restrições físicas. O uso desse tipo de controlador se justifica pela simplicidade implementação, além da redução do custo computacional no cálculo do sinal de controle. Ao contrário de outras abordagens como a utilizada em (Alcantara, Araújo, Santos, 214), onde a cada instante de amostragem é preciso resolver um novo problema de otimização, aqui a minimização da função custo ocorre uma única vez, off-line, durante a sintonia do controlador. 3.1 Inserção de ação integral A fim de se obter erro nulo em regime permanente, para o segmento de referência, é necessário realizar manipulações no sistema apresentado em (23), de tal modo que seja inserido um integrador ao modelo. Definindo-se yk + 1] = yk + 1] yk], obtémse a partir da equação (23): ξk + 1 k] = A a ξk] + B a uk 1], (3) Sendo o modelo predito dado por ξk + 2 k] = A a ξk + 1 k] + B a uk], (31) E, desta forma, o modelo predito passar a não ter atraso e a ação de controle passa a ser obtida através da expressão: uk] = F{ξ ref k + 1] ξk + 1 k]}, (32) sendo F a realimentação de estados que soluciona o problema LQR dado por: J = k= (ξk + 1 k] T Qxξk + 1 k] + uk] T R uk]) (33). 3.3 Preditor de Smith Filtrado { xk + 1] = A d xk] + B d uk 1], yk + 1] = C d xk + 1]. (26) A equação (26) pode ser reescrita como: xk + 1] = A { d xk] + B d uk 1], yk + 1] = yk] + C d A d xk] + C d B d uk 1]. (27) Definindo-se um novo vetor de estado para o sistema ξk] = xk] yk]] T, obtém-se o seguinte modelo aumentado: { ξk + 1] = A aξk] + B a uk 1], yk] = C a ξk], com (28) A a = A d C d A d I ];B a = B d ]; C C d B a = I] (29) d 3.2 Preditor Ótimo Sistemas com atraso acrescentam uma dificuldade a mais ao projeto do controlador. Atrasos reduzem a robustez e as margens de ganho do sistema, além de dificultar a sua análise (Santos e Normey-Rico, 212). Com a utilização do preditor ótimo, é possível atacar este problema de modo simples, pois o sinal de controle é calculado para um instante de tempo k+d, dado o vetor de estado no instante k atual, ou seja, obtém-se o sinal de controle para um estado futuro, predito a partir do estado atual, resolvendo de modo intrínseco o atraso. No modelo utilizado d é igual a 1, uma vez que o atraso nominal é de 5ms, o que corresponde a um período de amostragem. Seguindo os passos apresentados em (Santos e Normey-Rico, 212) para d=1, tem-se que a predição do sistema se dá conforme Figura 3. Estrutura de Compensação de Atraso - preditor de Smith filtrado. O preditor de Smith filtrado pode ser utilizado para modificar o comportamento de malha a exemplo do comportamento robusto e da atenuação de ruídos de medição (Santos e Normey-Rico, 212) mesmo no caso de sistemas com não-linearidades. Para obter melhores resultados em face de um ambiente ruidoso como este, utiliza-se a versão filtrada do preditor de Smith, conforme sugerido em (Alcantara, Araújo e Santos, 214): Frz] = z(1 α) z α. (34) Uma análise detalhada do papel do preditor de Smith filtrado na atenuação de ruído para sistemas com não-linearidades na entrada pode ser encontrada em (Lima, Santos, Normey-Rico, 215). De maneira simplificada, conforme se observa na Figura 3, o ruído de medição, n(t), é filtrado diretamente por Frz]. Desta maneira, além de atenuar o efeito dos erros de modelo, que se surgem no sinal e(t), um filtro passa-baixas pode ser utilizado para atenuar as altas frequências do ruído de medição. 4 Resultados As simulações foram executadas de modo a comparar o desempenho do controlador LQR utilizando-se os preditores ótimo e de Smith filtrado. Nestas consi- 745
derou-se o modelo não-linear apresentado na equação (18). Para tal foi aplicado um degrau na entrada para v e v n, mantendo a referência de ω em zero. Na síntese do controlador, utilizaram-se as seguintes matrizes de ponderação: Figura 6. Sinal de Controle da Resposta ao Degrau - Preditor de Smith Filtrado. 1 1 Q = 1 ] e R = 1 ], (35) 1 1 de modo a manter o sinal de controle no intervalo -6, 6] volts. Considerou-se um atraso de 5ms na malha de controle, e o modelo com os atritos. Para o preditor de Smith filtrado, α foi ajustado em,95. 4.1 Resposta ao Degrau Unitário Aplicando-se o sinal de referência x ref =,5,5 ] T, ou alternativamente ξ ref =,5,5 ] T, obtém-se a resposta apresentada nas Figuras 5 e 7. Pode-se observar que ambos os preditores são capazes de compensar o atraso existente, realizando a tarefa de seguimento de referência com respostas semelhantes (Figuras 4 e 6). Figura 4. Sinal de Controle da Resposta ao Degrau - Preditor Ótimo. Figura 7. Resposta ao Degrau - Preditor de Smith Filtrado. 4.1.1 Atenuação de Ruído Utilizou-se uma função de simulação de ruído branco para adicionar um sinal de ruído às variáveis de saída v e v n, avaliando o desempenho dos compensadores de atraso. anteve-se a entrada degrau utilizada anteriormente. O preditor ótimo mostrou-se sensível à presença do ruído, comprometendo totalmente a capacidade de seguimento de referência, conforme observado na Figura 9. Além disto, o sinal de saída do controlador LQR com o preditor ótimo (Figura 8) atingiu valores superiores aos limites operacionais aceitáveis, o que causa a saturação do sinal de controle. O controle LQR com o preditor de Smith filtrado, por sua vez, apresenta um desempenho superior. Neste caso, o efeito do ruído foi quase imperceptível devido ao efeito do filtro Frz], como pode ser visto nas Figuras 1 e 11. Nota-se que o sinal de controle continua respeitando os limites operacionais. Figura 8. Sinal de Controle da Resposta ao Degrau na Presença de Ruído - Preditor Ótimo. Figura 5. Resposta ao Degrau - Preditor Ótimo. 5 Conclusão Este trabalho abordou o problema de controle de referência para um robô omnidirecional sujeito a ruídos de medição e atraso de comunicação. Para realizar as simulações, considerou-se o modelo de um robô omnidirecional com três rodas, onde estão presentes os efeitos das não-linearidades causadas por diferentes forças de atrito. Foi utilizado um con- 746
trolador de baixo custo computacional, o controlador por realimentação de estado do tipo LQR. Comparou-se o desempenho do preditor ótimo com o do Com esses resultados, o preditor de Smith filtrado mostrou-se mais adequado no tratamento do atraso e dos ruídos de medição para o robô móvel estudado. Face aos resultados promissores aqui atingidos usando-se um modelo de robô obtido a partir de dados experimentais, o próximo passo é a aplicação do controlador proposto no robô real. Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro do CNPq. Referências Bibliográficas Figura 9. Resposta ao Degrau na Presença de Ruído - Preditor Ótimo. Figura 1. Sinal de Controle da Resposta ao Degrau na Presença de Ruído - Preditor de Smith Filtrado. Figura 11. Resposta ao Degrau na Presença de Ruído - Preditor de Smith Filtrado. preditor de Smith filtrado no seguimento de referência, para uma entrada do tipo degrau. Os resultados obtidos mostraram que, para o caso sem ruído de medição, ambos os preditores atingem erro nulo em regime permanente, com desempenho semelhante, respeitando as restrições no sinal de controle. Entretanto, ao se considerar o ruído de medição, observouse que com o preditor de Smith filtrado as saídas seguem as referências, satisfazendo as restrições nos atuadores, ao passo que com o preditor ótimo o sistema de controle apresenta um péssimo desempenho. Li, X. e Zell, A. (27). otion Control of an Om nidirectional obile Robot. ICINCO-RA, pp. 125-132. Araújo, H. X., Conceição, G., Oliveira, G. e Pitanga, J. (211). odel Predictive Control based on LIs Applied to an Omni-directional obile Robot. Proc. of the 18th IFAC World Congress. Normey-Rico, J. e Gómez-Ortega, J. e Camacho, E. (1999) A Smith-predictor-based generalized predictive controller for mobile robot path-tracking. Control Engineering Practice, 7(6):729-74. Santos, T. L.., Normey-Rico, J. E. (212). Sobre o Efeito do Atraso Nominal na Robustez de Estratégias com Compensação de Atraso, Congresso Brasileiro de Automática. Alcantara P. X., Araújo, H. X., Santos, T. L.. (214). Controle Preditivo Aplicado a um robô omnidirecional utilizando o preditor de Smith filtrado, Congresso Brasileiro de Automática. Conceicao, A. G. S., Correia,. D. and artinez, L. (215). odeling and friction estimation for wheeled omnidirectional mobile robots, Robotica.FirstView:1 11.DOI 1.117/S26357471565. Lima, D.., Santos, T. L.., Normey-Rico, J. E. (215). Robust Nonlinear Predictor for Deaime Systems with Input Nonlinearities, Jounal of Process Control 27(215): 1 14. Augello, L. L., Araújo, H. X. e Conceição, A. G. S. (213). Controle H Aplicado A um Robô Omnidirecional, SBAI. Santos, T. L.., Normey-Rico, J. E. (212). Sobre o Efeito do Atraso Nominal na Robustez de Estratégias com Compensação de Atraso, CBA. Smith, O. J.. (1957). Closer control of loops with dead-time, Chemical Engeneering Progress 53(5): 217 219. 747