Problemas de Álgebra Linear

Problemas de Álgebra Linear Curso: Engenharia Aeroespacial o Semestre 203/204 Prof Paulo Pinto http://wwwmathistutlpt/ ppinto/ Conteúdo Sistemas de equações lineares e álgebra matricial Álgebra de matrizes 2 Sistemas lineares e eliminação de Gauss 3 Matrizes invertíveis 4 2 Determinantes 6 2 Operações elementares e determinantes Fórmula de Laplace Cofactores 6 3 Espaços lineares 8 3 Subespaços lineares 8 32 Vectores geradores Independência linear 9 33 Bases e dimensão de espaços lineares 0 34 Coordenadas de um vector numa base 2 4 Valores próprios e vectores próprios 3 4 Valores e vectores próprios de matrizes Matrizes diagonalizáveis 3 5 Transformações lineares 4 5 Representação matricial de transformações lineares 5 52 Transformações lineares injectivas/sobrejectivas Equações lineares 7 53 Valores e vectores próprios de transformações lineares 8 6 Produtos internos 20 6 Ortogonalização de Gram-Schmidt 2 62 Complementos e projecções ortogonais; equações cartesianas de planos e rectas 2 63 Diagonalização ortogonal/unitária 23 7 Algumas Aplicações 24 7 Formas quadráticas 24 72 Mínimos quadradros 24 73 Equações diferenciais ordinárias 25 8 Soluções 26

Sistemas de equações lineares e álgebra matricial Sistemas de equações lineares e álgebra matricial Números Verifique, com exemplos, que as inclusões N Z Q R C são todas estritas Será que isto implica que, pex, #N #Z?? 2 Escreva na forma a + bi os seguintes números complexos: (a) (2 i) 2 (b) 2 4 3i (c) +i i (d) (i) n, n N 3 Escreva os seguintes números na forma polar z = ρe iθ : (a) 7 (b) 2i (c) ( + i) i (d) ( + i) 4 Álgebra de matrizes 4 Escreva a matriz A = a ij i,j=,,4 definida por se i = j, { (a) a ij = se j = i +, (b) a ij = j 2 (c) a ij = 0 caso contrário a ji para todo i, j j para j > i 5 Verifique se a matriz A = a ij M 2 2 (R) definida por a ij = 3i + 2j é simética π 6 Sejam A = 2 3 2 3, B =, C = 2 3 3 2 (a) Calcule, se possível, A + B, 2A, CD, AB, AC, DC, CB e AD (b) Calcule, se possível, A T, A T B, D T C T, C T C, CC T e (CC T ) T 7 Seja A = Calcule A 2, D = 8 (a) Encontre matrizes A e B do tipo 2 2 tais que AB BA Será que (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2? (b) Prove que (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 se e só se AB = BA (c) Prove que dadas duas matrizes quadradas A e B tais que AB = B e BA = A então temos A 2 = A Resolução: (a) Há muitas use por exemplo as seguintes A = 0 0 π 3 e B = 0 0 9 Seja A M 2 2 (R) tal que Au = 0 para qualquer u M 2 (R) Prove que A = 0 0 Sejam u, v M n (R) e a R tal que u T v = a Para a sejam A = I +uv T e B = I +a uvt Calcule AB e BA 2 Sistemas lineares e eliminação de Gauss Quais das seguintes equações são equações lineares em x, y e z? (a) x + π 2 y + 2z = 0, (b) x + y + z =, (c) x + y + z = 0, (d) xy + z = 0 2 Determine todos os polinómios p(x) de grau menor ou igual a 2 tais que p() =, p(2) = 0 e p(3) =

Sistemas de equações lineares e álgebra matricial 2 3 Decida quais dos seguintes pontos (0, 0, 0, 0), (,, 0, 0), (,, 0, π), (0,,, { 3), (0,, 0, 3) pertencem ao conjunto solução do sistema linear seguinte, nas incógnitas (x, y, z, w): x + y + 2z = 0 x 2y z = 4 Determine a intersecção entre as rectas y + x = e y 2x = 2 5 A conversão entre graus Celsius, C, e graus Fahrenheit, F, é governada pela equação linear: F = 9 5C + 32 Determine a único valor da temperatura cuja conversão não altera o seu valor (isto é quando F = C) 6 Determine valores para x, y, z e w de modo a que nas reacções químicas seguintes os elementos químicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equação (isto é, equilibre as equações químicas): (a) xc 3 H 8 + yo 2 zco 2 + wh 2 O (b) xch 4 + yo 2 zco 2 + wh 2 O 7 Resolva cada um dos sistemas de equações lineares, utilizando o método de Eliminação de Gauss: x + y + 2z = 8 3x + 2y = { x + y + z + w = (a) x 2y + 3z = (b) 6x + 4y = 0 (c) 3x 7y + 4z = 0, 2x + 2y + 2z + 3w =, 9x + 6y =, (d) 2x + 8y + 6z = 20 4x + 2y 2z = 2 3x y + z =, (e) 2x + 8y + 6z = 20 4x + 2y 2z = 2 6x + 4y + 0z = 24, (f) y + z = 2 3y + 3z = 6 y + x + y = 0 8 Escreva cada sistema linear do Problema 7 na forma matricial e aplique o método de Eliminação de Gauss, à matriz aumentada, para confirmar o resultado obtido no Problema 7 Indique o conjunto solução 9 Interprete geometricamente cada conjunto solução obtido no Problema 7 20 Para cada parâmetro real α, considere o sistema de equações lineares cuja matriz aumentada é dado 4 2 0 por 2 7 2 20 5 α 0 (a) Discuta em termos de α a existência ou não de solução do sistema de equações lineares anterior (b) Para α = 4, determine o conjunto solução do sistema de equações lineares correspondente 2 Discuta, em função do parâmetros α e β, a solução de cada sistema linear cuja matriz aumentada é: α α 0 β 2 (a) α (b) α α 4 4 α 0 α 2 β Solução (a) Para α e α 2 o sistema é possível e determinado Para α = sistema é possível e indeterminado Finalmente para α = 2, o sistema é impossível (b) O sistema é possível e determinado se α 0 e β 2 É impossível para α = 0 e β 2 Nos restantes casos, o sistema linear é possível e indeterminado (ie β = 2 e qualquer α) 22 Considere o sistema Ax = b cuja matriz matriz aumentada é 2 α 2 β 9 2 (a) Calcule as características de A e da matriz aumentada A b em função dos parâmetros α e β (b) Discuta o tipo de solução do sistema em função dos parâmetros α e β

Sistemas de equações lineares e álgebra matricial 3 Resolução: Usando eliminação de Gauss temos 2 α 2L 2 β +L 2 9L + L 3 9 2 2 α 0 5 2α β 2 0 20 + 9α 0 4L 2 + L 3 2 α 0 5 2α β 2 0 0 α + 5 4β 2 (a) Donde car A = { 3, α 5 2, α = 5, car A b = 3, α 5, β R 3, α = 5 e β /2 2, α = 5 e β = /2 (b) Analisando novamente a matriz em escada de linhas obtida em a) concluímos que o sistema é impossível quando α = 5 e β /2 É determinado quando α 5 (e qualquer β) Indeterminado quando α = 5 e β = /2 23 Indique acaracterística de cada uma das seguintes matrizes Quais é queestão em escada de linhas? 0 0 0 0 0 0 0 0 (a) (b) 0 0 (c) 0 0 (d) 0 0 (e) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (f) 3 0 0 0 0 0 (g) 3 0 0 0 0 0 (h) 0 0 0 0 0 0 (i) 0 0 0 0 0 0 (j) 0 0 (k) 0 0 24 Determine o conjunto solução de cada sistema homogéneo Au = 0 associado a cada matriz A do Problema 7, indicando o número de variáveis livres 25 Seja Ax = b um sistema linear escrito na forma matricial e B a matriz que se obtém de A usando uma operação elementar Será que podemos garantir que o conjunto solução do sistema Ax = b coincide com o conjunto solução do sistema By = b? Justifique a sua resposta 26 Considere o sistema linear cuja matriz aumentada é: 5 2 3 2 2 0 (a) Determine o conjunto solução deste sistema (a) Verifique que x = 2, y = i, z = 3 i é uma solução deste sistema Há alguma contradição? (b) Se um sistema linear Ax = b for determinado com A e b matrizes reais, então será indiferente considerar as incógnitas reais ou complexas? Justifique 27 Sejam x 0 e x duas soluções do sistema linear Ax = b Prove que: (a) Para qualquer real λ seja x λ = λx 0 + ( λ)x Prove que x λ é solução de Ax = b, (b) x λ x λ é solução do sistema homogéneo associado Ax = 0 para quaisquer λ, λ R Conclua que se Ax = b tiver duas soluções distintas, então o conjunto solução é infinito 28 Sendo A uma matriz quadrada e b uma matriz coluna não nula, decida o valor lógica de cada uma das seguintes afirmações: (a) Seja x solução do sistema Ax = b e y solução do sistema homogéneo associado Ay = 0, então x y é solução de Ax = b (b) Se x e x 2 são duas soluções de Ax = b, então x x 2 é solução de Ax = b (c) Se x e x 2 são duas soluções de Ax = b, então x x 2 é solução de Ax = 0 (d) Se A é invertível, então x = 0 é a única solução de Ax = 0

Sistemas de equações lineares e álgebra matricial 4 29 Determine o conjunto solução do sistema linear cuja matriz aumentada é: 0 0 0 0 0 0 (a) (b) (c) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 Determine um sistema linear de equações cujo conjunto solução seja dado por S: (a) S = {( + t, t) : t R}; (b) S = {(, 0, )}; (c) S = {(t, 2t, ) : t R}; (d) S = {(t, s, t + s) : t, s R}; (e) S = α 0 3 Sejam A α = α, x = 0 0 α seguinte lista de afirmações: x x 2 x 3, b = I) Existe um único valor de α para o qual car(a α ) 3 II) O sistema homogéneo A α x = 0 é possível para qualquer valor de α III) O sistema A α x = b é possível para qualquer valor de α IV) O sistema A α x = b é determinado para infinitos valores de α onde α C é um parâmetro complexo Considere a A lista completa de afirmações correctas é A) II e IV B) II e III e IV C) I e II e III e IV D) I e II 0 0 π 0 32 Sejam A = 2 3 e U = 0 0 0 0 a) Verifique se pode obter U a partir de A usando operações elementares b) Justifique que A é invertível e escreva A como produto de matrizes elementares c) Calcule a inversa de A, usando b) 3 Matrizes invertíveis 33 Sejam A e B duas matrizes quadradas 4 4 tais que AB = I Calcule a matriz BA 2 A 0 0 34 Seja A = Verifique que existe uma matriz B M 3 2 (R) tal que AB = I, mas que não 0 0 existe nenhuma matriz C tal que CA = I O que podemos concluir? 35 Sejam a, b, c, d números reais Prove que a c b d = ad cb d c b sempre que ad cb 0 a 36 (a) Sejam A, B, C matrizes n n, tais que A e B são invertíveis Resolva a seguinte equação matricial em X: AXB = C 0 (b) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 2 2 tais que I A = 2A 2 2 2 (c) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 3 3 tais que 0 A 2A = 3I 0 0 2 (d) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 3 3 tais que 2 0 0 0 A 2A = 3I

Sistemas de equações lineares e álgebra matricial 5 37 (Matrizes nilpotentes) Seja A M n n (R) tal que A k = 0 para algum k N, k Prove que (I A) = I + A + A 2 + + A k 38 Seja A = 0 7 4 7 2 7 4 3 2 (a) Verifique que A 3 é a matriz nula Prove que A não é invertível (b) Calcule (I + A + A 2 )(I A) Resolução: (a) Calcule-se A 3 por definição de produto de matrizes e concluir que A 3 é a matriz nula Supor que A é invertível, então como o produto de matrizes invertíveis é invertível, conluimos que A 2 e A 3 também são invertíveis Mas A 3 não é invertível Alternativelmente, verifique que car (A) = 2 3 Donde A não é invertível (b) Use o Problema 37 39 Seja A tal que (7A) = 3 4 2 3 Calcule A Resolução: Note que (7A) = C significa que 7 A = C, ie A = 7 C A = 3 4 7 2 3 Neste caso concreto, 40 Quando possível, inverta as seguintes matrizes: A = 2, B =, C = 0 0 0, D = 3 5 0 2 2 2, E = 2 0 0 7 3 0 2 π 3 3 9 0 0 Resolução: Usando o método de Gauss-Jordan temos 0 0 2 0 L + L 2 0 Portanto A é invertível porque car (A) = 2 e A = car (B) = 2 As matrizes C, D e E são invertíveis L 2 + L 2 0 2 0 A matriz B não é invertível pois 4 Em função do parâmetro real α, calcule a característica e justifique, quais são os valores de α para os quais as seguintes matrizes são intertíveis: 0 α 0 α 2 α 0 α + α (a) (b) α α (c) 2 α 2 α 0 α (d) α α 3 0 0 α 2 α α 2 42 Aproveite a matriz inversa de A do Problema 40 para resolver o sistema { x + y = 8 x + 2y = 0

2 Determinantes 6 Resolução: Como A é invertível, de Ax = b obtém-se x = A b multiplicando à esquerda por A Portanto pelo exercício 40 x 2 8 6 = = y 0 2 43 Dadas A, B matrizes do tipo n n invertíveis tais que A + B é invertível, prove que A + B também é invertível e (A + B ) = A(A + B) B 44 Seja A = a ij uma matriz invertível e B = b ij a inversa de A Mostre que, para cada k 0, a matriz k i j a ij é invertível e a sua inversa é k i j b ij 2 Determinantes 2 Operações elementares e determinantes Fórmula de Laplace Cofactores 2 Sejam A e B matrizes n n Decida se cada afirmação seguinte é verdadeira: (a) Seja B a matriz que se obtém de A fazendo uma troca de linhas L i L j com i j Então det(a) = det(b) (b) Seja B a matriz que se obtém de A multiplicando uma linha de A por um escalar não nulo k Então det(a) = k det(b) (c) Seja B a matriz que se obtém de A substituindo a linha L i de A por L i + αl j, para qualquer escalar α Então det(a) = det(b) (d) Sendo A T a matriz transposta de A, det(a) = det(a T ) (e) det(αa) = α n det(a) 22 Seja A = a b c d e f g h i tal que det(a) = 5 Calcule (a) det(3a) (b) det(a ) (c) det( 2A ) (d) det(( 2A) ) (e) det(a 3 ) (f) det 23 Mostre que det algum a, b, c R? b + c a + c a + b a b c 24 Para que valores de k a matriz A é invertível? 2 4 k 2 2 (a) A = 3 6 (b) A = 2 k 2 k 3 2 25 Calcular os determinantes das matrizes 2 3 0 π 0 0 A = 0 2 0, B = 0 3 4, C = 3 4 5 0 2 0 a g d b h e c i f = 0 para quaisquer a, b, c R Será que A é invertível para 0 5 0 2 0 3 2 0 2 0 0 0 3 2 3 2, D = 5 4 3 2 2 4 4 2 3 4 4 2 7 4 5 3 5 2 5

2 Determinantes 7 0 0 0 3 3 26 Seja A = 2 2 2 Prove que det(a6 A 5 ) = 3 0 2 0 27 Seja A M n n (R) tal que AA T = I (a) Prove que det(a) = ± (b) Encontre uma matriz A tal que AA T = I e det(a) = 28 Seja A = 2 3 6 7 3 4 (a) Calcule det(a) e justifique que A é invertível (b) Determina a entrada (,3) da matriz inversa A 4 3 2 2 3 29 Seja A = 2 2 2 Justifique que A é invertível e calcule a entrada (4, 2) de A 2 3 20 Seja A α = α 0 α α 0 0 0 α 0 α, com α R (a) Calcule det(a α ) e determine os valores de α para os quais A α é invrrtível (b) Para cada n N, calcule det(a n 0 + An+2 0 ), onde A 0 é a matriz A α para α = 0 (c) Considerando os valores de α para os quais A α é invertível, calcule a entrada (3, ) da matriz A α 2 Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando a regra de Cramer { 7x 2y = 3 x 3y + z = 4 (a) (b) 2x y = 2 3x + y = 5 4x 3z = 2 a b c 22 Seja A = a 2 Sabendo que det(a) = 5, considere a seguinte lista de afirmações: b 2 4 a 2 I) det a b c = 20 4b 8 6 II) 2a b III) det( 3A) = 35 A lista completa de afirmações correctas é A) I B) II C) I e II e III D) I e II 3 2 2 2 0 23 Seja A = Considere a seguinte lista de afirmações: 3 4 4 0 3 0 0 I) A matriz A é não invertível II) A entrada (,4) da matriz inversa de A é igual a 0

3 Espaços lineares 8 III) A matriz 3 A2 é invertível A lista completa de afirmações correctas é A) I B) II e III C) II D) III 24 Seja A, B matrizes n n invertíveis (a) Prove que adj(adj(a))= A n 2 A (b) Prove que adj(ab) =adj(b)adj(a) 3 Espaços lineares 3 Subespaços lineares 3 Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição de vectores e multiplicação por escalares): (a) {(0, 0)}, (b) {(x, y) R 2 : x 2y = 0}, (c) {(x, y) R 2 : x + y = π}, (d) {(x, y) R 2 : ax + by = k} (e) {(x, y) : x N 0, y R}, (f) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 π}, (g) {(x, y) R 2 : y 0}, (h) {(x, y) R 2 : xy 0} 32 Considere o espaço linear V = R 3 com as operações usuais Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de R 3 são subespaços lineares de V : (a) {(x, y, z) R 3 : z = }, (b) {(x, y, z) R 3 : xy = 0}, (c) {(x, y, z) R 3 : x + y + 2z = 0, x y = 0}, (d) {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0, x + y + 3z = 0} 33 Considere o conjunto F = {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z + w = 0, x z + w = 0, x w = 0} (a) Quais os vectores u, u 2 e u 3 pertencem a F, onde u = (0, 0, 0, 0), u 2 = (, 4, 2, ) e u 3 = (, 4, 2, ), (b) Prove que F é um subespaço de R 4 34 (a) Seja A uma matriz real n m Prove que V = {(x,, x m ) R m : A subespaço linear de R m (b) Use (a) para resolver o Problema 33 (b) 35 Sejam A, B M 2 2 (R) (a) Prove que N (B) N (AB) (b) Se A fôr invertível, então prove que N (B) = N (AB) x x 2 x m = 0 0 0 } é um 36 Considere V o espaço linear das funções reais de variável real t Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de V são subespaços lineares de V : (a) {f V : f(t) = f( t)}, (b) {f V : f contínua},

3 Espaços lineares 9 (c) {f : V : f diferenciável e f (t) = f(t)} onde f designa a derivada de f, (d) {f V : f é 3 vezes diferenciável e f (t) f (t) + πf (t) = 0, t} (e) {p V : p polinómino}, (f) P n := {p(t) = n i= α it i : grau de p n} onde n é fixo, (g) {p P n : grau p = n}, (h) {p P n : grau de p n e p() = 0} 37 Considere V = M n n (R) os espaço linear das matrizes n n Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de V são subespaços lineares de V : (a) {matrizes triagulares superiores}, (b) {X V : X é invertível}, (c) {X V : T r(x) = 0}, (d) {X V : X T = X} onde X T designa a transposta da matriz X, 0 (e) {X M 2 2 (R) : AX = XA}, onde A = 0 32 Vectores geradores Independência linear 38 Considere em R 2 o conjunto de vectores S = {(, ), (, )} (a) Mostre que o vector (3, 3) é combinação linear de vectores de S (b) Mostre que o vector (0, ) não é combinação linear de vectores de S 39 No espaço linear R 3 considere os vectores v = (, 2, ), v 2 = (, 0, 2) e v 3 = (,, 0) Mostre que os seguintes vectores são combinações lineares de v, v 2 e v 3 : (a) v = (3, 3, 3) (b) v = (2,, 5) (c) v = (, 2, 0) 30 Determine o valor de k para o qual o vector v = (, 2, k) R 3 é combinação linear dos vectores v = (3, 0, 2) e v 2 = (2,, 5) 3 Decida quais dos seguintes conjuntos geram R 3 : (a) {(,, ), (, 0, )} (b) {(,, ), (, 0, ), (0, 0, )} (c) {(,, ), (, 0, ), (0, 0, ), (2,, 3)} 32 Considere, no espaço linear P 2 dos polinómios de grau menor ou igual a 2, os vectores p (t) = 2 + t + 2t 2, p 2 (t) = 2t + t 2, p 3 (t) = 2 5t + 5t 2 e p 4 (t) = 2 3t t 2 O vector p(t) = 2 + t + t 2 pertence à expansão linear L({p, p 2, p 3, p 4 })? Verifique se p, p 2, p 3 e p 4 geram P 2? 0 33 Considere A =, A 2 =, A 3 = e A 4 = no espaço linear 0 V = M 2 2 (R) Prove que S = {A, A 2, A 3, A 4 } gera V, ie L(S) = V Escreva A = como 3 4 combinação linear de matrizes de S 0 0 0 0 0 34 Quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes: Em R 2 : a) {(0, 0)}, (b) {(, )}, (c) {(, ), (2, 2)}, (d) {(, ), (, 2)}, Em R 3 : (e) {(2,, 4), (3, 6, 2), (2, 0, 4)}, (f) {(6, 0, ), (,, 4)}, (g) {(4, 4, 0, 0), (0, 0, 6, 6), ( 5, 0, 5, 5)}

3 Espaços lineares 0 35 Determine o único valor de a que torna os seguintes vectores linearmente dependentes: v = (, 0, 0, 2), v 2 = (, 0,, 0), v 3 = (2, 0,, a) 36 Quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearente independentes: Em P 3 : (a) {2 t, + t}, (b) { + t, + t 2, + t + t 2 }, (c) { + t + t 3, t t 2 + t 3, t 2 }, (d) {, t, t 2, t 3 }, No espaço das funções reais de variável real: (e) {cos 2 (t), sin 2 (t), 2}, (f) {t, cos(t)}, Em M 2 2 (R): (g) {A =, A 2 = 0, A 3 = 0 0, A 4 = 37 (a) Seja {v, v 2,, v k } um conjunto de vectores linearmente independente de R n (com k n) e A M n n (R) uma matriz invertível Prove que {Av, Av 2,, Av k } também é um conjunto de vectores linearmente independente (escrevendo os vectores v,, v k como vectores-coluna) (b) Sejam v, v 2 e v 3 vectores linearmente independentes em R 3 e sejam w = v + v 2 + v 3, w 2 = 2v 2 + v 3, w 3 = v + 3v 2 + 3v 3 Prove que w 2, w 2 e w 3 são vectores linearmente independentes 33 Bases e dimensão de espaços lineares 38 Indique uma base e a respectiva dimensão para cada espaço linear: (a) {(x, y) R 2 : x + y = 0} (b) {(x, y, z) R 3 : x + y = 0} (c) {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0, x y = 0} (d) {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z = 0, x y = 0, y + w = 0} 0 0 0 39 Determine uma base e a dimensão para o subespaço linear U de R 3 gerado por u = (, 2, ), u 2 = (2, 4, 3), u 3 = (3, 6, 4), u 4 = (, 2, ), ie U = L({u, u 2, u 3, u 4 }) 320 Seja A = 5 9 2 6 0 3 7 4 8 2 Determine a dimensão dos seguintes espaços lineares, indicando uma base em cada caso: (a) Núcleo de A (b) Espaço linhas de A (c) Espaço colunas de A 32 Encontre a característica, bases para o núcleo, espaço das linhas e das colunas de cada matriz: 5 9 2 6 0, 4 3 2, 0 0 0 0 0 0, 5 2 6 3 7, 2 2 4 3 0 0 2 4 8 2 } e Para cada matriz A verifique que: dim N (A)+ car(a)= número de colunas de A 322 Seja A = 0 0 0 (a) Determine uma base para N (A) (b) Determine uma base de R 3 que inclua duas colunas de A (c) Determine uma base para L (A) C (A) 3 2 2 0 3 6 0 2 2 3 2 4 4 3 3 6 6 3 5 3 0 0 5

3 Espaços lineares 323 Encontre bases e respectivas dimensões para os seguintes espaços lineares: (a) V = {p P 3 : p() = 0}; (b) V = {p P 2 : p(0) = p() = 0}; a b (c) V = { M 2 2 (R) : a + 2b = 0}; c d (d) {A M 2 2 (R) : A = A T }; 0 (e) {A M 2 2 (R) : A = 0 A} 324 Sejam V = L({(,, ), (, 2, 2)}) e V 2 = {(x, y, z) R 3 : 3x y z = 0} (a) Determine uma equação ax + by + cz = 0 tal que V = {(x, y, z) R 3 : ax + by + cz = 0} (b) Determine dois vectores v, v 2 tais que V 2 = L({v, v 2 }) 325 Sejam V = L({(,, ), (, 2, 2)}) e V 2 = L({(0,, ), (,, 2)}) (a) Calcule dim(v V 2 ) e dim(v + V 2 ) (b) Determine bases para V V 2 e para V + V 2 326 Determine as dimensões de E F e E + F : (a) E = L({(,,, ), (,,, ), (,, 2, 2)}) e F = L({(, 0, 0, ), (0,,, ), (,, 0, )}); (b) E = {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z = 0} e F = ({(x, y, z, w) R 4 : x + w = 0, y + w = 0}; (c) E = L({ + t + t 2, + t 2 }) e F = L({3 + 2t + 3t 2 }) em P 2 327 Determine uma base para V V 2, onde V = {p(t) P 2 : p( ) = 2p(0) p()} e V 2 = L({ + t, t 2 }) 328 Sejam A, B M n m (R) Prove que L A+B L A + L B Será que em geral L A+B = L A + L B? 329 Determine uma base para R 4 que inclua os vectores (,,, ) e (, 0, 0, ) 330 Considere o seguinte subespaço de R 4 : U = {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z + w = 0} (a) Determine uma base para U (b) Determine uma base para U que inclua os vectores (,,, ) e (, 0, 0, ) 33 Seja V = {(x, y, z) R 3 : x z = 0} Considere a seguinte lista de afirmações: I) O conjunto {(, 0, ), (0, 2, 0)} é uma base de V II) dim(v ) = 2 e {(, 0, ), (0,, 0)} forma uma base de V 0 III) V = N (A) onde A = 0 0 0 IV) V = N (A) onde A = 3 0 3 A lista completa de afirmações correctas é A) I e III B) II e III C) I e IV D) II e IV 332 Para cada β seja V β = {(x, y) R 2 : x βy = β 2, βx + y = β} Considere a seguinte lista de afirmações:

3 Espaços lineares 2 I) O conjunto V β é um subespaço linear de R 2 para um único valor de β II) dim(v ) = e {(, )} é uma base de V (onde V designa V β fazendo β = ) III) As coordenadas de v = (a, b) na base ordenada {(, ), (, )} são ( a b 2, a+b 2 ) A lista completa de afirmações correctas é A) I B) I e II C) II e III D) I e III 34 Coordenadas de um vector numa base 333 (a) Seja Bc = {(, 0), (0, )} e B = {(, ), (, 0)} duas bases de R 2 (a) Encontre as coordenadas v Bc do vector v = (3, 4) na base Bc, assim como as coordenadas v B do mesmo vector na base B (b) Determine a matriz mudança de base S Bc B da base canónica para a base B (c) Use a matriz mudança de base apropriada e determine v B a partir de v Bc (d) Determine o vector w = (a, b) de tal forma que w B = (, ) 334 Considere V = L({v, v 2, v 3 }) onde v = (,,, ), v 2 = (0,,, ) e v 3 = (, 2, 2, 0) (a) Encontre uma base para V e indique a respectiva dimensão (b) Quais são as coordenadas do vector v = (2, 4, 4, 0) na base ordenada de (a)? 335 Encontre as coordenadas do vector v = (, 2, 3) numa base do espaço linear E = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0} à sua escolha 336 Seja B = {v, v 2 } a base do subespaço linear W de R 3, onde v = (,, ) e v 2 = (, 0, ) Considere a seguinte lista de afirmações: I) (, 2, ) W II) W = {(x, y, z) : x z = 0} III) As coordenadas v B do vector v = (2, 3, 2) na base B são v B = (2, ) IV) Se v B = (3, ) são as coordenadas de v na base B, então v = (2, 3, 2) A lista completa de afirmações correctas é A) I e IV B) II e III C) I, II e IV D) I, III e IV 337 Considere em R 2 as bases ordenadas B e B 2 em que B = {(, ), (0, )} Seja S B B 2 = 0 a matriz de mudança da base B para a base B 2 Determine as coordenadas do vector (, ) em B 2 0 0 0 0 0 338 (a) Prove que A =, A 2 =, A 3 = e A 4 = constituem uma 0 base para o espaço linear V = M 2 2 (R) (b) Determine a matriz mudança de base S da base canónica de M 2 2 (R) para a base {A, A 2, A 3, A 4 } a b (c) Encontre as coordenadas de A = na base canónica de M 2 2 (R) e na base {A, A 2, A 3, A 4 } c d 339 Seja A matriz real 3 3 qualquer, não nula, tal que A 2 = 0 Prove que car(a) =

4 Valores próprios e vectores próprios 3 4 Valores próprios e vectores próprios 4 Valores e vectores próprios de matrizes Matrizes diagonalizáveis 2 4 Seja A = Considere ainda os vectores v = (0, 0), v 2 = (2, ), v 3 = (, ), v 4 = (2, 3) 2 e v 5 = (2, 2) Identifique os que são vectores próprios e A Diga ainda quais são os valores próprios associados 0 0 42 Seja A = 0 0 0 0 (a) Determine o polinómio característico de A e o seus valores próprios (b) Mostre que os vectores v = (, 0, 0), v 2 = (,, ) e v 3 = (0, 0, ) determinam um base de R 3 constituída por vectores próprios de A 43 Determine os valores de a e b tais que (, ) é um vector próprio de A = valor próprio de A a b e que λ = 0 é um 44 Para cada uma das seguintes matrizes, encontre os valores próprios e bases para os espaços próprios correspondenntes: 4 0 3 0 0 9 0 3 3 0 0 0 (a), (b) (c) (d) (e) (f) 2 0 8 4 2 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 2 0 2 2 2 3 2 0 5 0 0 0 (g) 0 2 0 (h) 0 (i) 0 2 0 (j) 6 4 6 4 0 2 7 0 0 0 0 6 4 2 2 2 45 Verifique que λ 3 é o polinómio característico da matriz A = 5 3 Justifique que A não é 5 3 diagonalizável 2 46 Seja A = 0 3 (a) Determine o polinómio característico de A (b) Determine os espaço próprios e indique as respectivas dimensões (c) Prove que A é diagonalizável e indique uma matriz P que diagonalize A, ie matriz P tal que tal que P AP é uma matriz diagonal (d) Calcule A 9 47 Considere as matrizes A = 0 0 0 0 0 0 4 4 B = (a) Determine os valores e vectores próprios de A e de B (b) Diga, justificando, se A ou B é diagonalizável (c) Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que D = P BP

5 Transformações lineares 4 48 Considere, para cada parâmetro real α, a matriz A α e o vector v α definidos por: α 0 0 α α 0 0 A α = 2 0 0 2, v α = 2 3 0 0 3 3 (a) Determine o escalar λ R, em função do parâmetro, tal que A α v α = λv α (b) Discuta as dimensões do N (A α ) e do espaço C(A α ) gerado pelas colunas de A α, em função de α (c) Determine, em função de α, bases para N (A α ) e C(A α ) (d) Determine, em função de α, os valores próprios de A α (e) Identifique os valores de α para os quais A α é diagonalizável 49 Considere o polinómio p(λ) = λ(λ ) 2 (λ + ) 3 (λ 7) Encontre uma matriz A tal que o polinómio característica de A seja p(λ) Será A diagonalizável? Poderá escolher uma matriz A não diagonalizável com este polinómio característica? 40 (a) Seja A uma matriz n n invertível, λ um valor próprio de A e v um vector próprio associado ao valor próprio λ Prove que então λ é valor próprio da matriz inversa A Indique um vector próprio associado a este valor próprio (b) Se v é um vector próprio comum às matrizes A e B, então prove que v é um vector próprio de AB 4 Seja A matriz 2 2, v e v 2 dois vectores próprios de A associados aos valores próprios λ = e λ 2 =, respectivamente Considere a seguinte lista de afirmações: I) O vector v v 2 não é vector próprio de A II) λ + λ 2 é um valor próprio de A III) A matriz A é diagonalizável IV) A é invertível A lista completa de afirmações correctas é A) I e III B) III e IV C) I e II e III e IV D) I e III e IV 42 Uma matriz R M n n (R) diz-se de rotação se R for ortogonal (R = R T ) e det(r) = Prove que para n ímpar, existe um vector não nulo u tal que Ru = u 5 Transformações lineares 5 Considere as transformações P : R 3 R 2 e T : R 3 R 3 definidas como se segue: P ((x, y, z)) = (x + y, x + y + 2z), T ((x, y, z)) = (x + y, x + y + 2z, 2x + 2y + 4z), e os vectores u = (, 2, 3) e v = (, 0, ) (a) Calcule P (u), P (v), P (u + v), P (u) + P (v), P (3u) e 3P (u) (b) Calcule T (u), T (v), T (u + v), T (u) + T (v), T (3u) e 3T (u)

5 Transformações lineares 5 52 Considere a transformação linear T : P 2 P 2 tal que T (p)(t) = p (t) + p(t) e considere os polinómios p (t) =, p 2 (t) = t, p 3 (t) = t 2 e p 4 = + 2t + 3t 2 Calcule T (p ), T (p 2 ), T (p 3 ), T (p 4 ) e T (p + 2p 2 + 3p 3 ) 53 Sejam E e F espaços lineares e T : E F uma transformação linear Prove que então T transforma o vector nulo 0 E de E no vector nulo 0 F de F, ie T (0 E ) = 0 F 54 Determine quais das seguintes transformações são lineares: Em R n : (a) T : R 2 R 2, T (x, y) = (x, y) (b) T : R 2 R 2, T (x, y) = (x +, y) (c) T : R 2 R 2, T (x, y) = (2x, y 2 ) (d) T : R 3 R 3, T (x, y, z) = (x + 2y + z, y 3z, 0) (e) T : R 2 R 3, T (x, y) = (x, 2x + 3y, x + y) (f) T : R 2 R 3, T (x, y) = (x, 2x + 3y, ) Em P n na varável t e onde p designa a derivada de p: (g) T : P 2 P 2, T (p(t)) = tp (t) + p(t) (h) T : P 2 P 3, T (p(t)) = t 2 p (t) + p(t + ) (i) T : P 2 P 2, T (p(t)) = p(t + ) + p(t ) (j) T : P 2 P 3, T (p(t)) = p( ) + p(0) + p() (l) T : P 3 P 2, T (p(t)) = p(0)p (t) Em M n n (R): ( a b ) b + 2c 0 (m) T : M 2 2 (R) M 2 2 (R), T = c d 3c + a d a (n) T : M n n (R) M n n (R), T (X) = X + X t (o) T : M n n (R) M n n (R), T (X) = SX onde S é uma matriz fixa p( ) p(0) (p) T : P 2 M 2 2 (R), T (p) = p(0) p() 55 Considere a transformação linear T : R 2 R 2 tal que T (, ) = (3, 3) e T (, ) = (, ) Calcule T (, 0) e T (0, ) e determine a expressão geral T (x, y) 5 Representação matricial de transformações lineares 56 Considere a transformação linear T : R 2 R 2 tal que T (x, y) = (2x y, x + 3y) Em cada alínea, determine a representação matricial M(T ; B, B) na base ordenada B = {v, v 2 }: (a) v = (, 0), v 2 = (0, ) (b) v = (2, 0), v 2 = (0, 2) (c) v = (0, ), v 2 = (, 0) (d) v = (, ), v 2 = (, ) 57 Considere a transformação linear T : R 3 R 3 tal que T (x, y, z) = (x + y, x + z, z + y) Em cada alínea, determine a representação matricial M(T ; B, B) na base ordenada B = {v, v 2, v 3 }: (a) v = (, 0, 0), v 2 = (0,, 0), v 3 = (0, 0, ) (b) v = (0, 3, 0), v 2 = (0, 0, 3), v 3 = (3, 0, 0) (c) v = (, 0, 0), v 2 = (,, 0), v 3 = (,, )

5 Transformações lineares 6 58 Considere a transformação linear T : R 3 R 2 tal que T (x, y, z) = (2x + y, z + 3y) Em cada alínea, determine a representação matricial M(T ; B, B 2 ) nas bases ordenadas B 2 = {v, v 2, v 3 } no espaço de partida e B 2 = {w, w 2 } no espaço de chegada: (a) v = (, 0, 0), v 2 = (0,, 0), v 3 = (0, 0, ), w = (, 0), w 2 = (0, ) (b) v = (, 0, 0), v 2 = (,, 0), v 3 = (,, ), w = (, 0), w 2 = (0, ) (c) v = (, 0, 0), v 2 = (,, 0), v 3 = (,, ), w = (, ), w 2 = (0, ) 59 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear que na base canónica é representada pela matriz A = Calcule mediante uma matriz mudança de base apropriada: (a) A representação matricial de T na base v = (3, 0), v 2 = (0, 3) (b) A representação matricial de T na base v = (, ), v 2 = (, 2) 2 2 50 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear que na base B = {(, ), (, 2)} é representada pela matriz 3 2 A = Calcule T (x, y) 2 5 (Rotações ver Problema 42) Para cada real θ 0, 2π, seja R θ : R 2 R 2 tal que R θ (x, y) = (x cos(θ) y sin(θ), y cos(θ) + x sin(θ)) (a) Prove que R θ é uma transformação linear Determine A θ := M(R θ ; Bc) e verifique que A θ = A θ (b) Verifique que R θ R ϕ = R θ+ϕ (c) Sendo R θ : R 3 R 3 uma rotação de um ângulo θ em R 3, verifique se existe uma base B de R 3 tal que M(R θ ; B; B) = 0 0 0 cos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) 52 (Reflexões) Para cada real θ 0, π, seja F θ : R 2 R 2 a reflexão da recta que passa na origem e forma um ângulo de θ com o eixo y = 0 Prove que a representação matricial de F θ relativamente à base canónica é cos(2θ) sin(2θ) sin(2θ) cos(2θ) 53 (Projecções) Para cada real θ, seja P θ : R 2 R 2 a projecção sobre a recta que passa na origem e forma um ângulo de θ com o eixo y = 0 Prove que a representação matricial de P θ relativamente à base canónica é cos 2 (2θ) sin(θ) cos(θ) sin(θ) cos(θ) sin 2 (θ) 54 (Contração/Dilatação, Compressão/Expansão, Deslizamento) Para cada α real considere as transformações lineares que na base canónica são representadas pelas matrizes: α 0 α 0 α,, 0 α 0 0 sendo X = {(x, y) R 2 : 0 x, 0 y } o quadrado unitário, calcule a imagem de X por cada uma dessas transformações

5 Transformações lineares 7 52 Transformações lineares injectivas/sobrejectivas Equações lineares 55 Seja T : R 3 R 3 a transformação linear definida como se segue: T ((x, y, z)) = (x, y + 2z, y + 2z) (a) Calcule T ((,, )) e T ((, 3, 3)) e verifique se T é injectiva (b) Verifique que não existe um vector u tal que T (u) = (0, 0, ) Conclua que T não é sobrejectiva 56 Seja T : R 3 R 2 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x + y, x + y z) (a) Calcule a matriz que representa T nas bases canónicas (b) Calcule uma base para o núcleo de T A transformação é injectiva? (c) Calcule uma base para a imagem de T Será T sobrejectiva? (d) Resolva a equação linear T (x, y, z) = (, ) (e) Existe algum (a, b) R 2 tal que a equação T (x, y, z) = (a, b) seja impossível? (f) Existe algum (a, b) R 2 tal que a equação T (x, y, z) = (a, b) seja indeterminada? 57 Seja T : R 3 R 4 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x + 2y, x y, x, x z) (a) Represente T matricialmente nas bases canónicas (b) Será T sobrejectiva ou injectiva? (c) Determine um vector v R 4 tal que T (u) = v não tenha solução 58 Seja T : R 3 R 3 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x + y + z, 2x + 2y + 2z, x y z) (a) Encontre a representaç ao matricial de T numa bse de R 3 à sua escolha (b) Justifique que T não é injectiva, nem sobrejectiva (c) Resolva, em R 3, a equação linear T (x, y, z) = (3, 3, 3) 59 Considere a transformação linear T : R 3 R 4 tal que a sua representação matricial nas bases ordenadas B = {(, 2, 0), (3, 2, ), (2,, 0)} e B 2 = {(,,, ), (0,,, ), (0, 0, 2, 3), (0, 0, 0, 4)} de R 4 e R 3, 5 9 2 6 0 respectivamente é M(T ; B ; B 2 ) = 3 9 4 6 28 (a) Verifique se T é injectiva ou sobrejectiva (b) Determine uma base para o núcleo de T (c) Determine uma base pata o contradomínio de T (d) Resolva, em R 3, a equação linear T (x, y, z) = (5,, 33, 08) 520 Seja T : R 3 R 4 a transformação linear definida no Problema 59 (a) Verifique que T (, 2, 0) = (, 3, 9, 28), T (3, 2, ) = (5,, 33, 08) e T (2,, 0) = (9, 9, 57, 88) (b) Prove que T (x, y, z) = ( 7 3 x 7 3 y 22 3 z, 35 3 x 3 3 y 46 3 z, 35x 3y 46z, 6x 44y 52z) 52 Seja T : P 2 P 2 a transformação linear definida por T (p(t)) = t 2 p (t) 2p(t) (a) Calcule a matriz que representa T na base canónica de P 2 (b) Calcule uma base para o núcleo de T e uma base para o contradomínio de T Conclua que T não é injectiva nem sobrejectiva

5 Transformações lineares 8 522 Seja T : P 2 P 2 a transformação linear definida por T (p(t)) = p (t) 2p(t), onde p designa a derivada de p (a) Determine a expressão geral de T (b) Determine a representação matricial de T na base canónica de P 2 (c) Justifique que T é bijectiva e verifique que (d) Resolva, em P 2, a equação linear T (p(t)) = + t T (p(t)) = 2 p(t) 4 p (t) 8 p (t) 523 Considere a transformação linear T : P 2 P 2 tal que T (p) = p Resolva a equação linear T (p) = q, onde q(t) = + t 524 Seja T : P 2 P 2 a transformação linear definida por T (p(t)) = t 2 p (t) 2p(t) (a) Calcule a matriz que representa T na base canónica {p, p 2, p 3 } (b) Resolva, em P 2, a equação linear t 2 p (t) 2p(t) = 525 Seja S = 2 2 e a transformação T : M 2 2 (R) M 2 2 (R) dada por T (X) = tr(x)s onde tr(x) designa o traço da matriz X (a) Prove que T é uma transformação linear (b) Considere a base canónica Bc = { 0 0 0 0 0 0,,, 0 0 0 0 0 0 matriz que representa T nesta base (c) Encontre uma base para o núcleo de T e verifique se T é injectiva (d) Encontre uma base para a imagem de T e verifique se T é sobrejectiva (e) Encontre os valores e vectores próprios de T (f) Verifique se T é diagonalizável (g) Resolva a equação linear T (X) = 2 2 53 Valores e vectores próprios de transformações lineares 526 Considere a transformação linear T : R 2 R 2 definida por T (x, y) = (2x + y, 2y) (a) Determine a representação matricial de T da base canónica de R 2 (b) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T (c) Mostre que não existe nenhuma base de R 2 constituida por vectores próprios de T } de M 2 2 (R) Calcule a

5 Transformações lineares 9 527 Considere a transformação linear T : R 3 R 3 definida por T (x, y, z) = (y + z, 2y + z, y + 2z) (a) Determine o polinómio característico de T (b) Determine os valores próprios e bases dos subespaços próprios de T (c) Determine uma base de R 3 constituída por vectores próprios de T Qual é a matriz que representa T nesta base? (d) Seja A = M(T, Bc, Bc) a matriz que representa T na base canónica de R 3 Diagonalize a matriz A Isto é, determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P AP (e) Determine A n e T n (x, y, z) 528 Considere a transformação linear T : R 3 R 3 que em relação à base ordenada B = {(0,, 0), (, 0, ), (, 0, )} é representada pela matriz: 7 4 2 A = 7 2 0 (a) Verifique que p(λ) = (λ 6)(λ 9) 2 é o polinómio característico de T (b) Determine os valores próprios e bases dos subespaços próprios de T (c) Determine uma base de R 3 constituída por vectores próprios de T Qual é a matriz que representa T nesta base? (d) Diagonalize a matriz A, isto é, determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P AP (e) Determine A 2 e T 2 (x, y, z) 529 Considere a transformação linear T : M 2 2 (R) M 2 2 (R) definida por T (A) = A + A T (a) Determina a representação matricial de T numa base de M 2 2 (R) à sua escolha (b) Determine os valores próprios e os vectores próprios de T (c) Verifique se T é diagonalizável Em caso afirmativo, indique uma base ordenada de M 2 2 (R) em relação à qual a representação matricial de T é uma matriz diagonal 530 Considere a transformação linear T : P 2 P 2 que na base ordenada {, + t, t t 2 } é representada pela matriz 0 0 0 A = 0 0 0 4 4 (a) Determine os valores e vectores próprios de T (b) Diga, justificando, se existe alguma base de P 2 cuja representação matricial de T é uma matriz diagonal 53 Seja T : P 2 P 2 a aplicação definida como se segue T (p(t)) = p(t + ) I) T não é uma transformação linear II) p(t) = + t + t 2 é uma solução da equação linear T (p(t)) = 3 + 3t + t 2 III) A transformação linear T é bijectiva IV) O polinómio p(t) = 5 é um vector próprio de T Confronte este Problema com o Problema 47

6 Produtos internos 20 A lista completa de afirmações correctas é A) I B) II C) III D) II e III e IV 532 Considere a transformação linear T : P 2 P cuja representação matricial em relação às bases ordenadas B = { + t, t, t 2} de P 2 e B 2 = { + t, + 2t} de P, é dada pela matriz: 2 0 M(T ; B ; B 2 ) = 0 Considere ainda a transformação linear T 2 : P P 2 tal que T 2 () = t T 2 (t) = 2 + 8t 2t 2 a) Determine a matriz M(T 2 ; B; B ) que representa T 2 em relação às bases ordenadas B = {, t} de P e B = { + t, t, t 2} de P 2 b) Determine uma base para N (T ) (núcleo de T ) e diga, justificando, se T é sobrejectiva c) Determine T (t) e encontre, em P 2, a solução geral da equação T (p (t)) = t d) Verifique se é o único valor próprio de T T 2 533 Seja C (R) o espa o linear das funções reais de variável real infinitamente diferenciáveis e V = L({f, f 2, f 3 }) os subespaço linear de C (R) gerado pelas funções f (t) = sin(t), f 3 (t) = cos(t), f 3 (t) = e t Seja D : C (R) C (R) tal que D(f) = f onde f designa a derivada de f (a) Determine o núcleo de D Será a transformação linear D injectiva? (b) Prove que D(V ) V (c) Determine uma base para V (d) Resolva em V a equação linear D(f) = sin(t) + e t 534 Seja V um espa co linear de dimensão finita e T : V V um indempotente (transformação linear tal que T 2 = T ) (a) Mostre que I T também é um idempotente e que 2T I é invertível com (2T I) = 2T I (b) Mostre que N (T ) = I(I T ) (c) Mostre que V = N (T ) I(T ) 6 Produtos internos 6 Identifique as aplicações, : R n R n R que definem um produto interno, Em R 2 : (a) (x, x 2 ), (y, y 2 ) = x y + x 2 y 2 (b) (x, x 2 ), (y, y 2 ) = x y + x y 2 + x 2 y 2 (c) (x, x 2 ), (y, y 2 ) = 2x y + 3x 2 y 2 (d) (x, x 2 ), (y, y 2 ) = x x 2 y + x 2 y 2 (e) (x, x 2 ), (y, y 2 ) = x 2 y y 2 + x y 2 Em R 3 : (f) (x, x 2, x 3 ), (y, y 2, y 3 ) = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 (g) (x, x 2, x 3 ), (y, y 2, y 3 ) = x y + 2x y 2 + x 2 y 2 + 3x y 3 + x 2 y 3 + x 3 y 3 (h) (x, x 2, x 3 ), (y, y 2, y 3 ) = x 3 x y 2 + x y 2

6 Produtos internos 2 62 Determine um produto interno de R 2 tal que (, 0), (0, ) = 2 Será único? 63 Usando o produto interno usual e os vectores u = (,, 2, 2) e v = ( 2, 2,, ), calcule: (a) u, (b) v, (c) u v, (d) u v, (e) u u, (f) proj vu, (g) proj u v, (h) (u, v) 6 Ortogonalização de Gram-Schmidt 64 Usando o produto interno usual, verifique quais dos seguintes conjuntos constituem uma base ortogonal de R 3 (a) {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )}, (b) {(,, ), ( 2,, ), (0,, )}, (c) {(,, ), ( 2,, ), (0,, )}, (d) {(,, ), ( 2,, )} (e) {(0, 0, 0), (,, ), ( 2,, )} 65 Usando o produto interno usual, determine uma base ortogonal para cada espaço linear E que se segue (a) E = R 2 (b) E = {(x, y) : x + y = 0} (c) E = L({(,, ), ( 2, 2, 2), (,, )}) (d) E = {(x, y, z) R 3 : x + y = 0} (e) E = L({(,,,, ), (, 0,, 0, ), (0, 0, 0,, )} (f) E = {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z + w = 0, z 2w = 0} 66 Considere o produto interno em R 2 definido como se segue: (x, x 2 ), (y, y 2 ) = x x 2 2 (a) Verifique se os vectores e = (, 0) e e 2 = (0, ) são ortogonais para este produto interno (b) Verifique se os vectores u = (, ) e u 2 = (2, 3) são ortogonais para este produto interno (c) Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormada de R 2 usando os vectores u e u 2 de (a) 62 Complementos e projecções ortogonais; equações cartesianas de planos e rectas 67 Considere R 3 munido com o produto interno usual e F = L({u }) onde u = (,, ) (a) Determine uma base ortonormada para F (b) Determine uma base para o complemento ortogonal F de F (c) Determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal de F, ie base ortonormal para F 68 Considere R 4 munido com o produto interno usual e seja F = {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z + w = 0, z 2w = 0} (a) Determine uma base para o complemento ortogonal de F (b) Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal de F 69 Considere R 4 munido com o produto interno usual e F = {(x, y, z, w) R 4 : x y = 0} (a) Calcule uma base ortogonal para F (b) Determine a projecção ortogonal de p = (,,, ) sobre F e sobre F (c) Calcule d(p, F ) e d(p, F ) 60 Considere R 00 munido com o produto interno usual e seja F = {(x, x 2,, x 00 ) R 00 : x + x 2 + + x 00 = 0} (a) Calcule dim(f ) e dim(f ) (b) Seja p = (, 2, 3,, 99, 00) R 00 Calcule a diatância entre p e F y y 2

6 Produtos internos 22 6 Seja W o plano de R 3 definido pela equação x 2y + z = 0 (a) Determine a(s) equações (cartesianas) da recta perpendicular a W que passa pelo ponto p = (, 0, 0) (b) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a W que passa no ponto p = (, 0, 0) 62 Considere a recta (,, ) + L({(, 2, 3)}) Encontre equações cartesianas desta recta 63 Seja P o plano tal que (, 0, 4), (, 4, 2), (, 0, 6) P (a) Determine a equação cartesiana de P (b) Determine as equações paramétrica de P (c) Determine as equação vectorial de P (d) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a P e que passa em (,, ) 64 Seja p + F um k-plano em R n Prove que p + F é um subespaço linear de R n se e só se p F 65 Considere em R 4 o produto interno usual (a) Determine uma base para o complemento ortogonal E de E = L({(, 0, 0, 0), (, 0, 0, )}) E uma base ortogonal para E (b) Determine uma base para o complemento ortogonal de N ( (c) Calcule o ângulo entre v = (,,, ) e w = (, 0, 0, 0) 0 0 0 0 66 Determine uma base para o complemento ortogonal de N ( 0 0 ) 2 0 0 2 67 Considere a estrutura de espaço euclidiano em P 2 induzida pelo produto interno p, q = p(t)q(t) d(t) (a) Determine uma base ortogonal de P 3 usando o processo de Gram-Schmidt aplicado à base canónica (b) Calcule uma base para U, onde U = {p P 2 : p() = 0} (c) Calcule d(p, U ), com p(t) = 2t 68 No espaço linear E = M 2 2 (R) considere o produto interno A, B = tr(ab T ), x y e o subespaço linear F = { M 2 2 (R) : x + w = 0, y z = 0} z w (a) Encontre uma base para F (b) Encontre uma base para F 0 (c) Calcule d(a, F ) onde A = 0 69 Considere o espaço linear R 3 munido com o produto interno ) ) (x, x 2, x 3 ), (y, y 2, y 3 ) = 2x y + x y 3 + 2x 2 y 2 + x 3 y + 2x 3 y 3 e V = L({(,, 0), (, 0, 2)}) o subespaço linear de R 3 gerado pelos vectores (,, 0), (, 0, 2) (a) Determine u V e v V tais que (,, ) = u + v (b) Calcule a distância entre (,, ) e V

6 Produtos internos 23 620 Considere o espaço linear R 3 munido com o produto interno usual e V = L({(,, 0), (, 0, 2)}) (a) Determine u V e v V tais que (,, ) = u + v (b) Calcule a distância entre (,, ) e V 62 Sejam u = (4, 3, 7), v = (2, 5, 3) R 3 Determine os produtos externos u v, v u, u u e v v 622 Calcule a área do triângulo de vértices u, v, w, com u = (0,, ), v = (2, 0, ) e w = (3, 4, 0) 623 Prove que u v 2 = u, u v, v u, v 2 624 Dado v R 3, seja T : R 3 R 3 definida por T (u) = u v Será T uma transformação linear? Nesse caso, determine a representação matricial de T na base canónica 63 Diagonalização ortogonal/unitária 625 Para cada aplicação, : R n R n R definido no Problema 6, determine uma matriz A tal que u, v = uav T (a) Em que casos é esta matriz A é simétrica e tem todos os valores próprios estritamento positivos? Compare esta resposta com a solução do Problema 6 626 Das seguintes matrizes indique as que são as matrizes hermiteanas: 2 2 i i i,,,, onde i = 2 3 2 3 i 3 i 3 627 Seja A M n n (R) (a) Usando o produto interno usual, prove que Au, v = u, A T v para quaisquer u, v R n, (u e v escritos como vectores verticais) (b) Se a matriz A fôr ortogonal, prove que Au = u, para qualquer u R n 628 Seja T : C n C n transformação linear do espaço euclidiano C n (munido com o produto interno usual) e T a transformação definida usando a equação T (u), v = u, T (v), u, v C n (a) Calcule T (e i ), onde e i = (0,, 0,, 0, 0) é o i-ésimo vector da base canónica de C n (b) Fixando uma base B de R n, será que M(T ; B; B) = A onde A = M(T ; B; B)? (c) Se λ for valor próprio de T, então λ é valor próprio de T? 629 Seja A M n n (C) e A a matriz transconjudada de A cuja entrada (i, j) é ā ji o complexo conjugado da entrada (j,i) de A (a) Usando o produto interno usual de C n, prove que Au, v = u, A v para quaisquer u, v C n (b) Se A fôr uma matriz unitária, então prove que Au = u, para qualquer u C n 630 Considere as seguintes matrizes reais 0 0 0 A = 0 0 0 4 4, B = 0 2 0 2 3 0 3, C = a) Indique as matrizes normais (isto é verifique se AA T = A T A, etc) e as matrizes simétricas b) Identifique as matrizes X {A, B, C} diagonalizáveis, construindo para cada X uma matriz P tal que D = P XP (onde D é uma matriz diagonal) c) Identifique as matrizes diagonalizáveis através de um sistema de coordenadas ortonormais, e para cada matriz X nessa situação, construa uma matriz ortogonal Q tal que D = QXQ T

7 Algumas Aplicações 24 63 Seja T : R 2 R 2 uma transformação linear tal que qualquer vector (não nulo) é vector próprio de T Prove que existe um escalar λ tal que T = λi 632 Seja P : R n R n a projecção ortogonal sobre um subespaço V de R n de dimensão k Determine o polinómio característico de P e prove que P é diagonalizável 633 Considere o espaço euclidiano R n Seja T : R n R uma transformação linear Mostre que existe um e um só u 0 tal que T (u) = u, u 0, para todo o u R n 634 (Desafio) Será que existe uma matriz A = a ij simétrica 0 0 tal que σ A = {3d +, 0 3d,,,,,,,, }, com d = 3+ 3 2 e a ij {0,, 2, 3, 4, 5}??? 7 Algumas Aplicações 7 Formas quadráticas 7 Classificar as seguintes formas quadráticas, em definids positivas, definidas negativas, semidefinidas positivas, semidefinidas negativas ou indefinidas: (a) Q(x, y) = x 2 + y 2 + 2xy (b) Q(x, y) = 2x 2 + 2y 2 + 2xy (c) Q(x, y) = 3x 2 + 2yx 2y 2 (d) Q(x, y, z) = x 2 + y 2 + 3z 2 + 4yx (e) Q(x, y, z, w) = x y z w 3 0 0 0 0 α 0 0 α 2 0 0 0 0 7 x y z w, onde α é um parâmetro 72 Seja A uma matriz real simétrica n n Prove que A 2 é definida positiva se e só se A for invertível 72 Mínimos quadradros 4 73 Seja A = 3, b = 4 0 2 2, u = 2 3 e v = (a) Calcule Au e Av e compare estes vectores com b (b) Diga se u pode ser uma solução de mínimos quadrados para a equação Ax = b (c) Determine o sistema normal associado A T Ax = A T b e determine a(s) suas soluções Compare com (b) 74 Determine todas as soluções de mínimos quadrados para a equação Ax = b: 0 3 7 0 (a) A =, b = 0 (b) A = 0, b = 2 2 7 0 4 75 Um produtor de aço obteve os seguintes dados: Ano 997 998 999 2000 200 2002 vendas anuais (em milhões de euros), 2 2, 3 3, 2 3, 6 3, 8 5, Vamos representar os anos de 997 a 2002 por 0,, 2, 3, 4, 5, respectivamente, e representar o ano por x Seja y a venda anual (em milhões de euros) (a) Encontre a recta de mínimos quadrados relacionando x e y (b) Use a equação obtida em (a) para estimar as vendas no ano de 2006

7 Algumas Aplicações 25 76 Seja A uma matriz cujas colunas são linearmente independentes e b um vector ortogonal a todas as colunas de A Prove que a única solução de mínimos quadrados de Ax = b é x = 0 3 2 77 Considere as matrizes A = 2 e b = 2 3 3 (a) Verifique que o sistema Ax = b é impossível (b) Determine todas as soluções de mínimos quadrados associadas ao sistema Ax = b (c) Foi observado que os lucros obtidos nas 3 primeiras semanas pela venda de um automóvel na União Europeia foram: Semana 2 3 Lucros (em milhões de euros), 5 0, 5 3 Vamos representar as semanas por x e o lucro semanal por y Encontre a recta y = α + βx de mínimos quadrados relacionando x e y Use a recta obtida para estimar os lucros na semana 6 78 Considere a seguinte tabela de dados: x 0 2 4 6 8 20 22 24 26 28 30 y 0525 08448 2807 8634 26326 36386 4944 66258 87768 5076 49484 Determine os modelos: (a) linear y = a + bx (b) exponencial y = ae bx (c) logarítmico y = a + b log(x) (d) potencial y = ax b (e) hiperbólico y = a + b x que melhor ajustam os dados experimentais dados na tabela 73 Equações diferenciais ordinárias 79 Das funções y (t) = e 2t, y 2 (t) = e 2t + π, y 3 (t) = πe 2t, y 4 (t) = e 2t+π quais são soluções da equação diferencial y (t) = 2y(t)? 70 Determine a solução geral dos seguintes sistemas de quações diferenciais { { y (a) = 3y + y 2 y y 2 = 5y, (b) = 3y + 2y y = 3y + 2y 2 2 + y 2 y 2 = y, (c) y 2 + y 2 = y + y 2 y 3 = y 2 y 3 7 Para cada um dos sistemas do Problema anterior determinante a solução que verifica as condições (a) y (0) = 0 e y 2 (0) = 0 (b) y (0) = 2 e y 2 (0) = (c) y (0) =, y 2 (0) = e y 3 (0) = 0 72 (a) Mostre que a matriz A = 2 2 5 mudança de base P tais que D = P AP (b) Encontre a única solução do seguinte sistema de equações diferenciais: { 2y (t) + y 2 (t) = y (t) 2y (t) + 5y 2 (t) = y 2 (t) com as condições y (0) =, y 2 (0) = é diagonalizável, indicando uma matriz diagonal D e matriz

8 Soluções 26 73 Considere o seguinte sistema de equações diferenciais com valor inicial: A solução deste sistema é: A) y (t) = 3e t + 5e 3t, y 2 (t) = 5e 3t B) y (t) = 8e t, y 2 (t) = 5e 3t C) y (t) = 3e 3t + 5e t, y 2 (t) = 5e t D) y (t) = 3e t + 5e 2t, y 2 (t) = 5e 3t y = y + 2y 2 y 2 = 3y 2 y (0) = 8 e y 2 (0) = 5 74 Determine o conjunto de todas as soluções do seguinte sistema de equações diferenciais de a ordem: { 3y (t) = y (t) 3y (t) 2y 2 (t) = y 2 (t) (a) Usando as condições iniciais y (0) = 40 e y 2 (0) = 5, verifique que y (t) = 40e 3t, y 2 (t) = 20e 3t + 25e 2t, é a (única) solução do sistema de equações diferenciais descrito anteriormente 8 Soluções Não 2 Fácil (revisões) 3 Note que e iθ = cis(θ) 0 0 4 9 6 0 2 3 4 4 a) A = 0 0 0 0 (b) A = 4 9 6 4 9 6 (c) A = 2 0 3 4 3 3 0 4 0 0 0 4 9 6 4 4 4 0 5 Não 6 (a), (b) AB, AC, AD não existem 0 0 7 A 2 = 8 (a) A = 0 0 0 0 0 0, B = 9 Prova 0 AB = I = BA (a) e (b) Sim (c) e (d) Não Não (b) e (c) Provas 2 Sendo p(t) = a 0 + a t + a 2 t 2, temos que resolver o sistema linear 3 (,, 0, 0), (,, 0, π) S e os restantes não 4 x = 6, y = 5 6 5 F = C = 40 6 Temos que resolver os sistemas: (a) 3x = z 8x = 2w 2y = 2z + w x = z (b) 4x = 2w 2y = 2z + w a 0 + a + a 2 = a 0 + 2a + 4a 2 = 0 a 0 + 3a + 9a 2 = 7/8 (a) S = {(3,, 2)} (b) S = (c) S = {(2 y z, y, z, ) R 4 : y, z R} (d) S = {(2,, 4)} (f) S = {( 2z 4, 2 z, z) R 3 : z R} 9 (a) um ponto (b) vazio (c) plano em R 4 (d) e (f) rectas 20 (a) Sist determinado para α 4 Para α = 4 sistema indeterminado (b) S = {(0 + 6z, 2z, z) R 3 : z R} 2 (a) Para α e α 2 o sistema é possível e determinado Para α = sistema é possível e indeterminado Finalmente para α = 2, o sistema é impossível (b) O sistema é possível e determinado se α 0 e β 2 É impossível para α = 0 e β 2 Nos restantes casos, o sistema linear é possível e indeterminado (ie β = 2 e qualquer α)

8 Soluções 27 22 car A = { 3, α 5 2, α = 5, car A b = 3, α 5, β R 3, α = 5 e β /2 2, α = 5 e β = /2 (b) Sistema é impossível quando α = 5 e β /2 É determinado quando α 5 (e qualquer β) Indeterminado quando α = 5 e β = /2 23 (a) car(a)= Não (b) car(b)=3 Sim (c) car(c)=2 Sim (d) car(d)=2 Sim (f) car(f)=2 Não (g) car(g)=2 Sim (h) car(h)=0 Sim (i) car(i)=0 Sim (j) car(j)= Não (k) car(k)= Sim 24 (a) S = {(0, 0, 0)} (b) S = {( 2 3 y, y) R3 : y R} (c) S = {( y z, y, z, 0) R 4 : y, z R} (d) S = {(0, 0, 0)} (f) S = {( 2z, z, z)r 3 : z R} 25 Não 26 (a) S = {(2, 3 z, z) R 3 : z R} (b) Não (c) Não, por (b) 27 Prova 28 (a) Sim (b) Falso (c) Sim (d) Sim 29 (a) S = R 3 (b) S = (c) S = {(0, 0)} 30 (a) x + y = 2 (b) x =, y = 0, z = 0 (c) x 2y = 0, z = (d) x + y = z (e) 0 = 3 A) 32 a) Sim b) cara)=3, logo A invertível A = P 3 E 2 (2)E 3 (π)e 32 ()E 2 () c) A = E 2 ( )E 32 ( )E 3 ( π )E π 3 2( 2)P 3 = π 2 π 0 0 33 O 0 34 Qualquer matriz B = 0 Uma matriz não quadrada pode ter inverso à esquerda e não à direita a b 35 Prova 0 /2 36 (a) X = A CB (b) A = (c) Impossível (d) A = 3 0 0 0 37 Prova 38 (a) Prova (b) I 3 4 39 A = 7 2 3 3 2 5 0 5 0 0 5 2 40 B não invert A = C = 2 D = 3 6, 2 5 0 0 5 90 8π 2π 25 0 30 2 30 2 5 3 2 0 30 4 (a) car(a)=2 e A para qualquer α (b) car(a)=3 sse α {0, /2} e A é invertível nestes casos; car(a)=2 para α {0, /2} e A não é inertível nestes dois valores (c) car(a)=3 sse α {0, ±2} e A é invertível nestes casos; car(a)=2 para α = ± (d) car(a)=4 sse α {0, ±} e A é invertível (somente) nestes casos; car(a)=3 para α = 0 e car(a)=2 para α = ± 42 x = 6, y = 2 43 Prova 44 (a) e (b) Provas 2 (a) Falso (b) Verdadeiro (c) Verdadeiro (d) Verdadeiro (e) Verdadeiro 22 (a) 3 3 ( 5) (b) 5 (c) ( 3)3 ( 5) (d) ( 2) 3 ( 5) (e) ( 5) 3 (f) ( 5) 23 Prova 24 (a) k (b) k / {0, 4} 25 det(a) = 6, det(b) = 7, det(c) = 54, det(d) = 2 26 Prova 0 27 (a) Prova (b) A = 0 28 (a) det(a) = 52 (b) (A ) (,3) = 9 52 29 det(a) = 3, (A ) (4,2) = 0 20 (a) det(a) = (α )(α 2 ) e A α invertível sse α {, } (b) det(a n 0 +A n+2 0 ) = 20 (c) (A ) (3,) = α 2 (a) x =, y = 2 (b) x = 28, y = 34, z = 30

8 Soluções 28 22 C) 23 B) 24 Prova 3 (a) Sim (b) Sim (c) Não (d) Sim sse k = 0 (e) Não (f) Não (g) Não (h) Não 32 (a) Não (b) Não (c) Sim (d) Sim 33 (a) u F, u 2 F, u 3 F (b) Prova 34 (a) Prova (b) F = N ( 0 0 0 ) 35 (a) Prova (b) Prova 36 (a) Sim (b) Sim (c) Sim (d) Sim (e) Sim (f) Sim (g) Não (h) Sim 37 (a) Sim (b) Não (c) Sim (d) Sim (e) Sim 38 (a) Prova (b) Prova 39 (a) Prova (b) Prova (c) Prova 30 k = 8 3 (a) Não geram (b) Sim (c) Sim 32 p(t) = 2 + t + t 2 L({p, p 2, p 3, p 4 }) Não geram P 2 33 A = A + A 2 + A 3 + A 4 34 (a) LD (b) LI (c) LD (d) LI (e) LI (f) LI (g) LI 35 a = 2 36 (a) Sim (b) Sim (c) Sim (d) Sim (e) Não (f) Sim (g) Sim 37 (a) Prova (b) Prova 38 (a) Uma base é {(, )} e dim(u) = (b) Uma base é {(,, 0), (0, 0, )} e dim(u) = 2 (c) Uma base é {(,, 2)} e dim(u) = (d) Uma base é {(,, 2, )} e dim(u) = 39 Uma base para U é {u, u 2 } e dim(u) = 2 320 (a) {(, 2, )} base de N (A) (b) {(, 5, 9), (0,, 2)} base de L(A) (c) {(, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8)} base de C(A) 32 car(a) = 2, {(, 2, )} base de N (A), {(, 5, 9), (0,, 2)} base de L(A) e {(, 2), (5, 6)} base de C(A); car(b) =, {(4, )} base de N (B), {(, 4)} base de L(B) e {(, 3)} base de C(B); car(c) = 0, {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )} base de N (C), base de L(C) e C(C); car(d) = 2, base de N (D), {(, 5), (2, 6)} base de L(D) e {(, 2, 3), (5, 6, 7)} base de C(D) 322 (a) {(,, )} (b) {(, 0, ), (0,, ), (0, 0, )} (c) {(, 0, )} 323 (a) { + t, + t 2, + t 3 } é uma base e dim(v )=3 (b) {t t 2 } é uma base e dim(v ) = 2 0 0 0 0 0 0 0 0 (c) {,, } base e dim(v ) = 3 (d) {,, } base e dim(v ) = 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (e) {, } e dim(v ) = 2 0 0 324 (a) y z = 0 (b) v = (, 0, 3), v 2 = (0,, ) 325 (a) dim(v V 2 ) = e dim(v + V 2 ) = 3 (b) V + V 2 = R 3 e {(2, 3, 3)} é uma base de V V 2 326 (a) dim (E F )=, dim(e + F )=4 (b) dim (E F )=, dim(e + F )=4 (c) dim(e F )=, dim(e + F )=2 327 { t} 328 Prova Não, pex, considerar B = A 0 329 Pex: {(,,, ), (, 0, 0, ), (0, 0,, 0), (0, 0, 0, )} 330 (a) {(,, 0, 0), (, 0,, 0), (, 0, 0, )} base de U (b) Pex: {(,,, ), (, 0, 0, ), (, 0,, 0)} 33 C) 332 B) 0 333 (a) v Bc = (3, 4) e v B = (4, ) (b) S Bc B = S B Bc = = (c) v B = S Bc B v Bc 0 0 (d) S B Bc w B =, ie w = 0(, 0) + (0, ) = (0, ) 334 (a) B = {v, v 2 } é uma base de V e dim(v ) = 2 (b) (2, 4, 4, 0) B = (2, 2) 335 Uma base de E é B = {(,, 0), (, 0, )} e (, 2, 3) B = (2, 3) 336 C)

8 Soluções 29 337 (, ) B2 = (, 2) 338 (a) Prova (b) A B = (a, b a, b + c 2a, d c) 339 Prova 4 v, v 2, v 4 não são vectores próprios de A, v 3, v 5 são vectores próprios e λ =, λ = 5/2 são os valores próprios associados, respectivamente 42 (a) p(λ) = λ( λ) 2 e λ = 0, λ 2 = são os valores próprios de A, com ma(λ 2 ) = 2) (b) Prova 43 a = b = 44 (a) σ A = {, 3}, E = L({(0, )}) e E 3 = L({(, 2)}) b) σ B = {4, 4} e E 4 = L({(3, 2)}) c) σ C = { 2 3, 2 3}, E 2 3 = L({( 3, 2)}) e E 3 = L({( 3, 2))}) d) σ D = {3, 4}, E 3 = L({(, 0)}) e E 4 = L({(0, )}) e) σ E = {0, 0} e E 0 = R 2 f) σ F = {, 2, 3}, E = L({(0,, 0)}), E 2 = L({(, 2, 2)}) e E 3 = L({(,, )}) g) σ G = {, 2, 3}, E = L({(,, 0)}), E 2 = L({(0,, 0)}) e E 3 = L({(, 0, )}) h) σ H = {2, 2, 2} e E 2 = L({(,, 3)}) i) σ I = { 2,,, }, E 2 = L({(, 0,, 0)}), E = L({( 2,,, 0)}) e E = L({(0, 0, 0, ), (2, 3,, 0)}) j) σ J = {0} e E 0 = L({(,,, 2)}) 45 Prova 46 (a) p(λ) = ( λ)(3 λ) (b) {(, 0, )} base de E e {(, )} base de E 3 ; dime =dime 3 = (c) P = 2 (d) A 9 = P 9 0 0 3 9 P 47 (a) p A (λ) = λ(λ 2) 2, p B (λ) = λ(λ 3) 2 (b) A não é diaginalizável, B é diagonalizável (c) D = P = 0 0 e P = (P ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 48 (a) λ = 3 + α (b) car(a α ) =, logo dim(c(a α )) = e dim(n (A)) = 3 para todo o α (c) {v α } é base para C(A α ) e {(, 0, 0, ), (0,, 0, 0), (0, 0,, 0)} é base para N (A α ) (d) p(λ) = λ 3 (λ α) 49 Pex A = diag(0,,,,,, 7) A é diagonalizável Sim 40 (a) Prova (b) Prova 4 D) 42 Prova, 5 a) (3, 9); (, ); (2, 0); (2, 0); (9, 27); (9, 27) b) (3, 9, 8); (, 2, 2); (2,, 20); (2,, 20); (9, 27, 54); (9, 27, 54) 52 p ; p + p 2 ; 2p 2 + p 3 ; 3p + 8p 2 + 3p 3 53 Prova 54 (a) Sim (b) Não (c) Não (d) Sim (e) Sim (f) Não (g) Sim (h) Sim (i) Sim (j) Sim (l) Não (m) Sim (n) Sim (o) Sim (p) Sim 55 T (x, y) = (2x + y, x + 2y) 2 2 3 3 56 a) b) c) d) 3 3 2 2 7 57 a) 0 0 0 b) 0 0 0 c) 2 0 2 3 3 58 a) b) c) 0 3 0 3 4 2 3 6 59 c) b) 2 0 50 T (x, y) = (4x, 4x + y) 5 (a) Prova (b) Prova (c) Sim 52 Prova 53 Prova 54 Figuras 0 0 0 0 0 2 2 3 3 2 0

8 Soluções 30 55 a) T (,, ) = (, 3, 3), T (, 3, 3) = (, 3, 3) Não b) Prova 0 56 a) b) {(,, 0)}; Não c) {(, ), (0, )}; Sim d) {( y, y, 0) R 3 : y R} e) Não f) Sim 2 0 57 a) 0 0 0 b) É injectiva mas não é sobrejectiva c) Pex (, 0, 0, 0) 0 58 a) na Bc: 2 2 2 b) Prova c) 59 a) Não Injectiva, não sobrejectiva b) {(3,, 2)} c) {(, 3, 9, 28), (5,, 33, 08)} d) {(3 + 3k, 2 + k, + 2k) : k R} 520 (a) Prova (b) Prova 2 0 0 52 a) 0 2 0 b) {t 2 }, { 2, 2t} 0 0 0 2 0 522 a) T (a + bt + ct 2 ) = b 2a + (2c 2b)t 2ct 2 b) 0 2 2 c) Prova d) {T ( + t)} (sol única!) 0 0 2 523 {p(t) = a + t + 2 t2 : a R} 524 {p(t) = 2 + ct2 : c R} 525 a) Prova b) 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 b) { 0 0 0, 0 0 0 0, 0 }, não d) {S}, não e) λ = 0, λ 2 = 2, ma(λ )=3 d b E 0 = N (T ), e {S} base de E 2 = N (T 2I) f) Sim g) { : b, c, d R} c d 2 526 a) b) λ = λ 2 = 2, {(, 0)} base de E 2 c) Prova 0 2 527 a) p(λ) = λ(λ )(λ 3) b) σ A = {0,, 3} E 0 = L({(, 0, 0)}), E = L({(0,, )}) e E 3 = L({(2, 3, 3)}) c) 0 0 0 0 3 B vp := {, 0, 0), (0,, ), (2, 3, 3)} é uma tal base D = M(T ; B vp ; B vp ) = 0 0 d) P = 0 2 e 0 0 3 0 2 A n = P D n P = P 0 0 0 0 0 0 0 3 n P e T n (x, y, z) = A n 528 a) Prova b) σ T = {6, 9} {2(0,, 0) (, 0, ) + (, 0, )} base de E 6 (ie {(0, 2, 2)}) e {2(0,, 0) + (, 0, ) + 0(, 0, ), (0,, 0)+0(, 0, )+(, 0, )} base de E 9 (ie {(, 2, ), (,, )}) c) B vp := {(0, 2, 2), (, 2, ), (,, )} 6 0 0 2 2 6 n 0 0 é uma tal base D = M(T ; B vp ; B vp ) = 0 9 0 d) P = 0 e) A n = P 0 9 n 0 P 0 0 9 0 0 0 9 n Note que (x, y, z) = y(0,, 0) + x z 2 (, 0, ) + x+z 2 x y z (, 0, ), em seguida determina-se An y (x z)/2 (x + z)/2 = = (com f, g, h expressões em x, y, z, n) e finalmente T n (x, y, z) = f(0,, 0) + g(, 0, ) + h(, 0, ) (podemos explicitar o caso n = 2) 2 0 0 0 529 a) M(T ; Bc; Bc) = 0 0 0 0 0 b) σ T = {0, 2, 2, 2}, E 0 = L({ }) e 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 2 = L({,, }) c) Sim e {,,, } é uma tal base 0 0 0 0 0 0 0 0 0 530 λ = 0, λ 2 = 2, E λ = L({7 + 2t}), E λ2 = L({ + 3t t 2 }) (T não é diagonalizável) 53 D) f g h

8 Soluções 3 532 a) M(T 2 ; B; B ) = 0 5 3 0 2 b) { 3t + t 2 } base de N (T ) e T é sobrejectiva c) T (T ) = 2t e a sol geral é {2t + c( 3t + t 2 ) : c R} d) λ = é o único valor próprio de T 533 a) N (D) = {0} Sim b) Prova c) {f, f 2, f 3 } d) { cos(t) + e t } 534 Prova 6 a) Sim b) Não c) Não d) Não e) Não f) Sim g) Não h) Não 62 Pex (x, x 2 ), (y, y 2 ) = 4x y + 2x y 2 + 2x 2 y + 4x 2 y 2 Não 63 a) 0 b) 0 c) 0 d) 6 e) f) 4 5 (2, 2,, ) g) 4 5 (,, 2, 2) 64 a) Sim b) não c) Sim d) Não e) Não 65 a) {(, 0), (0, )} b) {(, } c) {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ))} d) {(,, 0), (0, 0, )} e) {(0, 0, 0,, ), (0,, 0, 2, 2 ), (, 3, 0, 3, 3 )} f) {(, 0,, 0), (, 0,, )} 66 a) Não b) Sim c) {( 5 5, 5 5 ), ( 2 5 5, 4 5 5 )} 67 a) {( 3 3, 3 3, 3 3 )} b) {(,, 0), (, 0, )} c) {( 2 2, 2 2, 0), ( 6 6, 6 6, 2 6 6 )} 68 a) {(0, 0,, 2), (,,, )} b) {(0, 0,, 2), (,, 6 5, 3 5 )} 69 a) {(,, 0, 0)} b) P F (p) = p e P F (p) = 0 c) d(p, F ) = 0 e d(p, F ) = p = 2 60 a) dim(f ) = 99 e dim(f ) = b) d(p, F ) = p P F (p) = (, 2,, 00) (,2,,00),(,,) (,,),(,,) (,, ) = 5 3333 6 a) 2x + y = 2, x + z = 0 b) x 2y + z = 62 2x y =, 3x z = 2 63 a) x + 2y z = 5 b) e c) (x, y, z) = (, 0, 4) + α(2, 4, 6) + β(2, 0, 2) d) x + 2y z = 2 64 Prova 65 a) {0,, 0, 0), (0, 0,, 0)} é uma base de E e é também uma base ortogonal de E b) {(,,, )} c) π/3 66 {(, 0, 0, )} 67 a) {, t, t 2 3 } b) { 2t 5t2 } c) 4 3 0 0 0 0 68 a) {, } b) {, } c) d(a, F ) = 0 0 0 0 0 69 a) v = 4 (,, 0) e u = (,, ) 4 (,, 0) = ( 3 4, 5 4, ) b) d((,, ), V ) = v = 4 (,, 0) = 2 620 a) v = 9 (2, 2, ) e u = ( 7 9, 9, 8 9 ) b) d((,, ), V ) = v = 3 62 ( 44, 26, 4), (44, 26, 4), (0, 0, 0), (0, 0, 0) 622 622 A T = 2 uv uw = 2 (2,, 2) (3, 3, ) = 2 (7, 4, 3) 623 Prova 0 v 3 v 2 624 Sim M(T ; Bc; Bc) = v 3 0 v v 2 v 0 2 0 625 A resposta por cada alínea de 6: a) A = I b) c) d) Não é possível e) Não é possível f) 0 0 3 2 3 I g) 0 h) Não é possível As matrizes de a) e f) são as únicas matrizes simétricas e com todos os valores 0 0 próprios positivos 626 a e 3 a 627 Prova 628 a) (a i, a i2,, a in ) se A = a ij for a representação matricial de T na Bc e com o pi usual b) Sim só pi usual c) Sim 629 Prova 630 A, B não são matrizes normais; C é normal b) A não é diagonalizável; B e C são diagonalizáveis c) só C! 63 Prova 632 Prova 633 Prova 634 Desafio

8 Soluções 32 0 0525 83864 2 08448 x = (A T A) A T b = 677694 4 2807 6 8634 y = 83864 + 677694x 8 26326 5 78 (a) A = 20, b = 36386 = 22 4944 0 24 66258 5 26 87768 28 5076 5 20 25 30 30 49484 (b) A = 0 2 4 6 8 20 22 24 26 28 30, b = log(0525) log(08448) log(2807) log(8634) log(26326) log(36386) log(4944) log(66258) log(87768) log(5076) log(49484) = 2096 x = (A T A) A T b = 6424 a = e 2096 = 02348, b = 6424 y = 02348 e 6424x 5 0 5 (c) A = log(0) log(2) log(4) log(6) log(8) log(20) log(22) log(24) log(26) log(28) log(30), b = 0525 08448 2807 8634 26326 36386 4944 66258 87768 5076 49484 = x = (A T A) A T b = 22867 7909 y = 22867 + 7909 log(x) 5 0 5 5 20 25 30 (d) A = log(0) log(2) log(4) log(6) log(8) log(20) log(22) log(24) log(26) log(28) log(30), b = log(0525) log(08448) log(2807) log(8634) log(26326) log(36386) log(4944) log(66258) log(87768) log(5076) log(49484) = 075086 x = (A T A) A T b = 304633 a = e 075086 = 047227 y = 047227 x 304633 4 2 0 8 6 4 2

8 Soluções 33 0 0525 54255 2 08448 x = (A T A) A T b = 8543 4 2807 6 8634 y = 54255 8543 x 8 26326 5 (e) A = 20, b = 36386 = 22 4944 0 24 66258 5 26 87768 28 5076 5 20 25 30 30 49484 O seguinte figura exibe os gráficos das 5 funções utilizadas assim como os dados experimentais: 5 0 5 5 20 25 30 Observação: problemas cuja solução indicada é Prova são, na sua grande maioria, problemas retirados de Testes/Exames, cuja resolução está no arquivo de exames! use este link: http://wwwmathistutlpt/ ppinto/al/exameshtml