ENG 12 ANÁLISE DE ESTRUTURAS II 1º Semestre 215 Terceira Prova 2/6/215 Duração: 2:3 hs Sem onsulta Nome: Matrícula: 1ª Questão (, pontos) Você está envolvido no projeto de uma ponte rodoviária cujo sistema estrutural é a viga mostrada abaixo com um vão e um balanço. A carga permanente, constituída do peso próprio da estrutura, é uniformemente distribuída, tendo sido avaliada em g = kn/m. A carga móvel está indicada na figura, sendo que q representa a carga acidental de multidão e as cargas P 1 e P 2 representam as cargas dos eixos do veículo de projeto. A carga acidental de multidão não tem extensão definida, isto é, a sua área de atuação deve ser obtida de forma a majorar ou minorar um determinado efeito. arga móvel: P 1 = 5 kn P 2 = 1 kn arga permanente: g = kn/m q = 1 kn/m (carga acidental de multidão) A B esq B dir S 1 Pede-se: (a) Desenhe abaixo os aspectos das linhas de influência de esforços cortantes nas seções A, B esq, B dir, S 1 e. Obs.: a tabela do item (b) pode auxiliar no traçado das linhas de influência (1, ponto). A B esq B dir S 1 A = A 1 = A = A 1 = A = +1. A 1 = +.52 para Q A mínimo LI Q A para Q A máximo para Q Besq mínimo LI Q Besq para Q Besq máximo para Q Bdir mínimo LI Q Bdir para Q Bdir máximo para Q S1 mínimo A = A 1 = 2.1562 A 2 = +.656 LI Q S1 para Q S1 máximo A = A 1 = 7.998 para Q mínimo LI Q para Q máximo
(b) A tabela abaixo mostra valores das ordenadas das linhas de influência do item (a). omplete a tabela, determinando os valores que não são fornecidos. O ponto A é a origem do eixo x. Determine também os valores que não são fornecidos para as áreas positivas e negativas (A, A 1 e A 2 ) das linhas de influência na figura da página anterior (1, ponto). x m 2 m m 6 m 8 m 1 m 12 m 1 m 16 m LI Q A LI Q Besq LI Q Bdir.5.25..7523.5185.3125.181.39. 1. LI Q S1. -.277 -.815 -.6875.3125.181.39. LI Q. -.277 -.815 -.6875 -.8519 -.966-1. (c) (d) om base nas linhas de influência do item (a) e na tabela do item (b) indique na figura da folha anterior as posições da carga móvel que provocam máximos e mínimos para esforço cortante nas seções indicadas (,5 ponto). Utiliando os resultados dos itens (a), (b) e (c), complete na tabela abaixo os valores dos esforços cortantes máximos e mínimos nas seções A, B esq, B dir, S 1 e provocados pela carga permanente e pela carga móvel. Utilie a convenção de sinais usual para esforços cortantes. Desenhe as envoltórias de esforços cortantes máximos e mínimos baseadas nos valores obtidos (1, ponto). Seção arga arga Móvel Envoltórias Permanente Mínimo Máximo Mínimo Máximo Q A [kn] Q Besq [kn] Q Bdir [kn] Q S1 [kn] Q [kn] Envoltórias: Esforços ortantes [kn] A B esq B dir S 1 (e) Desenhe abaixo os aspectos das linhas de influência de momentos fletores nas seções B, S 1 e (,5 ponto). A B S 1 LI M B LI M S1 LI M
2ª Questão (2, pontos) Empregando-se o Processo de ross, obter o diagrama de momentos fletores (precisão de 1 KNm) para o quadro abaixo (barras inextensíveis). Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1 5 knm 2. O nó central tem um apoio elástico rotacional com coeficiente de rigide K θ = 8x1 knm/rad. Utilie duas casas decimais para os coeficientes de distribuição de momentos. 3ª Questão (3, pontos) Você está envolvido no projeto de uma estrutura, mas perdeu o desenho do modelo estrutural. Felimente, você encontrou o arquivo de dados de entrada e saída para o programa de computador que foi utiliado para faer a análise estrutural. Este arquivo está reproduido na folha seguinte. Os esforços internos nas extremidades das barras são fornecidos nos sistemas de eixos locais das barras com a convenção de sinais do Método dos Deslocamentos: esforços normais são positivos no sentido do eixo local x e negativos no sentido contrário; esforços cortantes são positivos no sentido do eixo local y e negativos no sentido contrário; e momentos fletores são positivos quando têm o sentido anti-horário e negativos no sentido contrário. Observe que os valores da rotação do nó 2 e dos esforços cortantes e momentos fletores da barra 1 não puderam ser recuperados do arquivo. Pede-se: (a) alcule o valor da rotação do nó 2. A rotação é positiva se tiver o sentido anti-horário e negativa se tiver o sentido horário (,5 ponto). (b) om base nos valores dos deslocamentos e rotações nodais fornecidos e nos coeficientes de rigide locais da barra 1, determine os valores dos esforços internos que estão faltando para essa barra. Os valores desses esforços internos podem ser verificados com base em equilíbrio nodal. Entretanto, a resposta só será considerada correta se os esforços nessa barra forem calculados utiliando os deslocamentos e rotações nodais fornecidos e os coeficientes de rigide locais da barra (1,5 pontos). (c) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores fornecidos pelo modelo estrutural. Esforços normais de tração são positivos e de compressão são negativos. Esforços cortantes são positivos quando, entrando com as forças à esquerda de uma seção transversal (de quem olha da fibra inferior para a fibra superior), a resultante das forcas na direção transversal à barra for para cima. O diagrama de momentos fletores é sempre desenhado do lado da fibra tracionada (1, ponto).
Dados de Entrada e Resultados do Modelo omputacional oordenadas Nodais e ondições de Suporte Nó X Y Desl.X Desl.Y Rot.Z Mola X Mola Y Mola Z (m) (m) (kn/m) (kn/m) (knm/rad) 1 3.. Fixo Fixo Fixo... 2 11.. Fixo Fixo Livre.. 8. 3. 8. Livre Livre Livre... 3. 8. Livre Livre Livre... 5 11. 8. Livre Livre Livre... Dados das Barras Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia inicial final inicial final (kn/m^2) (m^2) (m^) 1 1 Sim Não 2.e+8.12.12 2 2 5 Não Não 2.e+8.12.12 3 3 Não Não 2.e+8.12.12 5 Não Não 2.e+8.12.12 Dados de argas oncentradas em Nós Nó Fx (kn) Fy (kn) M(kNm) 3. -2.. Dados de arregamentos Uniformente Distribuídos em Barras Barra Direção Qx (kn/m) Qy (kn/m) 2 Local. -3. Local. 3. Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 1.e+.e+.e+ 2.e+.e+ X.XXXe-XX 3 +7.19e-3 +1.26e-2-2.923e-3 +7.19e-3 -.569e- -6.673e-3 5 +7.173e-3-2.9e- +5.3e-3 Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) Barra Normal Normal ortante ortante Momento Momento Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final (kn) (kn) (kn) (kn) (knm) (knm) 1 +137.1-137.1 XXX.X XXX.X XXX.X XXX.X 2 +122.9-122.9 +126.5-6.5 +13.6 +135. 3.. -2. +2.. -6. +6.5-6.5-122.9-117.1-135. +112. ª Questão (1, ponto) Grau vindo do terceiro trabalho (nota do trabalho x,1).
1ª Questão Itens (a) e (c) A B esq B dir S 1 A =. A 1 =. Nenhuma carga móvel atuando A =. A 1 =. Nenhuma carga móvel atuando Nenhuma carga móvel atuando A = +1. A 1 = +.52 para Q A mínimo LI Q A para Q A máximo para Q Besq mínimo LI Q Besq para Q Besq máximo para Q Bdir mínimo LI Q Bdir para Q Bdir máximo para Q S1 mínimo A = +1. A 1 = 2.1562 A 2 = +.656 LI Q S1 para Q S1 máximo A = +1. A 1 = 7.998 para Q mínimo LI Q para Q máximo Item (b) x m 2 m m 6 m 8 m 1 m 12 m 1 m 16 m LI Q A 1......... LI Q Besq 1. 1. 1........ LI Q Bdir.5.25. 1..7523.5185.3125.181.39. LI Q S1.5.25. -.277 -.815 -.6875.3125.181.39. LI Q.5.25. -.277 -.815 -.6875 -.8519 -.966-1. Item (d) álculo do efeito da carga permanente: c ( ). p. Q = ( ) [ ] A c. p. c. p. Q = ( 1.) = 16. kn ( Q ) = [ ( + 1.) + ( +.52) ] = + 22. kn Besq Bdir
c. p. c. p. ( Q ) = [ + + + + ] = ( ) [ ] S 1 ( 1.) ( 2.1562) (.656) 2. kn álculo do efeito da carga móvel: c. m. ( Q ) = [ 1 ( 1.) ] = 1. kn ( Q ) A mín. A máx. = Q = ( + 1.) + ( 7.998) = 26. kn c. m. ( Q Besq ) = [ 1 ( 1.) + 5 ( 1.) + 1 ( 1.) ] = 19. kn ( Q Besq ) mín. c ( ). m. Q Bdir = mín. ( Bdir ) máx. [ ] = máx. Q = 1 ( + 1.) + 5 ( +.7523) + 1 ( + 1.) + 1 ( +.52) = + 192.6 kn ( ) [ ] Q = 1 (.6875) + 5 (.815) + 1 ( 2.1562) = 11. kn S1 mín. ( ) [ ] Q = 1 ( +.5) + 5 ( +.25) + 1 ( + 1.) + 1 ( +.656) = + 79.1 kn S1 máx. ( ) [ ] Q = 1 ( 1.) + 5 (.966) + 1 ( 7.998) = 223. kn mín. ( ) [ ] Q = 1 ( +.5) + 5 ( +.25) + 1 ( + 1.) = + 72.5 kn máx. Seção arga arga Móvel Envoltórias Permanente Mínimo Máximo Mínimo Máximo Q A [kn]. 1.. 1.. Q Besq [kn] 16. 19.. 26. 16. Q Bdir [kn] +22.. +192.6 +22. +21.6 Q S1 [kn] 2. 11. +79.1 116. +77.1 Q [kn] 26. 223. +72,5 29. 6.5 Envoltórias: Esforços ortantes [kn] A B esq B dir S 1 Item (e) A B S 1 + LI M B LI M S1 + LI M
2ª Questão 67 +2 1 83 6 35 33 71 16 + 66 33 +5 +2.33 71 35.67...2 +16 15 17 1 +127 +16 +17 35 +5 +2 +19 16 31 8 1 2 16 +35 17 +1 +1 131.27.2.53.3.22.35 +2 23 +3 6 +1 1 +69 3 +2 +56 +17 +73 1 +217 17 +58 M [knm] 3ª Questão Desenho do modelo estrutural, com cargas, numeração de nós e numeração de barras: Item (a) 2 2 M = K θ θ = + 13.6 knm (reação momento no apoio elástico rotacional no nó 2 obtida do resultado de momento fletor na extremidade inicial da barra 2). A reação momento no apoio elástico rotacional é sempre contrária à rotação do apoio. A direção do momento fletor na extremidade inicial da barra 2 tem o mesmo sentido da reação momento. K θ = 8 knm/rad (coeficiente de rigide à rotação do apoio elástico rotacional). 2 3 θ = 13. 6 / 8 = 1. 6325 1 rad (rotação do nó 2: negativo indica sentido horário)
Item (b) Determinação dos esforços internos na barra 1 a partir do deslocamento horiontal e da rotação do nó : Deformada da barra 1 e esforços internos com sentidos positivos (nas direções dos eixos locais) x θ Isolando efeito do deslocamento horiontal do nó (esforços indicados nos sentidos físicos) (3EI/8 3 ) x x (3EI/8) θ Isolando efeito da rotação do nó (esforços indicados nos sentidos físicos) θ (3EI/8 2 ) θ M f Q f (3EI/8 2 ) x (3EI/8 3 ) x (3EI/8 2 ) θ M i Q i x = +7.19x1-3 m θ = 6.673x1-3 rad E = 2.x1 8 kn/m 2 I = 1.2x1 - m x Q i = +(3EI/8 3 ) (3EI/8 2 ) θ = 6.5 kn M i = x Q f = (3EI/8 3 ) + (3EI/8 2 ) θ = +6.5 kn x M f = +(3EI/8 2 ) (3EI/8) θ = 52. knm Item (c) Diagrama de esforços normais N Diagrama de esforços cortantes Q [kn] [kn] Diagrama de momentos fletores M [knm]