Física III-A - 2018/1 Lista 1: Carga Elétrica e Campo Elétrico Prof. Marcos Menezes 1. Duas partículas com cargas positivas q e 3q são fixadas nas extremidades de um bastão isolante de comprimento d. Uma terceira partícula carregada pode se mover livremente ao longo do comprimento do bastão. (a) Em que posição ao longo do bastão a terceira partícula estará em equilíbrio? (b) Discuta a estabilidade do equilíbrio dessa partícula em função do sinal de sua carga. (Dica: considere pequenos deslocamentos a partir da posição de equilíbrio) 2. Duas esferas idênticas, cada uma com massa m, são suspensas por fios ideais e isolantes de comprimento l, como indicado na figura abaixo. Elas possuem cargas de mesmo módulo e sinais opostos ±q e estão sob a ação de um campo elétrico uniforme E, de direção horizontal e intensidade desconhecida, e do campo gravitacional g. Quando o sistema está em equilíbrio, o ângulo que os fios fazem com a vertical vale θ. Nessas condições, determine: (a) A tensão no fio (b) A intensidade do campo elétrico. 1
3. Três cargas puntiformes q, q e +q (q > 0) são posicionadas sobre os vértices de um triângulo equilátero de lado a, como indicado na figura abaixo. (a) Determine o vetor campo elétrico no ponto P indicado na figura. (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do triângulo. (c) Determine a força elétrica resultante sobre uma das cargas q. 4. Em um modelo clássico para o átomo de Hidrogênio, um elétron de carga e e massa m e descreve um movimento circular uniforme de raio a 0 em torno de um próton de carga +e, fixo na origem. Considerando a força de atração gravitacional entre o próton e o elétron desprezível em confronto com a força elétrica, determine: (a) A aceleração do elétron (módulo, direção e sentido). (b) A velocidade escalar do elétron. (c) O período de revolução. (d) Por que podemos desprezar a força gravitacional nessa situação? 5. Uma partícula de massa m e carga q penetra na região entre as placas metálicas de um capacitor, como indicado na figura abaixo. As placas estão separadas por uma distância d e produzem um campo elétrico uniforme E em seu interior. Ao entrar nessa região, a partícula possui uma velocidade inicial v 0 paralela às placas e está a uma mesma distância delas. Considere ainda que os efeitos da força gravitacional são desprezíveis em confronto com os da força elétrica. Utilizando o sistema de coordenadas indicado na figura, determine: 2
(a) O vetor aceleração da partícula. (b) O vetor velocidade da partícula como função do tempo t. (c) O vetor posição da partícula como função do tempo t. (d) A equação da trajetória, isto é, y como função de x. Que curva corresponde a essa equação? (e) O vetor velocidade da partícula ao sair da região das placas, supondo que elas possuem um comprimento L. Qual será a sua deflexão, isto é, o ângulo que este vetor faz com a horizontal? 6. Uma barra isolante e fina de comprimento 2a é posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas, de modo que suas extremidades estão em x = ±a. Ela possui uma carga total Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento. (a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) produzido pela barra em um ponto P sobre o eixo X, localizado a uma distância x > a da origem. (b) Uma segunda barra, idêntica à primeira e com a mesma carga total Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento é posicionada sobre o eixo X, com suas extremidades em x = b ± a (b > 2a). Determine a força elétrica (módulo, direção e sentido) que a primeira barra exerce sobre a segunda. Sugestão: Divida a segunda barra em elementos infinitesimais de carga e considere a interação entre estes elementos e a primeira barra. 7. Uma linha isolante de cargas tem a forma de um semicírculo de raio R, como indicado na figura abaixo. Sua densidade linear de carga é dada por λ(θ) = λ 0 sin θ, onde λ 0 é uma constante positiva e θ é o ângulo polar medido a partir do eixo X. 3
(a) Determine a carga total contida na linha. (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do semicírculo. 8. Um disco circular isolante de raio R tem uma densidade superficial de carga dada por σ(r) = αr, onde α é uma constante e r é a distância ao centro do disco. (a) Determine a carga total contida no disco. (b) Determine o vetor campo elétrico em um ponto P sobre o eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro, localizado a uma distância z do mesmo. Sugestão: divida o disco em aneis infinitesimais concêntricos e use o resultado obtido em aula para o campo elétrico produzido por um anel uniformemente carregado (por que podemos fazer isto?). (c) Considere agora que o ponto P está muito longe do disco, de forma que z R. Sem fazer cálculos, indique como será o comportamento do campo elétrico neste limite, justificando sua resposta. Dado (verifique!): x 2 dx (x 2 + a 2 ) 3/2 = ln x 2 + a 2 + x x x 2 + a 2 + const 9. Uma casca isolante cilíndrica de raio R e altura h possui uma carga Q uniformemente distribuída sobre sua área. 4
(a) Determine a densidade superficial de carga do cilindro. (b) Determine o vetor campo elétrico a uma distância d do lado direito do cilindro, como indicado na figura. Sugestão: Divida o cilindro em aneis infinitesimais coaxiais como indicado na figura e use o resultado obtido em aula para o campo elétrico produzido por um anel uniformemente carregado. A integral resultante pode ser resolvida por substituição simples. (c) Discuta o comportamento da expressão obtida no item anterior no limite d R, h. 10. Um cilindro sólido, isolante, de raio R e altura h possui uma carga total Q uniformemente distribuída em seu volume. (a) Determine a densidade volumétrica de carga do cilindro. (b) Utilizando o resultado do problema anterior, determine o vetor campo elétrico a uma distância d do lado direito do cilindro. Dica: A integral resultante pode ser resolvida por substituição simples. 11. Três cargas puntiformes +q, +q e 2q são posicionadas ao longo do eixo X de um sistema de coordenadas, como indicado na figura abaixo. A separação entre duas cargas adjacentes vale a. (a) Determine o vetor campo elétrico em um ponto P localizado sobre o eixo Y, a uma distância y da origem, como indicado na figura. 5
(b) Obtenha uma expressão assintótica para o resultado acima no limite y a, ou seja, quando P está muito distante das cargas. Compare o seu resultado com os casos discutidos em aula de um dipolo e um monopolo elétrico (uma única carga) e discuta as diferenças. (c) Utilizando o princípio da superposição, discuta como essa distribuição de cargas pode ser entendida como uma composição de dipolos elétricos. Qual é a intensidade do momento de dipolo elétrico total desta distribuição? Dado: Para x 1, (1 + x) n 1 + nx. Curiosidade: Uma distribuição de cargas como essa é conhecida como um quadrupolo elétrico. 6