DESENHO DE MECANISMOS (1)

MICROECONOMIA II DESENHO DE MECANISMOS (1) Rafael V. X. Ferreira rafaelferreira@usp.br Novembro de 2017 Universidade de São Paulo (USP) Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade (FEA) Departamento de Economia

O problema de Desenho de Mecanismos Há situações em que a assimetria de informação é mais bem caracterizada em termos do desconhecimento das preferências dos demais jogadores. É o caso, por exemplo, de jogos de informação incompleta, em que queremos prever o resultado de situações de interação estratégica em que jogadores desconhecem a função payoff dos demais. É o caso, também, do problema de Desenho de Mecanismos.

O problema de Desenho de Mecanismos Abordagem de Teoria dos Jogos Parte-se de um jogo, com um conjunto I de jogadores: em que G 1 {A i, p i, Θ i, u i } i I A i é o espaço de ações do jogador i Θ i é o espaço de tipos do jogador i p i : Θ i [0, 1] são as crenças do jogador i u i : A i A 1 Θ i R é a função payoff do jogador i Computa-se o Equilíbrio Nash Bayesiano daquele jogo. O jogo é exógeno O outcome (equilíbrio) é endógeno

O problema de Desenho de Mecanismos Abordagem de Desenho de Mecanismos Parte-se de um outcome x, para um dado conjunto I de jogadores, caracterizados por: Seu tipo θ i Θ i Suas preferências i (θ i ), representadas por u i : X Θ i R Procura-se um jogo bayesiano para o qual o perfil de estratégias de equilíbrio produz o outcome x. O outcome é exógeno O jogo é endógeno

Informação incompleta e conhecimento comum Informação incompleta: o tipo θ i é observado apenas pelo agente i. Perfil de tipos de agentes: θ Θ i Θ 1 Θ 2 Θ I Θ i I Função de densidade de probabilidade φ : Θ (0, 1) São de conhecimento comum (common knowledge): 1. as funções u j (, θ i ), j I 2. os conjuntos Θ j, j I 3. a função φ( )

Função de Escolha Social Definição Uma função de escolha social é uma função f : Θ X que, a cada perfil de tipos (θ 1,... θ I ) θ Θ, associa uma escolha coletiva f (θ) X. Essa definição captura o fato de que o outcome desejado pelos agentes pode variar de acordo com os tipos. Estamos olhando para outcomes determinísticos por ora, mas nada impede que f tenha como contradomínio o espaço de loterias sobre X.

Eficiência Ex Post Definição Uma função de escolha social f : Θ X é dita eficiente ex post se, para nenhum perfil θ Θ houver um x X tal que u i (x, θ i ) u i ( f (θ), θ i ) i I, e u j (x, θ j ) u j ( f (θ), θ j ) para algum j I. Propriedade desejável para f (θ). Em outras palavras: f é eficiente ex post se seleciona, para toda combinação possível de tipos dos indivíduos, uma opção eficiente de Pareto, dadas as funções utilidades dos agentes.

O problema ao implementar f ( ) Suponha que desejemos implementar um determinado outcome x f (θ 1,..., θ I ). Como θ i é informação privada do agente i, dependemos do agente i para revelar o seu tipo. Em várias situações, portanto, há incentivos para que o agente não revele o seu tipo de forma verdadeira.

Exemplo 1: Escolhas abstratas EXEMPLO 1 Se os agentes querem implementar: Seja X {x, y, z} e I {1, 2} Tipos possíveis: Θ 1 { } θ1 e Θ 2 { θ 2, } θ 2 Preferências possíveis: R 1 { 1 ( θ 1 ) } R 2 { 2 (θ 2 ), 2 (θ 2 )} 1 ( θ 1 ) 2 (θ 2 ) 2 (θ 2 ) x z y y y x z x z f ( θ 1, θ 2 ) { y, se θ2 θ 2 x, se θ 2 θ 2 Para tal, o agente 2 deve dizer a verdade quanto a seu tipo. Mas note: Quando θ 2 θ 2 e o agente 2 mente, temos: f ( θ 1, θ 2 ) y 2(θ 2 ) x f ( θ 1, θ 2 ) Se R 2 representar todas as relações de preferências racionais sobre X, será difícil encontrar uma função de escolha social que sempre induza o agente 2 a dizer a verdade.

Exemplo 2: Economia de Trocas Pura EXEMPLO 2 Economia de trocas pura, com L 2 bens e I 2 consumidores Dotações: (e 1, e 2 ) R 2 + R2 + Outcomes possíveis: { X (x 1, x 2 ) R 4 + : } x li e li, l 1, 2 Preferências possíveis: R 1 { 1 ( θ 1 ) } i R 2 será o espaço de preferências monótonas e convexas sobre X 2. i Suponha que os agentes querem implementar uma função de escolha social f que seleciona uma alocação de equilíbrio competitivo, para cada par ( 1 ( θ 1 ), 2 (θ 2 )) Essa função é eficiente ex post. Como no caso anterior, o agente 2 tipicamente não terá incentivos para dizer a verdade.

Exemplo 3: Bem Público EXEMPLO 3 I agentes decidem se constroem ponte com recursos próprios, ao custo c. Outcomes possíveis: { X (k, t 1,..., t I ) : k {0, 1}, } t i R i e t i ck Preferências: u i (x, θ i ) θ i k + ( m i + t i ) i Eficiência ex post: k(θ) { 1 se i θ i c 0 c.c. t i (θ) ck(θ) i

O que é um mecanismo? Definição Um mecanismo Γ (S 1,..., S I, g( )) é uma coleção de I conjuntos de estratégias e uma função g : S 1 S I X que determina o resultado do jogo. Intuitivamente: um mecanismo é uma instituição, que determina como a interação entre indivíduos produz escolhas sociais. Formalmente: combinado com tipos Θ, crenças φ( ) e funções utilidade {u i ( )} i I, o mecanismo Γ define a representação de um jogo bayesiano de informação incompleta, na forma normal. Lembrando que uma estratégia para o jogador i em um jogo estático Bayesiano é uma função s i : Θ i A i que especifica, para cada tipo θ i, uma ação s i (θ i ) A i.

Implementação de funções de escolha social Definição Um mecanismo Γ (S 1,..., S I, g( )) implementa a função de escolha social f se existe um perfil de estratégias de equilíbrio (s 1 ( ),..., s I ( )) do jogo induzido por Γ tal que g(s 1 (θ 1),..., s I (θ I)) f (θ) θ Θ 1 Θ I Que tipo de equilíbrio? Esse equilíbrio é único?

Mecanismos de Revelação Direta Definição Um mecanismo de revelação direta é um mecanismo para o qual S i Θ i i, e g(θ) f (θ), θ Θ 1 Θ I. Esse tipo de mecanismo nos será bastante útil. O princípio da revelação nos diz que podemos nos ater a mecanismos de revelação direta para os quais dizer a verdade dizer a verdade é a melhor estratégia para todos os jogadores. Se um mecanismo de revelação direta implementa f e dizer a verdade é a melhor estratégia, esse mecanismo implementa f verdadeiramente.

Implementação de funções de escolha social Definição A função de escolha social f é implementável verdadeiramente (truthfully implementable), ou compatível com incentivos se o mecanismo de revelação direta Γ (Θ 1,..., Θ I, f ( )) tem um equilíbrio (s 1 ( ),..., s I ( )) no qual s i (θ i) θ i θ i Θ i e todo i I. Isto é, se revelar a verdade constitui um equilíbrio de Γ (Θ 1,..., Θ I, f ( ))

Que tipo de equilíbrio? A definição de Equilíbrio em Estratégias dominantes é mais forte que a de Equilíbrio Nash Bayesiano Equilíbrio Nash Bayesiano: restrição é apenas sobre as estratégias de equilíbrio dos demais jogadores. Logo: Todo equilíbrio em estratégias dominantes é, necessariamente, um equilíbrio Nash Bayesiano. Toda função f implementável em estratégias dominantes é também implementável em equilíbrio Nash Bayesiano.

Que tipo de equilíbrio? Implementação em Estratégias Dominantes vs. Implementação em Equilíbrio Nash Bayesiano: Podemos implementar um número maior de funções de escolha social em equilíbrio Nash Bayesiano do que em estratégias dominantes; Mas temos menos segurança a respeito dessa implementação, porque depende de φ ser common knowledge

Implementação em Estratégias Dominantes Definição O perfil de estratégias s ( ) (s 1 ( ),..., s ( )) é um equilíbrio em I estratégias dominantes do mecanismo Γ (S 1,..., S I, f ( )) se, para todo i e para todo θ i Θ i, u i (g(s (θ i ), s i ), θ i ) u i (g(s, s i ), θ i ) para todo s i S i e para todo s i S i.

Implementação em Estratégias Dominantes Definição O mecanismo Γ (S 1,..., S I, f ( )) implementa a função de escolha social f em estratégias dominantes se existir um equilíbrio em estratégias dominantes de Γ, s ( ) (s 1 ( ),..., s ( )), tal que I g(s (θ)) f (θ), para todo θ Θ.

Implementação em Estratégias Dominantes Definição A função de escolha social f é implementável verdadeiramente em estratégias dominantes (ou compatível com incentivos em estratégias dominantes) se s i (θ i) θ i para todo θ i Θ i e i I é uma estratégia de um equilíbrio em estratégias dominantes do mecanismo de revelação direta Γ (Θ 1,..., Θ I, f ( )). Isto é, se para todo i e para todo θ i Θ i : u i ( f (θ i, θ i ), θ i ) u i ( f ( ˆθ i, θ i ), θ i ) para todo θ i Θ i e todo ˆθ i Θ i.

Princípio da Revelação Estratégias Dominantes Proposição (Princípio da Revelação Estratégias Dominantes) Suponha que exista um mecanismo Γ (S 1, S 2,..., g( )) que implementa a função de escolha social f em estratégias dominantes. Então f é implementável verdadeiramente em estratégias dominantes. Proposição 23.C.1 do MWG

Princípio da Revelação Estratégias Dominantes Passos da Demonstração: Se Γ implementa f em estratégias dominantes, existe um perfil de estratégias s : Θ A i, tal que g(s (θ)) f (θ). Além disso, θ i Θ i, θ Θ e i, temos: u i (g(s i (θ i), s i ), θ i ) u i (g(ŝ i, s i ), θ i ) (1) para todo ŝ i S i e para todo s i S i. Por quê? Por que como a implementação é em estratégias dominantes, a estratégia de equilíbrio tem que ser a melhor, para qualquer combinação de estratégias dos demais jogadores. Como a expressão (1) deve valer s i S i, deve valer também para as estratégias de equilíbrio, s i s i (θ i): u i (g(s i (θ i), s i (θ i)), θ i ) u i (g(ŝ i, s i (θ i)), θ i ) i, θ i Θ i

Princípio da Revelação Estratégias Dominantes Passos da Demonstração: De modo semelhante, como a expressão (1) vale ŝ i, vale em particular para ŝ i s i ( ˆθ i ), a estratégia ótima associada a mentir sobre o tipo: u i (g(s i (θ i), s i (θ i)), θ i ) u i (g(s i ( ˆθ i ), s i (θ i)), θ i ) i, θ i Θ i Como g(s (θ)) f (θ) para todo θ, temos: u i ( f (θ i, θ i ), θ i ) u i ( f ( ˆθ i, θ i ), θ i ) i, θ i Θ i que deve valer para todo ˆθ i Θ i e todo θ i Θ i. Logo, f é implementável verdadeiramente (truthfully implementable) em estratégias dominantes.

Princípio da Revelação Intuição: se o agente acha melhor, quando o seu tipo é θ i, escolher s (θ i ), ele diria a verdade se introduzíssemos um intermediário ou, equivalentemente, se trocássemos o mecanismo pelo mecanismo de revelação direta associado que perguntasse qual o tipo do jogador e, então, jogasse a estratégia s i associada aquele tipo. Implicação: para identificar o conjunto de funções de escolha social que são implementáveis em estratégias dominantes, basta procurar por aquelas de são implementáveis verdadeiramente.

Reversão Fraca de Preferências Se uma função de escolha social é implementável verdadeiramente, o mecanismo que a implementa verdadeiramente satisfaz a propriedade de reversão fraca de preferências. Considere um agente i e qualquer par (θ i, θ i ) Θ2 i de tipos possíveis de i. Se dizer a verdade é equilíbrio em estratégias dominantes para o indivíduo i, então, para todo θ i Θ i, temos: u i ( f (θ i, θ i), θ i ) u i( f (θ i, θ i), θ i ) Se essa propriedade vale para todos os tipos θ i e todo par de tipos (θ i, θ i ) Θ2, então revelar a verdade é estratégia i dominante.

Propriedade de Reversão Fraca de Preferências Definição O conjunto de contorno inferior L i (x, θ i ) é o subconjunto de X que contem as escolhas para as quais x é fracamente preferido: L i (x, θ i ) {z X : u i (x, θ i ) u i (z, θ i )} Proposição A função de escolha social f ( ) é implementável verdadeiramente em estratégias dominantes se, e somente se, para todo i I, todo θ i Θ i e todos os pares de tipos do agente i, (θ i, θ i ) Θ2 i, tivermos: f (θ i, θ i) L i ( f (θ i, θ i), θ i ) e f (θ i, θ i) L i ( f (θ i, θ i), θ i ) Proposição 23.C.2 do MWG

Função de escolha social ditatorial Definição A função de escolha social f é ditatorial se existe um agente i tal que, para todo θ (θ 1,..., θ I ) Θ: f (θ) {x X : u i (x, θ i ) u i (y, θ i ), y X} Ou seja: f é ditatorial se existe um agente tal que f sempre escolhe uma das opções favoritas daquele agente.

Função de escolha social monotônica Definição A função de escolha social f é dita monotônica se, θ, θ é tal que L i ( f (θ), θ i ) L i ( f (θ), θ i ) i. Ou seja: Se L i ( f (θ), θ i ) está fracamente incluído em L i ( f (θ), θ i ), então f (θ) f (θ ).

Teorema de Gibbard-Satterwaite Proposição Suponha que X é finito, contém ao menos três elementos e que R i P i, e que f (Θ) X. Então a função de escolha social f é implementável verdadeiramente em estratégias dominantes se, e somente se, é ditatorial. Proposição 23.C.3 do MWG P é o conjunto de todas as relações de preferência sobre X para as quais não há indiferença entre duas opções alternativas. R i { i : i i (θ i ) para algum θ i Θ i } é o conjunto das possíveis relações de preferências ordinais para o indivíduo i.

Teorema de Gibbard-Satterwaite Para uma classe bastante geral de problemas, não há esperança de implementar funções de escolha social razoáveis. Se quisermos implementar uma função de escolha social ex post eficiente em estratégias dominantes, consiguiremos fazê-lo apenas se essa função for ditatorial. Dado esse problema, há dois caminhos possíveis: 1. Restringir o ambiente físico, adicionando mais estrutura às preferências. 2. Focar em noções mais fracas de equilíbrio (equilíbrio Nash Bayesiano, por exemplo) Começaremos pelo primeiro caminho, olhando para preferências com representação via função utilidade quase-linear.

Quase-linearidade: Mecanismos de Groves-Clarke Resultado, sobre o qual os agentes tem preferências definidas, é dado por: x (k, t 1,..., t I ) X k é elemento de K, conjunto finito, que representa os projetos possíveis. t i R é a transferência de um bem numerário para o agente i, que tem função utilidade quase-linear: u i (x, θ i ) v i (k, θ i ) + ( m + t i ) em que m é a dotação do bem numerário do agente i. Conjunto X das alternativas possíveis: { X (k, t 1,..., t I ) : k K, t i R i e } t i 0 i

Quase-linearidade: Mecanismos de Groves-Clarke Exemplos: Projeto público Alocação de uma unidade de um bem indivisível Se uma função de escolha social f é ex post eficiente, então para todo θ Θ, k(θ) deve satisfazer: v i (k(θ), θ i ) v i (k, θ i ) k K i I Os resultados a seguir caracterizam a classe de funções que satisfazem essa propriedade (condição necessária para eficiência ex post) e são implementáveis verdadeiramente em estratégias dominantes. i I

Quase-linearidade: Mecanismos de Groves-Clarke Proposição Seja k ( ) função que satisfaz: v i (k (θ), θ i ) v i (k, θ i ) k K i I i I A função de escolha social f ( ) (k ( ), t 1,..., t I ) é implementável verdadeiramente em estratégias dominantes se, para todo i 1,..., I t i (θ) v j (k (θ), θ j ) + h i (θ i ) j i em que h i ( ) é uma função arbitrária de θ i. Proposição 23.C.4 do MWG

Quase-linearidade: Mecanismos de Groves-Clarke Chamemos as duas condições a seguir de (2) e (3): v i (k (θ), θ i ) v i (k, θ i ) k K (2) i I i I t i (θ) v j (k (θ), θ j ) + h i (θ i ) (3) j i Demonstração (1): 1. Se revelar a verdade não é estratégia dominante, então existem θ i, ˆθ i e θ i tais que: v i (k ( ˆθ i, θ i ), θ i ) + t i ( ˆθ i, θ i ) > v i (k (θ i, θ i ), θ i ) + t i (θ i, θ i ) 2. Substituindo a expressão acima na condição (3), temos: v j (k ( ˆθ i, θ i ), θ j ) > v j (k (θ), θ j ) j I j I

Quase-linearidade: Mecanismos de Groves-Clarke Chamemos as duas condições a seguir de (2) e (3): v i (k (θ), θ i ) v i (k, θ i ) k K (2) i I i I t i (θ) v j (k (θ), θ j ) + h i (θ i ) (3) j i Demonstração (2): 2. Substituindo a expressão acima na condição (3), temos: v j (k ( ˆθ i, θ i ), θ j ) > v j (k (θ), θ j ) j I j I 3. Mas isso contradiz a condição (2). 4. Logo, f ( ) tem que ser implementável verdadeiramente.

Quase-linearidade: Mecanismos de Groves-Clarke Mecanismo de Groves: Um mecanismo de revelação direta Γ (Θ 1,..., Θ I, f ( )) em que f ( ) (k( ), t 1 ( ),..., t I ( )) satisfaz as duas condições v i (k (θ), θ i ) v i (k, θ i ) k K i I i I t i (θ) v j (k (θ), θ j ) + h i (θ i ) j i é dito um Mecanismo ou Esquema de Groves.

Quase-linearidade: Mecanismos de Groves-Clarke Mecanismo de Groves: A transferência t i do agente i depende apenas do efeito que a sua revelação ˆθ i tem sobre a escolha do projeto. Desse modo, o agente i é levado a internalizar a externalidade de sua escolha sobre o bem-estar dos demais. Não é de espantar, pois, que o outcome implementado por esse mecanismo seja eficiente ex post Vimos que esse tipo de função, que satisfaz as duas condições do enunciado. é implementável verdadeiramente em estratégias dominantes. Mas são as únicas que satisfazem o mínimo de eficiência ex post sobre k K que são implementáveis verdadeiramente?

Quase-linearidade: Mecanismos de Groves-Clarke Proposição Suponha que, para cada agente i I, {v i (, θ i ) : θ i Θ i } V, em que V é o espaço de todas as funções possívels v : K R. Então uma função de escolha social f ( ) (k ( ), t 1 ( ),..., t I ( )), em que k ( ) satisfaz v i (k (θ), θ i ) v i (k, θ i ) k K i I i I é implementável verdadeiramente em estratégias dominantes apenas se t i ( ) satisfaz, para todo i: t i (θ) v j (k (θ), θ j ) + h i (θ i ) j i Proposição 23.C.5 do MWG

Quase-linearidade: Mecanismos de Groves-Clarke Mecanismo de Groves e equilíbrio orçamentário: A princípio, podemos escolher várias funções f que resultem na escolha eficiente de k, i.e.: Mas essa não é condição suficiente para eficiência ex post. É preciso termos também: t i (θ) 0 θ Θ i I A proposição a seguir explicita os limites da implementação reveladora da verdade em estratégias dominantes de funções plenamente ex post eficientes.

Quase-linearidade: Mecanismos de Groves-Clarke Proposição Suponha que, para cada agente i I, {v i (, θ i ) : θ i Θ i } V, em que V é o espaço de todas as funções possívels v : K R. Então não existe uma função de escolha social f ( ) (k ( ), t 1 ( ),..., t I ( )) que é implementável verdadeiramente e ex post eficiente. Isto é, que satisfaça as duas condições a seguir: v i (k (θ), θ i ) v i (k, θ i ) k K i I i I t i (θ) 0 i I θ Θ Proposição 23.C.6 do MWG