Termodinâmica II - FMT 59 Diurno e Noturno, primeiro semestre de 1 Gabarito da lista 6 1. Considere um gás hipotético para o qual a função de distribuição de velocidades tivesse a forma indicada na gura abaixo. Calcule, em função de : (a) A constante de normalização C (ver gura). (b) Os valores de < v >, v p e v qm. Observe que o gráco acima pode ser representado pela função C v para < v <, C v + C para < v <. Assim, usando a condição de normalização da distribuição n(v), teremos que n(v)dv = C = 1 C = 1 Vamos reescrever n(v) substituindo o valor de C 1 v para < v < v v, (v ) para < v <. 1 v Agora podemos obter as velocidades características, item (b) do problema, < v >= v v v v v dv + v dv = = v ( ) v 3 + v3 3v = 3 + 3 7 3 < v >=. Obtemos v qm através do cálculo de < v > tal que v < v >= v v 3 v v v dv + v3 v dv = ( ) = v v 3 4 + v4 ( 1 3 4v = v 4 + 16 3 3 16 4 + 1 4 ) = 7v 6, 1
sendo assim v qm = 7 6. Finalmente, podemos observar no gráco que o valor mais provável é v p =.. Calcule a velocidade quadrática média, no ar, de partículas de fumaça, cuja massa é de 5, 1 14 g, a o C e à pressão de 1 atmosfera. Assumindo que distribuição de velocidades das partículas seque uma distribuição de Maxwell então, v qm = 3 m substituindo os valores dados de temperatura e massa temos v qm 1, 5 cm/s 3. (a) Calcule a distribuição de energia n(e), tal que n(e) de é a fração de moléculas com energia entre E e E + de, para um gás ideal em equilí brio térmico à temperatura T. Adimitindo que a fração de moléculas com energia entre E e E + de é igual a fração de moléculas com velocidade entre v e v + dv. Então n E (E)dE = n v (v)dv. As partículas que compõem o gás ideal possuem apenas energia cinética de translação, portanto, E = mv de = mvdv, logo Sabemos que n E (E)mv = n v (v). ( m ) 3/ n v (v) = 4π v e mv. π Portanto, simplicando os termos teremos n E (E) = 4π m ( m ) ( ) 3/ E 1/ e E, π m E n E (E) = πk 3 T 3 e E. (b) A partir da distribuição calculada no item (a), calcule a energia média < E >, comparando o resultado com 1 m v qm. Partindo da denição de média temos < E >= E n E (E) de, < E >= E 3 πk 3 T 3 e E de.
Fazendo a mudança de variável E/ = x, dx = < E >= de E logo 4 π x 4 e x dx < E >= 3 = mv qm (c) Calcule a energia mais provável E p, comparando o resultado com 1 m v p. Para obter o valor de E que maximiza a distribuição n E (E) faremos obtendo n E(E p ) = 1 E p =, E p = = 1 ( mv p ). 4. Ao nível do mar, a composição volumétrica da atmosfera é 1% de oxigênio e 78% de nitrogênio (há 1% de outros gases, principalmente argônio). Suponha (embora não seja uma boa aproximação!) que a temperatura do ar não variasse com a altitude, e que seu valor fosse 1 o C. Nesse caso, qual seria a composição volumétrica da atmosfera a 1 km de altitude? (considere 1 unidade de massa atômica = 1, 66 1 7 kg). Ao nível do mar, o número total de moléculas na atmosfera é n(). Além disso, n O () é o número de moleculas de oxigênio, n N () é o número de moleculas de nitrogênio, n Ar () é o número de moleculas de Argônio. Sabendo disso, é válida a relação n() = n O () + n N () + n Ar (), ou seja, Do enunciado sabemos que n O () n() 1 = n O () n() =.1, n N () n() + n N () n() + n Ar() n(). =.78 e n Ar() n() =.1. No entanto, o número total de moléculas na atmosfera a 1 km de altitude n(z = 1 km) é certamente menor do que na superfície da terra, isto é n(z = 1 km) < n(z = ). Para z = 1 km é válida a relação Pela lei de Halley, a expressão acima pode ser reescrita como = n O () exp m O gz = n O (z) + n N (z) + n Ar (z). (1) + n N () exp m N gz + n Ar () exp m Argz Observe que m O = 3 u, m N = 8 u e m Ar = 18 u (onde 1 u=1 unidade de massa atômica = 1, 66 1 7 kg), substituindo esses valores na expressão acima e dividindo ambos os membros por n() teremos n() = n O () n() 3 ugz + n N () n() 3 8 ugz + n Ar() n(). 18 ugz,
chamando λ = exp ugz/ e usando os dados do enunciado teremos que λ = ugz, 9595 (obs.: Vamos aproximar os valores apenas no nal das contas!) então e obtemos que n() = n O () n() λ3,55375795 + n N () n() λ8,49785 + n Ar() n() λ18,,47464455 = r =, 337364, corroborando a hipotese de que n(z = 1 km) < n(z = ). n() Finalmente, podemos calcular a composição volumétrica da atmosfera em z = 1 km de altitude para cada tipo de molécula constituinte da atmosfera: n O (z) n N (z) n Ar (z) n O () n() λ3 =, 183 18, 3%, n N () n() λ8 =, 8 8, %, n Ar () n() λ18 =, 15 1, 5%. 5. Suponha um gás ideal em um mundo imaginário bidimensional. (a) Modique, onde necessário, os argumentos empregados na dedução da distribuição de Maxwell- Boltzmann, obtendo a distribuição de velocidades n(v) para esse gás ideal bidimensional. A forma geral da distribuição de Maxwell-Boltzmann é n(v x,y ) = Ae mv x,y. Como v x e v y são independentes, a distribuição conjunta é o produto das duas: n(v x, v y ) = A e m(v x +v y ). Fazendo a mudança de coordenadas para o sistema polar obtemos n(v x, v y )dv x dv y = n(v, θ v ) vdvdθ v, onde o jacobiano da transformação é v, logo n(v, θ v ) = n(v x, v y )v. Assim, a distribuição em coordenadas polares é n(v, θ v ) = A ve mv. Integrando em θ v obtemos a distribuição marginal, apenas para v, π A ve mv dθv = πa ve mv = Bve mv Para obter a constante B usamos o critério de normalização. O Calculo dessa integral pode ser feita por partes e é mais simples do que a que aparece no caso tridimensional, 4
n(v)dv = B ve mv dv = B m = 1. Logo mv mv e. (b) Determine a velocidade mais provável, a velocidade média e a velocidade quadrática média. Chamando λ = m, então λ v e λv. Recordando a integral para normalizar a distribuição de Maxwell (3 dimensões) teremos < v >= λ < v >= λ v e λv dv = 1 π λ = π m, v 3 e λv dv = 1 λ = m v qm = m, n (v) = 1 λv = v = 1 λ = m v p = m. 5