Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica Matemática Computacional - o ano LEMat e MEQ Exame/Teste - 5 de Fevereiro de - Parte I (h3m). Considere função f(x) = ln( + x) exp( x) (x > /). (a) Mostre que a equação f(x) = tem uma única raíz, z, a qual pertence ao intervalo [,. [. Resolução: Tem-se i. f()f() <, pois f() = e f() =.73733; ii. f (x) = + exp( x) > para todo o x > /. + x Portanto, a equação f(x) = tem uma raíz z [,, sendo esta a única raíz da equação em /, [ uma vez que f é estritamente crescente em /, [. (b) Usando o método da bissecção, determine um intervalo de comprimento inferior a. que contenha z. Resolução: Seja I := [a, b = [,. Aplicando o método da bissecção partindo deste intervalo obtém-se sucessivamente: [. x = a + b x = a + b =.5, f(a ) f(x ) < I := [a, b = [a, x = [,.5, I =.5 >., =.5, f(x ) f(b ) < I := [a, b = [x, b = [.5,.5, I =.5 >., x 3 = a + b =.375, f(x 3 ) f(b ) < I 3 = [x 3, b = [.375,.5, I 3 =.5 <.. O intervalo pretendido é [.375,.5. (c) Mostre que o método de Newton com iterada inicial x =.5 converge para z. [. Resolução: A função f é de classe C no intervalo [, (por exemplo), sendo Já vimos na alínea (a) que i. f()f() < ; ii. f > em [,. Além disso, tem-se f (x) = + x + exp( x), f 4 (x) = ( + x) exp( x). iii. f < em [, (logo f não muda de sinal em [, ); iv. f() = /3 < e =.7633 <. f () f() f () Portanto, o método de Newton com iterada inicial em [,, em particular com x =.5, converge para z. (d) Calcule um valor aproximado de z efectuando duas iterações do método de Newton, tomando para iterada inicial x =.5, e calcule um majorante do erro relativo do valor obtido. [. Resolução: De x n+ = x n f(x n) f (n =,,,...) (x n )
com f(x) = ln( + x) exp( x), f (x) = + x + exp( x) e x =.5, obtém-se x =.44685, x =.4475. Quanto à majoração do erro de x, usando as fórmulas de erro do método de Newton, tem-se z x K (K z x ) 4 K := max x I f (x) min x I f (x) onde I é um intervalo que contém z e as iteradas x i (i =,, ). Atendendo a que f(x ) < e f(x ) >, tem-se z x, x [. Então I = [x, x e K = max x [x,.5 f (x) min x [x,x f (x) = f (x ) f (x ) =.54694, z x x x =.5498. Obtemos assim o seguinte majorante do erro absoluto de x z x Quanto ao erro relativo, como z x,.5[ tem-se.54694 (.54694.5498)4.477 6. z > x =.4475 z x.55 = z x z.477 6.4475 =.7773 6. Em alternativa, poderíamos majorar o erro absoluto de x do seguinte modo z x que daria um resultado semelhante ao anterior. (e) Considere o método do ponto xo { x =.45, e a lista f(x ) min x [x,.5 f (x) = f(.4475) f.4 6, (.5) x n+ = x n + ln( + x n ) exp( x n ) (n =,,,...) {.4546,.465579,.49596,.575984,.786,.68,.3867, 3.8368} que contém as iteradas x, x,..., x 8 deste método. Diga o que estes valores sugerem quanto à convergência do método (para z) e dê uma justicação para este resultado. [.5 Resolução: Estes valores sugerem que este método não converge para z. De facto, a função iteradora deste método é g(x) := x + ln( + x) exp( x) (x > /) e tem-se g(x) = + + exp( x) >, x > /. + x Em particular, g(z) >, e portanto a sucessão dada não converge para z.. Considere o sistema linear Ax = b em que A = 7 8 7 7 5 6 5 8 6 9 7 5 9 b = 3..9 33. 3.9
(a) Obtenha a representação b de b num sistema de ponto utuante com dígitos na mantissa e arredondamento simétrico. Calcule o erro relativo b b b. [. Resolução: Em ponto utuante com dígitos na mantissa e arredondamento simétrico, tem-se fl(3.) fl(.3 ).3 b = fl(.9) fl(33.) = fl(.9 ) fl(.33 ) =.3.33 fl(3.9) fl(.39 ).3 e o erro relativo de b é b b b = [....T [3..9 33. 3.9 T =. 33. =.35. (b) Sabendo que A = 5 4 6 4 68 7 7 5 3 6 3 calcule o erro relativo x x da solução do sistema A x = b. (Se não resolveu a alínea anterior, considere b = [3 33 3 T.) [.5 Resolução: Como A é dada, podemos facilmente calcular x e x: x = A b = [9..6 4.5. T e Então x = A b = [ T. x x = [8. 3.6 3.5.T [9..6 4.5. T = 3.6.6 =.7937 (c) Compare os erros b b b e x x e explique o valor elevado de x x. [. Resolução: Um erro relativo muito pequeno em b deu origem a um erro relativo bastante grande em x. Isto signica que o sistema é mal condicionado. De facto, o número de condição (na norma do máximo) da matriz A é bastante grande cond (A) = A A = max{ + 7 + 8 + 7, 7 + 5 + 6 + 5, 8 + 6 + + 9, 7 + 5 + 9 + } max{5 + 4 + + 6, 4 + 68 + 7 +, + 7 + 5 + 3, 6 + + 3 + } = 33 36 = 4488 e a relação entre o erro relativo do vector b e o erro relativo da solução do sistema (na norma do máximo) é δ x 4488 δ b. Esta relação conrma que δ b pode ser muito pequeno e δ x muito elevado.
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica Matemática Computacional - o ano LEMat e MEQ Exame/Teste - 5 de Fevereiro de - Parte II (h3m). Considere o sistema não linear x x x 3 = x x + x x 3 + x x 3 = x + x = (a) Mostre que, se aplicar o método de Newton a este sistema partindo de x () = [ T, a primeira iterada é x () = x () + y, onde y = [y y y 3 T é a solução do sistema linear y y y 3 = Resolução: O sistema dado escreve-se na forma f(x) = com [. f : R 3 R 3 A matriz Jacobiana de f é dada por f(x, x, x 3 ) = (x x x 3, x x + x x 3 + x x 3, x + x ). J f (x, x, x 3 ) = x x 3 + x x 3 x x x + x 3 x + x 3 x + x 3 A primeira iterada do método de Newton é x () = x () + y, onde y é a solução do sistema linear Para x () = (,, ) tem-se J f (x () )y = f(x () ). f(x () ) = f(,, ) = (,, ). e J f (x () ) = J f (,, ) =. pelo que o sistema a resolver para obter x () é y y y 3 =. (b) Transforme o sistema linear acima de modo a poder aplicar o método de Jacobi. Em seguida, mostre que o método de Jacobi converge para y ao m de 3 iterações, qualquer que seja a iterada inicial y () R 3. [.
Resolução: Por troca de linhas, o sistema é equivalente a y y = y 3 onde todos os elementos da diagonal principal da matriz são não nulos. A matriz de iteração do método de Jacobi é C J = = Sabe-se que, para cada iterada inicial y () R 3, a sucessão dos erros das iteradas do método de Jacobi satisfaz y y (k) = C k J(y y () ) (k =,,...) onde {y (k) } é a sucessão de iteradas do método de Jacobi. Atendendo a que CJ = e C 3 J = tem-se y y (k) = (k = 3, 4,...) y (k) = y (k = 3, 4,...) o que mostra que o método converge para y ao m de 3 iterações. (c) Calcule y usando o método de Jacobi com y () = [ T. [.5 Resolução: A sucessão de iteradas do método de Jacobi é dada por y (k+) = C J y (k) + d (k =,,,...). com C J = d = =. Já vimos que o método converge ao m de 3 iterações. Com y () = [ T obtém-se: y () = d = [ T, y () = C J y () + d = [ T, y = y (3) = C J y () + d = [ T. Observação: Na verdade, com iterada inicial nula, a solução exacta é obtida ao m de iterações.. Considere [ a seguinte tabela de valores da função distribuição acumulada da distribuição normal Φ(x) := + x exp( t )dt π x i.5..5. Φ(x i ).6946.84345.93393.9775 (a) Utilizando a fórmula de Newton, obtenha o polinómio de menor grau interpolador de Φ nos três primeiros pontos da tabela. Calcule um valor aproximado de Φ( ) recorrendo ao polinómio obtido. [.
Resolução: Usando a fórmula de Newton, tem-se a seguinte expressão para o polinómio, de grau menor ou igual a, interpolador de Φ nos nós.5,. e.5 p (x) = Φ[.5 + Φ[.5,.(x.5) + Φ[.5,.,.5(x.5)(x.) A tabela de diferenças divididas é: Assim,.5.6946.84345.6946..5 =.99766.83696.99766..84345.5.5 =.67.93393.84345.5. =.83696.5.93393 p (x) =.6946 +.99766(x.5).67(x.5)(x.). Um valor aproximado de Φ( ) é p ( ) =.9559. (b) Usando os valores tabelados, determine a função da forma g(x) = + ax + bx3 (a, b R 3 ) que melhor se ajusta à função Φ no sentido dos mínimos quadrados. [.5 Resolução: Temos que determinar os coecientes a, b R 3 que minimizam Q(a, b) = [Φ(x i ) g(x i ) = i= [Φ(x i ) (/+ax+bx 3 ) = i= [(Φ(x i ) /) (ax+bx 3 ). Então, o problema dado é equivalente a determinar a função da forma ax + bx 3 que melhor se ajusta à função (Φ /) no sentido dos mínimos quadrados. As funções de base a considerar são φ (x) = x, φ (x) = x 3 e os parâmetros a e b obtêm-se resolvendo o sistema de equações normais [ [ [ (φ, φ ) (φ, φ ) a (φ, (Φ /)) =, (φ, φ ) (φ, φ ) b (φ, (Φ /)) i= onde Resolvendo o sistema (φ, φ ) = x i = 7.5 i= (φ, φ ) = (φ, φ ) = (φ, φ ) = x 4 i =.5 i= x 6 i = 76.463 i= (φ, (Φ /)) = (φ, (Φ /)) = [ x i (Φ(x i ) /) =.437 i= 4 x 3 i (Φ(x i ) /) = 5.6453 i= 7.5.5.5 76.463 [ a b = [.437 5.6453, (cuja matriz é denida positiva) obtém-se g(x) = +.3797x.3386x3.
(c) Calcule um valor aproximado de Φ( ) usando a regra dos trapézios com 5 nós de integração igualmente espaçados. Resolução: Começamos por observar que Φ( ) = [ + π exp( t )dt. [.5 Agora usamos a regra dos trapézios com 5 nós de integração para aproximar o integral I := exp( t )dt. Os 5 nós de integração são t =, t =.5, t =.5, t 3 =.75 e t 4 =, com espaçamento h =.5 e o valor aproximado para o integral é ( exp( t Ĩ =.5 ) + exp( t ) 4) + exp( t ) + exp( t ) + exp( t 3) =.74984. O valor aproximado para Φ( ) é Φ( ) = [ + Ĩ =.9984. π 3. Considere o problema de valor inicial { y (t) = exp( y(t)) (t > ), y() =. Obtenha um valor aproximado de y() aplicando o método de Euler com h =.5. [.5 Resolução: Neste caso, tem-se e para h =.5, obtemos os pontos f(t, y) := exp( y) t i =.5i, i =,,,... Assim, y() = y(t 4 ) y 4, sendo y 4 obtido pelo método de Euler { y = Obtém-se então y i+ = y i +.5f(t i, y i ) = y i +.5 exp( y i ), i =,,,... y = y +.5 exp( y ) = +.5 exp( ) =.997, y = y +.5 exp( y ) =.997 +.5 exp(.997) =.7586, y 3 = y +.5 exp( y ) =.7586 +.5 exp(.7586) =.53, y 4 = y 3 +.5 exp( y 3 ) =.53 +.5 exp(.53) =.344.