PROVA DE MATEMÁTICA a AVALIAÇÃO UNIDADE 8 a SÉRIE E M _ COLÉGIO ANCHIETA-A ELAORAÇÃO DA PROVA: PROF OCTAMAR MARQUES PROFA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA QUESTÕES DE A 8 Assinale as proposições verdadeiras some os resultados e marque na Folha de Respostas QUESTÃO Considere a função f(x) x x + É verdade que: ) f possui inversa ) f é crescente ) O único zero de f é igual a 7/ 8) f é par 6) f(x) x {,, 5, 7} ) (f o f)() 6) A solução da equação f(f(x)) pertence ao intervalo [, ] f(x) x x + Graficamente: x + x +, se x < x + 7, se x < f(x) f(x) x x +, se x x +, se x
) VERDADEIRA Analisando o gráfico acima, pode-se concluir que f é uma função injetora, é uma função sobrejetora, portanto bijetora Conclusão: f é uma função inversível ) FALSA Ainda pela análise do gráfico chega-se à conclusão de que f é uma função decrescente ) VERDADEIRA O gráfico intercepta o eixo dos x no ponto 8) FALSA f(x) f( x) 7, Logo o único zero de f é igual a 7/ 6) VERDADEIRA Analisando o gráfico, pode-se concluir que f(x), se x, logo, x + x 5 {,, 5, 7} ) VERDADEIRA Em f(f()), fazendo, f() a tem-se: f(a) a [, [ Substituindo x por a em f(x) x +, tem-se: a + a f() Voltando ao gráfico vê-se que essa igualdade é verdadeira 6) FALSA Da equação f(f(x)), tem-se, f(x) De f(x) e f(x) x + 7 x + 7 x / > QUESTÃO FE // C e EF 5m A // DC ED m DC m FG m Considere o croquis de um lote de terreno, representado na figura acima Utilizando os valores,7; π e sen 5 o, é verdade que: ) A área do triângulo de vértices F, E e D, é igual a m ) A área do triângulo de vértices F, D e C é 7,5m ) A área do triângulo de vértices F, C e H é 76,5m 8) A área do setor circular é m e a do retângulo AHG é 6m 6) A área do setor é igual a % da área do triângulo de vértices F, E e D ) A área total do lote é 6,5m
Na figura traça-se EJ // CD e DI EJ O triângulo DEI é retângulo com um ângulo de 6 o, no qual EI EDcos6 o EI,5 5 e CJ DI EDsen6 o,7 5 8,5 Então CDEJ é um trapézio retângulo, com altura medindo 8,5m e bases: DC m e EJ 5m ) FALSA S DEF 5sen5 o 75 7,5cm ) VERDADEIRA CDCH,5 5 S CDF 7,5m ) VERDADEIRA FHCH 5,5 5,5 S FCH 76,5m 8) VERDADEIRA π S SETOR CIRCULAR π m e S AHG 6m 6) FALSA S SETOR CIRCULAR S DEF 7,5,8 8% ) VERDADEIRA S TOTAL (7,5 + 7,5 + 76,5 + + 6) 6,5 m
QUESTÃO Na figura ao lado temos uma esfera de raio R, inscrita num cone circular reto de raio cm e altura h cm O plano α, paralelo à base do cone, está à distância R cm desta base É verdade que: ) O raio da esfera é igual a,5 cm ) A área lateral do cone é igual a 5π cm ) O volume da esfera é,5π cm e o do cone é 9π cm 8) A distância do plano α ao vértice do cone é igual a,5cm π 6) O volume do cone determinado pelo plano α é cm 6 9 π ) O volume do tronco de cone determinado pelo plano α é cm 6 ) VERDADEIRA Os triângulos VD e VC são semelhantes, logo VO DO R R R 5R 8R R,5 V C 5 ) VERDADEIRA Como a altura e o raio do cone medem, respectivamente, cm e cm, então a sua geratriz mede 5cm S L π r g S L π 5 5πcm ) FALSA V ESFERA V CONE π R π (,5),5 π,5 π cm (V) π R H π 9 6 π π cm (F)
8) FALSA A distância do plano α ao vértice do cone é igual a cm 6) VERDADEIRA r r V π r H π π 6 ) FALSA π 9 π π 89 π π π 6 6 6 QUESTÃO Na figura vemos o gráfico da função polinomial y p(x) Sabe-se que p(x) é do terceiro grau e p() É verdade que: ) O termo independente de x do polinômio p(x) é positivo ) p(x) não possui raízes complexas ) O coeficiente do termo em x do polinômio p(x) é igual a 8) A soma dos coeficientes de p(x) é igual a 6) é raiz do polinômio p(x) ) 5 é raiz da equação p(x) (x )(x ) Pelo gráfico se conclui que, e são raízes de p(x), logo pode-se escrever: p(x) a(x + )(x )(x ) e como p() : p() a()()() 8a a / p(x) / (x + )(x )(x ) 5
) FALSA O termo independente de x do polinômio p(x) é ( ) ( ) ( ) ) VERDADEIRA O gráfico de p(x), polinômio de grau, intercepta o eixo dos x em pontos distintos, as suas raízes são números reais ) VERDADEIRA O termo em x do polinômio p(x) é igual a xxx x 8) FALSA A soma dos coeficientes de p(x) é igual a p(), e sendo raiz de p(x), tem-se p() 6) VERDADEIRA p(x) / (x + )(x )(x ) Substituindo x por : / ( + )( )( ) ) VERDADEIRA / (x + )(x )(x ) (x )(x ) / (x + ) x x 5 Questão 5 Considere os conjuntos: A {,,,, 5} e {,,,,, 5} É verdade que: ) Com os elementos de A podemos formar 6 números com algarismos distintos ) Com os elementos de A podemos formar 6 números de algarismos com, pelo menos, dois algarismos iguais ) Com os elementos de podemos formar números com algarismos distintos 8) Com os elementos de podemos formar 6 números com algarismos distintos que começam com algarismo ímpar e terminam com algarismo par 6) Com os elementos de A podemos formar, pelo menos, 5 números de 5 algarismos distintos, tais que, alternadamente, seus algarismos sejam ímpares e pares ) Com os elementos de A podemos formar números de 5 algarismos distintos, de modo que os algarismos ímpares fiquem sempre na ordem,, 5 ) VERDADEIRA Para a ordem das centenas tem-se 5 opções; escolhido o algarismo dessa ordem restam para a das dezenas opções; escolhido o algarismo da ordem das dezenas, restam para a das unidades opções, logo poderão ser formados 5 6 números com três algarismos distintos ) VERDADEIRA Com os elementos de A podemos formar 5 5 números com três algarismos entre os quais existem 6 com todos os algarismos distintos (item anterior) Então poderão ser formados, ao todo, 5 6 65 números com pelo menos, dois algarismos iguais 6
Logo é verdadeira a afirmação de que podemos formar 6 números com pelo menos, dois algarismos iguais ) VERDADEIRA Para a ordem das centenas temos 5 opções (,,, ou 5); escolhido o algarismo da ordem das centenas, o por exemplo, para a ordem das dezenas existem 5 opções de escolha (,,, ou 5); escolhido o algarismo da ordem das dezenas, o 5 por exemplo, restam opções para a ordem das unidades Logo ao todo são 5 5 números 8) VERDADEIRA a ORDEM a ORDEM a ORDEM ímpar Par ou ímpar par, ou 5(escolhe-se o 5) Restam (,, ou ), ou (escolhe-se o ) opções opções opções Logo poderão ser formados 6 números 6) FALSA IMPAR PAR IMPAR PAR IMPAR opções opções opções opção opção Ao todo são números ) VERDADEIRA Colocados os algarismos, e 5: _ 5 _, existem quatro posições para se colocar o algarismo, por exemplo Colocados os algarismos,, e 5: _ 5, existem cinco posições para se colocar o algarismo Logo podem ser formados, obedecendo-se a condição estabelecida, 5 números Questão 6 Sobre matrizes e determinantes é verdade que: ) deta det A ) Se A é uma matriz de ordem n, então det (na) n det A ) x 6 x {,, 5, 7} x 8) x é condição suficiente para a matriz A ser inversível m x n 6) Se o sistema é homogêneo e indeterminado, então y m 8 e n ) Se A é uma matriz inversível, então A A t A det (deta) 7
) FALSA deta deta ) FALSA Se A é uma matriz de ordem n, então det (na) n n det A ) VERDADEIRA x 6 x(-) + 6 x( + 9 + ) 6 x 6 x {,, 5, 7} 8) FALSA x Para a matriz A ser inversível é suficiente que deta seja diferente de x zero: x x 6) VERDADEIRA m x n Se o sistema é homogêneo e indeterminado, então y m e n 8 m e n m 8 e n ) VERDADEIRA Multiplicando à esquerda os dois membros da equação A A t A por A A A A t A A A t (A ) Multiplicando à direita os dois membros da equação A t (A ) por (A t ) A t (A t ) A A (A t ) A A (A t ) Calculando o determinante dos dois membros desta última equação: det det (A A (A t ) ) Como o determinante do produto de matrizes de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes det det (A )det (A )det((a t ) ) det Questão 7 deta deta Considere as relações em R: I) x + y 6 II) x + 9y 6 III) y x deta (det A ) 8
É verdade que: ) O domínio da relação I é [, ] ) A imagem da relação II é [, ] ) A função y x, implícita na relação III, é decrescente 8) O gráfico da relação I é uma circunferência e a área do triângulo eqüilátero nela inscrito é igual a ua 6) Um dos pontos de interseção da a bissetriz com o gráfico da relação III, é o ponto (, ) ) O lado do quadrado inscrito na curva definida pela relação II, é igual a ) VERDADEIRA x + y 6 é a equação de uma circunferência de centro na origem e raio ) FALSA Analisando o gráfico ao lado pode-se concluir que a imagem da relação II é o intervalo [, ] ) VERDADEIRA x + 9y 6 é a equação de uma elipse de centro na origem e eixo maior na horizontal Analisando o gráfico ao lado pode-se concluir que a imagem da relação II é o intervalo [, ] 9
8) VERDADEIRA A figura ao lado representa a situação da questão Aplicando o teorema de Pitágoras ao a triângulo ADO: 6 + 6 6 + a a 8 a Pela figura vemos que h (r/) 6 6 S AC ua OUTRA l h r 6 h 8 S l l 6 l 6) FALSA y x y x x x x + x ± 5 x S { x ou x (, ),(, )} ) VERDADEIRA x + 9y 6 x 9y 6 x 6 x 6 x y x, Como pertence à primeira bissetriz: 6 x x 9 x 6 x 6 x 6 x OA lado do quadrado OUTRA Sendo (x,y) um ponto da primeira bissetriz, x y, e na equação x + 9y 6 podese substituir y por x: x + 9x 6 x 6 x O lado do quadrado é igual a 6 6
QUESTÃO 8 Considere as seqüências (a n ) e (b n ) de termos gerais a n n e b n n+ ; n Pode-se afirmar que: ) O termo central de (a n ) é igual a ) A soma dos termos de (a n ) é ) (b n ) é uma progressão geométrica de razão 8) A soma dos termos de ordem ímpar de (b n ) é igual a ( ) 6) O primeiro termo da seqüência c n, maior que, é o termo de ordem 8 a n ) A soma dos infinitos termos da seqüência de termo geral é igual a b n ) VERDADEIRA A seqüência (a n ) tem termos, logo o seu termo central é o termo de ordem: ( + ) : Como a n n, a ) VERDADEIRA a, a, a 5,, a ( a seqüência (a n ) é uma progressão aritmética + ) onde a e r, logo S ) FALSA Sendo b n n+, tem-se: b, b 8, b 6, b,, b que constitui uma progressão geométrica de razão 8) VERDADEIRA Os termos de ordem ímpar de (b n ):, 6, 6, formam uma PG de razão de termos S n n ( q ) a q ( ) ( ) 6) VERDADEIRA 8 8n + 85 8n C n < < < n 8 8(n ) 8(n ) A raiz do numerador é n 85 8 e a raiz do denominador é n
Pela tabela ao lado que apresenta o estudo da variação do sinal da fração ) 8(n 8n 85 buscando determinar o intervalo em que ela assume valores negativos em função de n Como n, n é o menor número inteiro pertencente ao intervalo, 8 85, então n ) VERDADEIRA Consideremos d n b n +,,, 6, 8, n que é uma PG de razão S n q a QUESTÃO 9 Considere o sistema matricial + + A Y Y A, onde A e Calcule o determinante da matriz + + A Y Y A Tirando o valor de Y na segunda equação e substituindo na primeira tem-se: ( ) ( ) + + A I A A A A A ) (A A A Y Substituindo A e : Multiplicando à esquerda os dois membros da equação Pela inversa da matriz : 6 det RESPOSTA: det 6
QUESTÃO Uma dívida foi paga em prestações mensais, cada prestação sendo igual à anterior acrescida de k reais A segunda prestação foi igual a R$ 6,, e a sétima foi igual a R$ 76, x Sendo x reais a soma de todas as prestações, calcule o valor da expressão A informação: Uma dívida foi paga em prestações mensais, cada prestação sendo igual à anterior acrescida de k reais nos conduz à conclusão de que a seqüência numérica formada pelas prestações forma uma progressão aritmética de razão k, a 6 e a 7 6 Assim: a 7 a + (7 )k 76 6 + 5k k 6 Temos então: a a + k 6 a + 6 a a + 9k + 69 5 Conclusão: S ( a + a ) k ( + 5 ) x 9 9 x 97 RESPOSTA: 97