Teorema de Hahn-Banach e Aplicações

Universidade Federal de Roraima Centro de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática Curso de Licenciatura Plena em Matemática Anderson Tiago de Oliveira Teorema de Hahn-Banach e Aplicações Boa Vista, RR 2017

Anderson Tiago de Oliveira Teorema de Hahn-Banach e Aplicações Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como pré-requisito para conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima. Orientador: Prof. Me. Edwin Pedro López Bambarén. Boa Vista, RR 2017

Anderson Tiago de Oliveira Teorema de Hahn-Banach e Aplicações/ Anderson Tiago de Oliveira. Boa Vista, RR, 2017-63 p. : il. ; 30 cm. Trabalho de Conclusão de Curso UFRR, 2017. 1. Analise Funcional. 2. Espaços Vetoriais. 3. Espaço de Banach. 4. Teorema de Hahn-Banach. I. Orientador: Prof. Me. Prof. Me. Edwin Pedro López Bambarén. II. Universidade Federal de Roraima. III. Centro de Ciências e Tecnologia. IV. Teorema de Hahn-Banach e Aplicações.

Este trabalho é dedicado às crianças adultas que, quando pequenas, sonharam em se tornar cientistas.

Agradecimentos Agradeço a Deus, as forças do bem, e aos conselhos e ensinamentos de todos que têm por religião o amor, pela força e coragem para superar as dificuldades de cada dia, que não foram poucas. A esta universidade, que com sua política de auxílios e bolsas proporcionou minha permanência, mesmo necessitando de ampliação e melhorias, ao seu corpo docente que me ensinou a que profissional devo e não devo ser, a direção e administração, que me proporcionou vislumbrar horizontes a partir de uma janela libertadora, a janela do conhecimento. Ao meu orientador Edwin Pedro López Bambarén pela paciência, suporte no tempo que lhe coube, pelas suas correções e incentivos. A minha família, amigos, e a todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, o meu muito obrigado.

Que os vossos esforços desafiem as impossibilidades, lembrai-vos de que as grandes coisas do homem foram conquistadas do que parecia impossível. Charles Chaplin

Resumo Nesta monografia, intitulada Teorema de Hahn-Banach e Aplicações, desenvolve-se três versões do Teorema de Hahn-Banach, para espaços vetoriais reais, complexos e normados, e em seguida apresenta-se duas aplicações para a ciência econômica. Para isso, estuda-se espaços vetoriais, espaços métricos, espaços normados, espaços de Banach, transformações lineares, funcionais lineares e funcionais lineares limitados, dentre outros. Palavras-chave: Analise Funcional. Espaços Vetoriais. Espaços de Banach. Teorema de Hahn- Banach.

Abstract In this monography, entitled Hahn-Banach Theorem and Applications, three versions of the Hahn-Banach Theorem are developed for real, complex and normed vector spaces, and then two applications for an economic science are presented. For this, we study vector spaces, metric spaces, normed spaces, Banach spaces, linear transformations, linear functional and limited linear functions, among others. Keywords: Functional Analysis. Vector Spaces. Banach Spaces. Hahn-Banach Theorem.

Lista de abreviaturas e siglas CMAT STFE TPA TH-B Capital de Modelo de Ativos Segundo Teorema Fundamental da Economia Teoria da Precificação Arbitrária Teorema de Hahn-Banach

Lista de símbolos F D(T ) K Λ p Π Conjunto de todas as extensões lineares g de f Domínio de uma transformação linear T de aplicação T : D(T ) V W, entre os espaços vetoriais V e W. Corpo de escalares. Supremo, com α l 0 p e α = 1, da norma do somatório i=1 α i ε i, em um espaço vetorial normado. Funcional linear limitado.

Sumário 1 INTRODUÇÃO.............................. 12 2 PRELIMINARES............................. 14 2.1 Espaços Vetoriais............................. 14 2.2 Espaços Métricos.............................. 15 2.2.1 Sequências.................................. 20 2.2.2 Limite de Funções e Continuidade..................... 23 2.3 Espaços normados............................. 27 2.3.1 Sequências em espaços normados.................... 28 2.4 Supremos e Ínfimos............................ 31 2.5 Transformações Lineares......................... 32 2.5.1 Transformações Limitadas......................... 33 2.5.2 Transformações Contínuas......................... 36 2.6 Lema de Zorn................................ 41 3 TEOREMA DE HAHN-BANACH..................... 43 3.1 Versão para Espaços Vetoriais Reais.................. 43 3.2 Versão para Espaços Vetoriais Complexos.............. 49 3.3 Versão para Espaços Vetoriais Normados............... 52 4 APLICAÇÕES............................... 56 4.1 Teoria de Precificação de Arbitragem................. 56 4.1.1 Entendendo o Problema.......................... 56 4.1.2 Aplicando o Teorema de Hahn-Banach.................. 58 4.2 Teoremas de Hahn-Banach construtivos e computáveis para o segundo teorema fundamental da economia do bem-estar.... 59 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS....................... 61 REFERÊNCIAS.................................... 62

12 1 Introdução O Teorema de Hahn-Banach (TH-B) está relacionado ao ramo da matemática conhecido como Analise Funcional. Segundo Machado (2012) o TH-B está entre os resultados mais importantes dessa área da analise matemática, permitindo que funcionais lineares definidos no subespaço de um espaço vetorial possam ser estendidos a todo o espaço. O TH-B surgiu em 1927, publicado pelo matemático alemão Hans Hahn, para espaços reais, já em 1929 um caso mais geral foi demonstrado, para funcionais lineares em espaços normados, pelo polonês Stefan Banach, sem o conhecimento do trabalho de Hans Hahn. Em 1936 o matemático F. Murray demonstrou uma versão para espaços complexos para espaços L p, com p > 1, e o caso geral, em 1938, foi demonstrado de forma independente em dois trabalhos, um de G. A. Soukhomlinov, outro de H. F. Bohnenblust e A. Sóbczyk. Porém, um caso especial do TH-B já havia sido provado pelo matemático judeu Eduard Helly em 1922. Este trabalho tem por objetivos desenvolver teoria suficiente para estudar e demonstrar três versões do TH-B: para espaços vetoriais reais, espaços vetoriais complexos e espaços vetoriais normados. Nesse contexto, o Lema de Zorn desempenhará papel fundamental. Sendo desenvolvido através de estudo bibliográfico. Após ter demonstrado o TH-B apresenta-se algumas aplicações do mesmo. No Capítulo 2 desenvolve-se a fundamentação teórica necessária para demonstrar o TH-B; apresenta-se alguns tópicos importantes de espaços vetoriais sobre um corpo K, alguns conceitos importantes de espaços métricos, sequências, limites de funções e continuidade. A seguir, desenvolve-se alguns tópicos de análise funcional, tais como espaços vetoriais normados, sequências em espaços normados, espaços de Banach, transformações lineares, transformações limitada, funcionais lineares, dentre outros. Posteriormente, os conceitos de supremo e ínfimo, e por fim, o Lema de Zorn. No Capítulo 3 é demonstrado três versões do teorema TH-B: a versão para espaços vetoriais reais, para espaços vetoriais complexos e, por fim, para espaços vetoriais normados quaisquer. Finalmente, no Capítulo 4, apresenta-se algumas aplicações do TH-B à economia ma-

Capítulo 1. Introdução 13 temática, de modo que é comentado e explanado alguns tópicos de artigos referente a essa aplicação.

14 2 Preliminares Neste capitulo apresenta-se a definição de espaços vetoriais, sobre um corpo K, espaços métricos e algumas propriedades básicas; em seguida desenvolve-se alguns tópicos de análise funcional como: espaços vetoriais normados e espaços de banach. Logo mais, supremos e ínfimos, transformações lineares limitadas, funcionais lineares e Lema de Zorn. Para isso é utilizado as obras: Lima (2006) (para alguns tópicos de análise real), Coelho e LourenÇo (2001) (para a parte de espaços vetoriais), Domingues (1982), Kühlkamp (2002), Lima (1993), Silva (2013) e Lima (2014) (para a parte de espaços métricos), Kreyszig (1989) e Machado (2012) (para a parte de análise funcional, com auxílio dos livros citados para a parte de espaços métricos). 2.1 Espaços Vetoriais Um conceito muito estudado em matemática é sem dúvida a definição de espaço vetorial sobre um corpo K. Sua aplicabilidade vai além da matemática, como em computação, engenharia, economia, física, dentre outras ciências. Para construir tais espaços é necessário ter um conjunto não vazio, que tem definido duas operações, uma de adição e outra de multiplicação por escalar em K, que satisfazem algumas condições. Definição 2.1.1 (Espaço Vetorial). Um conjunto V (não vazio) é um espaço vetorial sobre um corpo K se em V estiverem definidas as operações: + : V V V e : K V V (x, y) x + y (α, x) α x De modo que: i) x + y = y + x, para x, y V (comutativa); ii) (x + y) + z = x + (y + z), para x, y, z V (associativa); iii) existe um vetor nulo em V, denotado por 0 tal que 0 + x = x + 0 = x; iv) para x V, existe um vetor inverso em V, denotado por x, tal que x + y = y + x = 0;

Capítulo 2. Preliminares 15 v) (αβ) x = α (βx), para α, β K, x V ; vi) se 1 é a unidade de K, então para cada x V tem-se 1 x = x; vii) α (x + y) = α x + α y, para α K, x, y V ; viii) (α + β) x = α x + β x, para α, β K, x V. Os elementos de V são chamados vetores. Denota-se o espaço vetorial composto por um conjunto V não vazio, munido dos axiomas acima, pela terna (V, +, ) ou (V, +,, K). 2.2 Espaços Métricos No dia a dia é comum realizar cálculos de distâncias, por mais simples que sejam, por exemplo, ir ao mercado, fazer caminhada, ciclismo, etc. É muito comum, uma vez ou outra, mentalmente, fazer o cálculo da menor distância possível para poder cortar caminho, poupando tempo, gasolina, etc. Sabe-se da geometria analítica em R 2, que a menor distância entre dois pontos é o comprimento de reta entre eles, essa distância é conhecida como a usual, também chamada de distância euclidiana, porém há varias maneiras de medir distâncias entre dois pontos, por exemplo, a distância do táxi, que é muito utilizada cotidianamente. Assim, cabe a cada pessoa escolher a distância que melhor lhe convém. Definição 2.2.1 (Métrica). Seja M um conjunto não vazio. Considere uma aplicação d : M M R que a cada par ordenado (x, y) M M associa um número real d(x, y) que satisfaz, para quaisquer x, y, z M, as seguintes condições: i) d(x, y) 0, quando d(x, y) = 0 x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) (simetrica); iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular). Então diz-se que d é uma métrica sobre M. Um conjunto não vazio M munido de uma métrica d é chamado de espaço métrico e é denotado por (M, d). O número real d(x, y) representa a distância do elemento x ao elemento y. Exemplo 2.2.1. O conjunto dos números reais R munido de d(x, y) = x y é um espaço métrico. De fato, d deve satisfazer os axiomas de métrica para que o par (R, d) seja um espaço métrico, então sejam x, y, z R, tem-se

Capítulo 2. Preliminares 16 i) d(x, y) = x y 0, já que o modulo de um número é sempre positivo, e d(x, y) = 0 x y = 0 x y = 0 x = y. ii) Por propriedades de módulo tem-se d(x, y) = x y = ( 1)(y x) = ( 1) (y x) = (y x) = d(y, x). iii) Sejam a, b R, se a + b 0, então a + b = a + b a + b, se a + b < 0, então a + b = (a + b) = ( a) + ( b) a + b. Assim, a + b a + b para a, b R. Então, para quaisquer x, y, z R tem-se x z = x y + y z x y + y z = x y + y z. Logo, d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Portanto, d é uma métrica sobre R e o par (R, d) é um espaço métrico. A métrica exposta anteriormente é denominada como métrica usual de R. Por questões de praticidade, um espaço métrico será denotado por M, porém subentendese que M possui uma métrica d. Definição 2.2.2. Seja M um espaço métrico. Considere a M, fixo. Dado um número real r > 0, defini-se: i) a bola aberta de centro a e raio r, denotado por B(a; r), o conjunto B(a; r) = {x M; d(x, a) < r}.

Capítulo 2. Preliminares 17 ii) a bola fechada de centro a e raio r, denotado por B(a; r), o conjunto B(a; r) = {x M; d(x, a) r}. iii) a esfera de centro a e raio r, denotado por S(a; r), o conjunto S(a; r) = {x M; d(x, a) = r}. Definição 2.2.3 (Ponto Interior). Seja M um espaço métrico e X um subconjunto de M. Um ponto a X é dito ponto interior de X se existe r > 0, tal que B(a; r) X. O conjunto de todos os pontos interiores de X em M é denotado por int(x) ou por X o. Definição 2.2.4 (Conjunto Aberto). Sejam M um espaço métrico e X M. Diz-se que X é um conjunto aberto em M quando todo ponto de X for interior em X. Isto é, quando X = X o. Note que, o conjunto é dito aberto se for possível exibir um raio r > 0, tal que para um elemento a arbitrário em X tenha-se B(a; r) X. Definição 2.2.5 (Ponto de Aderência). Sejam M um espaço métrico e X M. Um ponto a M diz-se ponto de aderência do conjunto X se para todo r > 0 tem-se B(a; r) X. Ou seja, a bola aberta B(a; r) contém ao menos um ponto na interseção B(a; r) X. Note que o ponto a M pode estar em X ou não. Se estiver em X então verifica-se facilmente que B(a; r) X, isto implica dizer que todo ponto de um conjunto é ponto de aderência. Definição 2.2.6. O conjunto de todos os pontos de aderência a X é chamado de fecho e denotado por X. Claramente X X.

Capítulo 2. Preliminares 18 Definição 2.2.7 (Conjunto Fechado). Sejam M um espaço métrico e F M. F é dito fechado em M se, e somente se, F é igual ao seu fecho, isto é, quando F = F. Para saber se um conjunto é fechado em um espaço métrico, deve-se mostrar que esse conjunto contém o seu fecho nesse mesmo espaço. Vale ressaltar que ao contrário da linguagem ordinária onde fechado e aberto são antônimos e excludente, na topologia tem-se conjuntos que não são nem fechados e nem abertos [...] (SILVA, 2013, p. 201), como por exemplo os conjuntos mistos. Definição 2.2.8 (Ponto de Fronteira). Seja M um espaço métrico e X M. Um ponto b M é dito ponto de fronteira de X se b X\X o. pontos M\X. Logo, a é ponto fonteira se para todo r > 0 tiver na bola aberta B(a; r) pontos de X e Definição 2.2.9 (Ponto de Acumulação). Sejam M um espaço métrico e X M. Um ponto a M diz-se ponto de acumulação de X se para todo r > 0 a bola B(a; r) contiver algum ponto de X diferente de a, isto é, (B(a; r)\{a}) X. Exemplo 2.2.2. O conjunto X = {1, 12, 13,..., 1n },..., em R, tem 0 como ponto de acumulação. Para isso é preciso mostrar que, para todo r > 0 a interseção B(0; r)\{0} X é não vazia, isto é, mostrar que um número x 0 B(0; r) e x 0 X, com x 0 0. Tome x 0 = 1, para algum n natural n, isto é, x 0 é um elemento de X. Agora, considerando a métrica usual de R e tomando r = 1 n + 1, para n > 1 natural, tem-se n 1 B(0; r) = { x R; x < 1 n + 1 } { = x R; x < 2n 1 }. n 1 n 2 n Assim, Isto é, o que implica por construção 2n 1 x < n 2 n 1 2n n 2 n < x < 2n 1 n 2 n. x x 0 ( 1 2n n 2 n, 2n 1 ), n 2 n ( 1 2n n 2 n, 2n 1 ). n 2 n Observe que r foi tomado de modo que x 0 pertença a bola B(0; r). Portanto, (B(0; r)\{0}) X, logo 0 é ponto de acumulação.

Capítulo 2. Preliminares 19 Observe que há diferenças entre as definições de ponto de acumulação e ponto de aderência, isto é, na definição de ponto de aderência o centro a compõe o conjunto dos pontos de aderência a X em M, porém na definição de ponto de acumulação o centro a é retirado da bola B(a; r) de X em M. Definição 2.2.10. O conjunto de todos os pontos de acumulação de X é chamado derivado ou conjunto derivado de X e denotado por X. Proposição 2.2.1. O fecho de um subconjunto X de um espaço métrico M pode ser expresso através da união de X a todos os seus pontos de acumulação, isto é, X = X X. Demonstração. Para mostrar que X = X X basta mostrar que X X X e X X X. Seja a X algum ponto de aderência, dado r > 0, B(a; r) X, então, isto é, a X ou (B(a; r)\{a}) X, a X X. Logo, X X X. Definição 2.2.11 (Densidade). Sejam M um espaço métrico e X M. Diz-se que X é denso em M quando M = X. Exemplo 2.2.3. Considere o conjunto dos números reais R e seu subconjunto Q dos números racionais. Q é denso em R, isto é, Q = R. Como Q = Q Q, então basta mostrar que Q = R. Seja a em R, para que a Q deve-se provar que para r > 0, toda bola B(a; r) contém algum ponto Q\{a}. Note que a B(a; r) pode ser expressada pelo intervalo (a r, a + r), já que a métrica é a usual de R. Para encontrar um racional diferente de a neste intervalo, a reta R será dividida em intervalos de extremos racionais e cujo comprimento seja menor do que r e mostrar que um dos extremos desse intervalo esta em (a r, a + r). Como o conjunto dos números naturais é limitado, inferiormente, considere k N, de modo que k > 1 r, isto é, r > 1 k. Os números da forma n 1 k = n k, com n inteiro são números racionais e dividem a reta em intervalos de comprimento 1 k.

Capítulo 2. Preliminares 20 Considere o conjunto tome um número p, tal que então, Logo, A = {n Z; n k < a + r }, p = sup A = max A, p k < a + r < p + 1 k. Isto mostra que p k a < p + 1 k r = p k + 1 k r < p k. (a, a + r) Q (a r, a + r) (Q\{a}). Portanto, a Q e por sua vez Q = R, assim, Q = R. 2.2.1 Sequências Em continuação, vamos definir e estudar algumas propriedades de sequências em um espaço métrico. Definição 2.2.12 (Sequência). Seja M um conjunto, não vazio. Chama-se sequência de termos em M ou apenas sequência em M a função x : N M n x(n). Assim, a cada n N tem-se um número real correspondente x(n). Onde x(n) é chamado de termo geral da sequência, tal termo será escrito como x n. Denota-se a sequência x : N M por alguma das seguintes formas: (x 1, x 2, x 3...) ou (x n ) n N ou (x n )

Capítulo 2. Preliminares 21 Da análise real a convergência de uma sequência diz: dada uma sequência (x n ) n N em R, para cada número n suficientemente grande, tem-se o termo x n aproximando-se a um certo a, denominado limite desta sequência. Nestas condições, em termos de espaços métricos, pode-se dizer que x n aproxima-se a um certo a equivale a dizer que d(x n, a) é arbitrariamente pequeno. Definição 2.2.13 (Convergência). Sejam M um espaço métrico e (x n ) n N uma sequência em M. Diz-se que (x n ) n N converge para a M, se para todo número ε > 0 dado arbitrariamente, existe N N tal que, para todo n N implica d(x n, a) < ε. Para indicar que a sequência (x n ) n N converge para a vai ser utilizado alguma das seguintes notações: lim x n = a ou lim x n = a ou x n a n Note que é possível caracterizar a convergência de uma sequência por bolas abertas. Teorema 2.2.1. Seja uma sequência (x n ) n N em um espaço métrico M. A sequência (x n ) n N converge para a M se, e somente se, para toda bola B(a; ε), fixada arbitrariamente, existe N N tal que, para todo n N implica x n B(a; ε). Demonstração. ( ) Seja (x n ) n N uma sequência em um espaço métrico M, de modo que (x n ) n N converge para a M se dado ε > 0, arbitrário, existe N N tal que para todo n N implica d(x n, a) < ε. Considere a bola B(a; ε) = {x M; d(x, a) < ε} em M. Como d(x n, a) < ε, então x n B(a; ε). ( ) Do mesmo modo, seja B(a; ε) uma bola em M, com ε > 0 e fixado a em M. Considere a sequência (x n ) n N em M tal que para n N tem-se x n B(a; ε). O teorema abaixo fala sobre a unicidade do limite de uma sequência, isto é, se uma sequência converge para um ponto, esse ponto é único. Teorema 2.2.2 (Unicidade do Limite). Sejam M um espaço métrico e (x n ) n N uma sequência em M. Se existe lim x n, então ele é único. Demonstração. Suponha, por absurdo, que (x n ) n N possua dois limites distintos em M, isto é, lim x n = a e lim x n = b, com a b, a, b M. Pela definição de convergência de uma sequência existem N 1, N 2 N, de modo que, para todo n N 1 e todo n N 2 tenha-se, respectivamente, d(x n, a) < ε e d(x n, b) < ε. Assim, para k max{n 1, N 2 } tem-se d(x k, a) < ε e d(x k, b) < ε.

Capítulo 2. Preliminares 22 Logo, d(a, b) d(a, x k ) + d(x k, b) < ε + ε = 2ε. Então, tome ε = 1 d(a, b), com isso tem-se d(a, b) < d(a, b), mas isso é um absurdo. Portanto, 2 conclui-se que a = b, isto é, que o limite da sequência (x n ) n N é único. As sequências de Cauchy são conhecidas da analise real, tal conceito também é definido para espaços métricos, tornando-se de grande valia para construir algumas definições sobre espaços métricos completos, que será visto mais a frente. Definição 2.2.14 (Sequência de Cauchy). Seja (x n ) n N uma sequência em um espaço métrico M. Diz-se que (x n ) n N é uma sequência de Cauchy se dado ε > 0 existe N N tal que, para todo m, n N implica d(x m, x n ) < ε. Se uma sequência converge em um espaço métrico, então essa sequência é de Cauchy, isto é, essa sequência satisfaz as condições expostas na definição 2.2.14. Teorema 2.2.3. Se (x n ) x N é uma sequência convergente em um espaço métrico M, então (x n ) x N é de Cauchy. Demonstração. Por hipótese (x n ) x N converge no espaço métrico para algum a M, então para todo ε > 0 existe N N tal que d(x n, a) < ε, para todo n N. 2 Logo, para m, n N tem-se d(x m, x n ) d(x m, a) + d(a, x m ) < ε 2 + ε 2 = ε. Cauchy. convergente? Assim, d(x m, x n ) < ε para todo m, n N e, portanto, a sequência (x n ) n N é de A reciproca do teorema anterior é verdadeira? Isto é, toda sequência de Cauchy é Note que reciproca não é verdadeira, como contra-exemplo tome a sequência (( 1) n ) n N em R, com a métrica usual, (( 1) n ) n N é de Cauchy. De fato, para ε > 0, existe um N N, tal que para m, n N tem-se

Capítulo 2. Preliminares 23 Assim, tomando ε > 2, tem-se Portanto (( 1) n ) n N é de Cauchy. ( 1) m ( 1) n ( 1) m + ( 1) n = 1 + 1 = 2. ( 1) m ( 1) n < ε. Note que (( 1) n ) n N = {1, 1, 1, 1,, ( 1) n, }, isto é, para n impar a sequência converge para 1, porém para n par converge a 1, logo possui dois limites diferentes, o que implica (( 1) n ) n N não ser convergente. Definição 2.2.15 (Espaço Métrico Completo). Seja M um espaço métrico. Diz-se que M é completo se toda sequência de Cauchy desse espaço for convergente para um ponto de M. É possível caracterizar o fecho através de sequências. Conforme teorema abaixo. Teorema 2.2.4. Sejam M um espaço métrico e F um subconjunto, não vazio, de M. Então x F se, e somente se, existe uma sequência (x n ) n N em F tal que x n x. Demonstração. ( ) Por hipótese x F, isto é, que x F F. Se x( F, basta considerar a sequência (x n ) n N F tal que x n = x. Se x F, para n natural, B x; 1 ) F, então ( n pode-se considerar (x n ) n N F tal que a partir de n N, x n B x; 1 ). n Observe que quando n, 1 n 0, isto implica que x n x. ( ) Por outro lado, se (x n ) n N é uma sequência em F, com x n x, então para todo ε > 0 existe n N, implica x n B(x, ε), logo, B(x, ε) F, portanto x é ponto de aderência a F em M. 2.2.2 Limite de Funções e Continuidade Em análise real e no cálculo diferencial são vistas algumas, se não várias, propriedades sobre limites e continuidade de funções, em que é estudado o comportamento de uma função. Dizer que uma função f(x) possui b como limite quando x aproxima-se a a, é dizer, em outras palavras, que para valores de x suficientemente próximos de a a função f(x) torna-se suficientemente próxima de b.

Capítulo 2. Preliminares 24 Definição 2.2.16 (Limite). Sejam (M, d 1 ) e (N, d 2 ) espaços métricos, X M e a M um ponto de acumulação de X. Dada uma função f : X N diz-se que f(x) tem limite b, se para todo ε > 0 existir δ > 0 tal que para cada x X\{a} tenha-se d 1 (x, a) < δ implica d 2 (f(x), b) < ε. Denota-se isso por lim f(x) = b. x a Note que as métricas nos espaços M e N, citados acima, podem ser métricas distintas. Por questões de praticidade, mais adiante é representado por d as métricas d 1 e d 2, e ainda, quando for dito os espaços métricos M e N subentenda os espaços métricos (M, d 1 ) e (N, d 2 ). O limite de uma sequência, se existir, é único. E para o limite de funções? O teorema abaixo esclarece esse fato. Teorema 2.2.5 (Unicidade do Limite). Sejam M e N espaços métricos, X M e a X. Dada uma função f : X N tal que, se lim x a f(x) = b e lim x a f(x) = c, então b = c. Demonstração. Por hipótese lim f(x) = b e lim f(x) = c, então por definição, dado ε > 0 x a x a existem δ 1 > 0 e δ 2 > 0 de modo que d(x, a) < δ 1 implica d(f(x), b) < ε 2, d(x, a) < δ 2 implica d(f(x), c) < ε 2. Seja δ = min{δ 1, δ 2 }. Logo, se x 0 X\{a} e d(x 0, a) < δ tem-se d(f(x 0 ), b) < ε 2 e d(f(x 0), c) < ε 2. Assim, d(b, c) d(b, f(x 0 )) + d(f(x 0 ), c) < ε 2 + ε 2 = ε. Portanto, como está sendo considerando um ε > 0 qualquer, conclui-se que d(b, c) = 0, então b = c. Exemplo 2.2.4. Sejam as funções f : R\{0} R e g : R\{1} R definidas por: Note que, em f para x 0, tem-se f(x) = x2 + cx x e g(x) = x2 1 x 1. f(x) = x2 + cx x = x(x + c) x = x + c.

Capítulo 2. Preliminares 25 Também, em g, para x 1, tem-se g(x) = x2 1 x 1 = (x 1)(x + 1) x 1 = x + 1. Logo, lim f(x) x 0 = c, (2.1) e lim g(x) = 2. (2.2) x 1 Agora resta monstrar que os limites expostos em (2.1) e (2.2) são verdadeiros, isto é, que satisfazem a definição (2.2.16). Para isso considere a métrica usual de R, então para todo ε 1 e ε 2 maiores que zero, existem δ 1 e δ 2 tal que, Em (2.1), tem-se x a < δ 1 implica x 0 = x < δ 1. Logo, Tomando ε 1 = δ 1, tem-se f(x) b = x + c c = x < δ 1. f(x) b < ε 1. Do mesmo modo, em (2.2) tem-se x a < δ 2 implica x 1 < δ 2. Logo, Tomando ε 2 = δ 2, tem-se g(x) b = x + 1 2 = x 1 < δ 2. g(x) b < ε 2. Portanto, lim x 0 f(x) = c e lim x 1 g(x) = 2. Segue abaixo em termos de espaços métricos a definição de continuidade. Definição 2.2.17 (Continuidade). Sejam M e N espaços métricos. Diz-se que uma função f : M N é contínua no ponto a M, quando para todo ε > 0 for possível exibir δ > 0 de modo que, para todo x M com d(x, a) < δ implique d(f(x), f(a)) < ε.

Capítulo 2. Preliminares 26 Quando f for contínua em todo ponto a M diz-se que f é contínua em M. Uma função f é dita descontínua no ponto a se não for contínua nesse ponto. Exemplo 2.2.5. Sejam M e N espaços métricos. A aplicação f : M N definida por f(x) = c é contínua. A função f será continua em a M se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, para todo x M com d(x, a) < δ implique d(f(x), f(a)) < ε. Observe que f(x) = c, para qualquer x M, isto é, f(x) = f(a) = c, o que implica d(f(x), f(a)) = d(c, c) = 0 < ε. Como a é um elemento qualquer em M, logo f é contínua em M. O exemplo anterior nos mostra que as aplicações constantes são contínuas. É possível caracterizar a continuidade de uma função por sequências. Teorema 2.2.6. Sejam M e N espaços métricos. A função f : M N é contínua no ponto x 0 M se, e somente se, para qualquer sequência (x n ) n N em M, com x n x 0, tem-se f(x n ) f(x 0 ). Demonstração. ( ) Seja f uma função contínua no ponto x 0, então, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, d(f(x), f(x 0 )) < ε sempre que ocorrer d(x, x 0 ) < δ. Por hipótese x n x 0, então, a partir de δ, obtém-se um N N tal que, para todo n N, tem-se d(x n, x 0 ) < δ o que implica d(f(x n ), f(x 0 )) < ε. Nesta condições lim f(x n ) = f(x 0 ), isto é, f(x n ) f(x 0 ). ( ) Reciprocamente, por hipótese, sabe-se que f(x n ) f(x 0 ) para qualquer sequência (x n ) n N em M, em que x n x 0. Suponha, por absurdo, que a função f não seja contínua no ponto x 0, ou seja, existe ε > 0, de modo que, para todo n N, pode-se encontrar x n M, tal que d(x n, x 0 ) < δ n = d(f(x n ), f(x 0 )) ɛ.

Capítulo 2. Preliminares 27 Tome δ n = 1 n, então quando n, tem-se x n x 0, porém, sem f(x n ) convergir para f(x 0 ). Absurdo, pois isso contradiz o fato de f(x n ) f(x 0 ). Portanto, f é contínua em x 0. 2.3 Espaços normados Nesta seção explana-se a definição de norma, algumas propriedades e teoremas importantes sobre espaços vetoriais normados. Definição 2.3.1 (Norma). Seja E um espaço vetorial qualquer, não vazio. Uma norma sobre E é uma função que a cada número x V associa um número real x, isto é, : E R x x satisfazendo, para todo x, y E e todo escalar α, as seguintes propriedades: i) x 0, e quando x = 0 x = 0; ii) α u = α x ; iii) x + y x + y (desigualdade triangular). Um espaço vetorial munido com uma norma é dito espaço vetorial normado, ou apenas espaço normado e representado por (E, ). Exemplo 2.3.1. O conjunto dos números reais é um espaço normado munido da norma, também conhecida como módulo. O conjunto dos números reais R é um corpo, então o mesmo é um espaço vetorial, considerando a adição e multiplicação por escalar usual. Para mostrar que (R, ) é espaço normado, basta mostra que é uma norma definida sobre R. Sabe-se de antemão que as propriedades de módulo satisfazem as condições exposta na definição 2.3.1. Logo, o par (R, ) é um espaço normado. Qualquer espaço normado (E, ) pode tornar-se um espaço métrico considerando a função d : E E R, definida como d(x, y) = x y, para todo x, y E. De fato, para isso d deve satisfaz os quatro axiomas de métrica, então, para todo x, y, z E, Do axioma i) de norma resulta que d(x, y) = x y 0 assim, d(x, y) 0. E ainda, d(x, y) = 0 x y = 0 x y = 0 x = y

Capítulo 2. Preliminares 28 Logo, d(x, y) = 0 se, e somente se x = y. A partir do axioma ii) de norma, tem-se d(x, y) = x y = ( 1)(y x) = 1 y x = y x = d(y, x) O que implica, d(x, y) = d(y, x). Pelo axioma iii) de norma tem-se d(x, z) = x z = x y + y z x y + y z = d(x, y) + d(y, z) Logo, d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Portanto, d é uma métrica sobre E. Assim, (E, d) é um espaço métrico, e a métrica d é conhecida como métrica induzida pela norma. 2.3.1 Sequências em espaços normados Nesta seção apresenta-se algumas propriedades fundamentais de sequências para espaços normados, como, por exemplo, soma, produto e convergência de sequências em um espaço normado, para isso, utiliza-se a métrica induzida pela norma, isto é, a métrica d(x, y) = x y. Definição 2.3.2. Sejam (x n ) n N e (y n ) n N sequências em um espaço normado E. Chama-se soma de (x n ) n N com (y n ) n N a sequência (z n ) n N em E tal que, z n = x n + y n. Seja (λ n ) n N uma sequência de números em R e (x n ) n N em E. Chama-se produto de (λ n ) n N com (x n ) n N a sequência (w n ) n N em E tal que, w n = λ n x n. Sabe-se que o espaço normado E é munido da norma. Assim, pode-se reescrever a definição de convergência, pagina 21, para espaço normados. Então seja E um espaço normado com a, considere uma sequência (x n ) n N em M. A sequência (x n ) n N converge para a em M se, para todo ε > 0 existe N N tal que, para todo n N implica x n a < ε. Teorema 2.3.1. Sejam (x n ) n N e (y n ) n N sequências convergentes em um espaço normado E e (λ n ) n N uma sequência em R que converge para λ com a norma usual. Então, i) lim(x n + y n ) = lim x n + lim y n ; ii) lim( x n ) = lim x n ; iii) lim(x n y n ) = lim x n lim y n ; iv) lim λ n x n = λ lim x n.

Capítulo 2. Preliminares 29 Demonstração. Sejam lim x n = a, lim y n = b e lim λ n = λ, então i) Dado ε > 0 existem r, s N tais que, x n a < ε 2 y n b < ε 2 para todo n r e, para todo n s. Então, conside k = max{r, s}, logo para todo n k (x n + y n ) (a + b) = (x n a) + (y n b) (x n a) + (y n b) < ε 2 + ε 2 = ε. Daí segue que lim(x n + y n ) = lim x n + lim y n. ii) Sabe-se que lim x n = a, então, dado ε > 0, existe um número natural N, tal que para todo n N x n a < ε = ( 1) x n a < ε = ( 1)(x n a < ε = ( x n ) ( a) < ε. Portanto, lim( x n ) = lim x n. iii) Pelos itens i) e ii), tem-se lim(x n y n ) = lim(x n + ( y n )) = lim x n + lim( y n ) = lim x n lim y n. iv) Por hipótese lim λ n = λ, isto é, dado ε > 0, existe um número natural r tal que, para todo n r, λ n λ < ε. Assim, para λ n = λ n λ + λ λ n λ + λ. Tem-se que, para todo n r, λ n λ n λ + λ < λ + ε.

Capítulo 2. Preliminares 30 Agora, considere k > max{ λ 1, λ 2,... λ n0 1, λ + ε}, o que implica λ n < k. Também, dado ε > 0, tome c > a, existe um natural r tal que para todo n r, λ n λ < ε 2c. (2.3) Por outro lado, lim x n = a, isto é, dado ε > 0, existe um número natural s tal que para todo n s, Então, por (2.3) e (2.4) tem-se, Dai segue que, x n a < ε 2k. (2.4) λ n x n a < λ n ε, para todo n s e, 2k λ n λ a < ε a, para todo n r. 2c λ n x n λa = λ n x n λ n a + λ n a λa = λ n (x n a) + (λ n λ)a λ n (x n a) + (λ n λ)a = λ n x n a + λ n λ a. Tomando m = max{r, s} resulta que, λ n x n λa λ n x n a + λ n λ a < < ε 2c a + λ n ε 2k 2 + ε 2 = ε. Portanto, está provado que lim λ n x n = λ lim x n. Considere o espaço normado E com d(x, y) = x y, para x, y E. Tome a sequência (x n ) n N em E. Defini-se uma sequência de Cauchy em E como segue: para todo ε > 0 existe um N N tal que, d(x m, x n ) = x m x n < ε, para todo m, n N. Assim, pode-se expressar as sequências de Cauchy pela norma definida em E. Se, nesse mesmo espaço, toda sequência de Cauchy for convergente para um ponto em E, diz-se que E é um espaço de Banach.

Capítulo 2. Preliminares 31 2.4 Supremos e Ínfimos Em análise é comum estudar conceitos, e propriedades, a cerca de subconjunto não vazios limitados superiormente, do mesmo modo, conceitos e propriedades relativas a subconjuntos não vazios limitados inferiormente. Definição 2.4.1 (Cota Inferior e Superior). Seja M um subconjunto qualquer de R. Diz-se que um elemento b R é cota superior de M se, para todo x M, tiver x b. Do mesmo modo, a R é cota inferior de M se tiver a x para todo x M. O conjunto M R é dito limitado quando possuir cota inferior e cota superior. Se M = [0, 1) então pode-se determinar a cota superior e inferior, porém M possui inúmeras cotas superiores e inferiores, isto é, 1 é uma cota superior, mas 2 também, e assim sucessivamente. Do mesmo modo, M possui inúmeras cotas inferiores. Em alguns casos, M pode não admitir cota superior ou inferior, ou ambas, por exemplo, o conjunto dos números inteiros, que não possui cota superior e nem cota inferior. Quando o conjunto for limitado superiormente e/ou inferiormente pode-se estudar dentre todas as cotas qual é a menor das cotas superiores, se for cotado superiormente, e se for cotado inferiormente, qual a maior das cotas inferiores. Definição 2.4.2 (Supremo). Seja M um subconjunto de R, não vazio, limitado superiormente. Um número real b é o supremo de um subconjunto M de R se: i) x b para todo x M. ii) um número real α é tal que x α, para todo x M, então b α. O supremo do conjunto M é denotado por sup(m). Do mesmo modo, Definição 2.4.3 (Ínfimo). Seja M um subconjunto de R, não vazio, limitado inferiormente. Um número real a é o ínfimo de um subconjunto M de R se: i) a x para todo x M. ii) um número real β é tal que β x, para todo x M, então β a. O ínfimo do conjunto M é denotado por inf(m). Exemplo 2.4.1. O conjunto dos números naturais N R possui ínfimo, porém não é limitado superiormente.

Capítulo 2. Preliminares 32 Seja N = {0, 1, 2,, n, } o conjunto dos números naturais, quer-se mostrar que N possui ínfimo. Observe que 0 é uma cota inferior de N, pois 0 n, para todo n N. Considere β de modo que β n, para todo n N, então β n 0 n, que implica β n n = β 2n para todo n N. Note que para n 1 o número β não é cota inferior, ou seja, para algum n natural pode acontecer n β, mas por construção β n, tal igualdade só ocorre se n = 0, assim, β 0. Logo, 0 é a menor das cotas inferiores, isto é, 0 = inf N. Agora, para verificar que os números naturais não é limitados superiormente, basta supor que exista um limitado superior e chegar em uma contradição. Seja b um limitante superior de N, então N possui supremo, considere b = sup N, isto é, n b, para todo n N. Então b 1 não e cota superior de N, isto é, existe um número natural n com b 1 < n, o que implica, b < n + 1, isto é, n + 1 é uma cota superior que supera b, logo b não é limitante superior de N. Isso gera uma contradição, portanto N não possui um limitante superior. 2.5 Transformações Lineares Em espaços vetoriais uma função é dita transformação linear se preservar as operações de soma de vetores e produto de vetor por escalar. Definição 2.5.1. Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K. Uma função T : D(T ) V W é dita transformação linear se, para quaisquer x, y V e α K, satisfaz: i) T (x + y) = T (x) + T (y); ii) T (αx) = α T (x). Note que, o domínio da transformação linear D(T ) é subespaço vetorial e a imagem Im(T) é um subespaço vetorial de W.

Capítulo 2. Preliminares 33 2.5.1 Transformações Limitadas A seguir está definido transformações lineares limitadas, em espaços normados, e a partir dessa definição construí-se duas formas alternativas de normas através de supremos. Definição 2.5.2. Sejam E e F espaços normados e T : D(T ) E F uma transformação linear. Dize-se que T é uma transformação linear limitada se existe um número real c > 0, tal que, para todo x D(T ), tem-se T (x) F c x E com F uma norma do espaço F e E uma norma do espaço E. Da definição anterior, considere x 0 e suponha que existe um c > 0, tal que, para todo x D(T )\{0}, tem-se T (x) F c x E. O que implica, T (x) F x E c, para todo x D(T )\{0}. Considere um conjunto A tal que, { } T (x) F A = sup, x D(T )\{0} x E Assim, A é limitado, então existe o supremo de A. Seja { } T (x) F T := sup, x D(T )\{0}, (2.5) x E então, T (x) F x E T, para todo x D(T )\{0}. Logo, T (x) F T x E. (2.6)

Capítulo 2. Preliminares 34 Por (2.5), tem-se T = T (x) F sup (2.7) x D(T ) x E x 0 O teorema abaixo fala sobre duas formas alternativas de representar uma norma através do supremo, isto é, Teorema 2.5.1. Sejam E e F espaços normados e T : D(T ) E F uma transformação linear limitada, então: i) A expressão: define uma norma. T = ii) Uma fórmula alternativa para norma é Demonstração. T = T (x) F sup (2.8) x D(T ) x E x 0 sup x D(T ) x E =1 T (x) F. (2.9) i) Para (2.8) definir uma norma deve-se verificar se são satisfeitas os axiomas de norma, assim, para cada transformação linear limitada T 1 e T 2 e todo α K. Suponha, por absurdo, que T 1 < 0, então T 1 (x) F T 1 (x) F sup < 0. x E x D(T 1 ) x E x 0 Assim, T 1 (x) F < 0 e x E > 0, ou T 1 (x) F > 0 e x E < 0. O que é uma contradição, já que a norma é sempre um número real positivo, dai conclui-se que T 1 0.

Capítulo 2. Preliminares 35 Se para todo x D(T 1 )\{0}, tem-se T 1 = T 1 (x) F sup = 0 se, e somente se, T 1 (x) = 0, x D(T 1 )\{0} x D(T 1 ) x E x 0 T 1 é a transformação nula. Também, αt 1 = αt 1 (x) F sup x D(T 1 ) x E x 0 = sup x D(T 1 ) x 0 α T 1(x) F x E T 1 (x) F = α sup, x D(T 1 ) x E x E =1 pois α > 0, logo, αt 1 = α T 1, finalmente, tem-se T 1 + T 2 = (T 1 + T 2 )(x) F sup x D(T 1 +T 2 ) x E x 0 = sup x D(T 1 +T 2 ) x 0 sup x D(T 1 +T 2 ) x 0 T 1 (x) + T 2 (x) F x E { T1 (x) F x E = sup x D(T 1 ) x 0 T 1 (x) F = T 1 + T 2. x E + sup x D(T 2 ) x 0 + T 2(x) F x E } T 2 (x) F x E ii) Seja x E, defina x = a e y = 1 x, com x 0, então a y = 1 a x = 1 a x = 1 a a = 1. Assim, para todo x D(T ) \ {0}, pela definição de norma e por ser T uma transformação

Capítulo 2. Preliminares 36 linear, tem-se de (2.7) que onde y = 1 x E x. T = T (x) F sup x D(T ) x E x 0 = sup x D(T ) x 0 = sup x D(T ) x 0 = sup y D(T ) y E =1 Trocando x por y a direita em (2.10) prova-se (2.9). 1 x E T (x) F ( 1 F x) T x E T (y) F (2.10) 2.5.2 Transformações Contínuas Nesta seção fala-se sobre transformações lineares que são contínuas. Teorema 2.5.2. Sejam E e F espaços normados. Seja T : D(T ) E F uma transformação linear, então: i) Se T é contínua em um único ponto, então T é contínua. ii) T é continua se, e somente se, T é limitada. Demonstração. i) Como T é contínua em a D(T ) então para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que x a < δ implica T (x) T (a) < ε. Considere b D(T ), quer-se mostrar que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que De fato, x b < δ implica T (x) T (b) < ε. T (x) T (b) = T (x) T (a) + T (a) T (b) T (x) T (a) + T (b) T (a) < ε 2 + ε 2 = ε.

Capítulo 2. Preliminares 37 ii) ( ) Como T é contínua em particular T é contínua em 0. Fazendo ε = 1, existe δ > 0 tal que se x D(T ), então x < δ implica T (x) < 1. Seja 0 < λ < δ fixo. Dado x D(T ) \ {0}, considere y = λ x. Note que x y = λ x x, logo, T (y) < 1, disso segue que ( T λ x ) < 1 λ x x T (x) < 1 T (x) < 1 λ x. Fazendo c = 1 λ tem-se que T (x) c x, para todo x D(T ). ( ) Reciprocamente, se T = 0 então T é contínua (trivial). Suponha T 0, como T é limitada, tem-se T (x) T (a) = T (x a) T x a, para todo x D(T ). Dado ε > 0, defina δ = ε. Note que se a D(T ) tal que T x a < δ implica T (x) T (a) < ε. Como a D(T ) é arbitrário, então T é contínua em todo ponto do domínio. Note que uma função é dita contínua se é contínua em todo ponto do domínio, porém, se essa função for uma transformação linear, então basta mostrar à continuidade em um único ponto, que a função será contínua em todo domínio. Seja T uma transformação linear limitada e (x n ) n N uma sequência em D(T ). Considere x em D(T ). Se x n x então T (x n ) T (x). De fato, seja uma sequência (x n ) n N de pontos em D(T ) que converge para x em D(T ). Como T é uma transformação linear limitada, o teorema acima, garante que T e contínua. Assim, pelo teorema 2.2.6, tem-se que T (x n ) T (x). É possível obter transformações lineares iguais, porém para isso devem ser satisfeitas algumas condições. Definição 2.5.3. Sejam E e F espaços normados, e as transformações lineares T 1 : D(T 1 ) E F e T 2 : D(T 2 ) E F. Dize-se que as transformações lineares T 1 e T 2 são iguais, se D(T 1 ) = D(T 2 ) e se T 1 (x) = T 2 (x), para todo x D(T 1 ).

Capítulo 2. Preliminares 38 Defini-se abaixo extensão de uma transformação linear, ou simplesmente, extensão linear. Definição 2.5.4. Sejam V e W espaços vetoriais e T : D(T ) V W uma transformação linear. Chama-se extensão de T a função T : V W tal que, T (x) = T (x), para todo x D(T ). Nestas condições, tem-se teoria suficiente para demonstrar o Lema sobre a extensão de uma transformação linear limitada, que é de grande importância para demonstrar a versão real do Teorema de Hahn-Banach. O Lema fala sobre uma transformação linear limitada, cujo domínio está no espaço normado e imagem em um espaço de Banach, possui uma extensão linear que é uma transformação linear limitada. Definição 2.5.5. Seja E um espaço normado. Diz-se que E é um espaço de Banach se ele é completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em E é convergente em E. Lema 2.5.1 (Extensão de uma transformação limitada). Sejam E um espaço normado e F um espaço de Banach. Considere uma transformação linear limitada T : D(T ) E F. (2.11) Então T possui uma extensão linear T : D(T ) F (2.12) tal que, T é uma transformação linear limitada de norma T = T. Demonstração. Por hipótese E é um espaço normado e F um espaço de Banach. Dada uma transformação linear limitada T : D(T ) E F, então T (x) T x. Com isso, deve-se mostrar que T possui uma extensão linear T, de função T : D(T ) F, e ainda, que a extensão T é uma transformação linear limitada de norma T = T. A demostração esta dividida em três partes: a existência de uma extensão linear T de T, T é uma transformação linear limitada e T tem norma T = T. Considere x D(T ), então existe (x n ) n N em D(T ) tal que x n converge para x, como (x n ) n N converge então (x n ) n N é de Cauchy, logo dado ε > 0, existe N N tal que, x n x < ε, para todo n N. 2 T

Capítulo 2. Preliminares 39 Como por hipótese T é uma transformação linear limitada, tomando m, n N, tem-se T (x m ) T (x n ) T x m x n = T x m x n x + x T ( x m x + x n x ) ( ε < T 2 T + ε ) 2 T = T ε T = ε. Portanto, conclui-se que a sequência (T (x n )) n N é de Cauchy em F. Como F é completo então a sequência (T (x n )) n N converge em F, logo, existe um y F de maneira que T (x n ) y em F. Defina T (x) = y. Observe que está definição não depende da escolha da sequência em D(T ) que converge para x. De fato, suponha x n, z m D(T ), são tais que x n x e z m x. Sejam y, z F tais que T (x n ) y e T (z m ) z. Logo, y z = y T (x n ) + T (x n ) T (z m ) + T (z m ) z T (x n ) y + T (x n ) T (z m ) + T (z m ) z T (x n ) y + T x n z m + T (z m ) z. (2.13) Observe que quando m, n, (2.13) converge para zero. Assim, as sequências (T (x n )) n N e (T (z m )) n N convergem para o mesmo ponto. Isto mostra que a transformação linear T é unicamente definida para cada x D(T ). Como T é linear então T é linear, para mostrar isso lembre-se que se x D(T ), existe uma sequência (x n ) n N em D(T ) tal que x n converge para x, o que implica T (x n ) T (x) e se x / D(T ), existe y F tal que T (x n ) y. Assim, pode-se definir T como De modo que, T : D(T ) F x T (x) := x z T (z) := z (x + z) T (x + z) := w. T (x) = lim T (x n ), com x n x, n T (z) = lim T (z n ), com z n z, n T (x + y) = lim T (w n ), com w n x + z. n

Capítulo 2. Preliminares 40 Logo, tem-se lim w n = x + y n = lim x n + lim n = lim (x n + y n ). n Assim, pela continuidade e linearidade de T tem-se Considere agora α K, então n z n T (x + y) = lim T (w n ) n ( ) = T lim n n ( ) = T lim n + z n ) n = lim T (x n + y n ) n = lim (T (x n ) + T (z n )) n = lim T (x n ) + lim T (z n ) n n = T (x) + T (z). T (αx) = lim T (αx n ) n = α lim T (x n ) n = αx = α T (x). Assim, T é linear. Como x D(T ), tome x n = x, com x n x, então T (x) = lim n T (x n ) = lim n T (x) = T (x), então T é uma extensão linear de T. Agora, como T é uma transformação linear limitada, tem-se T (x n ) T x n. Além disso, x n x e T (x n ) y = T (x) quando n e sendo a norma uma função contínua, tem-se T (x) = lim T (x n ) n = lim T (x n ) n lim T x n n T (x) x T.

Capítulo 2. Preliminares 41 E sendo a norma definida por um supremo, pelo item i) do teorema 2.5.1, decorre que T = sup T (x) x D(T ) x x 0 T. O que implica, T T. (2.14) Logo, T é limitada e T T. Por outro lado, tem-se T = sup T (x) x D(T ) x x 0 sup T (x) x D(T ) x x 0 T (x) = sup x D(T ) x x 0 = T. Portanto, T = T. Definição 2.5.6 (Funcional Linear). Seja V um espaço vetorial, sobre um corpo K. Um funcional linear f é uma transformação linear com domínio no espaço vetorial V e imagens no corpo de escalares K, ou seja, é uma função f : D(f) V K. 2.6 Lema de Zorn Nesta seção apresenta-se o Lema de Zorn. Para enunciar o Lema de Zorn é preciso definir relação ordem, surgindo, assim, a seguinte pergunta: o que é uma relação de ordem em um conjunto? Uma relação de ordem em um conjunto é uma relação binária que compara dois elementos deste conjunto, de tal maneira que, esses elementos, com essa comparação, satisfazem algumas condições. Conforme definição abaixo. Definição 2.6.1 (Relação de ordem). Uma relação sobre um conjunto M, não vazio, é dita relação de ordem se para cada dois elementos de M a relação binária que está escrita por satisfaz as seguintes condições: 1. x x para todo x M (Propriedade Reflexiva); 2. se x y e y x, então x = y, para algum x, y M (Propriedade Antissimétrica); 3. se x y e y z, então x z para para algum x, y, z M (Propriedade Transitiva). Nestas condições, se x y ou y x diz-se que x e y são comparáveis, caso contrário, x e y são ditos incomparáveis. Agora é sabido o que é uma relação de ordem em um conjunto, porém essa relação de ordem pode ser total sobre esse conjunto, isto é,

Capítulo 2. Preliminares 42 Definição 2.6.2 (Conjunto Totalmente Ordenado). Seja M um conjunto não vazio. Diz-se que M é totalmente ordenado, se para quaisquer x, y M, tem-se alguma das seguintes afirmações: x y ou y x. Isto é, M é totalmente ordenado se conseguirmos mostrar que quaisquer dois elementos de M são comparáveis. Definição 2.6.3 (Conjunto Parcialmente Ordenado). Um conjunto não vazio M é dito parcialmente ordenado se possui um subconjunto próprio totalmente ordenado, isto é, W M. Definição 2.6.4 (Cota superior). Sejam M um conjunto parcialmente ordenado e W subconjunto de M. Uma cota superior de W é um elemento u M tal que x u, para todo x W. Agora, com a definição de cota superior, é possível definir elemento maximal em um subconjunto, totalmente ordenado, de um conjunto parcialmente ordenado. Definição 2.6.5 (Elemento maximal). Sejam M um conjunto parcialmente ordenado. Diz-se que m M é um elemento maximal M só se, para todo m 0 M tem-se m m 0 implicar m 0 = m. Observe que M pode ou não conter um elemento maximal, isto é, que um elemento maximal não precisa ser uma cota superior. Nestas condições, pode-se enunciar o Lema de Zorn. Lema 2.6.1 (Lema de Zorn). Seja M um conjunto, não vazio, parcialmente ordenado. Suponha que, em M, todo subconjunto C totalmente ordenado tenha uma cota superior. Então M tem pelo menos um elemento maximal. Segundo Kreyszig (1989, p. 211) Lema de Zorn é denominado lema por motivos históricos, e ainda, Santos (2014) afirma que o Lema de Zorn é equivalente ao Axioma da Escolha, que diz, em palavras, que é possível sempre realizar um número infinito de escolhas, mesmo sem propriedades relativas a definição de função escolha. Ou ainda, em termos de função escolha, que o axioma da escolha garante que cada conjunto assuma uma função escolha.

43 3 Teorema de Hahn-Banach A principal ferramenta da Análise Funcional moderna é o Teorema de Hahn-Banach (TH-B). Segundo Narici e Beckenstein (1997), sem o TH-B a Análise Funcional teria uma estrutura muito diferente da conhecida atualmente. Seu impacto pode ser medido observando-se as suas diversas aplicações em várias áreas da matemática, tais como Programação Convexa, Equações Diferenciais Parciais, Teoria do Controle, Análise Combinatória, (Narici e Beckenstein (1997) e Gowers (2010)). Seu alcance ultrapassa as fronteiras da matemática como, por exemplo, aplicações à Termodinâmica e à Economia (veja Feinberg e Lavine (1983) e Velupillai (2014)). Em termos gerais, o TH-B versa sobre a extensão de funcionais lineares definidos num subespaço, a todo o espaço vetorial. Em sua versão para espaços vetoriais normados, o TH-B garante, não de modo único, a existência de extensão de um funcional linear contínuo de tal forma que a linearidade, a continuidade e até mesmo a norma são preservadas. A versão complexa do TH-B surgiu aproximadamente dez anos após a versão real. No caso real, o resultado é devido ao matemático Hans Hahn, em publicação de 1927. Uma forma mais geral, para funcionais lineares em espaços normados foi publicada por Stefan Banach em 1929, curiosamente sem o conhecimento do trabalho de Hahn. O caso complexo foi demonstrado primeiramente para espaços L p, p > 1, pelo matemático F. Murray em 1936 e o caso geral foi demonstrado de forma independente em dois trabalhos, um de G. A. Soukhomlinov, outro de H. F. Bohnenblust e A. Sóbczyk, ambos publicados em 1938. No entanto, uma caso especial do TH-B já havia sido provado pelo matemático Eduard Helly em 1922. Uma descrição do atual TH-B e generalizações podem ser encontradas em Buskes (1993). O estudo e demonstração do Teorema de Hahn-Banach nesse capitulo tem por referências Machado (2012) e Kreyszig (1989). 3.1 Versão para Espaços Vetoriais Reais Nesta seção apresenta-se a demonstração do Teorema de Hahn Banach para espaços vetoriais reais, também conhecido como teorema de extensão de funcionais lineares.