Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Departamento de Engenharia de Estruturas NOTAS DE AULA Análise Estrutural I Estudo das Grelhas Isostáticas Autor Prof. Estevão Bicalho Pinto Rodrigues Segunda Edição Ano 2006
ESTUDO DAS GRELHAS ISOSTÁTICAS 1-) GENERALIDADES 1.1- Equações de Equilíbrio de um Sistema de Forças no Espaço Dado um sistema de eixos X, Y e Z, sabemos que um sistema de forças no espaço está em equilíbrio quando a resultante das forças é nula e o momento resultante também é nulo. r r Vetorialmente, teremos: F = 0 e M = 0. Se, entretanto, escrevermos as equações das componentes dos vetores segundo os eixos X, Y e Z, teremos: ΣF X = 0 ΣM X = 0 ΣF Y = 0 e ΣM Y = 0 ΣF Z = 0 ΣM Z = 0 1.2- Sistema de Forças Paralelas no Espaço Seja, agora, um sistema de forças paralelas ao eixo OZ (ver Figura 1). 2
Neste caso, as equações ΣF X = 0 e ΣF Y = 0 se transformam em meras identidades (0=0) pois as forças não tem componentes segundo os eixos X e Y. Além disso, a equação ΣM Z = 0 também se transforma em identidade pois as forças, sendo paralelas ao eixo OZ, não dão momento em relação a este eixo. Logo, ficam válidas as equações restantes, a saber: ΣF Z = 0 ΣM X = 0 ΣM Y = 0 2-) GRELHAS 2.1 Definição Grelha é uma estrutura plana, submetida a um carregamento perpendicular a este seu plano. Admitindo-se o plano XY como sendo o plano da grelha, as cargas terão todas a direção Z. Neste caso, as equações de equilíbrio serão: ΣF Z = 0 ΣM X = 0 ΣM Y = 0 Logo, uma grelha será isostática quando ela possuir apenas 3 vínculos externos (3 incógnitas a determinar). 2.2 Grelhas Isostáticas Os tipos mais comuns de grelhas isostáticas são as indicadas abaixo: 3
a-) GRELHA ENGASTADA Trata-se de uma grelha com 1 apoio engastado e os demais nós livres, cujas reações de apoio (V AZ, M AX e M AY ) são obtidas através das equações de equilíbrio citadas no item 2.1. b-) GRELHA SOBRE 3 APOIOS Nesta grelha, as reações de apoio (VA, VC e VD) são obtidas através das equações de equilíbrio citadas no item 2.1. Entretanto, os 3 apoios NÃO PODEM estar sobre a mesma reta pois, neste caso, teremos uma forma crítica, uma vez que a grelha não resistirá às forças verticais que não estiverem sobre a reta que une os 3 apoios. 4
2.3 Esforços Solicitantes na Grelha Dada uma grelha no plano XY, se nós reduzirmos as forças atuantes em um dos lados da seção genérica S de uma barra ao seu centro de gravidade, obteremos a força cortante Q (que é perpendicular ao plano XY da grelha) e o momento m, situado no plano XY. Este momento m r, que tem direção genérica, sempre poderá ser decomposto em uma componente T r na direção da barra (que dará torção nesta barra), e em uma componente M r, perpendicular ao eixo da barra (que produzirá flexão da barra no plano perpendicular ao da grelha). Logo, os esforços solicitantes que atuam na grelha são a força cortante Q, o momento torsor T e o momento fletor M. OBSERVAÇÃO: No caso de uma estrutura plana ser submetida a um carregamento oblíquo ao seu plano, ele deverá ser decomposto em 2 carregamentos, sendo 1 perpendicular ao seu plano e o outro em seu próprio plano. Para o carregamento perpendicular ao plano, a estrutura deverá ser analisada como grelha. Entretanto, para o carregamento em seu próprio plano, ela deverá ser analisada como pórtico plano e necessitará possuir pelo menos três vínculos no próprio plano, para garantir a sua sujeição completa para este carregamento. 5
3-) EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 3.1 Grelha Engastada Para a grelha abaixo, determinar: as reações de apoio, o equilíbrio de barras e nós e os diagramas dos esforços solicitantes a-) reações se apoio * ΣV = 0 * ΣM BC X = 0 V A 2-3*2,5 = 0-9,5*4 + 8 M XA = 0 V A = 9,5 t M XA = -30 tm * ΣM Y AB = 0 M YA 2*2,5 7,5*1,25 = 0 M YA = 14,38 tm b-) equilíbrio de barras e nós 6
b.1 barra BC ΣM XB = 0 M XB = 0 ΣM Y = 0-2*2,5 3*(2,5) 2 /2 + M YB = 0 M YB = 14,38 tm b.2 barra AB (verificação) ΣV = 0 OK ΣM Y = 0 OK ΣM X = -9,5*4 + 8 + 30 = 0 OK c-) diagramas (lado de referência é a face inferior das barras) d-) relatório do Programa INSANE Observação: Nos exemplos apresentados nestas notas de aula, as barras da grelha encontram-se no PLANO XY (eixo Y horizontal, para direita; eixo X vertical, para baixo) conforme indicado nas figuras ilustrando a geometria das grelhas em planta. O carregamento transversal é perpendicular a este plano, ou seja, o carregamento tem a direção do eixo Z. Entretanto, no Programa INSANE, as barras da grelha encontram-se no Plano XZ (eixo X horizontal, para a direita; eixo Z vertical, para cima), e o carregamento transversal é perpendicular a este plano, ou seja, o carregamento tem a direção do eixo Y. 7
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3.2 Grelha sobre 3 Apoios Para a grelha a seguir, determinar: as reações de apoio, o equilíbrio de barras e nós e os diagramas dos esforços solicitantes: a-) reações de apoio * ΣM Y AC = 0-4*V F + 3*3 + 5 + 8*4 = 0 V F = 11,5 t * ΣM X A = 0 11,5*13 8*3 +8*V C 16*4 = 0 V C = -7,688 t * ΣV = 0 V A + 11,5 7,688 16 8 = 0 V A = 20,18 t b-) equilíbrio de barras e nós 11
Decomposição da barra BE 12
b.1 barra DE ΣM Y = 0 3*3 + M EY = 0 M EY = -9 tm ΣM E X = 0 8*3 M EX = 0 M EX = 24 tm b.2 barra EF ΣM Y = 0 M EY = 0 ΣM X E = 0 11,5*7 M EX = 0 M EX = 80,5 tm b.3 barra BE ΣM B X = 0 104,5 + 3,5*3 - M BX = 0 M BX = 115 tm ΣM B Y = 0-3,5*4 + 9 + 5 M BY = 0 M BY = 0 b.4 barra AB ΣM Y = 0 M BY = 0 ΣM X B = 0-20,188*3 + 6*1,5 M BX = 0 M BX = -51,564 tm b.5 barra BC ΣM Y = 0 M BY = 0 ΣM X B = 0-7,688*5 10*2,5 M BX = 0 M BX = -63,44 tm c-) diagramas (lado de referência é a face inferior das barras) d-) relatório do Programa INSANE 13
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