INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/23
7 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS 7.1) Operações Binárias 7.2) Semigrupos 7.3) Produtos e Quocientes de Semigrupos 7.4) Grupos 7.5) Produtos e Quocientes de Grupos Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.2/23
PRODUTOS E QUOCIENTES DE SEMIGRUPOS Modos de obter novos semigrupos a partir de outros existentes. Teorema: Se (S, ) e (T, ) são semigrupos, então: ( S T, ) é um semigrupo com dado por: (s 1, t 1 ) (s 2, t 2 ) = (s 1 s 2, t 1 t 2 ) Prova:?? Corolário: se S e T são monóides com identidades e S e e T : S T é um monóide com identidade (e S, e T ) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.3/23
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA SOBRE SEMIGRUPOS Como um semigrupo não é simplesmente um conjunto: certas relações de equivalência sobre um semigrupo ajudam a conhecer a sua estrutura. Uma relação de equivalência R sobre um semigrupo (S, ) é chamada de Relação de congruência se: a R a e b R b = (a b) R (a b ) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.4/23
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA SOBRE SEMIGRUPOS Exemplo 1(/3): Seja o semigrupo (Z, +), e seja a relação de equivalência R sobre Z: a R b se e somente se 2 divide a b ou: a b (mod 2) sejam: a b (mod 2) e c d (mod 2) então 2 divide tanto a b como c d, de modo que: a b = 2m e c d = 2n (a b) + (c d) = 2m + 2n (a + c) (b + d) = 2(m + n) a + c b + d (mod 2) logo: R é uma relação de congruência. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.5/23
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA SOBRE SEMIGRUPOS Exemplo 2(/3): Seja A = {0, 1}, considere o semigrupo livre (A, ) gerado por A seja a seguinte relação sobre A : α R β sse α e β possuem o mesmo nro de 1s R é uma relação de equivalência: 1. α R α, α A 2. se α R β, α e β têm o mesmo nro de 1s, logo: β R α 3. se α R β e β R γ, tanto α e β como β e γ têm o mesmo nro de 1s, logo: α e γ têm o mesmo nro de 1s e αrγ R também é uma relação de congruência: suponha que temos: α R α e β R β então tanto α e α como β e β possuem o mesmo nro de 1s daí: nro de 1s em α β = nro de 1s em α + nro de 1s em β nro de 1s em α β = número de 1s em α β logo: (α β) R (α β ) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.6/23
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA SOBRE SEMIGRUPOS Exemplo 3(/3): Seja o semigrupo (Z, +), seja: f(x) = x 2 x 2 e seja a relação sobre Z: a R b se e somente se f(a) = f(b) fácil notar que R é uma relação de equivalência sobre Z no entanto, R não é uma relação de congruência sobre Z, pois: 1 R 2 ( f( 1) = f(2) = 0 ) 2 R 3 ( f( 2) = f(3) = 4 ) mas: 3 R/ 5 pois: f( 3) = 10 e f(5) = 18 Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.7/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES Relembrando: a relação de equivalência R sobre o semigrupo (S, ) determina uma partição de S [a] = R(a) é a classe de equivalência que contém a S/R denota o conjunto de todas as classes de equivalência Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.8/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES Teorema: Seja R uma relação de congruência sobre o semigrupo (S, ). E seja a relação, de S/R S/R para S/R, dada por: ([a], [b]) está relacionado com [a b] (a, b S) Então: é uma função de S/R S/R para S/R usual: ([a], [b]) denotado por [a] [b] ou seja: [a] [b] = [a b] (S/R, ) é um semigrupo. Prova: Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.9/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES Prova: suponha que ([a], [b]) = ([a ], [b ]) então a R a e b R b, de modo que: a b R a b (pois R é relação de congruência) portanto [a b] = [a b ] ou seja, é uma função ou seja, é uma operação binária sobre S/R além disto: [a] ([b] [c]) = [a] [b c] = [a (b c)] = [(a b) c)] (associatividade de em S) = [a b] [c] = ([a] [b]) [c] (associatividade de ) portanto, S/R é um semigrupo Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.10/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES S/R: Semigrupo Quociente ou Semigrupo Fator. Note que é uma espécie de relação binária quociente sobre S/R construída a partir da relação binária original sobre S pela relação de congruência R Corolário: Seja R uma relação de congruência sobre o monóide (S, ). Defina a operação em S/R por [a] [b] = [a b]. Então (S/R, ) é um monóide. Prova: Se e é a identidade em (S, ): [e] é a identidade em (S/R, ). Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.11/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES Exemplo: Considere o exemplo já visto: monóide (A, ) gerado por A = {0, 1} R sobre A : α R β sse α e β possuem mesmo nro de 1s Como R é uma relação de congruência sobre S = (A, ): concluímos que (S/R, ) é um monóide, aonde: [α] [β] = [α β] Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.12/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES Exemplo(1/2): Seja a relação sobre o semigrupo (Z, +): a R b sse n (a b) R é uma relação de equivalência escrita como (mod n) assim: 2 6 (mod 4), pois: 4 (2 6) Classes de equivalência determinadas por (mod 4) sobre Z: [0] = {..., 8, 4, 0, 4, 8, 12,...} = [4] = [8] = [1] = {..., 7, 3, 1, 5, 9, 13,...} = [5] = [9] = [2] = {..., 6, 2, 2, 6, 10, 14,...} = [6] = [10] = [3] = {..., 5, 1, 3, 7, 11, 15,...} = [7] = [11] = Estas são todas as classes de equivalência que formam o conjunto quociente Z/ (mod 4). O conjunto quociente Z/ (mod n) é denotado por Z n Z n é um monóide com operação + e identidade [0] Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.13/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES Exemplo(2/2): Tabela de adição para o semigrupo Z 4 com operação + : + [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] Elementos da tabela obtidos de: [a] + [b] = [a + b] exemplo: [2] + [3] = [2 + 3] = [5] = [1] Em geral: Z n tem n classes de equivalência: [0], [1], [2],..., [n 1] [a] + [b] = [r], aonde r é o resto da divisão de a + b por n Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.14/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES & HOMOMORFISMOS Há uma conexão entre as estruturas do semigrupo (S, ) e do semigrupo quociente (S/R, ). Teorema: Sejam: R uma relação de congruência sobre um semigrupo (S, ) (S/R, ) o semigrupo quociente correspondente Então: a função f R : S S/R, definida por f R (a) = [a], é um homomorfismo sobrejetivo chamado de homomorfismo natural Prova: Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.15/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES & HOMOMORFISMOS Prova: f R é uma função sobrejetiva: se [a] S/R, então f R (a) = [a] f R é um homomorfismo: se a e b são elementos de S, então: f R (a b) = [a b] = [a] [b] = f R (a) f R (b) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.16/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES & HOMOMORFISMOS Teorema (Fundamental do Homomorfismo): Sejam: f : S T um homomorfismo do semigrupo (S, ) sobre o semigrupo (T, ) R a relação sobre S definida por a R b sse f(a) = f(b) (R definida com base no homomorfismo) Então: (a) R é uma relação de congruência (b) (T, ) e o semigrupo quociente (S/R, ) são isomórficos Prova: Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.17/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES & HOMOMORFISMOS Prova da parte (a): (i) R é uma relação de equivalência: a R a, a S, pois f(a) = f(a) se a R b, então f(a) = f(b), de modo que b R a se a R b e b R c: então: f(a) = f(b) e f(b) = f(c) de modo que: f(a) = f(c) e, portanto: a R c (ii) R é uma relação de congruência: suponha que a R a 1 e b R b 1 então: f(a) = f(a 1 ) e f(b) = f(b 1 ) f(a) f(b) = f(a 1 ) f(b 1 ) f(a b) = f(a 1 b 1 ) (pois f é um homomorfismo) logo: (a b) R (a 1 b 1 ) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.18/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES & HOMOMORFISMOS Prova da parte (b): Seja a relação de S/R para T : f = { ([a], f(a)) [a] S/R} f é uma função: suponha que [a] = [a ]: então: a R a e f(a) = f(a ) logo, f é a função f : S/R T, aonde: f([a]) = f(a) f é injetiva: suponha que f([a]) = f([a ]): então: f(a) = f(a ) a R a [a] = [a ] f é sobrejetiva: suponha que b T : f(a) = b para algum elemento a em S então: f([a]) = f(a) = b (pois f é sobrejetiva) f preserva a estrutura das operações e : f([a] [b]) = f([a b]) = f(a b) = f(a) f(b) = f([a]) f([b]) Logo: f é um isomorfismo. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.19/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES & HOMOMORFISMOS Exemplo: Considere o semigrupo livre A gerado por A = {0, 1} sob concatenação note que A é um monóide, aonde a identidade é Λ Seja N o conjunto dos inteiros não-negativos então (N, +) é um semigrupo A seguinte função f : A N é um homomorfismo: f(α) = número de 1s em α Seja R a seguinte relação sobre A : α R β sse f(α) = f(β) Segundo o Teorema: A /R N sob o isomorfismo f : A /R N definido por: f([α]) = f(α) = número de 1s em α Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.20/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES & HOMOMORFISMOS Teorema (Fundamental do Homomorfismo): (relembrando) Sejam: f : S T um homomorfismo de (S, ) sobre (T, ) R a relação sobre S definida por a R b sse f(a) = f(b) Então: (a) R é uma relação de congruência (b) (T, ) e o semigrupo quociente (S/R, ) são isomórficos A parte (b) pode ser descrita pelo diagrama a seguir ( ) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.21/23
SEMIGRUPOS QUOCIENTES & HOMOMORFISMOS f R é o homomorfismo natural f f R = f pois: (f f R )(a) = f(f R (a)) = f([a]) = f(a) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.22/23
PRODUTOS E QUOCIENTES DE SEMIGRUPOS Final deste item. Dica: fazer exercícios sobre Produtos e Quocientes de Semigrupos... Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.23/23