RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II FLEXÃO PARTE III Prof. Dr. Daniel Caetano 2018-2
Objetivos Conceituar a flexo-compressão Conceituar e determinar o núcleo central de inércia Conceituar a flexão assimétrica Conceituar a flexão oblíqua Determinar a posição da linha neutra em barras sob flexão pura oblíqua
Material de Estudo Material Apresentação Material Didático Biblioteca Virtual Acesso ao Material http://www.caetano.eng.br/ (Resistência dos Materiais II Aula 11) Resistência dos Materiais (Hibbeler), págs 216 a 224 e 304 a 320. Resistência dos Materiais
REVENDO...
Flexão Pura Reta Pode-se calcular a partir de M σ máx = M. c I w = I z c σ máx = M w
Deformação na Flexão Material Homogêneo e Alta Deformabilidade Seção transversal simétrica a um eixo Momento aplicado em torno de linha central perpendicular a esse eixo y z x
Exemplo Calcule a tensão de tração máxima: 10kN 1m 1m 0,3m 0,1m
Exemplo Calcule a tensão de tração máxima: 10kN V: 1m + 5kN 1m - -5kN I = b. h3 12 0,3m 0,1m 0, 3. 0, 13 = 12 M: I = 0, 000025m 4 M máx = 20000 4 =5kN.m σ máx = M. c I = 5000. 0, 05 0, 000025 = 10MPa
Flexão Pura Reta Será que a teoria é limitada assim? Seção transversal qualquer Cargas combinadas Momento em qualquer direção Flexo-Compressão Flexão Oblíqua
FLEXO-COMPRESSÃO
Flexo-Compressão Quando há flexão e compressão simultâneas Comum em pilares/colunas Tratamento: princípio da superposição Relação linear entre tensão e deformação Geometria: não varia significativamente
Flexo-Compressão Carga de compressão excêntrica Pode ser de tratada como flexo-comrpessão e P P M = P. e
Flexo-Compressão Resolver por Superposição P M = P. e P M = P. e σ P σ M
Flexo-Compressão Resolver por Superposição P M = P. e σ P σ M
Exemplo 50mm 50mm 15kN 20mm 20mm B A I) Cargas Atuantes C B 15kN II) Força Normal σ = F A = 15000 0,1.0,04 = 3,75MPa 3,75MPa D A C M = 750N.m 3,75MPa D III) Momento Fletor I = σ = b. h3 12 M. y I 0, 04. 0, 13 = 12 = C B = 3, 33. 10 6 m 4 750. 0, 05 3, 33. 10 6 11, 25MPa D A 11,25MPa C B D A D C A B
Exemplo 50mm 50mm 15kN 20mm 20mm B A C D IV) Superposição 3,75MPa 3,75MPa 11,25MPa C B D A D C A B C B D A Em C/B: Em D/A: σ = 3,75 + 11,25 = 7,5MPa σ = 3,75 11,25 = 15MPa 7,5MPa C B X=? D A 15MPa σ comp + σ tração largura 15. 10 6 + 7,5. 10 6 0,1 = x = 0,033m = σ x 7,5. 106 x
Dúvida Cruel Podemos aplicar σ máx = M.c I M nesse caso? Diretamente, não... Premissa: ser ao redor de eixo perp. ao de simetria #Comofaz?
MOMENTOS OBLÍQUOS E A FÓRMULA DA FLEXÃO GENERALIZADA
Momentos Oblíquos Momento Oblíquo: Não é em torno de eixo perp. ao de simetria y M z θ
Momentos Oblíquos Onde ocorre? Pilares de Canto y M z
Momentos Oblíquos Onde ocorre? Pilares de Canto Outros...
Momentos Oblíquos Não são em torno de eixo perp. ao de simetria Mas podemos decompô-los y M z = M. cos θ z z M Mz θ My M y = M. sen θ z
Momentos Oblíquos Visão em Perspectiva Por superposição de efeitos...
Momentos Oblíquos Analisando as tensões
Momentos Oblíquos Analisando as tensões y σ = M z. y I z σ =? z σ = M y. z I y
Momentos Oblíquos Analisando as tensões y σ = M z. y I z + M y. z I y σ = M z. y I z z σ = M y. z I y
Exemplo Considerando M=12kN.m, indique a tensão em cada canto da seção transversal
Exemplo M=12kN.m, B a E C Mz = (3/5).M z y B 0,2 0,2 M D 0,1 0,1 E My = (4/5).M
Exemplo M=12kN.m, B a E M z = M y = 3. M 5 = 3.12000 5 4. M 5 = 4.12000 5 = 7,2kN. m = 9,6kN. m C y B Mz = (3/5).M z D E 0,1 0,1 0,2 0,2 My = (4/5).M
Exemplo M=12kN.m, B a E I) Momento My C Mz = 7,2kN.m z y B 0,2 I y = b. h3 12 σ = M y. z I y = = 0,4. 0,23 12 = 0,000266 m 4 9600. 0, 1 2, 66667. 10 4 3, 60MPa D 0,1 0,1 E 0,2 My = 9,6kN.m 3,60MPa D C E B
Exemplo M=12kN.m, B a E II) Momento Mz C Mz = 7,2kN.m z y B 0,2 I z = b. h3 12 σ = M z. y I z = = 0,2. 0,43 12 = 0,0010666 m 4 7200. 0, 2 1, 067. 10 3 1, 35MPa D 0,1 0,1 E 0,2 My = 9,6kN.m 3,60MPa C B D E 1,35MPa D C E B
C y B Exemplo M=12kN.m, B a E Mz = 7,2kN.m z 0,2 III) Sobreposição 0,2 C B 3,60MPa 1,35MPa D 0,1 0,1 E My = 9,6kN.m 3,60MPa E D C E B 1,35MPa D C B D E
C y B Exemplo M=12kN.m, B a E Mz = 7,2kN.m z 0,2 III) Sobreposição 0,2 C 3,60MPa B 1,35MPa 2,25MPa D 0,1 0,1 E My = 9,6kN.m 3,60MPa E D C E B 1,35MPa D C B D E
C y B Exemplo M=12kN.m, B a E Mz = 7,2kN.m z 0,2 III) Sobreposição 0,2 C 4,95MPa B 2,25MPa D 0,1 0,1 E My = 9,6kN.m 3,60MPa E D C E B D 3,60MPa 1,35MPa C B 1,35MPa D E
C y B Exemplo M=12kN.m, B a E Mz = 7,2kN.m z 0,2 III) Sobreposição 0,2 C 4,95MPa B 2,25MPa D 0,1 0,1 E My = 9,6kN.m 3,60MPa 2,25MPa D 3,60MPa E 1,35MPa C B D C E B 1,35MPa D E
C y B Exemplo M=12kN.m, B a E Mz = 7,2kN.m z 0,2 III) Sobreposição 4,95. 10 6 + 2,25. 10 6 0,2 = 4,95. 106 x 0,2 C 4,95MPa X=? B 2,25MPa Eixo Neutro x = 0,1375m D 0,1 0,1 E My = 9,6kN.m 3,60MPa E D C E B 2,25MPa D 4,95MPa C B 1,35MPa D E
EXERCÍCIO PRÉ-INTERVALO
My = 2kN.m y Exercício Qual a tensão de compressão máxima que surge? z Mz = 10kN.m 1m 0,3m
My = 2kN.m Exercício A y B Qual a tensão de compressão máxima que surge? I z = b. h3 12 = 0, 3. 13 12 I z = 0, 025m 4 z Mz = 10kN.m 1m I y = b. h3 12 = 1. 0, 33 12 I y = 0, 00225m 4 D 0,3m C σ B = M y. c z I y M z. c y I z = 2000. 0, 15 0, 00225 10000. 0, 5 0, 025 σ B = 133333 200000 = 333, 33kPa
PAUSA PARA O CAFÉ
ÂNGULO DO EIXO NEUTRO
Eixo Neutro Se precisarmos saber onde é o eixo neutro... y B 2,25MPa σ = 0 C y B C X=? 4,95MPa Eixo Neutro z θ z z E α z 2,25MPa D 4,95MPa M D E
Eixo Neutro Se precisarmos saber onde é o eixo neutro... σ = M z. y I z 0 = M z. y I z y z = M y. I z M z. I y Ou seja... y z = I z I y. tan θ z + M y. z I y + M y. z I y σ = 0 M y = M. sen θ z M z = M. cos θ z z M C D α z θ z y B E
Eixo Neutro Se precisarmos saber onde é o eixo neutro... y z = I z I y. tan θ z y z = tan α z Para todo ponto no eixo neutro! Porém... tan α z = I z I y. tan θ z z M C D α z θ z y B E α z = atan I z I y. tan θ z α θ α y = atan I y I z. tan θ y
Exemplo Calcule o Ângulo do Eixo Neutro I y = I z = b. h3 12 b. h3 12 α z = atan α z = atan = 0,000266 m4 = 0,0010666 m4 I z I y. tan θ z 0, 0010667 0, 0002667. 4 3 α z = 1,39rad = 79,4 z 4 C 12kN.m D α z 3 θ z y 0,1 0,1 C 4,95MPa 2,25MPa D B E B E 0,2 0,2 2,25MPa 4,95M
FLEXÃO ASSIMÉTRICA
Flexão Assimétrica Consideremos a seguinte seção assimétrica M induz df =. da Equilíbrio? F x = 0 M z = M M y = 0
Flexão Assimétrica O que descobrimos na aula passada? Z no eixo neutro garante F x = 0 A relação σ máx = M.c M z = M I garante Como garantir M y = 0
Flexão Assimétrica M y = 0 Mas... A z. σ. da = 0 σ = y c. σ máx A z. y c. σ máx. da Resultará em... Isso não tem como valer 0! σ máx c = 0. y. z. da A = 0 Produto de Inércia
Flexão Assimétrica Conclusão: Momento é em torno de um dos eixos principais?
Flexão Assimétrica Simetria ajuda... Um dos eixos principais é o de simetria O outro é perpendicular
Flexão Assimétrica Se não há simetria... Recorrer à fórmula Ângulo dos Eixos Principais θ p = atan 2 I xy I y I x 2
EXEMPLO DE FLEXO- COMPRESSÃO OBLÍQUA
Exemplo A 0,8m 40kN D 0,4m B C I) Cargas Atuantes II) Força Normal 40kN M y = 16kN.m y σ = F A = 40000 0,8.0,04 = 125kPa z B A D M z = 8kN.m C A B C D 125kPa III) Momento Fletor em y I y = b. h3 12 σ = M y. z I y = = 0,4. 0,83 12 1,71. 10 2 m 4 16000.0,4 1,71. 10 2 375kPa 375kPa IV) Momento Fletor em z I z = b. h3 12 σ = M z. y I z = = 0,8. 0,43 12 4,27. 10 3 m 4 8000.0,2 4,27. 10 3 375kPa 375kPa A B C D C B D A
Exemplo A 0,8m 40kN D 0,4m B C 125kPa 375kPa 375kPa A B C D A B C D C B D A Em A: σ A = 125 + 375 + 375 = 625kPa Em B: σ B = 125 + 375 375 = 125kPa Em C: σ C = 125 375 375 = 875kPa Em D: σ D = 125 375 + 375 = 125kPa σ a + σ b l x ad = = σ a x ab x ab = σ a. l σ a + σ b = 625.0,4 750 = 0,33m σ a. l = 625.0,8 σ a + σ d 750 125kPa B 625kPa = 0,66m Xab=? A Xad=? 875kPa C D 125kPa
NÚCLEO CENTRAL DE INÉRCIA
Núcleo Central Imagine: tensões de uma carga central O que acontece quando movemos a carga? P P e P P h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 σ ext = P M. c + A I I = b. h3 12 = A. h2 12 M = P. e c = h 2 σ ext = P A P. e. h. 12 + 2. A. h 2 = P A + P 6. e. A h σ ext = P A + P A. 6. e h
Núcleo Central Queremos manter toda seção comprimida Qual o maior valor de e? σ ext = P A + P A. 6. e h 0 σ ext = P A + P A e P h/2 h/2. 6. e h P A + P 6. e. A h 0 P A. 6. e h P A 6. e h 1 e h 6 e = h/3 e = h/6 h/2 h/2
Núcleo Central Queremos manter toda seção comprimida Considerando ambas as direções... σ ext = P A + P A. 6. e h σ ext = P A + P A. 6. e x h 6. e x h + P A. 6. e y b 0 + 6. e y b 1 h y x Núcleo Central e x e y y P b x b/6 h/6
Exemplo No pilar abaixo, qual o maior valor de e para que o mesmo sofra apenas compressão? Qual o valor da compressão máxima, sabendo que a seção é retangular de área 0,3m 2? e 200kN.m 0,5 0,5 e max = h 6 b. h3 0,3. 13 e max = 0,166m I = = 12 12 = 0,025m 4 σ ext = P M. c A I = 200000 0,3 σ ext = 666667 664000 200000.0,166.0,5 0,025 = σ ext 1, 33MPa
CONCLUSÕES
Resumo Flexões compostas podem... Ser decompostas para tratamento......considerando-se os eixos principais Tensão máxima: por superposição de efeitos Ângulo da LN Ângulo do momento oblíquo Exercitar: Exercícios Hibbeler Exercitar para a avaliação!
PARA TREINAR
Para Treinar em Casa Mínimos: Exercícios 6.104, 6.107, 8.20 e 8.21 Extras: Exercícios 6.103, 6.105, 8.26 e 8.60
EXERCÍCIO NO SAVA
Exercício Entrega Individual Considerando M=3,5kN.m, calcule o máx e a direção do eixo neutro.
PERGUNTAS?
EXERCÍCIO EM SALA
Exercício Individual, para Agora! Calcule a tensão máxima de compressão na base do pilar ABCD; ignore o peso próprio da estrutura. 1m 20kN D C A 0,1m B 1m σ max 12, 2MPa