Espaços pseudo-topológicos e descrições do conceito de plausível

Espaços pseudo-topológicos e descrições do conceito de plausível Tiago Augusto dos Santos Boza Hércules de Araujo Feitosa Resumo A estrutura de espaço pseudo-topológico é uma variação do conceito de espaço topológico. Surgiu como uma formalização de um quantificador de primeira ordem não definível a partir dos usuais operadores existencial e universal, nomeado de o quantificador do plausível. Posteriormente, buscou-se uma formalização no contexto lógico proposicional, dada num sistema dedutivo e axiomático, com modelo algébrico. Apresentaremos estas concepções formais e como uma contribuição original, descrevemos a versão proposicional da lógica dos espaços pseudo-topológicos em tableaux. Palavras Chave: Espaços pseudo-topológicos, Lógica modal, Sistema de axiomas, Modelos algébrico, Tableaux. Introdução Grácio [6] procurou formalizar quantificadores não lógicos que contemplassem aspectos do processo de generalização desenvolvido nos raciocínios indutivos. Quantificadores não lógicos são quantificadores distintos dos quantificadores e, e que não podem ser definidos a partir destes usais quantificadores. Estes novos quantificadores deveriam expressar proposições gerais, entretanto distintas do todo, do universal. Para tanto, precisou de estruturas matemáticas que pudessem interpretar estes novos quantificadores com alguma sensatez intuitiva e interação com os demais aspectos da lógica. Uma estrutura que surgiu nessa busca foi a de espaço pseudo-topológico, que é uma variação do usual conceito de espaço topológico. Esta estrutura foi idealizada como espaço de interpretação do quantificador para uma boa parte (cf. [6]), o quantificador do plausível. Num primeiro momento, este conceito foi chamado de espaço topológico reduzido, mas posteriormente foi denominado de espaço pseudotopológico. A partir desta estrutura, foi apresentada a lógica do plausível de [6], que formaliza o conceito a partir de quantificadores estendidos, depois uma lógica proposicional com operador de caráter modal (cf. [3]), motivada pela lógica do plausível, Email: boza.tiago@gmail.com. Mestrado em Filosofia, Unesp - FFC - Marília Email: haf@fc.unesp.br. Departamento de Matemática, Unesp - FC - Bauru 4

que formaliza aspectos do conceito de plausível no contexto proposicional e com modelos algébricos. Apesar da motivação, as duas versões de lógica têm flexões nas suas fundações. Por outro lado, o método dos tableaux é baseado na refutação, de maneira que para se verificar a validade de uma fórmula ψ em um sistema lógico, considera-se como hipótese a sua negação, ou seja, toma-se ψ e, então, utilizando uma estrutura que se assemelha a uma árvore, são aplicadas as regras do sistema de tableaux. Baseamos nossas construções para tableaux nos textos [12] e [10]. Como uma contribuição original, apresentamos esta versão da lógica proposicional dos espaços pseudo-topológicos numa versão de tableaux, a qual mostramos ser equivalente à versão axiomática de [3]. 1 Espaços pseudo-topológicos O conceito de espaço pseudo-topológico foi introduzido por Grácio [6], para interpretar o novo quantificador P, que gera sentenças do tipo P xφ(x). Esta sentença tem o entendimento de que φ(x) vale para uma boa parte dos indivíduos do domínio que interpretam a variável, ou ainda, conforme [1], que o conceito φ(x) é ubíquo neste universo. Definição 1.1 Espaço pseudo-topológico é um par (E, Ω), em que E é um conjunto não vazio e Ω P(E) de maneira que: (E 1 ) se A, B Ω, então A B Ω (E 2 ) se A, B Ω, então A B Ω (E 3 ) E Ω (E 4 ) / Ω. Definição 1.2 Os elementos do conjunto Ω são os abertos do espaço pseudo-topológico (E, Ω) e se A C Ω, então A é um conjunto fechado no espaço (E, Ω). Exemplo 1.3 Sejam E e Ω = {E}. Certamente / Ω, mas E Ω. As condições (E 1 ) e (E 2 ) são trivialmente satisfeitas. Então, (E, Ω) é um espaço pseudo-topológico. Exemplo 1.4 Seja E. Para a E, tomemos Ω = {B E : a B}. Então, de modo óbvio verificamos que / Ω, mas E Ω. E dessa forma obtemos que (E, Ω) é um espaço pseudo-topológico. Proposição 1.5 Se (E, Ω) é um espaço pseudo-topológico, então dois quaisquer abertos de Ω não são disjuntos. Demonstração: Se A e B são dois abertos disjuntos, pelo axioma (E 1 ), A B Ω, mas isto contradiz o axioma (E 4 ), pois neste caso A B =. Assim, conjuntos disjuntos não podem ser simultaneamente abertos. Segue daí, que não podem existir dois conjuntos unitários distintos e abertos. 2 A motivação quantificacional A formalização lógica quantificacional do espaços pseudo-topológicos surgiu em [6] como uma extensão da lógica clássica de primeira ordem com igualdade L. Para detalhes sobre L ver [2] ou [4]. Foi denominada por Grácio de lógica do plausível e 5

denotada por L(P ). Dada L, a lógica estendida L(P ) é determinada pelos seguintes acréscimos: - a linguagem L de L(P ) conta com um novo símbolo de quantificador P e sentenças do tipo P xφ(x) são bem formadas em L(P ). - axiomas específicos do quantificador P : (A 1 ) P xφ(x) P xψ(x) P x(φ(x) P xψ(x)) (A 2 ) P xφ(x) P xψ(x) P x(φ(x) P xψ(x)) (A 3 ) xφ(x) P xφ(x) (A 4 ) P xφ(x) xφ(x) (A 5 ) x(φ(x) ψ(x)) (P xφ(x) P xψ(x)) (A 6 ) P xφ(x) P yφ(y), se y é livre para x em φ(x). - regras de dedução: (MP) Modus Ponens: φ, φ ψ ψ (Gen) Generalização: φ xφ(x). Os demais conceitos sintáticos usuais como sentença, demonstração, teorema, dedução, consistência e outros são definidos do modo padrão. As estruturas adequadas para L(P ), denominadas por Grácio de estrutura do plausível, também são extensões das estruturas de primeira ordem A. Assim dada uma estrutura A, consideremos que o seu domínio seja denotado por A. Uma estrutura do plausível, denotada por A Ω, é determinada a partir A pelo acréscimo de um espaço pseudo-topológico Ω sobre o universo A. A interpretação dos símbolos de relação, função e constante é a mesma de L com relação à A. Definição 2.1 A satisfação de uma sentença do tipo P xφ(x) em A Ω é definida indutivamente por: - se φ é uma fórmula cujas variáveis livres estão em {x} {y 1,..., y n } e a = (a 1,..., a n ) é uma sequência de elementos de A, então: A Ω P xφ[x, a] {b A : A Ω [b, a]} Ω. Da maneira usual, para a sentença P xφ(x): A Ω P xφ(x) {a A : A Ω φ(a)} Ω. As outras noções semânticas como modelo, validade, implicação lógica, entre outras, são apropriadamente adaptadas a partir da interpretação de L em A. Grácio [6] provou que as estruturas do plausível são modelos corretos e completos para L(P ). 3 Uma formalização axiomática e proposicional Apresentamos a versão proposicional da lógica do plausível, conforme [3], que procura formalizar os aspectos de um espaço pseudo-topológico no contexto lógico 6

proposicional, sem a presença dos quantificadores, inclusive o do plausível, que é substituído por um operador unário. Esta lógica será denotada por L( ). Como mencionado, ela estende a lógica proposicional clássica (LPC) na linguagem L(,,, ) com o acréscimo do operador unário, donde obtemos a linguagem proposicional L(,,,, ). A lógica fica determinada pelo seguinte: - Axiomas: (Ax 0 ) LPC (Ax 1 ) ( φ ψ) (φ ψ) (Ax 2 ) φ (φ ψ) (Ax 3 ) φ φ (Ax 4 ) (φ φ). - Regras de dedução: (MP ) Modus Ponens (RE ) φ ψ / φ ψ. A intuição para este operador do plausível é de algo que pode ser explicado numa teoria sem provocar inconsistência. Assim, o plausível não se assemelha ao possível, pois podemos ter: é possível que chova amanhã e é possível que não chova amanhã, porém não é possível que chova e não chova amanhã. O conceito está vinculado, por exemplo, com a existência de uma demonstração de um fato numa teoria consistente. Assim, não pode haver uma prova de φ e uma outra de φ. Diante disso, φ e ψ são plausíveis se, e somente se, φ ψ é plausível. Toda tautologia é plausível e se φ é plausível, então vale a proposição φ. A regra (RE ) é de entendimento direto. A proposição seguinte mostra que poderíamos trocar o (Ax 2 ) pela condição do enunciado à direita. Assim, podemos intercambiar estas condições e preservar o sistema. Proposição 3.1 φ (φ ψ) ( φ ψ) (φ ψ). Demonstração: ( ) Da hipótese, φ (φ ψ) e ψ (φ ψ). Daí, ( φ ψ) (φ ψ). ( ) Como φ ( φ ψ), então segue da hipótese que φ (φ ψ). Proposição 3.2 (i) (ii) φ φ (iii) φ φ (iv) φ φ (v) φ φ. 4 Álgebras dos espaços pseudo-topológicos Agora, apresentamos a álgebra do plausível, que corresponde à versão algébrica da lógica da seção anterior, conforme [3]. 7

Definição 4.1 Álgebra do plausível é uma estrutura P = (P, 0, 1,,,, ), em que (P, 0, 1,,, ) é uma álgebra de Boole e é o operador do plausível, sujeito a: (a 1 ) a b (a b) (a 2 ) a (a b) (a 3 ) a a (a 4 ) 1 = 1. Definição 4.2 Um elemento a P é plausível se a 0 e a = a. Embora 0 = 0, por definição, 0 não é plausível. Proposição 4.3 Se P = (P, 0, 1,,,, ) é uma álgebra do plausível e a, b P, então: (i) a (a b) (ii) a b a b (iii) a b (a b). Proposição 4.4 Para cada álgebra do plausível P = (P, 0, 1,,,, ) existe um monomorfismo h de P num espaço pseudo-topológico de conjuntos definidos em P(P(P )). Em [3] há uma demonstração da adequação de L( ) com relação às álgebras do plausível P, isto é, Γ γ Γ γ. A interpretação de L( ) numa pseudo-topologia (E, Ω) é uma função com as seguintes características: As sentenças universais, que valem para todos os indivíduos, são agora tomadas pelas tautologias, que são interpretados no universo E da pseudo-topologia. Se φ e ψ estão Ω e, portanto, são ubíquos, então o mesmo vale φ ψ. Se φ ou ψ está Ω, então o mesmo vale φ ψ. Esta condição implica que se φ, ψ Ω, então φ ψ Ω, mas não é equivalente a (E 2 ). Aqui está uma variação entre os dois sistemas. Se φ e ψ são equivalentes, então uma delas é interpretada num conjunto de uma pseudo-topologia se, e somente se, também a outra é interpretada no mesmo conjunto. A interpretação de não pode estar Ω. Para tanto, usamos o axioma (Ax 3 ) que implica esta condição no contexto proposicional. Mas também é mais geral que (E 4 ). Talvez possamos, em algum momento, refinar estas variações, mas por ora assumamos a lógica L( ). 5 Tableaux para a lógica L( ) Tendo em conta os sistemas de tableaux de [12] e [10] introduziremos um sistema de tableaux para L( ). Daremos as regras dos tableaux e para mostrarmos a equivalência entre os dois sistemas dedutivos, mostraremos que se φ é um teorema de L( ), então o seu tableau fecha e, por outro lado, se o tableau da fórmula φ fecha, então ela é um teorema de L( ). O sistema de tableaux a ser desenvolvido nesta seção deve ser algorítmico e, tanto quanto possível, preservar as características dos tableaux clássicos. Deve derivar exatamente o mesmo que o sistema axiomático L( ), nem mais, nem menos. 8

Denotaremos por T L(P ) a lógica proposicional do plausível na versão de tableaux. A linguagem do sistema T L(P ) é determinada a partir da formalização dos tableaux da LPC introduzidos em [12], acrescida apenas dos seguintes itens: (i) O alfabeto de T L(P ) é constituído pelos itens apresentados em [12], acrescido do operador. (ii) O conjunto de fórmulas de T L(P ) coincide com o conjunto de fórmulas de L( ), da Seção 3. (iii) O conjunto de regras de dedução do sistema T L(P ) é formado pelas regras de dedução dos tableaux para a LPC de [12], acrescido das regras de dedução específicas para o operador, que serão introduzidas a seguir. (iv) Um ramo de um tableau de T L(P ) fecha ao obtermos φ e φ no mesmo ramo, ou ainda, se ocorrer o símbolo de contradição. (v) Regras de expansão: as regras de expansão de T L(P ) para o operador são as seguintes: (R 1 ) φ φ A motivação para esta regra vem, naturalmente, do axioma (Ax 3 ). (R 2 ) ( φ) ( φ) Esta regra nos conduz à validade do axioma (Ax 4 ) e, ainda, nos dá o caráter algorítmico que pretendemos em nosso sistema. Quando encontramos uma expressão φ na árvore, testamos φ. Se a fórmula φ é válida, isto é, o tableau de φ fecha, então incluímos e fechamos o tableau, pois como φ é válida, tem que valer φ. Agora, se φ não é válida, então expandimos o tableau com uma das regras seguintes: (R 3 ) (R 4 ) (φ ψ) φ ψ (φ ψ) φ ψ As regras (R 3 ) e (R 4 ) dão conta dos axiomas (Ax 1 ) e (Ax 2 ). (R 5A ) (R 5B ) (φ ψ) ( φ ψ) (φ ψ) [(φ ψ) (ψ φ)] As regras (R 5A ) e (R 5B ) têm apenas a função de dar caráter algorítmico ao tableau, ao dizer exatamente qual caminho seguir. φ ψ (R 6 ) ( φ ψ) ( φ ψ) 9

Finalmente, a regra (R 6 ) tem a incumbência de validar a regra (R ), que apenas se aplica sobre bicondicionais sabidamente válidas. Agora, mostraremos alguns resultados importantes, por tableaux, demonstrados na versão axiomática da lógica proposicional do plausível. Proposição 5.1 Nenhuma contradição é plausível. Demonstração: Mostramos que o tableau de (φ φ) fecha. Portanto, mostramos o desejado. Proposição 5.2 φ φ. Demonstração: Portanto, φ φ. (φ φ) (φ φ) φ φ φ φ φ φ A seguir, mostraremos a equivalência do sistema Hilbertiano L( ) para a lógica proposicional do plausível, com relação ao sistema de tableaux T L(P ) introduzido acima. Mais especificamente, mostraremos que o tableau de cada teorema de L( ) fecha e, por outro lado, que a cada regra de T L(P ) está associada uma dedução completamente lícita em L( ). A proposição seguinte, por vezes, é chamado de Teorema da Correção. Contudo, como também chamamos de Teorema da Correção a validação dos teoremas de L( ) nos seus respectivos modelos, vamos chamar esta direção do resultado apenas de Ida. Proposição 5.3 (Ida) Γ γ Γ γ. Demonstração: Por indução sobre o comprimento da dedução de φ a partir de Γ. Para n = 1, temos que γ pertence a Γ ou γ é um axioma de L( ). (i) Se γ Γ, então, para este tableau, afirmamos os elementos de Γ e negamos a conclusão γ. Logo, γ ocorre afirmada e negada e o tableau fecha. (ii) Se γ é um dos axiomas da LPC, nada temos a demonstrar, pois o resultado foi mostrado em [12]. (iii) Seja γ é um dos axiomas específicos da lógica proposicional do plausível. Mostraremos que fecha o tableau de cada cada axioma do seguinte modo: Γ γ, em que γ representa o axioma. - Para (Ax 1 ), temos ( φ ψ) (φ ψ): Γ φ ψ (φ ψ) 10

φ ψ φ ψ - Para (Ax 2 ), temos ( φ ψ) (φ ψ): - Para (Ax 3 ), temos φ φ: - Para (Ax 4 ), temos: (φ φ): Γ φ ψ (φ ψ) φ ψ φ ψ Γ φ φ φ Γ (φ φ) (φ φ) (vi) Agora, consideremos uma dedução Γ γ, com 1 < n. Como Hipótese de Indução assumimos que para todos os passos anteriores ao passo n o tableau correspondente à dedução fecha. Daí, devemos mostrar que também a dedução do passo n fecha. Assim, para Γ γ, temos três possibilidades: (i) γ Γ, (ii) γ é um axioma de L( ) ou (iii) γ é deduzida de Γ através de uma das duas regras de dedução de L( ). Para os itens (i) e (ii), justificação é a mesma feita na base da indução. Justificamos, então, o item (iii). Se a regra usada é a MP, então a mesma justificativa de [12] se aplica. Se a regra usada é a (RE ), então temos o seguinte: Γ φ ψ e, então, no último passo da dedução obtemos Γ φ ψ. Pela hipótese de indução, o tableau de Γ φ ψ fecha e precisamos mostrar que o tableau de Γ φ ψ fecha. Γ ( φ ψ) ( φ ψ) ( ψ φ) φ ψ ψ φ 11

φ φ φ φ ψ ψ ψ ψ Pela hipótese de indução sabemos que o tableau para Γ {φ ψ} fecha, daí podemos aplicar a regra (R 6 ) para a última parte do tableau. Com isto, concluímos que Γ γ Γ γ. Para a recíproca, mostraremos que a cada regra do sistema T L(P ) corresponde uma dedução de L( ). Essas deduções usarão o princípio da redução ao absurdo (RAA) ou dedução indireta, quando assumiremos o conjunto de premissas Γ e negaremos a tese γ e, então, obteremos uma contradição que denotamos por. Proposição 5.4 (Volta) Γ γ Γ γ. Demonstração: Para cada regra de T L(P ) será obtida uma dedução: - Para a regra (R 1 ), temos: 1. Γ φ p. 2. Γ φ p.p. 3. Γ φ φ (Ax 3 ) 4. Γ φ Modus Ponens em 1 e 3 5. Γ φ φ Conjunção em 2 e 4 6. Γ RAA de 2 a 5; - Para a regra (R 2 ), temos: 1. Γ φ p. 2. Γ φ p. 3. Γ φ (ψ ψ) Equivalência de Teoremas 4. Γ φ (ψ ψ) (R ) em 3 5. Γ (ψ ψ) (Ax 4 ) 6. Γ (ψ ψ) φ CPC em 4 7. Γ φ Modus Ponens em 5 e 6 8. Γ φ φ Conjunção em 1 e 7 9. Γ Equivalência em 8; Temos então que Γ φ e Γ φ geram uma contradição Γ e, portanto, não podem ser concomitantemente aceitos. - Para a regra (R 3 ), temos: 1. Γ (φ ψ) p. 2. Γ ( φ ψ) p.p. 3. Γ φ ψ De Morgan em 2 4. Γ φ ψ (φ ψ) (Ax 1 ) 5. Γ (φ ψ) Modus Ponens em 3 e 4 6. Γ (φ ψ) (φ ψ) Conjunção em 1 e 5 7. Γ RAA de 1 a 6; - Para a regra (R 4 ), temos: 1. Γ (φ ψ) p. 2. Γ ( φ ψ) p.p. 3. Γ φ ψ De Morgan em 2 12

4. Γ ( φ ψ) (φ ψ) (Ax 2 ) 5. Γ (φ ψ) Modus Ponens em 3 e 4 6. Γ (φ ψ) (φ ψ) Conjunção em 1 e 5 7. Γ RAA de 1 a 6; - Para a regra (R 5A ), temos: 1. Γ (φ ψ) p. 2. Γ ( φ ψ) p.p. 3. Γ ( φ ψ) Dupla Negação em 2 4. Γ (φ ψ) Equivalência em 3 5. Γ (φ ψ) (φ ψ) Conjunção em 1 e 4 6. Γ RAA de 1 a 5; - Para a regra (R 5B ), temos: 1. Γ (φ ψ) p. 2. Γ ((φ ψ) (ψ φ)) p.p. 3. Γ ((φ ψ) (ψ φ)) Dupla Negação em 2 4. Γ (φ ψ) Equivalência em 3 5. Γ (φ ψ) (φ ψ) Conjunção em 1 e 4 6. Γ RAA de 1 a 5; - Para a regra (R 6 ), temos: 1. Γ φ ψ p. 2. Γ ( φ ψ) p.p. 3. Γ ( φ ψ) p.p. 4. Γ ( φ ψ) CPC em 2 e 3 5. Γ φ ψ (R ) em 1 6. Γ ( φ ψ) ( φ ψ) Conjunção em 5 e 6 7. Γ RAA de 2 a 6. Com esses resultados concluímos que Γ γ Γ γ. Teorema 5.5 (Adequação Forte) Γ γ Γ γ Γ γ. Demonstração: Segue imediatamente das proposições anteriores e Corolário 5.5 de [3]. Da proposição acima concluímos que o presente artigo estabelece a equivalência entre a lógica proposicional do plausível em versão axiomática L( ) com o sistema de tableaux T L(P ). Considerações finais O presente artigo mostra a equivalência entre a lógica proposicional do plausível na versão axiomática ou Hilbertiana L( ) e sua versão em tableaux T L(P ), que foi introduzida neste artigo. O sistema T L(P ) procurou espelhar a lógica proposicional do plausível através de seus axiomas, que, neste caso, resgatam muito dos seus modelos. Contudo, não temos claro que seja o único, nem o melhor sistema de tableaux para esta lógica. A tradição de tableaux para lógicas modais usa, com bastante frequência, variações nas relações dadas nos seus modelos, pois também, com frequência, tratam de lógicas modais normais, que admitem o axioma modal K e, daí, os modelos de 13

Kripke. Porém, a lógica proposicional do plausível seria, no contexto modal, uma lógica subnormal e os modelos de Kripke não se aplicam de modo imediato. Assim, ao gerarmos T L(P ), julgamos conveniente olharmos para os axiomas e buscar regras que os replicassem no sistema de tableaux. Um sistema de tableaux é considerado eficiente por ser baseado no princípio das subfórmulas. No entanto, este princípio não está integralmente presente nesta formulação. Mesmo assim, tentamos, de certa forma, obedecer tal princípio. De qualquer modo, o sistema apresentado permite a decisão de toda fórmula de L( ) o que é dedutivamente uma enorme vantagem. Quando não conhecemos uma dedução para uma dada fórmula, é difícil decidir se esta é ou não um teorema do sistema dedutivo, mas no sistema T L(P ) esta decisão é sempre possível. Agradecimentos Agradecemos apoio da Fapesp e do CNPq. Referências [1] CARNIELLI, W.; GRÁCIO M. C. C. Modulated logics and flexible reasoning. Logic and logical philosophy, v. 17, n. 3, p. 211-249, 2008. [2] EBBINGHAUS, H. D.; FLUM, J.; THOMAS, W. Mathematical logic. New York: Springer-Verlag, 1984. [3] FEITOSA, H. A.; NASCIMENTO, M. C.; GRÁCIO, M. C. C. A propositional version of the logic of the plausible. In: MORTARI, C. A.; DUTRA, L. H. A. Anais V Simpósio Internacional Principia. Florianópolis: NEL/UFSC, p. 185-196, 2009. (Coleção Rumos da epistemologia, v. 9). [4] FEITOSA, H. A.; PAULOVICH, L. Um prelúdio à lógica. São Paulo: Editora Unesp, 2005. [5] GENTZEN, G. The collected papers of Gerhard Gentzen. Amsterdam: North- Holland, 1969. [6] GRÁCIO, M. C. C. Lógicas moduladas e raciocínio sob incerteza. Tese de Doutorado em Filosofia. Campinas: Unicamp/IFCH, 1999. [7] MIRAGLIA, F. Cálculo proposicional: uma interação da álgebra e da lógica. Campinas: Unicamp/CLE, 1987. (Coleção CLE, v. 1). [8] MORTARI, C. A. Introdução à lógica. São Paulo: Editora Unesp, 2001. [9] PRIEST, G. An introduction to non-classical logic. Cambridge: University Press, 2001. [10] SILVA, F. S. C.; FINGER, M.; MELO, A. C. V. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. [11] SILVESTRINI, L. H. C. Tableaux e indução na lógica do plausível. Dissertação de Mestrado em Filosofia. Marília: Unesp, 2005. [12] SMULLYAN, R. First-order logic. Amsterdam: North-Holland, 1971. 14