Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J 3

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1 Um novo sistema de axiomas para a lógica paraconsistente J 3 Hércules de Araujo Feitosa Gabriel Alexandre da Cruz Ana Cláudia de Jesus Golzio Resumo We investigate the paraconsistent logic J 3. As original result we propose a new sistem of axioms for J 3 and present results of soundness and completeness (adequacy) evolving the original three valued matrix semantic for J 3. Palavras Chave: Lógica paraconsistente, Lógica trivalente, Modelo matricial, Sistema de axiomas. Introdução A Lógica J 3 foi introduzida por D Ottaviano e da Costa [7], em 97, a partir de uma semântica matricial trivalente. Trata-se de uma lógica paraconsistente e foi idealizada como uma possível solução a um problema de Jáskowski, que envolveria aspectos das teorias paraconsistentes ainda em fase inicial. Nesse trabalho [7] foram apresentados vários esquemas válidos de fórmulas para as matrizes de J 3, porém não foi introduzido um conjunto de axiomas correto e completo para o referido modelo matricial. D Ottaviano apresentou um sistema de axiomas para J 3, em [5], com cinco axiomas proposicionais e duas regras de dedução. Este sistema de axiomas conta com um operador delta, que será apresentado segundo sua interpretação matricial na próxima seção. Os sistemas axiomáticos, de um modo geral, são pouco elucidativos quanto às noções formalizadas pela referida lógica. Imaginamos que isto tenha ocorrido com este sistema de [5]. Num capítulo destinado a discutir lógicas paraconsistentes, do livro [9], Epstein e D Ottaviano apresentam um outro sistema de axiomas para J 3. Mais recentemente, no contexto das lógicas da inconsistência formal (LFI) [], Carnielli, Marcos e Amo [3] reconhecem que a lógica J 3 tem importância distinguida para as LFI s, denotam a lógica J 3 por LFI e apresentam um novo sistema de axiomas um pouco mais compreensivo e com alguns axiomas finais motivados por axiomas do sistema anterior. haf@fc.unesp.br. Departamento de Matemática, UNESP - FC - Bauru gabriel 495@hotmail.com. Licenciatura em Matemática, UNESP - FC - Bauru anaclaudiagolzio@yahoo.com.br. Pós em Filosofia, UNICAMP - IFCH - Campinas Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 6

2 Os sistemas mencionados serão apresentados com mais detalhes na Seção deste trabalho. A meta deste ensaio é apresentar um sistema distinto destes, um pouco mais simples com relação a estes últimos axiomas, e dar uma demonstração de correção e completude do sistema hilbertiano por nós introduzido relativamente à semântica trivalente de J 3, conforme as matrizes originais. A lógica J 3 De acordo com [7], a lógica J 3 foi introduzida a partir das seguintes matrizes trivalentes na linguagem proposicional L = (,, ), em que os operadores proposicionais e formalizam, respectivamente, as noções de negação e disjunção e o operador separa os elementos distinguidos dos não distinguidos. Os significados destes operadores são dados pelas seguintes tabelas: Além desses operadores básicos, são definidos os seguintes operadores de J 3 : Conjunção: φ ψ = def ( φ ψ) Negação forte: φ = def φ Delta: φ = def φ Condicional: φ ψ = def φ ψ Bicondicional: φ ψ = def (φ ψ) (ψ φ) Consistência: φ = def (φ φ). Os significados destes novos entes são dados pelas seguintes tabelas: Da definição da conjunção a partir da disjunção, observamos que devem valer em J 3 as leis de De Morgan. A semântica matricial de J 3 é dada pela matriz: M J3 = ({,, }, {, },,, ), Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 7

3 com o conjunto de valores designados D = {, } e, dessa maneira, a relação de consequência semântica é dada como segue. A seguir, indicamos por V ar(j 3 ) = {p, p, p 3,...} o conjunto das variáveis proposicionais de J 3 e por F or(j 3 ) o conjunto das fórmulas de J 3. Uma valoração para J 3 é qualquer função: v : V ar(j 3 ) {,, }, a qual é estendida de modo único para o conjunto F or(j 3 ) segundo os operadores introduzidos acima. Se Γ F or(j 3 ), então v(γ) = {v(γ) : γ Γ}. A relação de implicação lógica ou consequência semântica para J 3 é dada do seguinte modo. Se Γ {φ} F or(j 3 ), então Γ implica φ quando para toda J 3 -valoração v, se v(γ) D, então v(φ) D, isto é: Γ φ v(γ) D v(φ) D. Decorre da definição de valoração que toda fórmula de J 3 válida segundo uma valoração v : V ar(j 3 ) {,, } é também válida segundo a restrição booleana de v, isto é, segundo v : V ar(j 3 ) {, } com os significados booleanos dos operadores,, e, em que é apagado o valor. Assim, toda fórmula J 3-válida é uma tautologia. Podemos construir tabelas de verdade para fórmulas de J 3, que por ser uma lógica trivalente, tem como número de linhas algum múltiplo de 3. Vejamos alguns exemplos: (a) φ (ψ φ): (b) φ (φ ψ): φ (ψ φ) Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 8

4 φ (φ ψ) (c) φ φ: φ φ (d) φ (φ ψ): φ (φ ψ) Como cada última coluna das tabelas anteriores encerra apenas os valores e, então todas estas fórmulas são válidas segundo M J3. (e) Cada fórmula σ do tipo φ φ φ é contraditória: φ φ φ σ Uma fórmula, como esta, que assume todos os valores iguais a será denota por e, por outro lado, uma fórmula como a sua negação σ, que assume sempre o valor será denotada por. Contudo, algumas fórmulas tautológicas bem conhecidas não são J 3 -válidas. Vejamos algumas delas: (f) φ ( φ ψ). Tomemos uma valoração v tal que v(φ) = e v(ψ) =. Daí, v(φ ( φ ψ)) = ( ( )) = =. Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 9

5 (g) (φ ψ) ( ψ φ). Tomemos uma valoração v tal que v(φ) = e v(ψ) =. Daí, v((φ ψ) ( ψ φ)) = ( ) ( ) = =. Temos também algumas equivalências: (h) φ φ. φ (φ ) (i) φ ( φ φ) φ. φ ( φ φ) φ Proposição Se v : F or(j 3 ) {,, } é uma J 3-valoração, então: (i) v(φ) D v(φ) = ou v(φ) = ; (ii) v( φ) D v(φ) = ou v(φ) = ; (iii) v( φ) D v(φ) = ou v(φ) =. Demonstração: Imediata das tabelas dos operadores de J 3. Sistemas de axiomas de J 3 Nesta seção apresentamos três diferentes sistemas hilbertianos introduzidos em momentos distintos para a Lógica Paraconsistente J 3, todos no ambiente proposicional. Encontramos o primeiro sistema no artigo [5], com a seguinte configuração: Esquemas de Axiomas: (A) (φ (ψ φ)) (A) ((φ ψ) ((ψ σ) (φ σ))) (A3) (( φ ψ) (ψ φ)) (A4) (((φ φ) φ) φ) (A5) ( (φ ψ) ( φ ψ)). Regras de Dedução: (R) φ, (φ ψ) ψ (R) φ φ. O segundo sistema está em [9]: Esquemas de Axiomas: Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em:

6 (A) φ (ψ φ) (A) (φ (ψ σ)) ((φ ψ) (φ σ)) (A3) (ψ (φ σ) (φ ψ) σ) (A4) φ (ψ (φ ψ)) (A5) (φ φ φ) ψ (A6) (( φ φ) φ) φ (A7) φ φ (A8) φ φ (A9) φ ( φ φ) (A) ( φ) (A) ( (φ ψ) (φ ψ) ψ) ( φ φ) (A) ( φ φ) ( (φ ψ) (φ ψ)) (A3) ((φ ψ) (φ ψ)) ((φ φ) (ψ ψ)). Regra de Dedução: (MP) φ, φ ψ ψ. O terceiro e último sistema que apresentamos está em [3]. O operador de inconsistência é a negação do operador de consistência, isto é, ψ = def ψ: Esquemas de Axiomas: (A) φ (ψ φ) (A) (φ ψ) ((φ (ψ σ)) (φ σ)) (A3) φ (ψ (φ ψ)) (A4) (φ ψ) φ (A5) (φ ψ) ψ (A6) φ (φ ψ) (A7) ψ (φ ψ) (A8) (φ σ) ((ψ σ) ((φ ψ) σ)) (A9) φ φ (A) φ φ (A) φ (φ ( φ ψ)) (A) φ (φ φ) (A3) (φ ψ) (( φ ψ) ( ψ φ)) (A4) (φ ψ) (( φ ψ) ( ψ φ)) (A5) (φ ψ) (φ ψ). Regra de Dedução: (MP) φ, φ ψ ψ. 3 O nosso sistema de axiomas para J 3 Motivados pelas lógicas LFI e pelo texto [4], propomos o seguinte sistema de axiomas para J 3 : Esquemas de Axiomas: Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em:

7 (A) φ (ψ φ) (A) (φ (ψ σ)) ((φ ψ) (φ σ)) (A3) (φ ψ) φ (A4) (φ ψ) ψ (A5) (σ φ) ((σ ψ) (σ (φ ψ))) (A6) φ (φ ψ) (A7) ψ (φ ψ) (A8) (φ σ) ((ψ σ) ((φ ψ) σ)) (A9) φ φ (A) φ (φ ψ) (A) φ (φ ( φ ψ)) (A) φ (φ φ) (A3) φ φ (A4) ( φ ψ) (φ ψ) (A5) ( φ ψ) (φ ψ). Regra de Dedução: (MP) φ, φ ψ ψ. Como pode ser visto em [] ou [], os axiomas (A) e (A) mais a regra MP garantem a validade do Teorema da Dedução para J 3 e também do teorema φ φ e da regra de dedução SH: φ ψ, ψ σ φ σ. Isto garante para o sistema uma relação de ordem dada por φ ψ φ ψ. Os axiomas (A3) e (A4) caracterizam φ ψ como um limitante inferior para o conjunto {φ, ψ} e, na presença do axioma (A5), então φ ψ torna-se o ínfimo do conjunto {φ, ψ}. De modo semelhante, os axiomas (A6), (A7) e (A8) tornam φ ψ no supremo do conjunto {φ, ψ}. Como temos uma relação de ordem em que a operação determina o mínimo para dois elementos quaisquer e determina o supremo para dois elementos quaisquer, então estas operações geram um reticulado. O correspondente algébrico de uma lógica que porta os axiomas (A) - (A8) mais a regra MP, é a lógica positiva, cujo modelo algébrico é um reticulado relativamente pseudo-complementado [], que é um reticulado distributivo. Os axiomas (A9) e (A) procuram sistematizar aspectos da negação no contexto lógico de J 3, embora a negação não ocorra de fato em (A). Como a negação joga um papel importante na caracterização da paraconsistência, precisamos olhar com cuidado para estes axiomas. O axioma (A) é equivalente à fórmula (φ φ φ) ψ. Dele depreende que se {φ, φ, φ} Γ, então para toda fórmula ψ, tem-se que Γ ψ. Assim, este axioma esclarece sob quais circunstâncias uma fórmula pode tornar um conjunto trivial no sentido de deduzir todas as fórmulas de J 3. O axioma (A) também é essencial e complementar para o caráter paraconsistente de J 3, pois indica que uma fórmula e sua negação podem ocorrer em certas situações. Os axiomas (A3), (A4) e (A5) garantem que se φ e ψ são consistentes, então as suas negações, condicionais e disjunções também são consistentes. Decorre que, neste caso, também a conjunção é consistente. Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em:

8 Proposição ( φ ψ) (φ ψ) Demonstração: Se φ e ψ, pelo axioma (A3), temos φ e ψ. De (A6), segue que ( φ ψ). Mais uma vez, por (A3), temos ( φ ψ) e, por De Morgan, (φ ψ). Proposição 3 {φ, ψ} φ ψ Demonstração: Se temos φ e ψ, pelo axioma (A), temos também φ ((σ σ) φ) e ψ ((σ σ) ψ). Por duas aplicações de MP temos (σ σ) φ e (σ σ) ψ. Do axioma (A5) segue que ((σ σ) φ) (((σ σ) ψ) ((σ σ) (φ ψ))). Por duas aplicações de MP temos (σ σ) (φ ψ). Como vale σ σ, então temos φ ψ. Proposição 4 (i) φ (ψ σ) (φ ψ) σ (ii) φ (ψ (φ ψ)). Demonstração: (i) Usaremos o Teorema da Dedução. ( ) Assumimos que valem φ (ψ σ) e φ ψ. Dos axiomas (A3) e (A4) na segunda premissa, temos φ e ψ. Por duas aplicações da MP na primeira premissa obtemos σ. ( ) Assumimos que valem (φ ψ) σ, φ e ψ. Da proposição anterior, segue que {φ, ψ} φ ψ e, então {φ, ψ} σ. Por duas aplicações do Teorema da Dedução temos φ (ψ σ). (ii) Como vale (φ ψ) (φ ψ), usando (i) temos φ (ψ (φ ψ)). Proposição 5 (( φ φ) φ) φ. Demonstração: Em acordo com o exemplo (i), devemos mostrar que φ φ e, pela definição de condicional em J 3, que φ φ. Do axioma (A), temos φ φ. Segue, pelo exemplo (h), que φ φ e, então, φ φ. Da definição de negação forte, temos que φ φ. 4 Correção Para a correção, precisamos mostrar que todo teorema de J 3 é válido segundo o modelo M J3. Isto é o que é conhecido como correção fraca. Mostraremos algo um pouco mais forte, que a cada consequência sintática corresponde uma consequência semântica. Teorema 6 (Correção) Γ γ Γ γ. Demonstração: Por indução sobre o comprimento da dedução Γ γ. Se o comprimento desta dedução é, então γ Γ ou γ é um axioma de J 3. Se γ Γ, então o resultado é imediato. Agora, devemos verificar que cada axioma de J 3 é válido segundo M J3. Faremos apenas mais alguns casos, pois (A), (A6), (A9) e (A) já estão mostrados nos exemplos (a), (b), (c) e (d) da Seção. A validade dos axiomas (A7) e (A3) é imediata. (A) φ (φ ( φ ψ)): Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 3

9 (A) φ (φ φ): φ (φ ( φ ψ)) φ (φ φ) Agora o passo indutivo. Se a dedução tem n passos, então o enunciado vale para todas as fórmulas que ocorrem até o passo n e aí a única regra de dedução, a MP, é aplicada. Assim, temos ρ, ρ δ δ. Pela hipótese de indução v(ρ) D e v(ρ δ) D. Logo, v(δ) D e, portanto, δ é válida segundo M J3. Com o Teorema da Correção, temos que todas as fórmulas de J 3 que são demonstradas no sistema de axiomas de J 3 são válidas segundo a semântica matricial M J3. O passo seguinte é mostrar que o sistema de axiomas usado demonstra todas as fórmulas que são válidas segundo M J3. 5 Completude A completude sempre exige mais esforços. Precisamos de algumas definições iniciais. Definição 7 Seja Γ {φ, ψ} F or(j 3 ): (i) o conjunto das consequências de Γ é o conjunto C(Γ) = {φ : Γ φ}; (ii) o conjunto Γ é uma teoria se C(Γ) Γ; (iii) o conjunto Γ é não trivial se existe alguma fórmula ψ tal que Γ ψ, isto é, C(Γ) F or(j 3 ); (iv) o conjunto Γ é completo quando para toda fórmula φ: Γ φ Γ {φ} é trivial; (v) o conjunto Γ é adequadamente completo se é completo e não trivial. A inclusão Γ C(Γ) vale sempre. Uma teoria é um conjunto Γ tal que Γ = C(Γ). Cada conjunto completo é uma teoria, pois já conta com todas as suas consequências. A definição de conjunto completo do item (iv) não exclui a possibilidade de Γ ser trivial, pois neste caso não ocorre que Γ φ e, desse antecedente falso, temos uma verdade. O conceito essencial é o de conjunto adequadamente completo, que coincide com o de maximal e não trivial. Este é tal que se tiramos uma fórmula, ele deixa de ser maximal e se incluímos uma nova fórmula ele deixa de ser não trivial. Nos resultados seguintes consideramos sempre Γ F or(j 3 ). Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 4

10 Proposição 8 O conjunto Γ é não trivial se, e somente se, para toda fórmula φ F or(j 3 ), no máximo duas dentre φ, φ, φ estão em C(Γ). Demonstração: ( ) Se para alguma fórmula φ F or(j 3 ), temos que {φ, φ, φ} C(Γ), então, pelo axioma (A), o conjunto Γ é trivial. ( ) Se alguma fórmula não está em C(Γ), então Γ é não trivial. Proposição 9 O conjunto Γ é adequadamente completo se, e somente se, para toda fórmula φ F or(j 3 ), exatamente duas dentre φ, φ, φ estão em C(Γ). Demonstração: ( ) Como Γ é adequadamente completo, então é não trivial. Pela proposição anterior, no máximo duas dentre φ, φ, φ estão em C(Γ). Por outro lado, a condição de conjunto completo dá maximalidade dedutiva para Γ e, desse modo, não pode ocorrer menos que duas dentre φ, φ, φ em C(Γ). ( ) Consideremos que para toda fórmula φ F or(j 3 ), exatamente duas dentre φ, φ, φ estão em C(Γ). Pela proposição anterior, Γ é não trivial. Agora, se Γ ψ, então ψ é a terceira dentre as três fórmulas do tipo φ, φ, φ, para alguma φ e, assim, Γ {ψ} é trivial. Proposição Para toda fórmula φ F or(j 3 ), há uma J 3 -valoração v tal que v satisfaz duas dentre φ, φ, φ e não satisfaz a outra. Demonstração: Se v (φ) =, então v ( φ) = e v ( φ) = ; Se v (φ) =, então v ( φ) = e v ( φ) = ; Se v (φ) =, então v ( φ) = e v ( φ) =. Este resultado sugere que cada uma dentre φ, φ, φ é independente das outras duas. Proposição Γ φ Γ { φ, φ} é trivial. Demonstração: ( ) Se Γ φ, então Γ { φ, φ} φ φ φ e, portanto, Γ { φ, φ} é trivial. ( ) Se Γ { φ, φ} é trivial, então para toda fórmula σ, temos que Γ { φ, φ} σ. Em particular, Γ { φ, φ} φ. Pelo Teorema da Dedução, segue que Γ φ ( φ φ) e, pela Proposição 4 (i), Γ ( φ φ) φ. Agora, pela Proposição 5, temos que Γ φ. Corolário Se Γ é não trivial, então um dentre Γ { φ, φ}, Γ {φ, φ} e Γ { φ, φ} é não trivial. Lema 3 Se Γ é adequadamente completo, então: (i) ψ / Γ ψ Γ e ψ Γ; (ii) / Γ e Γ. Demonstração: (i) Como Γ é adequadamente completo, então o resultado segue da Proposição 9. (ii) Se Σ, então Σ é trivial. Como Γ é adequadamente completo, então / Γ e, depois, de (i), considerando-se =, temos que Γ. Agora veremos como os conjuntos adequadamente completos interagem bem com os axiomas da lógica J 3. Teorema 4 Se Γ é adequadamente completo, então valem: [] ψ σ Γ ψ Γ e σ Γ; [] ψ σ Γ ψ Γ ou σ Γ; [3] ψ Γ ψ Γ; [4] ψ σ Γ ψ / Γ ou σ Γ; Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 5

11 [5] ψ Γ ψ / Γ ou ψ / Γ; [6] ψ Γ ψ Γ e ψ Γ; [7] ψ Γ ψ Γ; [8] ψ, σ Γ (ψ σ) Γ [9] ψ, σ Γ (ψ σ) Γ [] ψ, σ Γ (ψ σ) Γ. Demonstração: Se Γ é adequadamente completo, então é uma teoria. [] Se ψ σ Γ, então dos axiomas (A3) e (A4), segue que ψ Γ e σ Γ. Por outro lado, se ψ Γ e σ Γ, a Proposição 4 (ii), que depende de (A5), garante que ψ σ Γ. [] De modo semelhante a [], segue dos axiomas (A6)-(A8). [3] Segue do axioma (A9). [4] ( ) Se ψ Γ, por MP, σ Γ. Logo, ψ / Γ ou σ Γ. ( ) Do axioma (A), ψ (ψ σ) Γ e daí, por [], segue que ψ Γ ou ψ σ Γ. Se ψ / Γ, então ψ σ Γ; e se σ Γ, de (A), segue que σ (ψ σ) Γ e, por MP, ψ σ Γ. [5] Segue da Proposição 9. [6] Segue do axioma (A) e de []. [7] ( ) Segue do axioma (A3). ( ) Mais uma vez, pelo axioma (A3), temos ψ ψ ψ ψ Γ. [8] [] Seguem dos axiomas (A4), (A5) e Proposição. Proposição 5 Para Γ {φ} F or(j 3 ), se existe uma J 3 -valoração v tal que v(σ) D σ Γ, então para toda fórmula φ: v(φ) = φ / Γ v(φ) = φ / Γ v(φ) = φ / Γ. Demonstração: v(φ) = v(φ) / D H φ / Γ; v(φ) = v( φ) = v( φ) / D H φ / Γ; v(φ) = v( φ) = v( φ) / D H φ / Γ. Proposição 6 Para Γ {φ} F or(j 3 ), se existe uma J 3 -valoração v tal que v(σ) D σ Γ, então Γ é adequadamente completo. Demonstração: Na visão das Proposições 9 e 5, basta mostrar que existe uma J 3 -valoração v tal que para toda fórmula φ: v(φ) = φ, φ Γ v(φ) = φ, φ Γ v(φ) = φ, φ Γ. Como para toda fórmula φ cada J 3 -valoração v atribui exatamente um valor do conjunto {,, }, então exatamente uma dentre φ, φ, φ não está em Γ. Portanto, vale a condição acima e Γ é adequadamente completo. Proposição 7 Se Γ é adequadamente completo, então existe uma J 3 -valoração v tal que v(σ) D σ Γ. Demonstração: Seja Γ adequadamente completo. Então para toda fórmula φ F or(j 3 ), exatamente duas dentre φ, φ, φ estão em Γ. ( ) Para cada variável p, se p / Γ, então seja v(p) =, se p Γ, então seja v(p) = e se p Γ, então seja v(p) =. Assim, temos uma valoração tal que v(σ) D σ Γ. ( ) Mostramos por indução na complexidade das fórmulas que ocorrem em Γ, que se σ Γ v(σ) D. Usamos as Proposições 9 e. Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 6

12 Se σ é uma variável p, então de acordo com a Proposição : se p, p Γ, então v(p) = se p, p Γ, então v(p) = se p, p Γ, então v(p) =. Se σ é uma negação ψ, então: se ψ, ψ Γ, por [7], ψ, ψ Γ e então v(ψ) = se ψ, ψ Γ, por [3], ψ, ψ Γ e então v(ψ) = se ψ, ψ Γ, por [3] e [7], ψ, ψ Γ e então v(ψ) =. Se σ é do tipo ψ, então não podem ocorrer σ e σ em Γ: se ψ Γ, por [6], ψ, ψ Γ e então v(ψ) = se ψ Γ, por [5], ψ / Γ ou ψ / Γ e então v(ψ) = ou v(ψ) =. Se σ é uma conjunção ψ η, então: se (ψ η), (ψ η) Γ, por [], ψ Γ, η Γ e (ψ η) Γ, então v(ψ) = e v(η) = se (ψ η), (ψ η) Γ, então (ψ η) / Γ. Daí, por [] e [], ψ, η Γ e ψ / Γ; ou ψ, η Γ e η / Γ, então v(ψ) = e v(η) D ou v(ψ) D e v(η) = se (ψ η), (ψ η) Γ, então ψ η, (ψ η) Γ, por [], ψ, (ψ η) Γ ou η, (ψ η) Γ e então v(ψ) = ou v(ψ) = e v(η) = ; ou v(η) = ou v(η) = e v(ψ) =. Se σ é uma disjunção ψ η, então: se (ψ η), (ψ η) Γ, por [], ψ Γ e (ψ η) Γ ou η Γ e (ψ η) Γ, então v(ψ) = ou v(η) =. se (ψ η), (ψ η) Γ, então (ψ η) / Γ e, por [9], ψ / Γ ou η / Γ. Da primeira afirmação segue que (ψ η), ψ η Γ, por [] e [], ψ, ψ, η Γ ou η, ψ, η Γ e então v(ψ) = e v(η) ; ou v(η) = e v(ψ) se (ψ η), (ψ η) Γ, então ψ η / Γ e, por [], ψ / Γ e η / Γ e, portanto, v(ψ) = = v(η). Se σ é do tipo ψ η, então: se ψ η, (ψ η) Γ, por [4], ψ / Γ ou η Γ e (ψ η) Γ e, daí, v(ψ) = ou v(η) =. se ψ η, (ψ η) Γ, então (φ ψ) / Γ, por [8], ψ / Γ ou η / Γ e, portanto, v(η) = e v(ψ) D se (ψ η), (ψ η) Γ, então ψ η / Γ, por [4], ψ Γ e η / Γ e, portanto, v(φ) D e v(ψ) =. Corolário 8 O conjunto Γ é adequadamente completo se, e somente se, existe uma J 3 -valoração v tal que v(σ) D σ Γ. Demonstração: Segue das duas proposições anteriores. Lema 9 Todo conjunto não trivial pode ser estendido a um conjunto adequadamente completo. Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 7

13 Demonstração: Se Γ é não trivial, então mostraremos que ele está contido em um conjunto adequadamente completo Σ. Consideremos uma enumeração de todas as fórmulas de J 3 : ψ, ψ, ψ, ψ 3,... e Σ = def Γ. Agora, respeitando a ordenação acima, definimos, indutivamente, a seguinte sequência de conjuntos de fórmulas. { (i) Σn {ψ n, ψ n }, se Σ n {ψ n, ψ n } é não trivial Σ n+ = def (ii) Σ n {ψ n, ψ n }, se Σ n {ψ n, ψ n } é não trivial. (iii) Σ n { ψ n, ψ n }, se Σ n { ψ n, ψ n } é não trivial, Finalmente, seja Σ = def n N Σ n. Por construção, para cada n N, o conjunto Σ n é não trivial e, desse modo, também Σ é não trivial. Além disso, Γ = Σ Σ e o conjunto Σ é adequadamente completo, pois percorre todo o conjunto F or(j 3 ). Proposição O conjunto Γ é não trivial se, e somente se, tem um modelo dado por uma J 3 -valoração. Demonstração: Se Γ é não trivial, então pode ser estendido a um conjunto adequadamente completo Σ, para o qual há uma J 3 -valoração tal que v(σ) D σ Γ. Por outro lado, se há uma J 3 -valoração tal que v(σ) D σ Γ, então existe ψ F or(j 3 ) tal que v(ψ) / D e, portanto, ψ / Γ. Teorema (Completude) Γ γ Γ γ. Demonstração: Se Γ γ, pela Proposição, o conjunto Γ { γ, γ} é não trivial. Do Lema 9, há uma teoria adequadamente completa Σ tal que Γ { γ, γ} Σ. Pelo Corolário 8, existe uma J 3 -valoração v tal que v(σ) D se, e somente se, σ Σ. Assim, v( γ), v( γ) D e v(γ) / D. Logo, Γ γ. Os resultados seguintes dão ênfase à dedutibilidade finita de J 3. Proposição Se Γ ψ, então existe um subconjunto finito Γ f Γ, tal que Γ f ψ. Demonstração: Se Γ ψ, pelo Teorema da Completude, Γ ψ. Daí, seja Γ f um subconjunto finito de Γ, constituído pelas fórmulas que ocorrem numa dedução de ψ a partir de Γ. Assim, Γ f ψ e, pelo Teorema da Correção, Γ f ψ. Proposição 3 Se todo subconjunto finito de Γ tem modelo, então Γ tem modelo. Demonstração: Se Γ não tem modelo, então é trivial. Portanto, para alguma fórmula ψ, Γ ψ ψ ψ. Seja Γ f o subconjunto finito de Γ determinado pelas fórmulas que ocorrem na dedução de ψ ψ ψ a partir de Γ f. Desse modo, Γ f ψ ψ ψ e, portanto, Γ f é trivial. Logo, Γ f não tem modelo. Segue destas proposições o Teorema da Compacidade. Teorema 4 (Compacidade) O conjunto de fórmulas Γ tem modelo se, e somente se, todo subconjunto finito de Γ tem modelo. Considerações finais Introduzimos um conjunto de axiomas levemente distinto das versões anteriores, as quais foram mencionadas no texto. Entendemos que nosso conjunto de axiomas Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 8

14 é mais simples que os anteriores e conta com uma argumentação mínima sobre a presença de cada axioma no sistema hilbertiano proposto. Este sistema é correto e completo para as matrizes de J 3, denotada por M J3. Demos uma demonstração bastante simples e direta, motivada por [9], mas com algumas contribuições nossas. Finalmente, mostramos que o sistema é adequado, mas não temos certeza de que precisamos de todos os axiomas do sistema. Não mostramos a independência dos axiomas, mas apenas que eles dão conta de gerar todas as fórmulas J 3 -válidas. Fica então a questão de saber se podemos dispensar algum dos axiomas ou parte deles. Agradecimentos Agradecemos apoio do CNPq e da FAPESP. Referências [] BOLC, L., BOROWIK, P. Many-valued logics: theoretical foundations. Berlin: Springer-Verlag, 99. [] CARNIELLI, W.; CONIGLIO, M. E; MARCOS, J. Logics of formal inconsistency. In GABBAY, D.; GUENTHNER, F. (Eds.) Handbook of Philosophical Logic, nd. ed., v. 4, p. -93, 7. [3] CARNIELLI, W. A.; MARCOS J.; AMO S. Formal inconsistency and evolutionary databases. Logic and Logical Philosophy, v. 8, p. 5-5,. [4] CONIGLIO, M. E.; SILVESTRINI, L. H. C. An alternative approach for quasitruth. Logic Journal of IGPL, v., p , 4. [5] D OTTAVIANO, I. M. L. The completeness and compactness of a three-valued first-order logic. Revista Colombiana de Matemáticas, v. XIX, n. 9, p , 985. [6] D OTTAVIANO, I. M. L. Definability and quantifier elimination for J 3 -theories. Studia Logica, v. XLVI, v. 46, n., p , 987. [7] D OTTAVIANO, I. M. L.; da COSTA, N. C. A. Sur un problème de Jáskowski. Comptes Rendus de l Académie de Sciences de Paris (A-B), v. 7, p , 97. [8] ENDERTON, H. B. A mathematical introduction to logic. San Diego: Academic Press, 97. [9] EPSTEIN, R. L. The semantic foundations of logic. Volume : propositional logics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 99. [] FEITOSA, H. A.; PAULOVICH, L. Um prelúdio à lógica. São Paulo: Editora, UNESP, 5. [] MALINOWSKI, G. Many-valued logics. Oxford: Clarendon Press, 993. [] RASIOWA, H. An algebraic approach to non-classical logics. Amsterdam: North-Holland, 974. Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 4, p. 6-9, ago. 5. DOI:.67/cqdvol hafgacacjg69 - Disponível em: 9