Algoritmos para o problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios

Algoritmos para o problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios Camila Mari Matsubara Orientador: Prof. Dr. José Coelho de Pina Defesa de mestrado Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo Dezembro de 2012

Sumário Árvore de Steiner Árvore de Steiner com coleta de prêmios Algoritmo de ABHK Considerações finais

Árvore de Steiner Dados: um grafo e um subconjunto R de vértices terminais. : R

Árvore de Steiner Conecta os vértices terminais. Exemplo: : R

Custo da árvore de Steiner Dados custos nas arestas, o custo desta árvore de Steiner é 7 + 4 + 2 + 4 + 3 + 5 + 3 = 28. 7 4 2 2 4 3 5 1 2 3 1

O problema da árvore de Steiner Dados: Grafo G Custos c e 0 nas arestas Subconjunto R de vértices terminais Objetivo: Encontrar uma árvore de Steiner T de G com custo mínimo

O problema da árvore de Steiner Exemplo: árvore com custo mínimo 4 + 2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 = 15. 7 4 2 2 4 3 5 1 2 3 1

Caminho Mínimo Se R = 2 : problema do caminho mínimo. 7 4 2 2 4 3 5 1 2 3 1 : R

Árvore Geradora Mínima Se R = V G : problema da árvore geradora mínima. 7 4 2 2 4 3 5 1 2 3 1 : R

Complexidade computacional Fato: o problema da árvore de Steiner é NP-difícil. Redução polinomial do problema CE d (U, F) para o problema MinST d (G, c, R, k)

Complexidade computacional Exemplo de cobertura exata: U = {1, 2, 3, 4, 5} e F = {{1}, {1, 2, 3}, {2, 3}, {4, 5}, {1, 2, 4}, {1, 3, 5}}, a subfamília {{1}, {2, 3}, {4, 5}} é uma cobertura exata de U

Complexidade computacional U = {1, 2, 3, 4, 5} e F = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {1, 2, 4}, {1, 3, 5}, {2, 3}, {1}}, n 0 1 2 3 3 3 2 t = U k = t + t 2 {1} {2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 3, 5} {4, 5} 1 2 3 4 5 arestas com custo 5

Complexidade computacional {1} n 0 1 2 3 3 3 2 t = U k = t + t 2 {2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 3, 5} {4, 5} 1 2 3 4 5 arestas com custo 5

Um pouco de história... Algoritmos de aproximação: 2,000 Goemans e Williamson, 1995 1,833 Zelikovsky, 1993 1,746 Berman e Ramaiyer, 1992 1,693 Zelikovsky, 1997 1,667 Promel e Steger, 1997 1,644 Karpinski e Zelikovsky, 1997 1,598 Hougardy, 1999 1,550 Robin e Zelikovsky, 2005 1,390 Byrka, Grandoni, Rothvoss e Sanita, 2010

Programação linear: Primal minimize sob as restrições custo da árvore corte de todo conjunto ativo contém uma aresta A A = {A : A é ativo}

Programação linear: Dual maximize sob as restrições largura das molduras dos conjuntos ativos molduras respeitam custos das arestas

Algoritmo MinST-GW 1. Expansão: enquanto há componente ativo Incrementar molduras dos componentes ativos até uma aresta ficar justa Adicionar esta aresta à floresta e iniciar outra iteração

Execução: MinST-GW Grafo G:

Execução: expansão

Execução: fim da expansão

Algoritmo MinST-GW 2. Poda: Calcular árvore de Steiner minimal

Execução: fim da expansão

Execução: poda

Fator de aproximação O algoritmo MinST-GW é uma 2-aproximação

Custos e penalidades Dados: um grafo, custos nas arestas e penalidades nos vértices. 3 7 6 42 4 2 1 2 5 4 3 7 1 8 5 4 2 3 2 1 4

O problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios Dados: Grafo G Custos c e 0 nas arestas Penalidades π v 0 nos vértices Objetivo: Encontrar uma árvore T de G que minimize custos das arestas + penalidades dos vértices fora

Custo da árvore de Steiner com coleta de prêmios O custo de T é 4+4+3+1+2 + 3+42+5+4 = 68. 3 7 6 42 4 2 1 2 5 4 3 7 1 8 5 4 2 3 2 1 4

Árvore de Steiner com coleta de prêmios O custo de T é 4+4+3+1+2+2 + 3+5+4 = 28. 3 7 6 42 4 2 1 2 5 4 3 7 1 8 5 4 2 3 2 1 4

Versão com raiz O custo de T r é 7+4+2+3+1 + 5+4+4+2 = 32. r 7 6 42 4 2 1 2 5 4 3 7 1 8 5 4 2 3 2 1 4

Complexidade computacional O problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios também é NP-difícil.

Um pouco de história... 3 Bienstock, 1993 2 1 n 1 Goemans e Williamson, 1995 2 Johnson, Minkoff e Philips, 2000 2 2 n Feofiloff, Fernandes, Ferreira e Pina, 2007 2 ε Archer, Bateni, Hajiaghayi, Karloff, 2009

Programação linear: Primal minimize custo da árvore + penalidades dos vértices fora da árvore A A = {A : A é ativo}

Programação linear: Dual maximize sob as restrições largura das molduras dos conjuntos ativos molduras respeitam custos e penalidades

Algoritmo PCST-GW 1. Expansão: enquanto há pelo menos 2 componentes ativos Incrementar molduras dos componentes ativos até: a. uma aresta ficar justa, ou b. um componente ficar saturado, ou c. o complemento de um componente ficar saturado a. Adicionar a aresta à floresta e iniciar outra iteração, ou b. Desativar o componente e iniciar outra iteração (Z), ou c. Devolver a árvore induzida por este componente

Execução: PCST-GW e 9 c 7 9 d b8 3 a

Execução: aresta justa e 9 c 7 9 d b8 3 a

Execução: aresta justa 9 e c 7 9 d b8 3 a

Execução: componente saturado 9 e c 7 9 d b 8 3 a

Execução: fim da expansão 9 e c 7 9 d b8 3 a

Algoritmo PCST-GW 2. Poda: enquanto há um conjunto S que foi desativado (Z) tal que δ T (S) = 1 Remover S da árvore T e iniciar nova iteração

Execução: fim da expansão 9 e c 7 9 d b8 3 a

Execução: ponte! 9 e c 7 9 d b8 3 a ponte!

Execução: poda 9 e c 7 9 d b8 3 a

Algoritmo com raiz Penalidade da raiz r =

Fator de aproximação A árvore T devolvida por R-PCST-GW satisfaz c(t ) + 2 π(t ) 2 opt

ABHK - Visão geral O algoritmo R-PCST-GW lida bem quando árvore paga muita penalidade Estratégia Gerar duas árvores T GW e T ST e devolver a mais barata

Primeira candidata T GW = R-PCST-GW(G, r, c, 1 2 π)

Análise da primeira candidata (0) T GW = R-PCST-GW(G, r, c, 1 2 π) T = R-PCST-GW(G, r, c, π) O = árvore ótima da instância (G, r, c, π)

Análise da primeira candidata (1) c(t GW ) + 2 c(t ) + 2 π(t ) 2 opt ( ) 1 2 π (T GW ) 2 opt 1 2 c(t GW ) + π(t GW ) 2 opt 1 2

Análise da primeira candidata (2) c(t GW ) + π(t GW ) 2 opt 1 2 2 (c(o) + 12 π(o) ) = 2c(O) + π(o) = 2opt π(o)

Análise da primeira candidata (3) c(t GW ) + π(t GW ) 2opt π(o) δ = π(o) opt c(t GW ) + π(t GW ) 2 opt δopt = (2 δ) opt

Segunda candidata: intuição Mas e se δ < ε? Ideia ingênua: Identificar vértices terminais, usando R-PCST-GW Utilizar um algoritmo para o problema MinST como caixa-preta

Segunda candidata Execute R-PCST-Expansão(G, r, c,βπ) β > 1 D β = S Z S T ST = MinST ρ (G, c,d β )

Análise da segunda candidata Limitar c(t ST ) e π(t ST )

Análise da segunda candidata Demonstra-se que: c(t ST ) ρ(1 + (2β 1)δ) opt π(d β ) ( ) 1 δ β + δ opt

Análise da segunda candidata c(t ST ) + π(t ST ) ( ρ(1 + (2β 1)δ) + 1 δ β + δ ) opt

Análise da segunda candidata Teorema Se β = 2 2 ρ, então o algoritmo R-PCST-ABHK tem fator de aproximação 2 ( 2 ρ 2+ρ )2

Fator de aproximação Finalmente... A árvore T devolvida por R-PCST-ABHK satisfaz c(t ) + π(t ) (2 ε(ρ)) opt

Fatores de aproximação MinST ρ Fator de R-PCST-ABHK Zelikovsky (1993) 1,83 1,9982 Robin e Zelikovsky (2005) 1,55 1,9839 Byrka et al.(2010) 1,39 1,9672 opt MinST 1,00 1,8889

Curiosidade Algoritmo R-PCST-ABHK não tenta resolver o problema original.

R-PCST-ABHK PCST-GW Comparativo entre os fatores 2 ε e 2 2 n : MinST ρ 2 ε n >? Zelikovsky (1993) 1,83 1,9982 1111 Robin e Zelikovsky (2005) 1,55 1,9839 124 Byrka et al.(2010) 1,39 1,9672 60 opt MinST 1,00 1,8889 18

Resumindo... Descrição e análise dos principais algoritmos de aproximação: MinST, PCST, R-PCST; Padronização para conceitos, notação e algoritmos; Descrição e análise do algoritmo R-PCST-ABHK.

Que interessante... com ou sem raiz? prize-collecting; relaxação linear importante (conceito de A);

Futuro (2 ε)-aproximação sem raiz; implementações; abordagens diferentes.

Referências 1 Uma introdução sucinta a algoritmos de aproximação, 2001 M.Carvalho, M.Cerioli, R.Dahab, P.Feofiloff, C.Fernandes, C.Ferreira, K.Guimarães, F.Miyazawa, J.Pina, J.Soares, Y.Wakabayashi 2 A general approximation technique for constrained forest problems, 1995 M.Goemans, D.Williamson

Referências Primal-dual approximation algorithms for the Prize-Collecting Steiner Tree Problem, 2007 P.Feofiloff, C. Fernandes, C.Ferreira, J.Pina Improved approximation algorithms for Prize-Collecting Steiner Tree and TSP, 2011 A.Archer, M.Bateni, M.Hajiaghayi, H.Karloff

Um exemplo ruim Para k 2, um 2k-ciclo + um vértice: 1 1 1+z 1 1+z 1+z 1 1 1 k = 3

Um exemplo ruim T α : custo = 2k 2 1 1 1+z 1 1+z 1+z 1 1 1 custo = 4

Um exemplo ruim Árvore ótima: custo = k(1 + z) Fator de aproximação 2 quando k e z 0 1 1 1 1+z 1+z 1+z 1 1 1 custo = 3+3z

Análise da segunda candidata T ST Limitar separadamente c(t ST ) e π(t ST ).

Análise da segunda candidata π(t ST ) É suficiente limitar π(d β ). Vale que π(d β ) ( ) 1 δ + δ opt β

Análise da segunda candidata c(t ST ) Vale que c(t ST ) ρ(1 + (2β 1)δ

Análise da segunda candidata c(t ST ) detalhe Hipótese: Vale lema 5.5 Sejam T, y, L F e Z = R-PCST-Expansão(G, r, c, π). D = S Z S I qualquer subconjunto de vértices de V G que contém r A = D \ I = I \ D Então existe uma floresta K T que satisfaz: 1 V K contém todos os vértices em A; 2 Cada árvore na floresta K inclui exatamente um vértice de I ; 3 c(k) 2 S I y S 2π(I ).

Análise da segunda candidata c(t ST ) fig1 I I D r A D O diagrama ilustra os subconjuntos I e D de V G. As arestas sólidas representam a floresta K.

Análise da segunda candidata c(t ST ) fig2 I I D r A D As arestas em linhas pontilhadas conectam vértices em I e as arestas sólidas formam a árvore T.

Análise da segunda candidata c(t ST ) fig3 D D I r (a) I A (a) Na primeira fase, as arestas de T que conectam dois vértices de I são removidas. D D I r (b) I A (b) Na segunda fase, os conjuntos pontilhados que foram desativados durante a execução de R-PCST-Expansão e que não contêm vértices de I são removidos.