Projeto de doutorado Recoloração Convexa de Árvores

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1 Projeto de doutorado Recoloração Convexa de Árvores Orientadora: Yoshiko Wakabayashi Área de Concentração: Otimização Combinatória Resumo Dada uma árvore T = (V, E), uma coloração de T é uma função f : V C, onde C é um conjunto de cores. Notamos que não estamos nos referindo aqui a uma coloração própria (como definido em teoria dos grafos), trata-se aqui de uma simples atribuição de cores, sem nenhuma restrição. Uma coloração de T é convexa se para toda cor i C o conjunto de vértices coloridos com a cor i induz uma subárvore de T. Quando uma coloração de uma árvore não é convexa, é desejável saber quão distante esta está de uma coloração convexa. O conceito de distância de recoloração captura essa medida, definida com sendo o número mínimo de alterações de cor que precisam ser efetuadas para que a árvore fique com uma coloração convexa. Uma alteração de cor consiste simplesmente na mudança de uma cor (de um vértice) para uma outra cor distinta. Estudos sobre distância de recoloração surgiram em estudos de árvores filogenéticas (árvores que representam o curso de evolução de um conjunto de espécies), objetos de muito interesse em biologia computacional. O presente projeto consiste no estudo do problema da recoloração convexa de árvores, com enfoque nos seus aspectos algorítmicos e computacionais. Em 2005, Moran e Snir [3] mostraram que encontrar essa distância é NP-difícil mesmo para o caso especial de caminhos. Dando continuidade a este trabalho, ainda em 2005, Moran e Snir [4] apresentaram uma versão preliminar do trabalho [5] no qual apresentaram um algoritmo de 3-aproximação para calcular tal distância. Para o caso especial em que T é um caminho, esses autores obtiveram um algoritmo de 2-aproximação. Posteriormente, também em 2005, Bar- Yehuda, Feldman e Rawitz [1] apresentaram um algoritmo de (2+ǫ)-aproximação. Temos interesse em obter algoritmos com desempenho melhor do que os já existentes na literatura, ou obter resultados sobre limiar de aproximabilidade do problema em foco e de suas variantes. A variante mais simples é aquela em que as alterações de cor são contadas uniformemente (apenas contabilizando quantos vértices tiveram suas cores alteradas): essa é a versão sem pesos. No caso caso mais geral, os vértices podem ter pesos distintos e a distância de recoloração é a que minimiza a soma dos pesos dos vértices que tiveram suas cores alteradas. Os algoritmos conhecidos utilizam técnicas combinatórias ad hoc talhadas para os problemas em foco. Esperamos desenvolver outras técnicas e obter resultados que contribuam para o estado-da-arte deste assunto. 1

2 1 Introdução Em biologia computacional, o estudo de árvores filogenéticas ocupa um lugar de grande destaque, pois trata de uma questão fundamental que é o da evolução das espécies. As folhas de uma árvore filogenética representam as espécies existentes, e os vértices internos representam espécies extintas. Um caractere é um atributo biológico compartilhado entre todas as espécies em consideração. Um caractere pode ser visto como uma coloração de espécies (vértices), onde cada cor representa um estado do caractere. Por exemplo, um tipo de caractere considerando um conjunto de seres vivos é a forma como as espécies se locomovem, e alguns estados de caracteres são rastejamento, locomoção na água e no ar. Cada estado destes pode ser representado por uma cor. Uma coloração (dos vértices) de uma árvore é chamada convexa se para quaisquer dois vértices u e v coloridos com a cor i, todo vértice no caminho de u para v tem também a cor i. Ou, equivalentemente, se cada cor induz uma subárvore. Uma árvore colorida T, cujo conjunto de cores é C é denotada por (T, C). Dada uma árvore colorida (T, C), o problema de recoloração convexa consiste em determinar a distância de recoloração de (T, C). No modelo sem peso nos vértices, a distância de recoloração é definida como sendo o número mínimo de alteração de cores que precisam ser efetuadas para que a árvore T fique com uma coloração convexa. Para o modelo com pesos nos vértices, dada uma função peso com valores não-negativos sobre os vértices de T, a distância de recoloração é definida como sendo a soma dos pesos dos vértices recoloridos. Esses modelos (com peso e sem peso nos vértices) são ditos uniformes quando o custo de trocar a cor de um vértice independe das cores envolvidas. A maioria dos modelos que estudaremos serão modelos não-uniformes: nestes, o custo de colorir um vértice v com uma cor d é um número custo(v,d) não-negativo arbitrário. 2

3 Na figura 1 exemplificamos a transformação de uma árvore filogenética com coloração não-convexa em uma árvore com coloração convexa. Supondo que os pesos nos vértices são unitários para todos os vértices da árvore, neste exemplo, o custo para obter a nova coloração é 2, visto que somente dois vértices tiveram suas cores alteradas. Tais vértices estão indicados em negrito. Propomos assim, como resultado da pesquisa eos estudos serão conduzidos individualmente pela aluna, sob a supervisão da orientadora, e sempre que necessário serão realizados seminários para esclarecimentos de dúvidas. Figura 1: Transformação de uma árvore filogenética com coloração não-convexa em uma com coloração convexa Dado um conjunto de espécies relacionadas, o objetivo da reconstrução filogenética é obter uma árvore que melhor descreva a evolução desse conjunto de espécies. Usualmente é dada uma árvore T filogenética, e é introduzido um novo caractere o qual atribui estado a algumas espécies. Temos assim uma árvore filogenética com coloração parcial, pois uma coloração C atribui cores somente a algum subconjunto U V. Neste contexto, a definição de coloração convexa é estendida a árvore colorida parcialmente. Uma coloração parcial é dita convexa se esta pode ser estendida a uma coloração convexa total. Uma restrição natural biológica é que a reconstrução filogenética tem a propriedade de que cada um dos caracteres pode ter evoluído sem transição reversa ou transição convergente. Numa transição reversa algumas espécies recuperam um estado de caractere de 3

4 algum ancestral distante enquanto seu ancestral recente perdeu este estado. Uma transição convergente ocorre se duas espécies possuem o mesmo estado de caractere, enquanto seu ancestral comum mais próximo possui um estado diferente. Em termos de teoria dos grafos, a falta de transição reversa e a falta de transição convergente numa reconstrução filogenética significam que o caractere é convexo nesta árvore, no sentido de que cada uma das cores que representam um dos estados do caractere induz uma subárvore. Dessa forma, uma árvore com coloração convexa (caractere convexo) corresponde a uma árvore filogenética perfeita. O problema da filogenia perfeita recebe um conjunto de espécies (vértices), um conjunto de caracteres (colorações), e cada caractere (coloração) atribui o estado de caractere (cor) à espécie (vértice). A questão é decidir se existe uma árvore T contendo todas as espécies (vértices) em que todos os caracteres (colorações) são convexos. Moran e Snir [3] estudaram a complexidade de calcular a distância de recoloração motivados pelo cenário de introduzir um novo caractere numa árvore filogenética existente, ou seja, inserindo coloração nesta árvore. Eles mostraram que encontrar a distância de recoloração no modelo sem peso nos vértices é NP-difícil mesmo para um caminho e também para o caso onde os estados de caracteres são dados somente nas folhas (coloração parcial). Apresentaram algoritmos para calcular a distância de recoloração em modelos de pesos uniformes e não-uniformes. Em 2005, Moran e Snir [4, 5], apresentaram um algoritmo de 3-aproximação para o problema de recoloração convexa de complexidade O( C n 2 ), e um algoritmo de 2-aproximação para o mesmo problema em caminhos de complexidade O( C n), onde n é o número de vértices da árvore. Em 2006, Yehuda, Feldman e Rawitz [1] melhoraram o algoritmo obtido por Moran e Snir, exibindo uma (2 + ǫ)-aproximação. Além desses algoritmos de 4

5 aproximação são conhecidos algoritmos FTP (Fixed Parameter Tractability) [2, 6]. 2 O projeto Este projeto tem como foco o problema da recoloração convexa de árvores. Trata-se de um problema que surgiu motivado por estudos de filogenia, que é também interessante do ponto de vista téorico, pelas questões desafiadoras que levanta. Em se tratando de um problema relativamente recente, é um tópico que ainda requer pesquisas mais exaustivas, tanto na busca de melhores resultados algorítmicos como na busca de resultados teóricos que mostrem ser impossível (sob a hipótese de que P NP) obter razões de aproximação melhores. No caso de caminhos, uma questão interessante é descobrir se o problema admite um esquema de aproximação polinomial. Abordaremos as versões sem pesos e com pesos. Referências [1] Reuven Bar-Yehuda, Ido Feldman, and Dror Rawitz. Improved approximation algorithm for convex recoloring of trees. In Approximation and online algorithms, volume 3879 of Lecture Notes in Comput. Sci., pages Springer, Berlin, [2] Hans L. Bodlaender, Michael R. Fellows, Michael A. Langston, Mark A. Ragan, Frances A. Rosamond, and Mark Weyer. Quadratic kernelization for convex recoloring of trees. In Proceedings COCOON 2007, volume 4598 of Lecture Notes in Comput. Sci., pages Springer. [3] Shlomo Moran and Sagi Snir. Convex recolorings of strings and trees: definitions, hardness results and algorithms. In Algorithms and data structures, volume 3608 of 5

6 Lecture Notes in Comput. Sci., pages Springer. [4] Shlomo Moran and Sagi Snir. Efficient approximation of convex recolorings. In Approximation, randomization and combinatorial optimization, volume 3624 of Lecture Notes in Comput. Sci., pages Springer, Berlin, [5] Shlomo Moran and Sagi Snir. Efficient approximation of convex recolorings. J. Comput. System Sci., 73(7): , [6] Igor Razgon. A 2 O(k) poly(n) algorithm for the parameterized convex recoloring problem. Inform. Process. Lett., 104(2):53 58,