Algoritmos para o problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios. Índice. Camila Mari Matsubara Orientador: Prof. Dr. José Coelho de Pina

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1 Exame de Qualicação Mestrado em Ciência da Computação Algoritmos para o problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios Camila Mari Matsubara Orientador: Prof. Dr. José Coelho de Pina 31 de julho de 2011 Índice 1 Introdução 2 2 Árvore de Steiner 4 3 Árvore de Steiner com coleta de prêmios 13 4 Algoritmo de Goemans e Williamson 14 5 Algoritmo GW não-enraizado 16 6 Algoritmo de ABHK 19 7 Tópicos estudados e projeto 21

2 1 Introdução O problema da árvore de Steiner consiste em, dado um grafo com custo nas arestas e um conjunto de vértices denominados terminais, determinar um subgrafo conexo que contém todos os vértices terminais e cuja soma dos custos das arestas seja a menor possível. Ele pode conter outros vértices além dos terminais. Este subgrafo de custo mínimo existe para qualquer grafo conexo dado, e podemos supor que é uma árvore quando os custos das arestas são positivos. O nome do problema é uma homenagem ao matemático suíço Jakob Steiner, de grande inuência e destaque no estudo de geometria. O problema surgiu no início do século 19, a partir da ideia de conectar três aldeias com um sistema de estradas de comprimento mínimo. Sua descrição inicial era: Em um dado triângulo acutângulo ABC, localizar um ponto P cuja soma das distâncias a A, B e C seja mínima. O problema descrito foi pela primeira vez denominado problema de Steiner no livro What is Mathematics? em 1941, de R. Courant e H. Robbins [5]. Os progressos no problema da árvore de Steiner foram rápidos desde 1990, quando Zelikovsky [18] apresentou o fator de aproximação de 1,833 o primeiro algoritmo a melhorar o ingênuo fator 2. Berman e Ramaiyer [2] diminuíram o fator para 1,746 em Zelikovsky alcançou uma 1,693-aproximação em 1997, seguida da melhoria de Promel e Steger para 1,667 e de Karpinski e Zelikovsky [14] para 1,644 em Em 1999, Hougardy e Promel [12] apresentaram uma 1,598-aproximação. O melhor fator de aproximação encontrado para o problema da árvore de Steiner é 1,55 devido a Robins e Zelikovsky [16], em No problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios (PCST, Prize- Collecting Steiner Tree), além do custo das arestas, o grafo também possui um valor de penalidade para cada vértice. Não é dado um conjunto de vértices terminais. Então, o objetivo é obter uma árvore que minimize a soma dos custos de suas arestas e as penalidades dos vértices que não pertencem à árvore. O problema da árvore de Steiner pode ser visto como um caso particular do PCST, quando os vértices terminais têm valor de penalidade bem grande e os demais vértices têm penalidade zero. Este problema tem aplicações no projeto de circuitos elétricos e redes de comunicação. Além de ser uma ferramenta teórica útil para ajudar a resolver outros problemas de otimização, foi aplicado pela empresa AT&T com bons resultados para otimização de redes de telecomunicações do mundo real [1]. Ljubic, em associação com outros autores, utilizou-o para modelar a instalação de cabos de bra ótica na Alemanha [15]. O primeiro algoritmo de aproximação para o PCST foi apresentado por Bienstock [3] em 1993, e seu fator de aproximação é 3, por meio da busca pela solução ótima da relaxação do programa linear. Mais tarde, em 1995, Goemans e Williamson (GW) [8] construíram um algoritmo com fator de aproximação ) baseado em um esquema primal-dual para a versão enraizada do problema. (2 1 n 1 2

3 Executando o algoritmo para todas as possibilidades de raiz, obtém-se uma (2 1 )-aproximação que consome tempo n 1 O(n3 log n). Johnson, Minko e Phillips [13] propuseram em 2000, uma modicação no algoritmo que permite executar o esquema primal-dual apenas uma vez resultando em um tempo de execução de O(n 2 log n). Entretanto, este algoritmo não mantém o mesmo fator de aproximação de GW, como demonstrado por Feolo, Fernandes, Ferreira e Pina [6] em Estes mesmos autores, em 2007 [7] publicaram uma modicação no algoritmo de GW baseado em um programa linear sutilmente diferente, que resulta em um fator de aproximação de (2 2 ) para a versão enraizada e pode ser implementada n com tempo de execução de O(n 2 log n). Finalmente, em 2009, Archer, Bateni, Hajiaghayi e Karlo (ABHK) [1] obtiveram um fator de aproximação melhor do que 2 para o problema do PCST. 3

4 2 Árvore de Steiner Seja G = (V G, E G ) um grafo e R um subconjunto de V G dos chamados vértices terminais. Uma árvore de Steiner é uma árvore T = (V T, E T ) de G de modo que V T contém todos os vértices terminais. Note que o conceito de árvore de Steiner depende do conjunto R. Assim, ao falarmos em árvore de Steiner o conjunto de vértices terminais R ca implícito. Dada uma função custo c de E G para Q, denimos o custo da árvore T como c(t ) := e E T c e. O problema da árvore de Steiner (Steiner Tree) consiste em: Problema MinST(G, c, R): Dados um grafo conexo G, um custo c e em Q para cada e em E G e um subconjunto R de V G, encontrar uma árvore de Steiner de custo mínimo. Subconjuntos ativos e cortes Dada uma instância (G, c, R) do problema, dizemos que um subconjunto S de V G é ativo se R S e R \ S Então S é ativo se existe pelo menos um vértice terminal em S e um fora dele. A coleção de todos os conjuntos ativos é denotada por A. Aqui, mais uma vez, o conjunto R de vértices terminais está implícito. Dado um conjunto de vértices S, denimos o corte δ G (S) como o conjunto de arestas que têm uma extremidade em S e outra em V G \ S. Dizemos que um corte δ G (S) separa dois vértices u e v, se u está em S e v em V G \S, ou vice-versa. É evidente que uma árvore T é de Steiner se e somente se δ T (S) para todo S em A. Assim, todo par de vértices terminais está conectado na árvore T. Delimitação para o valor ótimo O seguinte programa linear é uma relaxação de MinST(G, c, R): encontrar um vetor x indexado pelas arestas de G que onde (1) minimize cx sob as restrições x(δ G (S)) 1 para cada S em A x e 0 para cada e em E G cx := e E G c e x e e x(δ(s)) := e δ(s) x e 4

5 Dada uma árvore de Steiner T, é evidente que o vetor característico de E T é uma solução viável de (1). Portanto, se x é uma solução ótima de (1) então cx opt(g, c, R), onde opt(g, c, R) denota o valor da solução ótima do problema MinST para a instância (G, c, R). O dual da relaxação (1) consiste em encontrar um vetor y indexado pela coleção A de subconjuntos ativos de V G que maximize sob as restrições onde y(a) := S A y S. y(a) S:e δ(s) y S c e para cada e em E G y S 0 para cada S em A (2) Chamamos o programa (1) de primal e o (2) de dual. Dizemos que um vetor y respeita c se é solução viável do dual. Dizemos ainda que uma aresta f está saturada por y se vale que S:f δ(s) y S = c f. Se y é uma solução viável do dual e x é uma solução ótima do primal então y(a) cx, segundo o Lema da Dualidade da programação linear. Portanto, y(a) opt(g, c, R). (3) Esta delimitação inferior para opt(g, c, R) é fundamental para o cálculo da razão de aproximação do algoritmo MinST-GW descrito adiante, devido a Goemans e Williamson [8]. Descrição do algoritmo No início de cada iteração tem-se uma oresta geradora F de G e um vetor y indexado por A que respeita c. No início da primeira iteração, F é vazia e y é o vetor nulo. Em cada iteração, dizemos que um componente H de F é um componente ativo se V H está em A, e inativo caso contrário. Denotamos por A F a coleção de conjuntos de vértices dos componentes de F ativos. Simplicadamente, dizemos que A F é a coleção dos componentes de F ativos. Cada elemento S de A F viola a restrição x(δ(s)) 1 de (1), onde x é o vetor característico de F. Isso sugere que devemos acrescentar a F alguma das arestas de δ(s). Qualquer aresta deste tipo conecta dois componentes distintos de F. Dizemos que uma tal aresta é externa a F. Devemos, então, escolher uma aresta externa e acrescentá-la a F. Esta escolha deve, é claro, estar relacionada ao custo das arestas. Como o programa dual tem o objetivo de maximizar a soma das variáveis y S, o algoritmo aumenta uniformemente os valores das variáveis y S com S em A F de modo a manter viabilidade. Esse aumento gradativo de alguns componentes de y 5

6 para quando alguma aresta é saturada por y. Essa aresta é então acrescentada à oresta F e uma nova iteração se inicia com a oresta atualizada. O processo iterativo termina quando F não tem componentes ativos. Então, existe um componente T 0 de F que contém todos os vértices terminais, e cada um dos demais componentes é unitário. O algoritmo devolve uma árvore minimal de T 0, isto é, uma árvore T tal que, para cada aresta e, a oresta (T e) tem algum componente ativo. Por exemplo, se em T 0 ocorrer um vértice não-terminal folha, este pode ser removido diminuindo ou mantendo o custo e não violando a propriedade de árvore de Steiner. As guras de 1 a 7 ilustram a execução deste algoritmo. Algoritmo MinST-GW(G, c, π): Recebe um grafo conexo G, um custo c e em Q para cada aresta e em E G e um subconjunto R de V G. Devolve uma árvore de Steiner T e um vetor y, solução viável de (2), tais que c(t ) 2y(A). O algoritmo é composto de dois passos. O primeiro passo faz uma chamada a um algoritmo iterativo e o segundo passo obtém uma árvore minimal da árvore obtida no primeiro passo. Passo 1: Sejam T 0 e y a árvore e o vetor obtidos pela execução do algoritmo ST- Expansão com a instância (G, c, R). Passo 2: Seja T a árvore obtida pela execução do algoritmo ST-Poda com a instância (T 0, R). Devolva T e y. Algoritmo ST-Expansão(G, c, R): Recebe um grafo conexo G, um custo c e em Q para cada aresta e em E G e um subconjunto R de V G. Devolve uma árvore de Steiner T 0 de G e um vetor y, solução viável de (2). Cada iteração do algoritmo começa com uma oresta geradora F de G, um vetor y viável dual e a coleção A F de componentes de F ativos. No início da primeira iteração tem-se que F =, y = 0 e A F = {{v} : v R}. Caso 1: A F = : Seja T 0 o componente de F que contém todos os vértices terminais. Devolva (T 0, y) e pare. Caso 2: A F : Seja ε o maior número em Q tal que y respeita c, onde y é denido assim: y S = y S + ε se S A F e y S = y S caso contrário. Seja f uma aresta externa que foi saturada. Sejam A 1 e A 2 os extremos de f em A F. Seja A F =, se A 1 e A 2 forem os 6

7 dois últimos componentes ativos de F, ou A F = (A F \ {A 1, A 2 }) {A 1 A 2 } e y (A 1 A 2 ) := 0 caso contrário. Comece nova iteração com F +f, y e A F nos papéis de F, y e A F. Algoritmo ST-Poda(T 0, R): Recebe uma árvore T 0 e um subconjunto de vértices R tal que T 0 contém todos os vértices em R. Devolve T, uma árvore minimal de T 0 em relação aos vértices em R. Passo único: Seja T a árvore minimal de T 0 que contém todos os vértices em R. Devolva T. Lema 2.1 ([4]) O algoritmo MinST-GW admite uma implementação polinomial. O algoritmo devolve uma árvore de Steiner. De fato, no início de cada iteração, F é uma oresta geradora de G. Ao nal do algoritmo, F não tem componentes ativos, e portanto, todos os vértices terminais estão conectados. A árvore T 0 é o componente da oresta F que contém todos os vértices terminais, portanto é uma árvore de Steiner. Logo, T devolvida pelo algoritmo é também uma árvore de Steiner. a b c d e f Figura 1: Uma instância do problema MinST: V G = {a, b, c, d, e, f} e R = {a, c, d, e}. O grafo é completo e o custo das arestas é o valor da distância euclidiana entre os vértices. No instante inicial, tem-se: F =, y = 0 e A F = {{a}, {c}, {d}, {e}}. 7

8 a b c d e f Figura 2: Após o primeiro incremento, a aresta ef ca saturada e é adicionada à oresta. A conguração é: F = {ef}, y corresponde aos círculos ao redor de alguns vértices, e A F = {{a}, {c}, {d}, {e, f}}. a b c d e f Figura 3: Neste instante, a aresta ab é saturada por y e a conguração se torna: F = {ab, ef}, y corresponde aos círculos da gura e A F = {{a, b}, {c}, {d}, {e, f}}. 8

9 a b c d e f Figura 4: A aresta cd é saturada por y, ligando dois componentes ativos. Por isso, a cardinalidade da coleção de conjuntos ativos diminui. Neste instante, tem-se: F = {ab, cd, ef} e A F = {{a, b}, {c, d}, {e, f}}. a b c d e f Figura 5: Mais uma vez dois conjuntos ativos são ligados: a aresta de ca saturada pelo incremento dos valores de y. Dessa forma: F = {ab, cd, de, ef} e A F = {{a, b}, {c, d, e, f}}. 9

10 a b c d e f Figura 6: Finalmente, a aresta bd ca saturada e a oresta ca com um único componente ativo: F = {ab, bd, cd, de, ef} e A F = {{a, b, c, d, e, f}}. a b c d e f Figura 7: Na execução do algoritmo ST-Poda, a aresta ef é removida. O resultado é a árvore de Steiner: T = {ab, bd, cd, de}. Análise do fator de aproximação Passamos agora a analisar o fator de aproximação do algoritmo MinST-GW. Porém, antes de delimitar c(t ), é preciso estabelecer uma relação fundamental entre T e a coleção A F dos componentes de F ativos em uma iteração arbitrária do algoritmo. Lema 2.2 No início de cada iteração do algoritmo ST-Expansão, vale a desigualdade S A F δ T (S) 2 A F, 10

11 onde T é a árvore de Steiner que o algoritmo MinST-GW devolve. Demostração: Digamos que o grau em T de um componente S de F é o número de arestas em δ T (S). Matematicamente, o grau de S em T é δ T (S). Vale que, para qualquer componente S de F, se δ T (S) = 1 então S A F (4) A implicação (4) arma que os componentes de F de grau 1 em T são todos ativos. Para provar essa armação, tome um componente S de F tal que δ T (S) contém uma única aresta, digamos uw; ajuste a notação de modo que u S. Sejam U e W os componentes de T uw que contêm u e w respectivamente. Como uw é a única aresta de T em δ(s), temos U S e W V \ S. Como T é uma árvore minimal, a remoção da aresta uw faz com que a oresta resultante tenha componentes ativos, ou seja, a aresta uw separa vértices terminais. Então, R U W, R U e R W. Segue daí que R S e R \ S. Assim, S está em A e portanto em A F. Isso conclui a prova de (4). Seja Z F o conjunto de todos os componentes inativos de F cujo grau em T não é nulo, ou seja, todos os componentes inativos S tais que δ T (S) 1. Digamos que dois elementos S e S de A F Z F são adjacentes se existe uma aresta de T com um extremo em S e outro em S. Esse conceito de adjacência dene um grafo, digamos H, sobre o conjunto de vértices A F Z F. Como F e T são subgrafos de T 0, qualquer circuito em H corresponderia a um circuito em T 0, o que é impossível, já que T 0 é uma árvore. Portanto, H é uma oresta. Segue daí imediatamente que S V H δ H (S) = 2 E H 2( V H 1), donde δ T (S) 2( A F + Z F 1). S A F Z F Em virtude de (4), temos que δ T (S) 2 para cada S em Z F. Portanto, δ T (S) = δ T (S) δ T (S) S A F S A F Z F S Z F 2( A F + Z F 1) 2 Z F 2 A F A interpretação dessa desigualdade é de que o grau médio dos vértices ativos do grafo H não é maior do que 2. A seguir, mostramos como esse resultado garante o fator de 2-aproximação para a árvore construída pelo algoritmo. Teorema 2.3 O algoritmo MinST-GW é uma 2-aproximação para o problema MinST. 11

12 Demostração: Como já foi observado, o subgrafo T que o algoritmo devolve, é uma árvore de Steiner. Provaremos agora que, no início de cada iteração de ST- Expansão, vale a desigualdade δ T (S) y S 2y(A), (5) S A É evidente que a desigualdade é válida no início da primeira iteração, quando y = 0. Suponha agora que a desigualdade seja válida no início de uma iteração qualquer. Durante a iteração, y S é acrescido de ε se e somente se S A F. Portanto, o lado esquerdo de (5) é acrescido de S A F δ T (S) ε enquanto o lado direito é acrescido de 2 A F ε. O lema 2.2 garante que o incremento do lado esquerdo não é maior que do lado direito. Portanto a desigualdade (5) vale no início da iteração seguinte. Isso prova (5). No m do processo iterativo, o vetor y é viável dual. Além disso, vale também que y S = c e para cada e T. (6) S:e δ(s) Para mostrar que o algoritmo é uma 2-aproximação, c(t ) 2opt(G, c, R): resta vericar que c(t ) = e T = e T c e S:e δ(s) y S = δ T (S) y S S A (7) 2y(A) (8) 2opt(G, c, R). (9) A linha (7) segue da anterior por meio de reorganização da soma. A desigualdade (8) segue de (5). Finalmente, a desigualdade (9) é consequência da delimitação inferior (3). 12

13 3 Árvore de Steiner com coleta de prêmios No problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios, além dos custos de cada aresta em E G, são dadas penalidades π v para cada vértice v de V G. O custo da árvore é denido como: c(t ) + π(t ), onde c(t ) = c(e T ) e π(t ) = π(v \ V T ) para simplicar a notação. Problema PCST(G, c, π): Dados um grafo G, um custo c e em Q para cada aresta e em E G e uma penalidade π v em Q para cada vértice v em V G, encontrar uma árvore T de G que minimize c(t ) + π(t ). O problema MinST pode ser visto como um caso especial do PCST, atribuindo aos vértices terminais penalidade sucientemente grande, e aos vértices não-terminais, penalidade nula. Uma variante do problema, denominada enraizada, recebe também um vértice raiz r e tem como objetivo determinar uma árvore T que contenha r. Pode-se reduzir uma instância da versão enraizada para a não-enraizada atribuindo penalidade grande ao vértice r. Dessa forma, o algoritmo não-enraizado é forçado a incluí-lo na árvore. Por outro lado, para reduzir uma instância não-enraizada para a enraizada, basta executar o algoritmo para todas as possibilidades de raiz e, dentre todas as árvores obtidas, escolher aquela com menor custo. Como MinST é um problema NP-difícil, então o problema PCST também é NP-difícil. Por isso, há interesse em métodos alternativos para resolvê-lo, como bons algoritmos de aproximação. 13

14 4 Algoritmo de Goemans e Williamson O problema PCST enraizado pode ser formulado como um programa inteiro, cuja relaxação linear é: minimize cx + R V G \{r} π(r)z R sob as restrições x(δ(r)) + U R z U 1 para cada R V G \ {r} x e 0 para cada e E G z R 0 para cada R V G \ {r} (10) Intuitivamente, a variável z R vale 1 para os subconjuntos de vértices R que não estão na árvore. O dual de (10) pode ser formulado como: maximize sob as restrições R V G \{r} y R R:e δ(r) y R c e para cada e E G U R y U π(r) para cada R V G \ {r} y R 0 para cada R V G \ {r} (11) Denominamos o algoritmo descrito por Goemans e Williamson de PCST- GW [8]. Este algoritmo, de maneira semelhante ao MinST-GW, também faz uso do conceito de componente ativo para incrementar as variáveis duais. O algoritmo mantém uma oresta geradora F que inicialmente é vazia. Então cada vértice v está inicialmente no seu próprio componente conexo. Todos os componentes, com exceção da raiz r estão ativos. O algoritmo repetidamente executa uma das duas alternativas a seguir: ˆ ˆ Adicionar uma aresta entre dois componentes de F. Se o componente resultante contém a raiz, ele se torna inativo. Caso contrário, mantém-se ativo. Desativar um componente. Intuitivamente, um componente é desativado se o algoritmo concorda em não incluí-lo na árvore e pagar as penalidades de todos os vértices neste componente. O processo iterativo termina quando todos os componentes de F estão inativos. Como a cada iteração, o número de componentes ou o número de componentes ativos diminui, o número de iterações não é superior a 2n 1. A fase nal do algoritmo, assim como o MinST-GW, remove tantas arestas de F quanto possível, para devolver a melhor árvore minimal em relação ao custo. Não nos alongaremos mais na descrição do algoritmo PCST-GW, pois apresentaremos na próxima seção a sua versão não-enraizada com detalhes. O algoritmo PCST-GW é uma (2 1 )-aproximação e é possível implementá-lo n 1 de maneira que seu consumo de tempo seja O(n 2 log n) [8]. 14

15 Teorema 4.1 (ABHK [1]) O algoritmo PCST-GW devolve uma árvore T tal que c(t ) + 2π(T ) 2 opt(g, c, π) 15

16 5 Algoritmo GW não-enraizado A descrição da versão não-enraizada do algoritmo nesta seção é devida a Feolo, Fernandes, Ferreira e de Pina [7]. Conceitos e notação Para qualquer coleção L de subconjuntos de V G e qualquer aresta e em E G, dene-se L(e) := {L L : e δ G (L)}, em que δ G (L) denota o conjunto de arestas com uma extremidade em L e outra em L. L representa a união de todos os conjuntos em L. Para qualquer função y de L para Q e qualquer subcoleção M de L, denese y(m) := L M y(l). Diz-se que y respeita uma função c denida sobre o conjunto de arestas E G se y(l(e)) c e para cada e E G. (12) Uma aresta e está saturada por y se (12) vale com igualdade para esta aresta. Diz-se que a função y respeita a função π denida sobre os vértices V G se y S π(l) para cada L L (13) e S L y S + S L S L y S + S L y S π(l) para cada L L (14) Um elemento L de L está saturado por y se (13) vale com igualdade. Se (14) vale com igualdade, dizemos que L está saturado por y. A desigualdade (12) assemelha-se com a primeira restrição de (11). Usualmente, diz-se que a soma dos y S para todo conjunto S em L contido em L não deve exceder a soma das penalidades de todos os elementos em L. Em (13) adicionou-se a parcela da soma dos y S dos conjuntos S que contêm o complemento de L, ou seja, os S cujo complemento está em L. A desigualdade (14) é similar a (13) para o complemento de cada conjunto em L. Uma coleção L de subconjuntos de V G é dita laminar se, para quaisquer dois elementos L 1 e L 2 de L, vale que L 1 L 2 = ou L 1 L 2 ou L 1 L 2. A coleção de elementos maximais de uma coleção laminar L será denotada por L. Então, L é uma coleção disjunta. Para qualquer coleção laminar L de subconjuntos de V G, diz-se que uma árvore T de G não tem pontes em L se δ T (S) 1 para todo S L. 16

17 Algoritmo O algoritmo GW-Não-Enraizado segue o mesmo esquema primal-dual de PCST-GW. Consiste de dois passos e trata a versão não-enraizada do problema. Na primeira fase obtém-se uma árvore, e na segunda fase algumas arestas são removidas resultando na saída nal do algoritmo. Algoritmo GW-Não-Enraizado(G, c, π): Recebe um grafo conexo G, um custo c e em Q para cada aresta e em E G e um custo π v em Q para cada vértice v em V G. Devolve uma árvore T de G tal que c(t ) + π(t ) (2 2 ) opt(g, c, π). n Passo 1 Sejam T 0 e Z a árvore e a coleção de conjuntos de vértices obtidos a partir da execução do algoritmo Expansão sobre a instância (G, c, π). Passo 2 Seja T a árvore devolvida pela execução do algoritmo Poda sobre a instância (T 0, Z). Devolva T. Algoritmo Expansão(G, c, π): Recebe um grafo conexo G, um custo c e em Q para cada aresta e em E G e um custo π v em Q para cada vértice v em V G. Devolve uma árvore T 0 de G e uma coleção Z de conjuntos de vértices. Cada iteração do algoritmo começa com uma oresta geradora F de G, um vetor y viável dual, uma coleção A F de componentes de F e um conjunto Z de componentes que foram desativados. No início da primeira iteração tem-se que F =, y = 0, A F = {{v} : v V G } e Z =. Caso 1 A F = 1: Seja T 0 o único elemento de A F. Devolva (T 0, Z) e pare. Caso 2 A F > 1: Seja y denido por: y S = y S + ε se S A F e y S = y S caso contrário, onde ε é o menor número em Q tal que implique em um dos seguintes eventos: Caso 2a Uma aresta externa f está saturada por y : Comece nova iteração com F + f e y nos papéis de F e y. Caso 2b Um conjunto S em A F está saturado por y : Desative o conjunto S. Seja Z = Z S. Comece nova iteração com y e Z nos papéis de y e Z. Caso 2c O conjunto S em A F está saturado por y : Seja T 0 a árvore induzida por F em S. Devolva (T 0, Z) e pare. 17

18 Algoritmo Poda(T 0, Z): Recebe uma árvore T 0 e uma coleção de conjuntos de vértices Z. Devolve uma árvore T de T 0. Caso 1 T 0 não tem pontes em Z: Seja T = T 0. Devolva T e pare. Caso 2 T 0 tem alguma ponte em Z: Seja S em Z tal que δ T0 (S) = 1. Comece nova iteração com T 0 \ S no papel de T 0 Teorema 5.1 (Fator de aproximação [7]) O algoritmo GW-Não-Enraizado devolve uma árvore T de G tal que ( ) c(t ) + π(t ) 2 2 opt(g, c, π) n 18

19 6 Algoritmo de ABHK Introduzimos nesta seção um esboço do algoritmo de Archer, Bateni, Hajiaghayi e Karlo (ABHK), que baseia-se no teorema 4.1. Tal teorema arma que a árvore devolvida por PCST-GW para o problema PCST satisfaz: c(t ) + 2π(T ) 2 opt(g, c, π) É importante notar que este fato apresenta-se mais forte do que seria necessário para que PCST-GW seja uma 2-aproximação: há um fator 2 multiplicando π(t ), onde o fator 1 seria suciente: c(t ) + π(t ) 2 opt(g, c, π) π(t ) Essa diferença implica que, se o valor de π(t ) for pelo menos ε opt(g, c, π), então a árvore T devolvida por PCST-GW é uma (2 ε)-aproximação. Entretanto, quando esta proporção entre o total de penalidades e o valor ótimo não é válida, uma outra abordagem é adotada para garantir que, ao nal, se tenha a desejada (2 ε)-aproximação. Nesta abordagem, a ideia é identicar o conjunto de vértices que devem ser gerados pela árvore nal por meio do PCST-GW e utilizar um bom algoritmo para o problema MinST como uma caixa-preta. Neste caso, o algoritmo PCST-ABHK utiliza o MinST-RZ devido a Robins e Zelikovsky [16], cujo fator de aproximação é 1,55. Algoritmo PCST-ABHK(G, c, π, α, β): Recebe um grafo G, um custo c e em Q para cada aresta e em E G e um custo π v em Q para cada vértice v em V G. Além disso, recebe dois parâmetros α em ( 1 2, 1) e β > 1. Devolve uma árvore T tal que c(t ) + π(t ) (2 ε) opt(g, c, π) para um constante ε. Passo 1: Seja π α a função denida por πv α = απ v para todo vértice v em V G. Seja T α a árvore devolvida pelo algoritmo PCST-GW para a instância (G, c, π α ). Passo 2: Seja π α,β a função de V G em Q denida por { πv α,β βπv se v V = Tα 0 caso contrário. Seja T 0 e Z a árvore e a coleção de conjuntos de vértices devolvidos pelo algoritmo GW-Expansão com a instância (G, c, π α,β ). Seja T α,β a árvore de Steiner devolvida pelo algoritmo MinST-RZ com a instância (G, c, V Tα \ Z). Passo 3: Dentre T α e T α,β, devolva a árvore T que minimize c(t ) + π(t ). 19

20 Teorema 6.1 (Existência dos parâmetros [1]) Em tempo polinomial é possível encontrar os parâmetros α e β tais que o algoritmo PCST-ABHK seja uma (2 ε)- aproximação para o problema PCST, onde (2 ε) = 1,

21 7 Tópicos estudados e projeto Os estudos relacionados ao tema do projeto de mestrado tiveram início com o entendimento e familiaridade acerca de algoritmos de aproximação para problemas de otimização NP-difíceis. Estudamos principalmente o algoritmo 2-aproximação para o problema da árvore de Steiner [4]. A partir daí, estudamos os algoritmos destacados neste texto, analisando os pontos em comum que eles contém e observando a relação primal-dual da programação linear na qual estes algoritmos se baseiam. A primeira proposta do esquema primal-dual foi apresentada por Goemans e Williamson [8]. O algoritmo de melhor fator de aproximação publicado até o momento tem base na mesma ideia: (2 ε)-aproximação [1]. Existem problemas interessantes que generalizam o PCST. Em 2005, Hayrapetyan, Swamy e Tardos [11] deniram uma versão do problema que recebe uma função de penalidades π denida sobre conjuntos de vértices. O objetivo é encontrar uma árvore T que minimize a soma dos custos das arestas em T mais o valor da penalidade do subconjunto de vértices que caram fora de T. Eles mostraram que, se a função π é submodular, o algoritmo PCST-GW pode ser extendido para produzir uma 2-aproximação para este problema. O PCST generalizado, denido em 2006 por Hajiaghayi e Jain [10], é o problema que generaliza PCST do ponto de vista da conectividade. Ele recebe como entrada um grafo, custos nas arestas, k pares de vértices que devem ser conectados, e penalidades para cada par. O objetivo é obter uma oresta F que minimize a soma dos custos das arestas em F mais as penalidades dos pares de vértices que não estão conectados em F. Os autores obtiveram o fator de aproximação 3 para este problema por meio de um esquema primal-dual, e o fator 2,54 com uma relaxação do programa linear. Por sua vez, em 2007, Sharma, Swamy e Williamson [17] apresentaram o problema da oresta de Steiner com coleta de prêmios (PCSF), que consiste em uma generalização do PCST do ponto de vista de penalidades e de conectividade. Logo, é uma generalização do PCST com penalidades modulares e do PCST generalizado. Na tabela 1 fazemos uma breve comparação entre os problemas estudados. Problema Fator de aproximação MinST 2 [4] MinSForest 2 [4] PCST 2 ε [1] PCST com penalidades submodulares 2 [11] PCST generalizado 2, 54 [10] PCSF 2, 54 [17] Tabela 1: Comparação entre os problemas e seus fatores de aproximação 21

22 Investigamos também alguns algoritmos que representam uma abordagem diferente para solucionar o problema. Entre eles, um algoritmo recursivo devido a Gutner [9] com o mesmo fator de aproximação de PCST-GW, baseado no conceito de local ratio e um algoritmo devido a Ljubic [15] que resolve PCST com otimalidade para instâncias especícas. Pretendemos que a dissertação de mestrado contenha a descrição e a análise dos principais algoritmos de aproximação para o problema PCST, tratando com profundidade o algoritmo que superou a barreira do fator 2-aproximação. Além disso, pretendemos apresentar uma padronização para as diferentes notações e conceitos utilizados por cada algoritmo, assim como as suas descrições no formato de pseudocódigo com método dos casos. 22

23 Referências [1] A. Archer, M.H. Bateni, M.T. Hajiaghayi, and H. Karlo, Improved Approximation Algorithms for Prize-Collecting Steiner Tree and TSP, Foundations of Computer Science, FOCS '09. 50th Annual IEEE Symposium on, oct. 2009, pp [2] P. Berman and V. Ramaiyer, Improved Approximations for the Steiner Tree Problem, Proceedings of the third annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (Philadelphia, PA, USA), SODA '92, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, pp [3] D. Bienstock, M.X. Goemans, D. Simchi-Levi, and D.P. Williamson, A Note on the Prize-Collecting Traveling Salesman Problem, Mathematical Programming 59 (1993), , /BF [4] M. H. Carvalho, M. Cerioli, R. Dahab, P. Feolo, C.G. Fernandes, C.E. Ferreira, K.S. Guimaraes, F.K. Miyazawa, J.C. Pina Jr., J.A. Soares, and Y. Wakabayashi, Uma Introdução Sucinta a Algoritmos de Aproximação, 23º Colóquio Brasileiro de Matemática - IMPA, RJ, [5] R. Courant and H. Robbins, What is Mathematics? An elementary approach to ideas and methods, Oxford University Press, [6] P. Feolo, C.G. Fernandes, C.E. Ferreira, and J.C. Pina Jr., A Note on Johnson, Minko and Phillips' Algorithm for the Prize-Collecting Steiner Tree Problem, [7], Primal-dual Approximation Algorithms for the Prize-Collecting Steiner Tree Problem, Information Processing Letters 103 (2007), no. 5, [8] M.X. Goemans and D.P. Williamson, A General Approximation Technique for Constrained Forest Problems, SIAM J. Comput. 24 (1995), [9] S. Gutner, Elementary Approximation Algorithms for Prize-Collecting Steiner Tree Problems, Inf. Process. Lett. 107 (2008), [10] M. Hajiaghayi and K. Jain, The Prize-Collecting Generalized Steiner Tree Problem via a New Approach of Primal-Dual Schema, Proceedings of the seventeenth annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, SODA '06, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2006, pp [11] A. Hayrapetyan, C. Swamy, and E. Tardos, Network Design for Information Networks, Proceedings of the sixteenth annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, SODA '05, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2005, pp [12] S. Hougardy and H.J. Promel, A Approximation Algorithm for the Steiner Problem in graphs, Proceedings of the tenth annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (Philadelphia, PA, USA), SODA '99, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999, pp

24 [13] D.S. Johnson, M. Minko, and S. Phillips, The Prize-Collecting Steiner Tree Problem: Theory and Practice, Proceedings of the eleventh annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (Philadelphia, PA, USA), SODA '00, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000, pp [14] M. Karpinski and A. Zelikovsky, New Approximation Algorithms for the Steiner Tree Problems, Journal of Combinatorial Optimization 1 (1997), 4765, /A: [15] I. Ljubi, R. Weiskircher, U. Pferschy, G. Klau, P. Mutzel, and M. Fischetti, Solving the prize-collecting Steiner tree problem to optimality, Proceedings of ALE- NEX, Seventh Workshop on Algorithm Engineering and Experiments (Vancouver), [16] G. Robins and A. Zelikovsky, Tighter Bounds for graph Steiner Tree Approximation, SIAM J. Discret. Math. 19 (2005), no. 1, [17] Y. Sharma, C. Swamy, and D. Williamson, Approximation Algorithms for Prize- Collecting Forest Problems with Submodular Penalty Functions, Proceedings of the eighteenth annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, SODA '07, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2007, pp [18] A.Z. Zelikovsky, An 11/6-approximation algorithm for the network Steiner Problem, Algorithmica 9 (1993), , /BF