Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciẽncias Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática Liana Garcia Ribeiro Introdução aos Números Algébricos Florianópolis 2018
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Introdução Para fazer este trabalho, deparei-me pela primeira vez com os números algébricos. Por este motivo, escolhi fazer uma abordagem introdutória sobre os conceitos envolvidos usando, sempre que possível, alguns exemplos. Gostaria que este trabalho fosse útil de alguma forma para quem está começando a estudar esse conteúdo, assim como eu estava. Obs.: Para um melhor aproveitamento desta leitura, é indicado que o leitor tenha um conhecimento prévio de Teoria de Corpos e Extensões.
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Introdução aos Números Algébricos Definição 1 Seja f Z[x] mônico. Digamos f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n-1 x n-1 + x n. Um número x C é dito ser um inteiro algébrico se x é raíz de f, ou seja, f(x) = 0. Exemplo 2 Seja a Z arbitrário. Então a é um inteiro algébrico. De fato, considere (x a) Z[x]. Temos que a é solução da esquação x a = 0. Logo, a é raíz de (x a) Z[x]. Exemplo 3 5 e 5 são inteiros algébricos pois são solução da esquação x 2 5 = 0 e (x 2 5) Z[x]. Exemplo 4 3 + 5 é um inteiro algébrico pois é solução da equação x 4 6x 2 + 4 = 0 e (x 4 6x 2 + 4) Z[x]. Exemplo 5 Para qualquer a Z + arbitrário temos que ± a i, onde i = 1, é inteiro algébrico. De fato, considere (x 2 +a) Z[x]. Temos que ± a i é solução da esquação x 2 +a = 0. Logo, ± a i é raíz de (x 2 + a) Z[x]. Teorema 6 Seja x R um inteiro algébrico. Então x Z ou x R Q Demonstração: Seja x R um inteiro algébrico. Suponha por absurdo que x Q.
6 Então existem p, q Z tais que x = p q com mdc(p, q)= 1 e q 0. Como x = p q é um inteiro algébrico, temos que: a 0 + a 1 ( p q ) +... + a n-1( p q )n-1 + ( p q )n = 0 p q = a 0 a 1 ( p q )... a n-1( p q )n-1 p n = a 0 q n a 1 pq n-1... a n-1 p n-1 q p n = q( a 0 q n-1 a 1 pq n-2... a n-1 p n-1 ) Disto segue que q divide p n. Seja r Z um fator primo de q (r 1). Então r divide p n, logo r divide p. Sendo assim, existe r que divide p e q. O que contradiz a hipótese de que mdc(p, q)= 1. Portanto, x / Q. Definição 7 Seja f Z[x]. Um número x C é dito ser um número algébrico se x é raíz de f, ou seja, f(x) = 0. Exemplo 8 Seja x Q arbitrário tal que x = p q com p, q Z. Então x é um número algébrico. De fato, considere (qx p) Z[x]. Temos que x é solução da equação qx p = 0. Logo, x é raíz de (qx p) Z[x]. Exemplo 9 Todo inteiro algébrico é um número algébrico. Observação: Um número que não seja algébrico é dito ser transcendente. Por exemplo, π é transcendente. Teorema 10 O conjunto de todos os números algébricos é enumerável.
7 Demonstração: Seja f Z[x] abitrário. Digamos f(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n. Defina a altura de f, denotada por f N, como f = a 0 + a 1 +... + a n + n. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, f tem exatamente n raízes complexas (todas, algumas ou nenhuma real). Assim, os poliômios com coeficientes inteiros com uma certa altura é um número finito. Portanto, as raízes de todos esses poliômios formam um conjunto finito. Deste modo, o conjunto de todas as raízes de todos os polinômios de todas as alturas formam um conjunto enumerável pois é a união de um conjunto enumerável de conjuntos finitos. Proposição 11 Sejam α, β números algébricos. Então: 1. α + β é um número algébrico; 2. α β é um número algébrico; 3. α é um número algébrico; 4. Se α 0, então α -1 é um número algébrico. Demonstração: 1. Sejam α, β C números algébricos arbitrários. Então existem p, q Z[x] tais que p(α) = 0 e q(β) = 0. Digamos que p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n e q(x) = b 0 + b 1 x +... + b m x m. Temos que:
8 a 0 + a 1 α +... + a n α n = 0 (i) e b 0 + b 1 β +... + b n β n = 0 (ii). De (i) temos que α n = a 0 an a 1 an α... a n-1 an αn-1 (iii),ou seja, α n é combinação linear de 1, α, α 2,..., α n-1, com coeficientes racionais. Multiplicando (iii) por α temos: α n+1 = a 0 an α a 1 an α2... a n-1 an αn (iv) Substituindo (iii) em (iv), podemos ver que α n+1 é combinação linear de 1, α, α 2,..., α n-1, com coeficientes racionais também. Prosseguindo desta forma, conseguimos ver que todas as potências α i para i n são combinações lineares de 1, α, α 2,..., α n-1, usando coeficientes racionais. Analogamente, podemos expressar as potências β j para j m como combinações lineares de 1, β, β 2,..., β m-1 usando coeficientes racionais. Considere agora os mn + 1 números: 1, α + β, (α + β) 2,..., (α + β) mn. Desenvolvendo essas potências e usando os fatos acima, obtemos que esses números podem ser expressos como combinações lineares dos mn números α i β j, 0 i n 1 e 0 j m 1, usando coeficientes racionais. Temos que estas combinações lineares são linearmente dependentes sobre os racionais. Então existem r 0, r 1,..., r mn tais que:
9 r 0 + r 1 (α + β) + r 2 (α + β) 2 +... + r mn (α + β) mn = 0 Então α + β é raíz de um polinômio de grau mn. Portanto, α + β é algébrico. 2. Sejam α, β C números algébricos arbitrários. Considere os mn + 1 números: 1, αβ, (αβ) 2,..., (αβ) mn. Da mesma forma vista no item 1 podemos desenvolver essas potências e obtemos que esses números podem ser expressos como combinações lineares dos mn números α i β j, 0 i n 1 e 0 j m 1, usando coeficientes racionais. Como estas combinações lineares são linearmente dependentes sobre os racionais, existem r 0, r 1,..., r mn tais que: r 0 + r 1 (αβ) + r 2 (αβ) 2 +... + r mn (αβ) mn = 0 Então αβ é raíz de um polinômio de grau mn. E portanto, αβ é algébrico. 3. Seja α C um número algébrico arbitrário. Então existe p Z[x] tal que p(α) = 0. Digamos que p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n. Temos que α irá ser raíz do polinômio q(x) = a 0 + ( 1)a 1 x +... + ( 1) n-1 a n-1 x n-1 + ( 1) n a n x n. Portanto α é algébrico.
10 4. Seja α C* um número algébrico arbitrário. Então existe p Z[x] tal que p(α) = 0. Digamos que p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n. Temos que: 0 = a 0 + a 1 α +... + a n α n a 0 = a 1 α +... + a n α n a 0 α = a 1 + a 2 α +... + a n α n-1 a 0 α a 1 = a 2 α +... + a n α n-1 a 0 α 2 a 1 α = a 2 + a 3 α +... + a n α n-2. 0 = a 0 α n... a n-1 a α n a 0 α -n +... + a n-1 α -1 + a n = 0 Portanto, α -1 é raíz do polinômio q(x) = a n + a n-1 x +... + a 0 x n. Assim, α -1 é algébrico. Exemplo 12 3 2 e 37 são raízes de p(x) = 2x + 3 e q(x) = x 2 37 respectivamente. E 3 2 + 37 é raíz de r(x) = x 2 + 3x 7. Exemplo 13 3 2 e 37 são raízes de p(x) = 2x + 3 e q(x) = x 2 37 respectivamente. E 3 2 + 37 é raíz de r(x) = x 2 + 3x 7. Exemplo 14 2 é raíz de p(x) = x 2 + x 6 e 2 é raíz de q(x) = x 2 x 6.
11 Exemplo 15 2 3 é raíz de p(x) = 3x 2 e 3 2 é raíz de q(x) = 2x 3. Definição 16 Dado α um número algébrico. Dizemos que α é de grau n se ele for raíz de um polinômio em Z[x] de grau n e se não existir outro polinômio em Z[x] de grau menor que n tal que α seja raíz. Teorema 17 Seja α um número algébrico de grau n. Então existe uma constante A > 0 tal que: α p q > 1 Aq n (0.0.1) para todo racional p q. (Se n = 1, tome p q α) Teorema 18 Sejam α e β números algébricos. Se α 0, α 1 e β não for um número racional, então α β é transcendente. Exemplo 19 5 2, 2 i são transcendentes. Exemplo 20 e π é transcendente pois e π = exp( 2i log i) = i 2i. Definição 21 Seja L K uma extensão de corpos. Então: 1. Um elemento α L é dito algébrico sobre K se existe um polinômio não nulo f(x) K[x] tal que f(α) = 0. 2. Se α L é algébrico, então um polinômio mônico f(x) K[x] de grau mínimo que admite α como raíz é dito ser minimal de α sobre K. Observação:Um número α C é algébrico se ele é algébrico sobre Q. Exemplo 22 5 é algébrico sobre Q com polinômio minimal f(x) = x 2 5.
12 Proposição 23 Seja L K uma extensão de corpos e α L um número algébrico sobre K. Se p(x) K[x] é o polinômio minimal de α então p(x) é único. Demonstração: Suponha que exista p (x) K[x] que seja minimal de α. Teríamos que p (x) p(x) e p(x) p (x). Mas, por definição, p(x) e p (x) são mônicos. Segue que p (x) = p(x). Teorema 24 Seja L K uma extensão de corpos e α L um número algébrico sobre K com polinômio minimal p(x) K[x]. Então, se f(x) K[x], f(α) = 0 p(x) f(x) (0.0.2) Demonstração: É fácil ver que se p(x) f(x) então f(α) = 0. Vamos mostrar agora que se f(α) = 0 então p(x) f(x). Suponha que f(α). Considere a divisão euclidiana de f(x) por p(x): f(x) = p(x)q(x) + r(x) (0.0.3) com δ(r(x)) < δ(p(x)).temos que: f(α) = p(α)q(α) + r(α) (0.0.4) 0 = 0 q(α) + r(α) (0.0.5) r(α) = 0 (0.0.6) Como p(x) é o polinômio minimal de α e δ(r(x)) < δ(p(x)), temos que r(x) é o polinômio nulo. Assim, obtemos que p(x) f(x). Observação: O polinômio minimal de um número algébrico é sempre irredutível.
13 Definição 25 Seja L K uma extensão de corpos e α L um número algébrico sobre K com polinômio minimal p(x) K[x]. As raízes de p(x) em L são chamadas de conjugados de α. Exemplo 26 i e i são conjugados sobre Q. Corolário 27 Seja L K uma extensão de corpos e α L um número algébrico sobre K. Sejam α i os seus conjudados. Se f(x) K[x] é tal que f(α) = 0, então f(α i ) = 0 para todo i. Proposição 28 Seja L K uma extensão de corpos e α L um número algébrico sobre K com polinômio minimal p(x) K[x] de grau n. Então: K(α) = K[α] = {a 0 + a 1 xα +... + a n-1 α n 1 } (0.0.7) Em particular, [K(α) : K] = n. Demonstração: Observe que podemos expressar qualquer elemento de K[α] como um poliômio em α de grau menor ou igual a n 1. De fato, se p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n-1 x n 1 + x n então: α n = a 0 a 1 α... a n-1 α n 1 (0.0.8) em que i 0. α n+i = a 0 α i a 1 α 1+i... a n-1 α n 1+i (0.0.9) Agora vamos mostrar que o anel K[α] é um corpo. Neste caso, ele será o menor subcorpo de L que contém K e α.
14 Considere o polinômio não nulo f(x) = a 0 + a 1 x +... + a n-1 x n 1. Temos que p(x) e f(x) são primos entre si pois p(x) é irredutível e p(x) não divide f(x) (δ(f(x)) n 1). Pelo Teorema de Bachet-Bézout, existem r(x), s(x) K[x] tais que: r(x)f(x) + s(x)p(x) = 1 (0.0.10) Assim, r(α)f(α) + s(α)p(α) = 1 (0.0.11) r(α)f(α) = 1 (0.0.12) Ou seja, f(x) é inversível. Agora, mostremos que [K(α) : K] = n. Temos que K[α] é um K-espaço vetorial de dimensão n pois, por exemplo, 1, α,..., α n 1 é uma base para esse espaço. De fato, se {1, α,..., α n 1 } fosse linearmente dependente, α seria raíz de um polinômio de grau no máximo n 1. O que seria uma contradição pois δ(p(x)) = n. Proposição 29 Seja M K uma extensão de corpos. O subconjunto de M formado por todos os números algébricos sobre K é um subcorpo de M. Definição 30 Seja B A uma extensão de anéis. Um elemento θ B é dito ser integral sobre A se θ é raíz de um polinômio mônico não nulo em A[x]. Observações: 1. Um número θ C que é integral sobre Z é chamado de inteiro algébrico. Ou seja, a Definição 30 é uma generalização da Definição 1.
15 2. Os exemplos 2, 3, 4 e 5 são exemplos de números integrais sobre Z. Lema 31 Se α é um número algébrico então existe um a Z tal que aα é um inteiro algébrico.
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Referências Bibliográficas [1] FIGUEIREDO, D. G. D.: Números Irracionais e Transcendentes. SBM, 2002. [2] MARTINEZ, F.; MOREIRA, C.G.; SALDANHA, N.; TENGAN, E.: Teoria dos Números. IMPA, 2015.