UNIPAC Sistemas Digitais Sistemas de Numeração Engenharia da Computação 3 Período Alex Vidigal Bastos 1
Agenda Objetivos Introdução Sistema Binário Sistema Octal Sistema Hexadecimal Aritméticas no Sistema Binário 2
Objetivos Fundamentar os principais Sistemas de Numeração utilizados no ambiente computacional e de eletrônica Fornecer e exercitar, de forma consistente, as técnicas de conversão entre sistemas de numeração 3
Introdução Ao longo dos tempos foram desenvolvidos, pelo homem, inúmeros sistemas de numeração, em função da sua necessidade de quantificar. Dentre os quais, nesta disciplina, estudaremos os principais até então desenvolvidos: Sistema Decimal Sistema Binário Sistema Octal Sistema Hexadecimal 4
Sistema Binário de Numeração - Conceito Trata do sistema de numeração no qual existem apenas 2 algarismo: oalgarismo0(zero) oalgarismo1(um) Como exemplo, a tabela abaixo exibe a sequência de numeração do sistema binário até a quantidade nove: 5
Sistema Binário de Numeração Conversão Binário x Decimal Este tipo de conversão é necessária, pois é complicado percebermos, de prontidão, a quantidade que um número binário representa. Principalmente se o mesmo possuir vários bits. Para explicar a conversão, utilizaremos, como exemplo, o número decimal 594. 594=5x100+9x10+4x1 centena dezena unidade 5x10² +9x10¹+4x10 Ou seja, de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada algarismo correspondente multiplicado pela base (neste caso a base 10) elevadaporumíndiceconformeposicionamentodoalgarismononúmero(...+x.base Y +...). 6
Sistema Binário de Numeração Conversão Binário x Decimal Considerando o conceito de formação básico de um número, podemos, para um número binário, obter a mesma equivalência. Convertendo assim o número binário para o sistema decimal. Tomemos como exemplo o número binário 101: 0 0 Nota: a partir de agora, para melhor identificação do número, colocaremos como índice a base do sistema ao qual o número pertence. Ex: 5 10 = 101 2 7
Sistema Binário de Numeração Conversão Decimal x Binário Tal como a conversão do sistema binário para o sistema decimal, é necessário que façamos a conversão inversa, ou seja, sistema decimal para o sistema binário. Neste caso, utilizaremos o método conhecido como: Divisões Sucessivas que consiste em: efetuar-se sucessivas divisões pela base a ser convertida (no caso o 2) até o último quociente possível; compor o número, convertido, a partir do último quociente e todos os restos encontrados, considerando a ordem inversa às divisões; 8
Sistema Binário de Numeração Conversão Decimal x Binário Para exemplificarmos esta conversão, vamos utilizar o número 47. O último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado à esquerda. O demais algarismos seguem na ordem até o 1º resto(algarismo menos significativo) 101111 2 = 47 2 9
Sistema Binário de Numeração Conversão Binário Fracionário x Decimal E se aparece um número binário fracinonário???? Para exemplificar esta questão, tomemos como exemplo o número 10,5 10 e apliquemos o conceito de formação básico de um número: 0-1 Para números binários agimos da mesma forma, tomemos como exemplo o número 101,101 2 : 0-1 -2-3 0-1 0-1 -2-3 101,101 2 = 5,625 10 10
Sistema Binário de Numeração Conversão Decimal Fracionário x Binário Agora, façamos a conversão inversa, ou seja, decimal fracionário para binário. Como exemplo, vamos transformar o número 8,375 ( 8 + 0,375). O método para realizar esta conversão consiste em: Converter a parte inteira, de acordo com o método de divisões sucessivas; Converter a parte fraciónária, através da regra que consiste na multiplicação sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, a ser convertida(neste caso 2), até atingir zero; Compor o número fracionário convertido pelos algarismos inteiros resultantes, de acordo com a ordem da multiplicação; 11
Sistema Binário de Numeração Conversão Decimal Fracionário x Binário Passo 1 (conversão da parte inteira) Passo 2 (conversão da parte fracionária) 8 10 =1000 2 Quando atingirmos o número 1, e a parte do número após a virgula não for nula, separamos esta última e reiniciamos o processo. Passo 3 (composição do número) 8,375 10 =1000,011 2 0,375 10 = 0,011 2 12
Exercícios 13
Sistema Octal de Numeração Conceito Trata-se do sistema de base 8 no qual existem 8 algarismos, assim enumerados: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 Atualmente, o sistema Octal praticamente não é utilizado no campo da eletrônica digital. Abaixo é exiba a sequência de numeração do sistema octal até a quantidade nove: 14
Sistema Octal de Numeração Conversão Octal x Decimal Para realizar esta operação também é utilzado o conceito básico de formação de um número. Tomemos como exemplo o número 144: 0 0 144 8 = 100 10 15
Sistema Octal de Numeração Conversão Decimal x Octal O processo é análogo à conversão do sistema decimal para o binário, somente quenestecasoutilizamosadivisãopor8(basedosistemaoctal). Tomemoscomoexemploonúmero92 10 : 92 10 = 134 8 16
Sistema Octal de Numeração Conversão Octal x Binário Para realizar esta conversão é utilizada a seguinte regra: Converter cada algarismo, do número a ser convertido, no seu correspondente em binário(respeitar o número de bits do sistema); Compor o número em octal, de acordo com as conversões realizadas; Tomemoscomoexemploonúmero27 8: 27 8 = 10111 2 17
Sistema Octal de Numeração Conversão Binário x Octal Para realizar esta conversão é utilizada a seguinte regra: Separaronúmeroaserconvertidoemgruposde3bitsapartirdadireita; Efetuar a conversão de cada grupo diretamente para o sistema decimal; Compor o número com a junção dos algarismos encontrados Tomemoscomoexemploonúmero110010 2: Grupo1: 110 Grupo2: 010 0 0 110010 2 = 62 8 0 0 Nota: no caso do último grupo se formar incompleto, adiciona-se 0 à esquerda, até completar 3 bits. 18
Exercícios 19
Sistema Hexadecimal de Numeração Conceito Trata-se do sistema de base 16 no qual existem 16 algarismos, assim enumerados: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Este sistema de numeração é muito utilizado na área de microprocessadores e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais. Sendo este aplicado em sistemas de software e hardware. A seguir é exiba a sequência de numeração do sistema hexadecimal até a quantidade 20: 20
Sistema Hexadecimal de Numeração Conversão Hexadecimal x Decimal Este tipo de conversão é análoga à de outros sistemas, porém utilizando a base 16.Tomemoscomoexemploonúmero3F 16 0 0 3F 16 = 63 10 Sendo F 16 = 15 10 substituindo temos: 21
Sistema Hexadecimal de Numeração Conversão Decimalx hexadecimal Conforme nos casos anteriores, esta conversão se faz através de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido. Tomemos como exemplo o número 1000 10: Sendo 14 10 = E 16 substituindo temos: 1000 10 = 3E8 16 22
Sistema Hexadecimal de Numeração Conversão Hexadecimal x Binário Esta conversão é análoga à conversão do sistema octal para o sistema binário, porém com a particularidade de ser necessário 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal. TomemoscomoexemploonúmeroC13 16 : C 16 12 10, portanto; 1 16 1 10 0001 2 (considerando 4 bits) 3 16 3 10 0011 2 (considerando 4 bits) C 16 = 1100 2 C13 16= 110000010011 2 23
Sistema Octal de Numeração Conversão Binário x Hexadecimal Esta conversão é análoga à conversão binário x octal, porém, neste caso os agrupamentos consideram 4 bits: Tomemoscomoexemploonúmero10011000 2: Grupo1: 1001 Grupo2: 1000 9 8 10011000 2 = 98 16 Nota: no caso do último grupo se formar incompleto, adiciona-se 0 à esquerda, até completar 3 bits. 24
Exercícios 25
Operações Aritméticas no Sistema Binário A partir deste ponto serão estudadas a principais operações aritméticas no sistema binário de numeração. Tais operações são de suma importância nas áreas da eletrônica digital e dos microprocessadores (ex: ao estudarmos os circuitos combinacionais aritméticos). Serão estudas as seguintes operações: Adição Subtração Multiplicação Divisão????? 26
Operações Aritméticas no Sistema Binário - Adição A adição no sistema binário, comporta-se conforme adição convencional, porém, considerando somente os 2 algarismos existentes(0 e 1). Tomemoscomoexemplosasadições11 2 +10 2 e110 2 +111 2 1 1 1 1 + 1 = 0 e transporta 1 (carry) 1 11 2 + 10 2 = 101 2 110 2 + 111 2 = 1101 2 Nota: o transporte acumulado para a sequência 1 + 1 + 1 + 1 = 10 27
Operações Aritméticas no Sistema Binário - Subtração A subtração no sistema binário é análoga à subtração no sistema decimal. Tomemoscomoexemplosasadições11 2 +10 2 e110 2 +111 2 Nota: nesta operação temos uma particularidade: no caso 0 1, o resultado será igual a 1, porém havendo um transporte (carry) para a coluna seguinte, que deverá ser acumulado no subtraendo e, obviamente, subtraídodominuendo.tomemoscomoexemploasubtração:1000 2-111 2 1 carry 1 1 carry 1000 2-111 2 = 0001 2 1 1 1 carry 28
Operações Aritméticas no Sistema Binário - Multiplicação A multiplicação no sistema binário procede como multiplicação no sistema decimal. Desta maneira temos: Tomemos como exemplo a multiplicação: 11010 2 x 10 2 1 Tabela Verdade da Porta And 110 2 + 111 2 = 1101 2 29
Operações Aritméticas no Sistema Binário - Divisão A divisão de números binários é a mais complexa das operações aritméticas binárias, pois abrange operações de multiplicação e subtração. A mesma não será abordada neste curso, pois não a utilizaremos no estudo dos circuitos digitais. 30
Exercícios 31
Notação dos Números Binários Positivos e Negativos Vejamos, agora, como representar os números binários positivos e negativos Representação através do sinais + ou - Na prática tais sinais não podem ser utilizados, uma vez que os hardwares dos sistemas digitais que processam operações aritméticas e microcomputadores, por exemplo, estes sinaisnãosãoreconhecidos,vistoquetudodevesercodificadoem0ou1; Representação através do Sinal-módulo Representação através de um bit de sinal colocado à esquerda, na posição de algarismo maissignificativo.seonúmeroforpositivo,obitdesinaserá0,seonúmerofornegativo esteserá1 35 10 = 100011 2 0100011 2 / 73 10 = 1001001 2 11001001 2 32
Notação dos Números Binários Positivos e Negativos Representação através do complemento de 2(binários negativos) Obter o complemento de 1 do número se dá pela troca de cada bit do número pelo seu inverso ou complemento; Somar 1 ao complemento de 1 do número binário inicial; 33
Notação dos Números Binários Positivos e Negativos A título de exemplo, a seguir é exibida uma tabela com a sequência de números binários positivos e negativos(-9 10 a+10 10 ),em4bits,utilizandoanotaçãodocomplementode2: Nota 1: através desta tabela é possível notar que os números positivos na notação do complemento de 2 recebem representação normal. Desta maneira nos sistemas digitais, para se efetuar uma diferenciação, utiliza-se um bit de sinal a mais, que colocado à esquerda do número indica se este é positivo. Nota 2: a conversão inversa, ou seja, complemento de 2 para binário normal é bem simples, 34 basta determinar novamente o complemento de 2 do resultado
Notação dos Números Binários Positivos e Negativos - Complemento de 2 em Operações Aritméticas A notação do complemento de 2 pode ser utilizada para efetuar operações diversas que envolvam soma ou subtração, ou seja, operações que envolvem números positivos e negativos. A solução é simples, basta determinar o complemento de 2 do número negativo, com o mesmo número de bits do outro membro da operação e realizar a soma, desconsiderando, se houver, o estouro do número de bits no resultado. Tomemoscomoexemploaoperação:11010111 2 +100101 2 (N 1 +(-N 2 )) X Estouro do nº de bits 35
Exercícios 36