1 No estudo de sistemas digitais recorre-se a diferentes sistemas de numeração. Sistema Decimal É o nosso sistema natural. Dígitos 0,1,2,...,9. Números superiores a 9; convencionamos o significado da posição de cada dígito em relação a uma potência de 10.
2 Por exemplo, o número 7986 traduz um valor numérico calculado por: 7986 = 7x10 3 +9x10 2 +8x10 1 +6x10 0 Conforme observa-se, um número é expresso pela soma de potências da base 10 multiplicadas pelos dígitos correspondentes.
Sistema de Numeração Binário Em sistemas descritos por variáveis lógicas recorremos ao sistema de numeração de base 2. A vantagem desta utilização resulta da correspondência direta entre os dígitos 0 e 1 e os valores lógicos 0 e 1. Neste sistema, os dígitos binários representam os coeficientes das potências de base 2. 3
Por exemplo, o número 19 10 (o subscrito indica a base) é representado pela seqüência de dígitos binários: 10011 2 = 1x2 4 +0x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x2 0 10011 2 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19 10 Na prática, cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digital digit), conjuntos de 4 bits são chamados nibble e de 8 bits denominam-se byte. 4
5 Conversão binário para decimal Notamos, que de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada dígito multiplicado por uma potência da base relacionada à posição daquele dígito. O algarismo menos significativo ( base elevada a zero = 1) localiza-se à direita, ao passo que os mais significativos(maiores potências da base) ficam à esquerda.
6 Abaixo temos algumas potências de 2 2 10 2 9 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
7 Exemplo: Converter o número 001110 2 em decimal. Lembrando que 0 zero à esquerda de um número é um algarismo não significativo, temos: 001110 2 = 1110 2 1110 2 = 1x2 3 +1x2 2 +1x2 1 +0x2 0 = 1110 2 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 10 Exemplo: Converter o número 101010 2 em decimal. 101010 2 = 1x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +0x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 101010 2 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42 10
8 Conversão decimal para binário Considere-se a divisão inteira de N por 2. Dado que cada divisão desloca o ponto decimal uma posição para a esquerda temos: N...x8 x4x2x1 x8x4 x2 resto x1 2 2 O dígito menos significativo x 1 corresponde ao resto da divisão inteira e o quociente corresponde a um novo número N =...x 8 x 4 x 2, onde x 2 passa a ser o algarismo menos significativo.
9 Aplicando divisões sucessivas e considerando o resto, obtém-se a seqüência de digitos binários que representam o número N no sistema binário. Vejamos o exemplo: 19 2 1 9 2 1 4 2 0 2 2 0 1 2 1 0 19 10 = 10011 2
Vejamos outro exemplo: 30 2 0 15 2 1 7 2 1 3 2 1 1 2 1 0 30 10 = 11110 2 10
Sistema de Numeração Octal Neste sistema a base é 8, e os dígitos são 0,1,2,...7 11 Há uma relação especial entre o sistema octal e o sistema binário que reside no fato de que três dígitos binários representarem oito (2 3 ) números distintos. Esta relação permite efetuar conversões entre estes sistemas de forma quase imediata como veremos adiante.
Conversão do sistema Octal para o decimal Utilizamos o conceito básico de formação de um número já explicado. 12 Observemos o exemplo: Converter 345 8 em decimal. 345 8 = 3x8 2 + 4x8 1 + 5x8 0 345 8 = 192 + 32 + 5 = 229 10
Vejamos outro exemplo: Converter 477 8 em decimal. 477 8 = 4x8 2 + 7x8 1 + 7x8 0 477 8 = 256 + 56 + 7 = 319 10 Conversão do sistema Decimal para o Octal 13 O processo é análogo ao da conversão decimal para binário, ou seja, empregar divisões sucessivas pela base.
14 Exemplificando: Converter 90 10 para octal. 90 8 2 11 8 3 1 8 1 0 90 10 = 132 8 Converter 128 10 para octal. 128 8 0 16 8 0 2 8 2 0 128 10 = 200 8
Conversão do sistema Octal para binário 15 Para realizar a conversão basta converter cada dígito octal no seu correspondente binário. Isto se deve à relação anteriormente mencionada. Exemplificando. Converter 77 8 em binário. 7 7 778 1111112 111 111 Converter 123 8 em binário 1 2 3 1238 10100112 001 010 011
Conversão do sistema Binário para o Octal Utiliza-se o processo inverso do anterior. 16 Separamos o número binário em grupos de três bits à partir da direita. Depois, convertemos cada grupo de bits para o sistema octal. Exemplificando: Converter 1110010 2 em octal
17 1110010 2 = 1 110 010 = 162 8 Vejamos outro exemplo: Converter 10001 2 em octal. 10001 2 = 10 001 = 21 8 Converter 1110100 2 em octal. 1110100 2 = 1 110 100 = 164 8 N.º Decimal 10 N.º Binário 2 N.º Hexadeci mal 16 N.º Octal 8 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 8 10 9 1001 9 11 10 1010 A 12 11 1011 B 13 12 1100 C 14 13 1101 D 15 14 1110 E 16 15 1111 F 17
Sistema de Numeração Hexadecimal Este sistema tem base 16 e portanto possui 16 dígitos. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F são os dígitos deste sistema. O dígito A representa a quantidade 10, B representa 11, até o F que representa 15. 18
Este sistema é bastante utilizado em microcomputadores tanto em hardware como em software. Conversão do sistema hexadecimal para o decimal. Novamente usamos o conceito básico de formação de um número já explicado. 19
20 Exemplificando. Converter 2D 16 em decimal. 2D 16 = 2x16 1 + 13x16 0 = 32 + 13 = 45. Vejamos outro exemplo. Converter 1C3 16 em decimal. 1C3 16 = 1x16 2 + 12x16 1 + 3x16 0 = 256 + 192 + 3 = 451 10. Conversão do sistema decimal para o hexadecimal. Novamente usamos divisões sucessivas.
Exemplificando. Converter 1000 10 em hexadecimal. 1000 16 8 62 16 14 3 16 3 0 1000 10 = 3E8 16 21
22 Converter 120 10 em hexadecimal 120 16 8 7 16 7 0 120 10 = 78 16 Conversão do sistema hexadecimal para o binário. É análoga à conversão do sistema octal para o binário. Desta vez, precisamos de quatro bits para representar cada dígito hexadecimal. N.º Decima l 10 N.º Binário 2 N.º Hexade cimal 16 N.º Octal 8 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 8 10 9 1001 9 11 10 1010 A 12 11 1011 B 13 12 1100 C 14 13 1101 D 15 14 1110 E 16 15 1111 F 17
Exemplificando. Converter AB3 16 em binário. AB316 101010110011 1010101100112 A B 3 Vejamos outro exemplo. Converter F8DD 16 em binário. 23 F8DD16 1111100011011101 11111000110111012 F 8 D D
24 Conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal. Novamente é análoga à conversão do sistema octal para o binário. Desta vez agrupamos os bits de 4 em 4 à partir da direita. Exemplificando. Converter 1001110 2 em hexadecimal. 1001110 2 = 100 1110 = 4E 16 Converter 1100011011 2 em hexadecimal. 1100011011 2 = 11 0001 1011 = 31B 16
Exercícios Propostos Efetue as conversões indicadas: Converta para o sistema decimal a) 1100010 2 b) 0111100 2 c) 10000100110 2 d) 101011000110 2 e) 431 8 f) 752 8 g) 177 8 e) 536 8 f) 20F 16 g) 4BE 16 h) 100A 16 i) 9F0 16 Converta para o sistema binário a) 144 10 b) 301 10 c) 72 10 d) 231 10 e) 167 8 f) 444 8 g) 7011 8 h) 1010 8 i) 202 16 j) F16 16 k) AA0B 16 l) D99F 16 m) C79 16 n) 200B 16 25
Converta para o sistema Octal a) 331 10 b) 1000 10 c) 128 10 d) 255 10 e) 1100 2 f) 1001110 2 g) 10001110111 2 h) 111011100 2 i) 765 16 j) CBD 16 k) FADA 16 Converta para o sistema Hexadecimal a) 1253 10 b) 819 10 c) 3014 10 d) 1600 10 e) 750 8 f) 347 8 g) 117 8 h) 512 8 i) 011100100011011 2 j) 10001110110001 2 k) 110111000 2 l) 1111110111110 2 26
Realize as conversões 102201102 3 a) em decimal b) em binário c) em sistema base 9 27 167 10 a) em sistema ternário b) em sistema base 9 c) em binário