UTFPR Disciplina: EL66J Prof. Gustavo B. Borba Notas de aula #1 SISTEMAS NUMÉRICOS - Notação posicional Definição: A posição de cada algarismo no número indica a sua magnitude. A magnitude também é chamada de peso. Exemplo: O sistema numérico que usamos no dia-a-dia é o decimal. O sistema numérico decimal possui este nome porque é composto por 10 algarismos (ou símbolos): 0, 1,..., 9. O sistema decimal também é chamado de sistema da base 10. Assim, no sistema decimal, os pesos são potências de 10: 10 0, 10 1, 10 2, 10 3, e assim por diante. Por exemplo, para o número 1328 decimal (1328 10 ): 10 3 10 2 10 1 10 0 pesos 1 3 2 8 10 número algarismos Então: 1328 10 = 11000 + 3100 + 210 + 81 - Sistema decimal [base 10] Composto por 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. - Sistema binário [base 2] Composto por 2 algarismos: 0, 1. Nos circuitos digitais os sinais possuem duas condições válidas, como por exemplo: baixo ou alto, carregado ou descarregado, aberto ou fechado, desligado ou ligado. Assim, os sinais nestes circuitos são interpretados como os zeros (0) e uns (1) do sistema binário. Portanto, os circuitos digitais utilizam o sistema numérico binário para representar os números. Os algarismos do sistema binário, 0 e 1, são chamados de bits (binary digits). - Sistema octal [base 8] Composto por 8 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. - Sistema hexadecimal (também chamado de hexa) [base 16] Composto por 16 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. - Contagem decimal binário decimal octal decimal hexa 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 10 2 2 2 2 3 11 3 3 3 3 4 100 4 4 4 4 5 101 5 5 5 5 6 110 6 6 6 6 7 111 7 7 7 7 8 1000 8 10 8 8 9 1001 9 11 9 9 10 1010 10 12 10 A 11 1011 11 13 11 B 12 1100 12 14 12 C 13 1101 13 15 13 D 14 1110 14 16 14 E 15 1111 15 17 15 F 16 10000 16 20 16 10 17 10001 17 21 17 11 18 10010 18 22 18 12 19 10011 19 23 19 13.................. EL66J 1/7
- Conversão qualquer base decimal Aplicar notação posicional 1. 100111 2 =? 10 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 pesos 1 0 0 1 1 1 2 132 + 016 + 08 + 14 + 12 + 11 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 39 100111 2 = 39 10 2. 527 8 =? 10 8 2 8 1 8 0 pesos 5 2 7 8 564 + 28 + 71 = 320 + 16 + 7 = 343 527 8 = 343 10 3. 19C 16 =? 10 16 2 16 1 16 0 pesos 1 9 C 16 1256 + 916 + 121 = 256 + 144 + 12 = 412 19C 16 = 412 10 - Conversão decimal qualquer base Aplicar divisões sucessivas 4. 39 10 =? 2 39 2 19 19 2 39 10 = 100111 2 1 1 9 2 Pegar o último resultado e os restos das divisões 1 4 2 0 2 2 0 1 5. 343 10 =? 8 343 8 23 42 8 343 10 = 527 8 7 2 5 Pegar o último resultado e os restos das divisões 6. 412 10 =? 16 412 16 C 92 25 16 412 10 = 19C 16 12 9 1 Pegar o último resultado e os restos das divisões EL66J 2/7
- LSB e MSB Em um número binário, o bit mais da direita é chamado de Least Significant Bit (LSB) bit menos significativo, pois possui o menor peso. Já o bit mais da esquerda é chamado de Most Significant Bit (MSB) bit mais significativo, pois possui o maior peso. Exemplo: 1 0 1 1 0 0 2 MSB LSB - Conversão binário octal A conversão é imediata: agrupar os bits de 3 em 3 a partir do LSB e substituir cada grupo pelo seu octal equivalente. (Tabela binário octal ao lado) - Conversão octal binário A conversão é imediata: substituir cada algarismo octal pelo seu grupo de 3 bits equivalente. (Tabela binário octal ao lado) - Conversão binário hexa A conversão é imediata: agrupar os bits de 4 em 4 a partir do LSB e substituir cada grupo pelo seu hexa equivalente. (Tabela binário hexa ao lado) - Conversão hexa binário A conversão é imediata: substituir cada algarismo hexa pelo seu grupo de 4 bits equivalente. (Tabela binário hexa ao lado) octal grupo de grupo de hexa 3 bits 4 bits 0 000 0 0000 1 001 1 0001 2 010 2 0010 3 011 3 0011 4 100 4 0100 5 101 5 0101 6 110 6 0110 7 111 7 0111 binário octal 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 binário hexa 7a. 101010111 2 =? 8 7b. 10110 2 =? 8 7c. 1001111100 2 =? 8 101 010 111 010 110 001 001 111 100 5 2 7 2 6 1 1 7 4 101010111 2 = 527 8 10110 2 = 26 8 1001111100 2 = 1174 8 8a. 527 8 =? 2 8b. 14 8 =? 2 8c. 2060 8 =? 2 5 2 7 1 4 2 0 6 0 101 010 111 001 100 010 000 110 000 527 8 = 101010111 2 14 8 = 1100 2 2060 8 = 10000110000 2 EL66J 3/7
9a. 110011100 2 =? 16 9b. 11110001 2 =? 16 9c. 1001111100 2 =? 16 0001 1001 1100 1111 0001 0010 0111 1100 1 9 C F 1 2 7 C 110011100 2 = 19C 16 11110001 2 = F1 16 1001111100 2 = 1174 8 10a. 63D 16 =? 2 10b. F1 16 =? 2 10c. A5B 16 =? 2 6 3 D F 1 A 5 B 0110 0011 1101 1111 0001 1010 0101 1011 63D 8 = 11000111101 2 F1 16 = 11110001 2 A5B 16 = 101001011011 2 - Conversão binário fracionário decimal Aplicar notação posicional 11a. 0,101 2 =? 10 2 0 2-1 2-2 2-3 pesos 0, 1 0 1 00 + 1(1/2) + 0(1/4) + 1(1/8) = 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 0,625 0,101 2 = 0,625 10 11b. 0,0101 2 =? 10 2 0 2-1 2-2 2-3 2-4 pesos 0, 0 1 0 1 00 + 0(1/2) + 1(1/4) + 1(1/8) + 1(1/16) = 0 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,3125 0,0101 2 = 0,3125 10 - Conversão decimal fracionário binário Aplicar multiplicações sucessivas 0,625 0,8 12a. 0,625 10 =? 2 12b. 0,8 2 10 =? 2 2 1,250 1,6 0,250 0,6 2 2 0,500 1,2 2 1,000 0,2 2 0,4 0,625 10 = 0,101 2 2 0,8... 0,8 10 = 0,11001100... 2 EL66J 4/7
- Conversão binário fracionário octal A conversão é imediata: agrupar os bits de 3 em 3 a partir da, e substituir cada grupo pelo seu octal equivalente. (Tabela binário octal) - Conversão octal fracionário binário A conversão é imediata: substituir cada algarismo octal pelo seu grupo de 3 bits equivalente. (Tabela binário octal) - Conversão binário fracionário hexa A conversão é imediata: agrupar os bits de 4 em 4 a partir da, e substituir cada grupo pelo seu hexa equivalente. (Tabela binário hexa) - Conversão hexa fracionário binário A conversão é imediata: substituir cada algarismo hexa pelo seu grupo de 4 bits equivalente. (Tabela binário hexa) 13a. 0,101 2 =? 8 13b. 0,1011 2 =? 8 0, 101 0, 101 100 0, 5 0, 5 4 0,101 2 = 0,5 8 0,1011 2 = 0,54 8 14a. 0,54 8 =? 2 14b. 0,07 8 =? 2 0, 5 4 0, 0 7 000, 101 100 000, 000 111 0,54 8 = 0,1011 2 0,07 8 = 0,000111 2 15a. 0,1011 2 =? 16 15b. 0,111001 2 =? 16 0, 1011 0, 1110 0100 0, B 0, E 4 0,1011 2 = 0,B 16 0,111001 2 = 0,E4 16 16a. 0,E4 16 =? 2 16b. 0,0A 16 =? 2 0, E 4 0, 0 A 0000, 1110 0100 0000, 0000 1010 0,E4 16 = 0,111001 2 0,0A 16 = 0,0000101 2 EL66J 5/7
NA PRÁTICA - Conversão decimal binário, através do método soma de pesos Exemplo: 39 10 =? 2 Passo 1. Fazer campos para os bits e colocar seus respectivos pesos: 64 32 16 8 4 2 1... 2 Passo 2. Colocar bit 1 nos pesos que se deseja somar e bit 0 nos pesos que não se deseja somar, até atingir o decimal em questão. Neste exemplo, o objetivo é somar 39, pois estamos convertendo 39 10 para binário: 64 32 16 8 4 2 1... 0 1 0 0 1 1 1 2 Concluído! Não foi necessário utilizar o método das divisões sucessivas. A resposta é: 39 10 = 100111 2 - Sistemas octal e hexa Em eletrônica digital, os sistemas numéricos octal e hexadecimal servem para representar os números binários de forma compacta. Em outras palavras, servem para facilitar a visualização e a documentação dos números binários. Um exemplo simples: apesar de E6 16 e 11100110 2 representarem o mesmo valor, é mais fácil dizer (ou escrever) E6 16, do que dizer (ou escrever) 11100110 2. E por que não usar simplemente o decimal para fazer este trabalho? porque, como vimos anteriormente, as conversões binário octal e binário hexa são imediatas, isto é, basta uma simples substituição. - Contagem em binário - Caminhos práticos para as conversões decimal binário 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 LSB Inicia com todos os bits em 0. O bit LSB inverte de 1 em 1, o próximo bit inverte de 2 em 2, o próximo bit inverte de 4 em 4, e assim por diante. EL66J 6/7
- Outros detalhes importantes Com um número binário de N bits (algarismos) é possível representar 2 N números decimais. O menor decimal é 0 e o maior decimal é 2 N 1. Exemplo: Para um número binário de 8 bits: Menor decimal = 0 Maior decimal = 2 N 1 = 2 8 1 = 256 1 = 255 Um grupo de 4 bits é chamado de nibble. Um grupo de 8 bits é chamado de byte. EL66J 7/7