UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERIANA Instituto Latino-Americano de iências da Vida e da Natureza entro Interdisciplinar de iências da Natureza ÁLULO IV - MAT0041 1 a Lista de exercícios 1. alcule a integral de linha do campo vetorial f ao longo da curva que indica-se em cada um dos seguintes itens. (a) f(x, y) = (x + y) i + (y 2 x) j, sobre a curva fechada que começa em ( 1, 0), continua ao longo do eixo X até (1, 0) e volta a ( 1, 0) pela parte superior da circunferência unitária. (b) f(x, y) = xy i + e x j, ao longo da curva α(t) = t i + t j, t [ 1, 1] percorrida em sentido horário. (c) f(x, y) = x 2 i + xy j, ao longo da curva fechada que consiste do segmento de parábola y = x 2 entre (0, 0) e (1, 1), e o segmento de reta desde (1, 1) a (0, 0). (d) f(x, y) = (x 2 2xy) i + (y 2 2xy) j, ao longo da parábola y = x 2 desde ( 1, 1) a (1, 1). (e) f(x, y) = (2a y) i + x j, ao longo da curva dada por α(t) = a(t sen t) i + a(1 cos t) j, 0 t 2π. (f) f(x, y) = (x 2 + y 2 ) i + (x 2 y 2 ) j, ao longo da curva y = 1 1 x, desde (0, 0) a (2, 0). (g) f(x, y) = (x + y) i + (x y) j, ao redor da elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 em sentido anti-horário. (h) f(x, y, z) = (y 2 z 2 ) i + 2yz j x 2 k, ao longo da curva descrita por α(t) = t i + t 2 j + t 3 k, 0 t 1. (i) f(x, y, z) = 2xy i + (x 2 + z) j + y k, desde (1, 0, 2) a (3, 4, 1) ao longo de um segmento de reta. (j) f(x, y, z) = x i + y j + (xz y) k, desde (0, 0, 0) a (1, 2, 4) ao longo de um segmento retilíneo. (k) f(x, y, z) = x i + y j + (xz y) k, ao longo da curva dada por α(t) = t 2 i + 2t j + 4t 3 k, 0 t 1. (l) f(x, y, z) = (2x + 3y) i + (3x + 2y) j + 3z 2 k, ao longo da trajetória de (0, 0, 0) a (4, 2, 3) que consta de três segmentos de retas paralelos aos eixos X, Y e Z, nessa ordem. (m) f(x, y, z) = ye xy i + xe xy j + xyz k, ao longo da curva de interseção do cone x 2 + y 2 = (z 1) 2 com os planos coordenados no primeiro octante, em sentido horário, visto desde (0, 0, 0). 2. alcule o valor da integral de linha dada em cada um dos seguintes itens. (a) (x 2 2xy)dx + (y 2 2xy)dy, sendo o arco de parábola y = x 2 que une os pontos ( 2, 4) e (1, 1). (x + y)dx (x y)dy (b) x 2 + y 2, onde é a circunferência x 2 + y 2 = a 2, percorrida em sentido anti-horário. dx + dy (c), onde é o contorno do quadrado de vértices (1, 0), (0, 1), ( 1, 0) e (0, 1), x + y percorrido em sentido anti-horário. (d) ydx + zdy + xdz, onde (d.1) é curva de interseção das duas superfícies x + y = 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 2(x + y). A curva é percorrida de tal modo que olhando desde a origem o sentido horário. (d.2) é a interseção das duas superfícies z = xy e x 2 + y 2 = 1, percorrida em sentido, que visto desde acima do plano XY, é anti-horário. 3. (Integração omplexa) Seja U aberto e considere a função f : U, f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Seja : [a, b] R 2 uma curva de classe 1 (isto é, é diferenciável e tem derivada continua) tal que ([a, b]) U (olhando este como um conjunto do plano R 2 ). Sendo z = x + iy, consideremos 1
a diferencial de z, de maneira formal, como dz = dx + idy, e fazendo o produto formal f(z)dz, como f(z)dz = (u(x, y) + iv(x, y))(dx + idy) = u(x, y)dx v(x, y)dy + i(v(x, y)dx + u(x, y)dy) A integral da função f(z) define-se ao longo da curva, denotada por f(z)dz, como (note que podemos escrever f(z)dz = u(x, y)dx v(x, y)dy + i (v(x, y)dx + u(x, y)dy) f(z)dz é um número complexo). Em termos das integrais de linha de campos vetoriais, f(z)dz = F d + i G d onde F, G : U R 2 R 2 são os campos F (x, y) = u(x, y) i v(x, y) j, G(x, y) = v(x, y) i + u(x, y) j. Se f, g : U são duas funções definidas no aberto U, defina sua soma f + g, e o produto de f pelo número real c, de modo natural. Mostre que (f + cg)(z)dz = f(z)dz + c g(z)dz e f(z)dz = f(z)dz onde : [a, b] R 2, ( )(t) = (a + b t). Se = 1 + 2, mostre que f(z)dz = f(z)dz + 1 f(z)dz. 2 4. alcule a integral (z 3 + iz + 2 i)dz, onde é a curva cuja imagem é o arco de parábola cubica y = x 3 compreendido entre x = 1 e x = 1, percorrido do ponto ( 1, 1) ao ponto (1, 1). 5. alcule a integral z 2 dz, ao longo da curva que vai do ponto p = (0, 1) ao ponto q = (1, 0), em cada um dos seguintes casos: (a) é um segmento de reta. (b) é um arco de parábola y = 1 x 2. (c) é um arco de parábola x = 1 y 2. 1 6. alcule a integral dz ao longo da curva cuja imagem é: z (a) o círculo x 2 + y 2 = 1 percorrido em sentido anti-horário. (b) o quadrado x + y = 1 percorrido em sentido anti-horário. (c) o quadrado com vértices em A = (1, 0), B = (3, 0), = (3, 2), D = (1, 2), com o percorrido A B D A. 7. Um campo de forças f do espaço de três dimensiones vem dado por f(x, y, z) = x i + y j + (xz y) k. alcule o trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula desde (0, 0, 0) a (1, 2, 4) ao longo do segmento de reta que une esses pontos. 8. Encontre o trabalho realizado pela força f(x, y) = (x 2 y 2 ) i + 2xy j ao mover uma partícula em sentido anti-horário percorrendo uma vez o contorno do quadrado limitado pelos eixos coordenados e as retas x = a e y = a, a > 0. 9. Um campo de forças bi-dimensional f vem dado pela equação f(x, y) = cxy i + x 6 y 2 j sendo c uma constante positiva. Essa força atua sobre uma partícula que move-se desde (0, 0) até a reta x = 1 seguindo uma curva da forma y = ax b, onde a > 0 e b > 0. Encontre o valor de a (em função de c) tal que o trabalho realizado por esta força seja independente de b. 2
10. Um campo de forças f no espaço de três dimensões vem dado pela fórmula f(x, y, z) = yz i + xz j + x(y + 1) k. alcule o trabalho realizado por f ao mover uma partícula percorrendo uma vez o contorno do triângulo de vértices (0, 0, 0), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1) em este ordem. 11. alcule o trabalho realizado pelo campo de forças f(x, y, z) = (y z) i + (z x) j + (x y) k ao longo da curva de interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e o plano z = y tan θ, onde 0 < θ < π/2. A curva é percorrido de modo que, observado o plano XY desde o eixo Z positivo, o sentido aparece anti-horário. 12. alcule o trabalho realizado pelo campo de forças f(x, y, z) = y 2 i + z 2 j + x 2 k ao longo da curva de interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e o cilindro x 2 + y 2 = ax, sendo z 0 e a > 0. A curva é percorrida de modo que, observado o plano XY desde o eixo Z positivo o sentido seja horário. 13. onsidere o campo de forças F (x, y, z) = 3x 2 i + (2xz 1) j + z k. Encontre o trabalho realizado ao deslocar-se uma partícula ao longo de (a) a reta que une os pontos (0, 0, 0) e (2, 1, 3). (b) a curva x = 2t 2, y = t, z = 4t 2 1 desde t = 0 a t = 1. 14. alcule o trabalho que necessita-se para levar uma partícula de (1, 0) a ( 1, 0), pelo círculo x 2 +y 2 = 1, por meio de um campo de forças que atua em cada ponto com uma força constante de magnitude igual a 2, apontando na direção positiva do eixo Y. 15. Em cada ponto do plano atua uma força de magnitude constante igual a 2, a qual forma sempre projeções iguais com os eixos coordenados. alcule o trabalho necessário para deslocar-se uma partícula por meio deste campo de forças, do ponto p = (0, 0), ao ponto q = (2, 2), em cada um dos seguintes casos: (a) ao longo do segmento de reta que une p com q. (b) seguindo a trajetória (de segmentos de reta): p = (0, 0) (1, 0) (1, 1) (2, 1) (2, 2) = q. (c) ao longo da parábola y = x 2 /2. 16. Seja F (x, y, z) = (6xy 3 z + 4y 2 z 3 ) i + (9x 2 y 2 z + z 4 ) j + (3x 2 y 3 + 12xy 2 z 2 + 4yz 3 ) k um campo de forças. Encontre o trabalho que realiza F ao mover uma partícula desde a origem ao ponto (1, 1, 1) seguindo a curva = 1 2 3 onde 1 : semi-circunferência no plano XY que une (0, 0, 0) com (0, 2, 0), x 0; 2 : semi-circunferência no plano ZY que une (0, 2, 0) com (0, 4, 0), z 0; 3 : reta que une (0, 4, 0) com (1, 1, 1). 17. onsidere o campo de forças F (x, y) = (x + y) i + (x y) j. alcule o trabalho que é necessário para trasladar uma partícula por meio deste campo desde a origem de coordenadas hasta o ponto (2, 0) em cada um dos seguintes casos: (a) ao longo do eixo X. (b) seguindo a trajetória do semi-círculo (x 1) 2 + y 2 = 1, y 0. (c) seguindo a trajetória do semi-círculo (x 1) 2 + y 2 = 1, y 0. 18. Seja f : U R n R um campo escalar e α : [a, b] R n uma curva regular por partes tal que α([a, b]) U. Por definição a integral de linha sobre o campo escalar f é b fds = f(α(t)) α (t) dt. Se β : [c, d] R n é uma curva equivalente a α mostre que α a α fds = 19. alcule a integral de linha do campo escalar f com respeito ao comprimento de arco em cada um dos seguintes items. (a) (x + y)ds, onde tem a equação vetorial α(t) = (e t + 1) i + (e t 1) j, 0 t ln 2. (b) (x + y)ds, sendo o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1), percorrido em sentido antihorário. β fds. 3
(c) (d) (e) (f) (g) y 2 ds, onde tem a equação vetorial α(t) = a(t sen t) i + a(1 cos t) j, 0 t 2π. (x 2 + y 2 )ds, onde é dada por α(t) = a(cos t + tsen t) i + a(sen t t cos t) j, 0 t 2π. zds, onde é dada pela equação vetorial α(t) = t cos t i + t sen t j + t k, 0 t t 0. (x 4/3 + y 4/3 )ds, onde é o arco da astroide x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 no primeiro quadrante. xyds, onde é a quarta parte da elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 situada no primeiro quadrante, em sentido anti-horário. 20. onsidere um fio homogêneo de forma semicircular de raio a. (a) Mostre que o centroide está situado sobre o eixo de simetria a uma distância de 2a/π do centro. (b) Mostre que o momento de inércia em relação ao diâmetro passando pelas extremidades do fio é 1 2 Ma2, onde M é a massa do fio. 21. Um fio tem a forma do circulo x 2 + y 2 = a 2. Determine a sua massa e o momento de inércia em relação a um diâmetro. sabendo que a densidade em (x, y) é x + y. 22. Determine a massa de um fio cuja forma é a da curva de intersecção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e o plano x + y + z = 0, se a densidade do fio em (x, y, z) é x 2. 23. Um fio homogêneo tem a forma da porção da curva de intersecção da superfície x 2 + y 2 = z 2 com a superfície y 2 = x, compreendida entre os pontos (0, 0, 0) e (1, 1, 2). Determine a coordenada z do seu centroide. 24. Determine as coordenadas x e y do centro de massa de uma espira completa da mola descrita pela equação vetorial α(t) = a cos t i + a sen t j + bt k se a densidade em (x, y, z) é x 2 + y 2 + z 2. 25. Para a espira completa da mola referida no Exercício anterior, calcule os momentos de inércia I x e I y. 26. Ana Beatriz pensa pintar ambas caras de um muro cuja base está no plano XY, que tem a forma x = 30sen 3 t, y = 30cos 3 t, 0 t π/2, e cuja altura correspondente ao ponto (x, y) é 1 + 1 3y, todo medido em centímetros. (a) Faça um esboço do muro. (b) alcule que quantidade de galões de pintura é necessário, se um galão cobre 200 cm 2. 27. Encontre a massa da primeira espiral da hélice x = a cos t, y = asen t, z = bt, cuja densidade em cada ponto é igual ao quadrado da distância deste ponto a origem. 28. alcule a massa do arco de circunferência x = cos t, y = sen t, 0 t π, se sua densidade no ponto (x, y) é igual a y. 29. Encontre as coordenadas do centro de gravidade do arco de cicloide x = t sen t, y = 1 cos t, 0 t π, se sua densidade é constante. 30. Encontre o centro de massa de um arame de densidade constante enrolado no gráfico da hélice α(t) = 4 cos t i + 4sen t j + 3t k, t [0, π]. 31. Encontre a massa total de um arame cujo gráfico é a curva y = ln x, 1 x e, se a densidade no ponto (x, y) é igual a x 2. 32. Utilize a integral de linha para encontrar a área da parte determinada pela interseção do cilindro quadrado vertical x + y = a com a esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2. Verifique sua resposta encontrando uma maneira trivial de resolver este problema. 4
33. alcule as coordenadas do centro de gravidade do arco da curva y = cosh x, 0 x ln 2, se sua densidade es constante. 34. Seja g : [a, b] R uma função de classe 1 e seja f : U R 2 R 2 una função continua e positiva, onde g([a, b]) U. Mostre que a área da parte do cilindro y = g(x) que encontra-se por cima do plano z = 0 e por baixo da superfície z = f(x, y) é igual ao produto do comprimento do gráfico de y = g(x), a x b, vezes o valor médio da função f sobre o caminho α : [a, b] R 2, α(t) = (t, g(t)). 35. Determinar quais dos seguintes conjuntos abertos S de R 2 são conexos. Para cada conjunto conexo, escolher dois pontos distintos quaisquer de S e explicar como se poderia encontrar em S uma curva regular por partes que os une. (a) S = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 0}. (b) S = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 > 0}. (c) S = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 1}. (d) S = {(x, y) R 2 ; 1 < x 2 + y 2 < 2}. (e) S = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 > 1 e (x 3) 2 + y 2 > 1}. (f) S = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 1 ou (x 3) 2 + y 2 < 1}. 36. Dado um campo vetorial bidimensional f(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j, onde as derivadas parciais P y e Q são continuas em um conjunto aberto S. Se f é o gradiente x de um certo potencial ϕ, mostrar que P y = Q x em cada ponto de S. 37. Em cada um dos seguintes campos vetoriais, aplicar o resultado do exercício 1 para mostrar que f não é um gradiente. A continuação encontre uma curva fechada tal que f 0. (a) f(x, y) = y i x j. (b) f(x, y) = y i + (xy x) j. 38. Dado um campo vetorial tridimensional onde as derivadas parciais f(x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, P y, P z, Q x, Q z, R x, R y, são continuas em um conjunto aberto S. Se f é o gradiente de um certo potencial ϕ, mostrar que em cada ponto de S. P y = Q x, P z = R x e Q z = R y 39. Em cada um dos seguintes campos vetoriais, aplicar o resultado do exercício 3 para mostrar que f não é um gradiente. A continuação encontre uma curva fechada tal que f 0. (a) f(x, y, z) = y i + x j + x k. (b) f(x, y, z) = xy i + (x 2 + 1) j + z 2 k. (c) f(x, y, z) = y i + (x + z) j y k. (d) f(x, y, z) = (z + y) i + z j + (y + x) k. 5
40. Um campo de forças f está definido no espaço de três dimensões pela equação (a) Determinar se f é ou não conservativo. f(x, y, z) = y i + z j + yz k (b) alcule o trabalho realizado ao mover uma partícula ao longo da curva de equação quanto t varia de 0 a π. α(t) = cos t i + sen t j + e t k 41. Um campo de forças bidimensional F tem por equação F (x, y) = (x + y) i + (x y) j. (a) Mostrar que o trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula seguindo a curva curva α(t) = f(t) i + g(t) j, a t b. depende unicamente de f(a), f(b), g(a) e g(b). (b) Encontre o trabalho realizado quando f(a) = 1, f(b) = 2, g(a) = 3 e g(b) = 4. 42. Um campo de forças vem dado em coordenadas polares pela equação F (ρ, θ) = 4sen θ i + 4sen θ j. alcule o trabalho realizado ao mover um partícula desde o ponto (1, 0) ao origem seguindo a espiral cuja equação polar é ρ = e θ. 43. Um campo de forças radial ou central F no plano pode-se expressar na forma F (x, y) = f(r)r, onde, r = x i + y j e r = r. Mostrar que um tal campo de forças é conservativo. 44. Encontre o trabalho realizado pela força F (x, y) = (3y 2 + 2) i + 16x j ao mover uma partícula desde ( 1, 0) a (1, 0) seguindo a metade superior da elipse b 2 x 2 + y 2 = b 2. Qual é a elipse (isto é, que valor de b) que faz trabalho mínimo? Foz do Iguaçu, 14 de março de 2018 Víctor Arturo Martínez León 6