DIMENSIONAMENTO DE LAJES ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES EXEMPLO DE APLICAÇÃO Carlos Moutinho FEUP, Maio de 2002
1. Dados Gerais - Laje destinada a zona comercial (Q = 4 kn/m 2 ) - Peso de revestimentos e paredes divisórias: 3 kn/m 2 - Materiais: C20/25; A400 2. Geometria 1-2y 3-4y VIGA 1 P1 P1 1-3x 1-3x L1 L3 P2 P1 VIGA 2 2-4x 2-4x PAREDE 1 L2 VIGA 3 L4 VIGA 4 VIGA 1 P1 P1 1-2y 3-4y 6.70 3. Pré-dimensionamento da laje Planta estrutural Critério utilizado: Verificação do estado limite de deformação sem cálculo directo l λ ; λ = λ 0 KT Kl Kσs d 5 λ = 32 1 1 1.25 = 40 d = 0.125 m 40 com λ 0 = 32 (caso 2 do quadro 4.14 do EC2 para todas as lajes) K T =1 (laje maciça) K L =1 (vão < 7m) 400 As, eff Kσ s = =1 1.25=1.25(ter em conta o factor α def = 1.25 na atribuição de armaduras) f yk As, cal Dimensões adoptadas para todas as lajes: h = 0.17 m ; d = 0.14 m Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 2
4. Acções Acções permanentes: Peso próprio (0.17 25) 4.25 kn/m 2 Rev. + P. divisórias 3.00 kn/m 2 Acções variáveis: Sobrecarga 2 G k = 7.25 kn/m 2 Q k = 4 kn/m 2 S d = 1.35 Gk + 1.5 Qk = 1.35 7.25 + 1.5 4 = 15.79 kn/m 5. Cálculo dos momentos flectores máximos 5.1 Cálculo dos momentos iniciais Utilização do método do Regulamento Britânico (Norma BS8110) cujos coeficientes β sx e β sy já incluem a influência da alternância de sobrecargas e da redistribuição de esforços (ver tabelas em anexo). Lajes L1 e L2: M 4 M 3 M 4 M 1 M 2 l x Painel tipo 3 l x = 5.00 m; = 7.00 m = 1.4 lx M1 = 0.047 15.79 5 2 = 18.55 kn m/m M 2 = 0.063 15.79 5 2 = 24.87 kn m/m M 3 = 0.028 15.79 5 2 = 11.05 kn m/m M 4 = 0.037 15.79 5 2 = 14.60 kn m/m Lajes L3 e L4: M 8 M 7 M 5 M 6 l x Painel tipo 4 l x = = 5.00 m = 1.0 lx M 5 = M 7 = 0.035 15.79 5 2 =13.82 kn m/m M 6 = M 8 = 0.047 15.79 5 2 =18.55 kn m/m Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 3
5.2 Equilíbrio de momentos flectores sobre os apoios de painéis adjacentes Regras para o equilíbrio de momentos: a) Tratar os valores obtidos pela utilização das tabelas como momentos iniciais e equilibrar os momentos negativos sobre os apoios de acordo com a rigidez relativa dos vãos adjacentes; b) Em cada tramo, a soma dos módulos dos momentos negativos e positivo mantém-se constante antes e após o equilíbrio; c) Caso o momento positivo diminua, devido à aplicação da regra enunciada na alínea anterior, é conveniente manter o valor inicial. Neste exemplo é necessário equilibrar os momentos flectores negativos sobre os apoios dos painéis 1 e 3 (direcção 1-3x) e dos painéis 2 e 4 (direcção 2-4x). Direcção 1-3x = 2-4x: M A M Ce M Cd M B M D Momentos negativos: Momento a distribuir: M = M Ce M Cd = 14.60 18.55 = 3.95 kn m/m k 4EI 4EI = ; l 7 e = e k 3EI 3EI l 5 d = = d M C, final = M Ce + k e k e + k d M = M Cd kd k + k e d M M C, final = 14.60 + 0.488 3.95 = 18.55 0.512 3.95 = 16.53 kn m/m Momentos positivos: 1º tramo: manter o inicial M B, final = M B = 11.05 kn m/m 2º tramo: M Cd M D = M C, final + M D, final + = M + ( M M ) M D, final M D, final D Cd C, final = 13.82 + (18.55 16.53) = 15.84 kn m/m Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 4
5.3 Diagramas finais de momentos flectores Direcção 1-3x = 2-4x: 14.60 16.53 11.05 15.84 Direcção 1-2y : 24.87 18.55 18.55 Direcção 3-4y : 18.55 13.82 13.82 Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 5
6. Cálculo das armaduras principais Armadura mínima: A s,min = 0.0015 b w d = 0.0015 100 14 = 2.10 cm 2 /m Armadura para momentos flectores máximos: Direcção 1-3x 2-4x Msd (kn m/m) A s (cm 2 /m) A s,cal = A s α def (*) (cm 2 /m) Armadura Adoptada A s,eff (cm 2 /m) 14.60 3.14 3.93 φ8//0.10 5.03 11.05 2.36 2.95 φ8//0.20+φ6//0.20 3.92 16.53 3.57 4.46 φ8//0.10 5.03 15.84 3.41 4.26 φ8//0.10 5.03 1-2y 24.87 5.47 6.84 φ10//0.10 7.85 18.55 4.02 5.03 φ8//0.10 5.03 3-4y 18.55 4.02 5.03 φ8//0.10 5.03 13.82 2.97 3.71 φ8//0.20+φ6//0.20 3.92 (*) Eventualmente agravar apenas armadura inferior 7. Verificação ao esforço transverso Utilização do método do Regulamento Britânico para a determinação dos esforços transversos máximos nos apoios, sendo os coeficientes β vx e β vy retirados das tabelas em anexo. Corte no apoio intermédio das lajes L1 e L2: Painel tipo 3 l x = 5.00 m; = 7.00 m = 1.4; β vx =0.49 lx v sx = 0.49 15.79 5 = 38.68 kn/m Corte no apoios interiores das lajes L3 e L4: Painel tipo 4 l x = = 5.00 m = 1.0; β vx = β vy = 0.40 lx v sx = 0.40 15.79 5 = 31.58 kn/m v sd = 38.68 kn/m vrd = τ Rd k (1.2 + 40 l ) d =260 (1.6 0.14) (1.2 + 40 0.0036) 0.14 = 71.42 kn/m 1 ρ v sd v Rd1 dispensa armadura de esforço transverso Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 6
8. Verificação dos estados limites de utilização Estado limite de deformação: Verificação implícita no pré-dimensionamento da espessura da laje (ver ponto 3). Estado limite de fendilhação: De acordo com o parágrafo 4.4.2.3(1) do EC2, as lajes cuja espessura total não exceda 200mm não necessitam de medidas específicas para controlar a fendilhação, desde que se respeite as disposições construtivas indicadas na secção 5.4.3. Por outro lado, tendo-se utilizado um diâmetro máximo de varões de 10mm, facilmente se verifica que a tensão na armadura na combinação quase permanente não excede o valor de 360MPa (visto que em estado limite último a tensão na armadura é de 348MPa), valor limite indicado no quadro 4.11 do EC2 para que seja verificado o estado limite de fendilhação. 9. Desenhos (Ver páginas seguintes) BIBLIOGRAFIA - Apontamentos da disciplina de Estruturas de Betão Cálculo de esforços em lajes armadas em duas direcções do Prof. Joaquim Figueiras; - Pré-norma Europeia Eurocódigo 2, 1991; - Norma Britânica BS8110, parte 1, 1985. Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 7
ARMADURAS INFERIORES DIRECÇÃO X (Esc. 1/100) Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 8
ARMADURAS INFERIORES DIRECÇÃO Y (Esc. 1/100) Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 9
ARMADURAS SUPERIORES DIRECÇÃO X (Esc. 1/100) 6.70 Nota: armadura de distribuição para φ8//0.10 e φ8//0.20: φ6//0.20 Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 10
ARMADURAS SUPERIORES DIRECÇÃO Y (Esc. 1/100) 6.70 Nota: armadura de distribuição para φ8//0.10 e φ8//0.20: φ6//0.20 armadura de distribuição para φ10//0.10 e φ10//0.20: φ8//0.20 Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 11
ARMADURAS SUPLEMENTARES AMBAS AS DIRECÇÕES (A ADICIONAR ÀS ARMADURAS PRINCIPAIS) (Esc. 1/100) 6.70 CORTE NUM APOIO DESCONTÍNUO (Esc. 1/20) armadura superior da laje 0.35 armadura inferior da laje 0.17 0.33 0.50 estribos da viga armadura longitudinal da viga Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 12
Caso Tipo de painel e momentos considerados 1 Quatro lados contínuos Momento negativo sobre o lado contínuo 2 Um lado menor descontínuo Momento negativo sobre o lado contínuo 3 Um lado maior descontínuo Momento negativo sobre o lado contínuo 4 Dois lados adjacentes descontínuos Momento negativo sobre o lado contínuo 5 Dois lados menores descontínuos Momento negativo sobre o lado contínuo 6 Dois lados maiores descontínuos Momento negativo sobre o lado contínuo 7 Três lados descontínuos (um lado maior contínuo) Momento negativo sobre o lado contínuo 8 Três lados descontínuos (um lado menor contínuo) Momento negativo sobre o lado contínuo 9 Quatro lados descontínuos 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.75 2.0 0.032 0.037 0.043 Coeficientes para o menor vão, βsx Relação / l x 0.047 0.051 0.053 0.060 0.024 0.028 0.032 0.036 0.039 0.041 0.045 0.049 Coef. para o maior vão, βsy, para todos os 0.065 0.032 0.024 0.037 0.043 0.048 0.051 0.055 0.057 0.064 0.068 0.037 0.028 0.032 0.036 0.039 0.041 0.044 0.048 0.052 0.028 0.037 0.044 0.052 0.057 0.063 0.067 0.077 0.085 0.037 0.028 0.033 0.039 0.044 0.047 0.051 0.059 0.065 0.028 0.047 0.053 0.060 0.065 0.071 0.075 0.084 0.091 0.047 0.035 0.040 0.045 0.049 0.053 0.056 0.063 0.069 0.035 0.045 0.049 0.052 0.056 0.059 0.060 0.065 0.069-0.035 0.037 0.040 0.043 0.044 0.045 0.049 0.052 0.035 - - - - - - - - 0.045 0.035 0.043 0.051 0.057 0.063 0.068 0.080 0.088 0.035 0.057 0.064 0.071 0.076 0.080 0.084 0.091 0.097-0.043 0.048 0.053 0.057 0.060 0.064 0.069 0.073 0.043 - - - - - - - - 0.057 0.043 0.051 0.059 0.065 0.071 0.076 0.087 0.096 0.043 0.056 0.064 0.072 0.079 0.085 0.089 0.100 0.107 0.056 valores de ly/lx M sy M sx l x lx M = β S l sx sy sx M = β S l sy d d 2 x 2 x l y Quadro 1 Coeficientes de momento para painéis rectangulares suportados nos 4 lados, com armadura de torção nos cantos Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 13
Caso Tipo de painel e lados considerados 1 Quatro lados contínuos 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.75 2.0 Lado contínuo 0.33 0.36 0.39 0.41 0.43 0.45 0.48 0.50 0.33 2 Um lado menor descontínuo Lado contínuo 0.36 0.39 0.42 0.44 0.45 0.47 0.50 0.52 0.36 Lado descontínuo - - - - - - - - 0.24 3 Um lado maior descontínuo Lado contínuo 0.36 0.40 0.44 0.47 0.49 0.51 0.55 0.59 0.36 Lado descontínuo 0.24 0.27 0.29 0.31 0.32 0.34 0.36 0.38-4 Dois lados adjacentes descontínuos Lado contínuo 0.40 0.44 0.47 0.50 0.52 0.54 0.57 0.60 0.40 Lado descontínuo 0.26 0.29 0.31 0.33 0.34 0.35 0.38 0.40 0.26 5 Dois lados menores descontínuos Lado contínuo 0.40 0.43 0.45 0.47 0.48 0.49 0.52 0.54 - Lado descontínuo - - - - - - - - 0.26 6 Dois lados maiores descontínuos Lado contínuo - - - - - - - - 0.40 Lado descontínuo 0.26 0.33 0.36 0.38 0.40 0.44 0.47-7 Três lados descontínuos (um lado maior contínuo) Lado contínuo 0.45 0.48 0.51 0.53 0.55 0.57 0.60 0.63 - Lado descontínuo 0.32 0.34 0.35 0.36 0.37 0.39 0.41 0.29 8 Três lados descontínuos (um lado menor contínuo) Lado contínuo - - - - - - - - 0.45 Lado descontínuo 0.29 0.33 0.36 0.38 0.40 0.42 0.45 0.48 9 Quatro lados descontínuos Coeficientes para o lado maior, βvx Relação / l x Coef. para o lado menor, βvy, para todos os valores Lado descontínuo 0.33 0.36 0.39 0.41 0.43 0.45 0.48 0.50 0.33 de ly/lx v sx v sy l x lx v = β S l sx sy vx vy d v = β S l d x x v s 0.75l l Quadro 2 Coeficientes de reacção para painéis rectangulares suportados nos 4 lados, com armadura de torção nos cantos Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 14
REGRAS SIMPLIFICADAS PARA DISPENSA DE ARMADURAS EM LAJES a) Apoio interior 100% 0.15 l > 0.45φ 0.2 l 40% 0.3 l 50% armadura para momentos negativos armadura para momentos positivos 100% face do apoio eixo do apoio vão efectivo l b) Extremidade simplesmente apoiada 0.1 l armadura para 40% momentos positivos 100% face do apoio eixo do apoio vão efectivo l c) Consola d / 2 100% l / 2 > 0.45φ 50% armadura para momentos negativos face do apoio eixo do apoio vão efectivo l Nota: d - altura útil l - vão efectivo φ - diâmetro dos varões Válido para: Cargas distribuídas Vãos aproximadamente iguais Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 15
DIVISÃO DA ARMADURA INFERIOR EM FAIXAS Faixa lateral l x /8 Faixa lateral Faixa central Faixa lateral l x Faixa central 3/4l x lx Faixa lateral l x /8 /8 3/4 /8 - Nas faixas centrais colocar a armadura para os momentos máximos - Nas faixas laterais colocar a armadura mínima ARMADURAS DE CANTO 0.3l x 0.3l x 1/2A s,vão face superior 0.3l x A s,vão 3/4A s,vão ambas as faces 1/2A s,vão face superior l x 0.3l x 0.3l x 0.3l x 0.3l x 0.3l x - A armadura principal existente na zona dos cantos pode ser contabilizada como armadura de canto Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções exemplo de aplicação 16