LISTA 1 Geometria Analítica Professor Eudes Fileti 1) Mostrar que o ponto 2, 2, 3 é eqüidistante dos pontos 1, 4, 2 e 3, 7, 5. 2) Dados os pontos 0,1,2, 1,1,3 e 1,3,4, determinar: a) A altura do triângulo ABC relativa a A; Resposta: h. b) O pé da normal baixada de A sobre a reta BC. Resposta: 1,, 3) Os pontos 2,4, 0, 0,2,4 e 6,0,2 são vértices de um triângulo. Pede se: a) A área do triângulo; Respo sta: 10 2 b) A altura relativa ao vértice B; Resposta: c) O pé da normal baixada de B sobre a reta AC. Resposta:,, 4) Dado o tetraedro de vértices 1,2,1,2, 1,1,0, 1, 1 3,1,0, calcular a medida da altura baixada do vértice ao plano da face. Resposta: 5) Calcular a distância do ponto 1,2,0 à reta determinada pelos pontos 0,1,2 e 3,0,1. Resposta: 6) Achar a distância do po nto 1,1,3 à reta determinada pelos pontos 4,3,2 e 2,2,0. Resposta: 2 7) Calcule a distância do ponto à reta nos casos: a) 1,0,1, : Resposta: b) 1, 1,4, : Resposta: 31 c) 2,0,1, : 22 Resposta: 3 8) Cal cule a distância entre as retas paralelas dadas. a) b) 9) Calcular: 0,0,2 2,,1 Resposta: 2 3 2 Resposta: 5 12 a) A distância do ponto 1, 2, 3 à reta : 2 2 b) A distância do ponto 1, 2, 3 a cada um dos eixos cartesianos. 10) Seja o triângulo de vértices 3,1,4, 4, 1, 0 e 4,3,5. Calcule a medida da altura relativa ao lado. 11) Calcule a distância entre as retas: a) que passa pelos pontos 1, 0, 1 e 1, 1, 0 e pelos pontos 0, 1, 2 e 1, 1, 1.
1 b) : 23 e s sendo o eixo x. c) 1 : 23 e : 12) As retas paralelas. a distância entre elas. Dadas: : e são Determinar :. Resposta: 13) As retas e são determinadas por: : 0,1,1 e : 1,2,1 2, achar: a) A distância entre as retas e ; Resposta: b) Os pés da normal comum. Resposta: 0,1,1,, 14) Calcule a distância do ponto ao plano nos casos: a) 0,0,6 : 2 2 6 0 Resposta: 2 b) 1,1, : 4 6 12 21 0 Res posta: c) 9,2,2 : 0, 5,0 0,,1 1,0,0 Resposta: d) 0,0,0 :2230 Resposta: 1 15) Calcule a distância entre os planos paralelos: a) 2 2 9 0 4 2 4 21 0 Resposta: 2 b) Resposta: c) 0 2 0 Resposta: 216 16) Calc ule a distância entre as retas e 54. Re sposta: 13 2 17) Ache os pontos de : 1 2 que eqüidistam dos pontos 1,1,0 e 0,1,1. Interprete geometricamente o resultado. Resposta:Não existe solução, pois é paralelo ao plano mediador de. 18) Ache os pontos da reta : 1 2 que equidistam dos planos :2343 0 e :4323 0. Resposta: 3,1,2 1, 1, 2. 19) Achar a distância a) do ponto 2, 3, 5 ao plano : 3 2 6 2 0. b) da origem ao plano : 3 4 20 0. 22μ c) da origem ao plano : 13μ μ 20) Determine a distância do ponto 2, 1,2 a cada um dos planos: a) : 2 2 3 0 Resposta: b) : 0 Resposta: 3 e
c) : 2 3 Resposta: 0 21) Dadas as retas e, sendo: 0,1,2 : e : 2,0,1, calcular: 2 2 a) A distância entre as retas e ; Resposta: b) As coordenadas dos pés da normal com um. Resposta:,1, 2,, c) As coordenadas do pé N da normal baixada de sobre o plano por paralelo a (Barsotti). Resposta:,, 22) Obter as equações simétricas das retas que passe m pelo ponto 0,0,1, distem da origem do sistema cartesiano e sejam paralelas ao plano 20. Resposta: 23) Calcular a distância entre os planos: a) : 2 2 2 5 0 e : 3 0 b) : 2 1 0 e : 3 6 8 0 24) Calcular a distância do ponto 1,0,1 ao plano : 2 2 2 3 0. Resposta: 25) Os planos :40 e :2223 0 sã o paralelos. Determinar a distância entre eles. Resposta: 26) Achar o ponto do eixo das cotas eqüidistante do ponto 1, 2,0 e do plano 2 3 9 0. Resposta: 2 6 0,0, 0,0, 27) Obter as equações dos planos paralelos ao plano 2 2 1 0 e que distam 3 unidades da origem. Resposta: 2290 28) Dê uma equação geral do pla no que contém a reta : 1,0,1 1,1,1 e dista 2 do ponto 1,1,1. Resposta: 20 29) Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos 1,1,1 e 2,1,1 e que dista 1 unidade da reta : 1,0,2 1,0,2. Resposta: 1 0, 6 2 3 7 0. 30) Quais os valores de k para que o plano 220 diste da origem 4 unidades? Resposta: 12 31) Encontrar um ponto do eixo y cuja distância ao plano 2 220é de 2 unidades. Resposta: 0, 2,0 0,4,0 32) Escrever as equações dos planos paralelo s ao plano : 3 2 6 5 0 que distam 5 unidades da origem. Resposta: 3 2 6 35 0 33) Seja ο p lano que passa pela orige m e é perpendicular à reta que une os pontos 1,0,0 e 0,1,0. Encontre a distância do ponto 1,0,1 ao plano. Resposta: 34) Seja a reta que passa pelos pontos 1,0,0 e 0,2,0 e a reta 2. a) Encontre as equações da reta perpendi cular às retas e ; Resposta:,,,, b) Calcule a distância entre e. Resposta:
35) Dados 0,2,1,: 0,2, 2 1, 1,2 ache os pontos de que distam 3 de. A distância do ponto à reta é maior, menor ou igual a 3? Por que? Resposta: 3 36) Dada a reta : 1,0,0 1,1,1 e os pontos 1,1,1 e 0,0,1, ache o ponto de eqüidistante de e. Resposta: 1,0,0 37) Considere as retas,, 1,2,3 e,, 0,1,2 2,4,6. Encontre a equação geral do plano que contém estas du as retas. Resp osta: Os planos 2 2 2 0 2 2 2 12 0. 38) Calcule o ângulo entre as retas a) Determinadas pelos pontos 1,2,3,2, 0, 1e 2,3,1 4, 0, 1 b) : 3, 2, 0 1,1, 2 e : 2,3,5 1, 1, 2 22 c) : 2 e : 34 39) a) Determinar o ângulo que a reta : 12 faz com o plano : x y 5 0. 3 b) Determinar o valor de m para que seja de 30 o ângulo entre os planos : x my 2z 7 0 e : 4x 5y 3z 2 0. c) Determinar o ângulo que a reta : forma com o plano : 2x y 7z 1 0. 40) Verificar se a reta : é perpendicular ao plano : 9x 6y 3z 5 0. 2 41) Det erminar os valores de m e n para que a reta : 1 32 : mx ny 2z 1 0. 42) Determinar o ângulo entre os seguintes planos: esteja contida no plano a) : x 2y z 10 0 e : 2xyz10 b) : 2x 2y 1 0 e : 2xyz0 c) : 3x 2y 6 0 e : plano xoz d) : 3x 2y 6 0 e : pano yoz. 43) Determinar a e b de modo que os planos : axby4z10 e : 3x 5y 2z 5 0 sejam paralelos. 44) Determinar m de modo que os planos : 2mx 2y z 0 e : 3x my 2z 1 0 sejam perpendiculares. 45) Mostrar que a reta : ; 0 está contida no plano : 2x y 3z 1 0. 3λ 2λ 46) Ache o coseno do ângulo entre as retas : 2λ e : 3λ. 2λ 5 2λ 47) Ache a medida em radianos do ângulo entre a reta e o plano dados: a) e 0 b) 0,0,1 λ1,1,0 e 3 4 0
c) 1λ λ 2λ e 10. 48) Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos: a) 210 e 3100 b) 1,0,0 λ1,0,1 μ1,0,0 e 0 c) 0,0,0 λ1,0,0 μ1,1,1 e 1,0,0 λ1,2,0 μ0,1,0. 49) Ache o vetor diretor de uma reta paralela ao plano : 0 e que forma 45 com o plano : 0. 50) Ache uma equação geral de um plano que contém: 1 a) a reta : 1 e que forma um ângulo de com o plano 2320. 3 1 b) a reta : 11 e que forma com : 1,1,0 λ3,1,1 um ângulo cuja medida em radianos é θ cos. 51) A diagonal de um quadrado está contida na reta : 1,0,0 λ0,1,1. Conhecendo 1,1,0 deter mine os outros três vértices. 52) O lado BC de um triângulo eqüilátero está contido na reta : 0, 0, 0 0, 1, 1 e seu vértice oposto é 1, 1, 0. Determine e. 53) Determine os ângulos internos de um triâng ulo cujos vértices são: 0, 3, 4, 1,2,2 e e 2, 1, 2. 54) Estude a posição relativa das retas a) : 1, 2, 3 0, 1, 3 e : 0, 1, 0 1, 1, 1. b) : 1, 2, 3 0, 1, 3 e : 1, 3, 6 0, 2, 6. c) : 3 e : 0, 2, 2 1, 1, 1. d) : 8, 1, 9 2, 1, 3 e : 3, 4, 4 1, 2, 2. e) : e : 0, 0, 0 1, 2, 0 55) Dadas as ret as m para que as retas : 1, 0, 2 2, 1, 3 e : 0, 1, 1 1,,2sejam coplanares e nesse caso estude sua posição relativa. 56) Determine k para que as retas : e : a) Tenham a mesma direção. b) Sejam ortogonais. 57) Estude a posição relativa de e nos casos abaixo: a) : 1, 1, 0 1, 1, 1 e : 2 0 1 b) : 1 e : 20 c) : 1, 1, 1 3, 2, 1 e : 1, 1, 3 1, 1, 1 0, 1, 3 d) : 2, 2, 1 3, 3, 0 e : 1, 0, 1 1,1,1 0,0,3 e) : 1, 1, 0 0, 1, 1 e : 2 58) Cal cule m e n (apenas m no item a) para que: a) : 1, 1, 1 2,, 1 seja paralela a : 0, 0, 0 1,2,0 1,0,1
b) :, 2, 0 2,, esteja contida em : 3 1 c) :,3, 1,1, esteja contida em : 1 59) Sejam :, 2, 0 2,, e : 3 1. Usando as informações abaixo, d etermine m e n em cada caso. a) e são paralelos b) e são concorrentes c) está contida em 60) Ver ifique se as retas abaixo são coplanares e se for indique se são concorrentes ou paralelas. a) : e : 2 3 5 b) : 13 : 0 e 20 : 2 2 3 c) : 0 e 5 20