UNotas de aulas de Sistemas de Transportes. (parte 7) Helio Marcos Fernandes Viana. Exemplos numéricos de aplicação do Modelo de Fratar

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1 U Conteúdo UNotas de aulas de Sistemas de Transportes (parte 7) Helio Marcos Fernandes Viana da parte 7 Exemplos numéricos de aplicação do Modelo de Fratar

2 2 Exemplo numérico de aplicação do Modelo de Fratar para previsão do número de viagens GERADAS O exemplo numérico a seguir trata (ou é voltado) para previsão do número de viagens GERADAS a partir de origens (ou zonas de origem) i para vários destinos j, em um tempo FUTURO (ou ano = t) OBS. i (origem) e j (destino) podem variar.. Considerações iniciais É possível através da matriz origem-destino determinar o número de viagens GERADAS a partir de uma origem (ou zona de origem) i para diversos destinos j =, j = 2,..., j = n, em um tempo FUTURO (ou ano = t). O exemplo numérico, a seguir, mostra, passo a passo, como obter o número de viagens GERADAS a partir de uma origem (ou zona de origem) i para diversos destinos j =, j = 2,..., j = n, em um tempo FUTURO (ou ano = t)..2 Exercício Pede-se: determinar o número de viagens GERADAS a partir das origens (ou zonas de origem) i =, i = 2, i = 3 e i = para os destinos j =, j = 2, j = 3 e j =, em um tempo FUTURO (ou ano = t). São dados: a) A matriz origem-destino com o número de viagens que partem da origem i com destino j, atualmente (ou no ano = ); A matriz origem-destino é construída a partir de dados de pesquisa de campo. Número de viagens entre as zonas i e j na ATUALIDADE Origem ( i ) \ Destino ( j ) j = j = 2 j = 3 j = ( Q o i ) ( Q T i ) i = Q T =? i = Q T 2 =? i = Q T 3 =? i = Q T =? A B C D E F Q o i = Número TOTAL de viagens GERADAS na ATUALIDADE (ou ano = ), que partem da origem i com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = ; e Q T i = Número TOTAL de viagens GERADAS no FUTURO (ou ano = t), que partem da origem i com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =.

3 3 b) Os fatores de crescimento das zonas de origem i e das zonas de destino j para o ano futuro (ano = t). i F i Valor j F j Valor F,37 F,38 2 F 2,5 2 F 2,29 3 F 3,3 3 F 3,3 F,6 F,6 OBSERVAÇÔES: Aspectos relacionados à matriz origem-destino. o ) Na coluna A da matriz, tem-se o número de viagens atuais que partem da origem i =, i = 2, i = 3 e i = com destino j =. Por exemplo: o número de viagens que atualmente partem da origem 3 (ou i = 3) com destino a 3 (ou j = 3) são 3 viagens 2. o ) O raciocínio usado, no item anterior (ou. o ), é estendido para as colunas B, C e D da matriz origem-destino. 3. o ) Cada linha da coluna E da matriz se relaciona a uma zona de origem (i) de viagens, e indica o número TOTAL de viagens ATUAIS que foram GERADAS a partir de uma origem i para os destinos j =, j = 2, j = 3 e j = ; Ou seja a soma de todas as viagens que partem da origem i ATUALMENTE. Por exemplo: 95, na coluna E, representa o número total de viagens GERADAS a partir da origem i = para os destinos j =, j = 2, j = 3 e j = ; Ou seja, a soma total das viagens GERADAS de origem em i =.. o ) Cada linha da coluna F da matriz se relaciona a uma zona de origem (i) de viagens, e indica o número TOTAL de viagens FUTURAS que serão GERADAS a partir de uma origem i para os destinos j =, j = 2, j = 3 e j = ; Ou seja a soma de todas as viagens que partirão da origem i no FUTURO. Resolução do exercício:. o Parte) Apresentação da formulação geral O número de viagens geradas no FUTURO (ou ano = t), que partem da origem i com destino a j é obtida com base na seguinte equação: Q = Q.F.F. L (.) T ij ij i j i

4 Q T ij = número de viagens geradas no FUTURO (ou ano = t), que partem da origem i com destino a j; Q ij = número de viagens geradas ATUALMETE (ou ano = ), que partem da origem i com destino a j; F i = fator de crescimento da zona de origem i; F j = fator de crescimento da zona de destino j; e L i = fator de ajuste das origens. Sendo que: Qi L i = n (.2) F.Q j ij Q o i = Número TOTAL de viagens GERADAS na ATUALIDADE, a partir da origem i com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = ; e F j, Q ij e L i já foram definidos anteriormente. OBS. Lê-se somatório de F j.q ij com j variando de até n. 2. o Parte) Cálculo do fator de ajuste das origens (L i ) para cada zona de origem a) Com base na matriz origem-destino, têm-se os seguintes dados: a) Os valores de Q i são: Zona de origem em Questão Q i i = 95 i = 2 3 i = 3 5 i = 75 Q o i = Número TOTAL de viagens GERADAS na ATUALIDADE (ou ano = ), a partir da origem i com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =. a2) Os valores de Q ij são: Origem ( i ) \ Destino ( j ) j = j = 2 j = 3 j = i = Q o = 2 Q o 2 = 3 Q o 3 = 5 Q o = 3 i = 2 Q o 2 = 2 Q o 22 = 5 Q o 23 = Q o 2 = 2 i = 3 Q o 3 = 3 Q o 32 = 6 Q o 33 = 3 Q o 3 = 3 i = Q o = Q o 2 = 5 Q o 3 = 3 Q o = 2 Q ij = número de viagens geradas ATUALMETE (ou ano = ), que partem da origem i com destino a j;

5 5 b) Com base na eq. (.2), têm-se os seguintes valores para os fatores de ajuste das origens (L i ) b) Para L então, tem-se: L = Q [(F.Q ) + (F.Q ) + (F.Q ) (F.Q )] (.3) L = 95 (,38.2 +,29.3 +,3.5 +,6.3) =,7 b2) Para L 2 então, tem-se: L = Q [(F.Q ) + (F.Q ) + (F.Q ) (F.Q )] (.) L 2 = 3 (,38.2 +,29.5 +,3. +,6.2) =,738 b3) Para determinar L 3, segue-se o mesmo raciocínio usado para determinar L e L 2. L 3 = 5 (,38.3 +,29.6 +,3.3 +,6.3) =,73 b) Para determinar L, segue-se o mesmo raciocínio usado para determinar L e L 2. L = 75 (,38. +,29.5 +,3.3 +,6.2) =,72 3. o Parte) Cálculo do número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de uma origem i com destino a j =, j = 2, j =3 e j = a) O número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = é dado pela seguinte equação: T T T T T T = Qj = Q + Q2 + Q3 + Q Q (.5) Q T = número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = ; e Q T, Q T 2, Q T 3 e Q T são, respectivamente, o número de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =.

6 6 Assim sendo, com base na eq. (.), têm-se os seguintes valores para Q T, Q T 2, Q T 3 e Q T : Q = Q.F i=.f.l = 2.,37.,38,,7 = 26,8 (pois i = e j = ) Q2 = Q2.F i=.f 2.L = 3.,37.,29.,7 = 37,6 (pois i = e j = 2) Q3 = Q3.F i=.f 3.L = 5.,37.,3.,7 = 8,97 (pois i = e j = 3) Q = Q.F i=.f.l = 3.,37.,6.,7 = 6,69 (pois i = e j = ) Então, com base na eq. (.5), tem-se: Q T = 26,8 + 37,6 + 8,97 + 6,69 = 3, 3 viagens Q T = número total de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =. b) O número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = 2 com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = é dado pela seguinte equação: T T T T T T 2 = Q2j = Q2 + Q22 + Q23 + Q2 Q (.6) Q T 2 = número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = 2 com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = ; e Q T 2, Q T 22, Q T 23 e Q T 2 são, respectivamente, o número de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = 2 com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =. Assim sendo, com base na eq. (.), têm-se os seguintes valores para Q T 2, Q T 22, Q T 23 e Q T 2: Q2 = Q2.F i= 2.F.L 2 = 2.,5.,38.,738 = 3,37 (pois i = 2 e j =) Q22 = Q22.F i= 2.F 2.L 2 = 5.,5.,29.,738 = 73,3 (pois i = 2 e j = 2) Q23 = Q23.F i= 2.F 3.L 2 =.,5.,3.,738 = 59, (pois i =2 e j = 3) Q2 = Q2.F i= 2.F.L 2 = 2.,5.,6.,738 = 36,37 (pois i = 2 e j = ) Então, com base na eq. (.6), tem-se: Q T 2 = 3, ,3+ 59, + 36,37 = 2,5 2 viagens

7 7 Q T 2 = número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = 2 com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =. c) O número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = 3 com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = é dado pela seguinte equação: T T T T T T 3 = Q3 j = Q3 + Q32 + Q33 + Q3 Q (.7) Q T 3 = número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = 3 com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = ; e Q T 3, Q T 32, Q T 33 e Q T 3 são, respectivamente, o número de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = 3 com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =. Assim sendo, com base na eq. (.), têm-se os seguintes valores para Q T 3, Q T 32, Q T 33 e Q T 3: Q3 = Q3.F i= 3.F.L 3 = 3.,3.,38.,73 = 3,5 (pois i = 3 e j = ) Q32 = Q32.F i= 3.F 2.L 3 = 6.,3..29.,73 = 63,85 (pois i = 3 e j = 2) Q33 = Q33.F i= 3.F 3.L 3 = 3.,3.,3.,73 = 32,7 (pois i = 3 e j = 3) Q3 = Q3.F i= 3.F.L 3 = 3.,3.,6.,73 = 39,6 (pois i = 3 e j = ) Então, com base na eq. (.7), tem-se: Q T 3 = 3,5 + 63, ,7 + 39,6 = 69,77 7 viagens Q T 3 = número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = 3 com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =. d) O número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = é dado pela seguinte equação: T T T T T T = Q j = Q + Q 2 + Q 3 + Q Q (.8)

8 8 Q T = número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = ; e Q T, Q T 2, Q T 3 e Q T são, respectivamente, o número de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =. Assim sendo, com base na eq. (.), têm-se os seguintes valores para Q T, Q T 2, Q T 3 e Q T : Q = Q.F i=.f.l =.,6.,38.,72 = 5,9 (pois i = e j = ) Q 2 = Q 2.F i=.f 2.L = 5.,6.,29.,72 = 22,29 (pois i = e j = 2) Q 3 = Q 3.F i=.f 3.L = 3.,6.,3.,72 =,93 (pois i = e j = 3) Q = Q 2.F i=.f.l = 2.,6.,6.,72 = 36,86 (pois i = e j = ) Então, com base na eq. (.8), tem-se: Q T = 5,9 + 22,29 +, ,86 = 9,98 2 viagens Q T = número TOTAL de viagens geradas FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i = com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =.. o Parte) Indicação, na matriz origem-destino, do número TOTAL de viagens GERADAS FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i =, i = 2, i = 3 e i = com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =. A coluna F da matriz origem-destino, mostrada a seguir, indica o número TOTAL de viagens GERADAS FUTURAMENTE (ou no ano = t), que partem de i =, i = 2, i = 3 e i = com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =. Número de viagens entre as zonas i e j na ATUALIDADE Origem ( i ) \ Destino ( j ) j = j = 2 j = 3 j = ( Q o i ) ( Q T i ) i = i = i = i = A B C D E F Q o i = Número TOTAL de viagens GERADAS na ATUALIDADE (ou ano = ), que partem da origem i com destino a j =, j = 2, j = 3 e j = ; e Q T i = Número TOTAL de viagens GERADAS no FUTURO (ou ano = t), que partem da origem i com destino a j =, j = 2, j = 3 e j =.

9 9 5. o Parte) Contextualizando o exercício apresentado Suponhamos que: a) Uma viagem corresponde a (um) passageiro usuário de ônibus, que se desloca da origem i para o destino j; b) O Centro de Conquista corresponde à origem i = 3; c) Os destinos dos ônibus que partem de i = 3 = Centro de Conquista são: -> destino = Bairro Urbis = j = -> destino = Bairro Patagônia = j = 2 -> destino = próprio Centro de Conquista = j = 3 -> destino = Bairro Brasil = j = d) A linha i = 3 da matriz origem-destino anterior esteja representando um estudo realizado a partir do terminal de ônibus no Centro de Conquista, em relação ao horário comercial simples inicial, que vai de 9: às : horas. e) Considere o tempo futuro como sendo t = 5 anos. Então, com base na matriz origem-destino anterior, o número de passageiros que partirão FUTURAMENTE, ou daqui a 5 anos, no horário em estudo, do terminal no Centro de Conquista, ou da origem i = 3, com destino aos Bairros Urbis (j = ), Patagônia (j = 2), Centro (j = 3) e Brasil (j = ) será 7 passageiros. 2 Exemplo numérico de aplicação do Modelo de Fratar para previsão do número de viagens ATRAÍDAS O exemplo numérico RESUMIDO a seguir trata (ou é voltado) para previsão do número de viagens ATRAÍDAS para um destino (ou zona destino) j a partir de diversas origens i =, i = 2,..., i = n, em um tempo FUTURO (ou ano = t). OBS. i (origem) e j (destino) podem variar. 2. Considerações iniciais É possível através da matriz origem-destino determinar o número de viagens ATRÍDAS para um destino (ou zona destino) j a partir de diversas origens i =, i = 2,..., i = n, em um tempo FUTURO (ou ano = t). O exemplo numérico RESUMIDO, a seguir, mostra como obter o número de viagens ATRAÍDAS para um destino (ou zona de destino) j a partir de diversas origens i =, i = 2,..., i = n, em um tempo FUTURO (ou ano = t).

10 2.2 Principais passos para determinação das viagens ATRAÍDAS para um destino j Os principais passos para determinação das viagens ATRAÍDAS para um destino j a partir das origens i =, i = 2,..., i = n, são:. o ) Com os dados ATUAIS (ou ano = ) de uma pesquisa de campo, constrói-se a matriz origem-destino do estudo em questão. 2. o ) A soma de cada coluna da matriz origem-destino representa o número de viagens ATRAÍDAS por um destino j, na ATUALIDADE (ou ano = ). 3. o ) As fórmulas utilizadas para calcular o número de viagens ATRAÍDAS por uma região (ou destino) j, no FUTURO (ou ano = t) são as seguintes: e Q = Q.F.F. L (2.) T ij i= ij i i ij j j Q j L j = n (2.2) F.Q Q j = número TOTAL de viagens ATRAÍDAS ATUALMENTE (ou no ano = ), que chegam ao destino j, e são originárias de i =, i = 2,..., i = n; Q T j = número TOTAL de viagens ATRAÍDAS FUTURAMENTE (ou no ano = t), que chegam ao destino j, e são originárias de i =, i = 2,..., i = n; Q ij = número de viagens, que ATUALMETE (ou no ano = ) partem da origem i com destino a j; Q T ij = número de viagens, que no FUTURAMENTE (ou no ano = t) partem da origem i com destino a j; F i = fator de crescimento da zona de origem i; F j = fator de crescimento da zona de destino j; e L j = fator de ajuste dos destinos.

11 2.2 Exercício Pede-se: determinar o número de viagens ATRAÍDAS para os destinos j =, j = 2, j = 3 e j = a partir das origens (ou zonas de origem) i =, i = 2, i = 3 e i =, em um tempo FUTURO (ou ano = t). São dados: a) A matriz origem-destino com o número de viagens que partem da origem i com destino j, atualmente (ou no ano = ); A matriz origem-destino é construída a partir de dados de pesquisa de campo. Número de viagens entre as zonas i e j na ATUALIDADE Origem ( i ) \ Destino ( j ) j = j = 2 j = 3 j = i = i = i = i = Número TOTAL de viagens ATRAÍDAS atualmente (ano = ) pelo destino j ( Q j ) Número TOTAL de viagens ATRAÍDAS FUTURAMENTE (ano = t) pelo destino j ( Q T j ) Q T =? Q T 2 =? Q T 3 =? Q T =? Q j = número TOTAL de viagens ATRAÍDAS ATUALMENTE (ou no ano = ), que chegam ao destino j, e são originárias de i =, i = 2,..., i = n; Q T j = número TOTAL de viagens ATRAÍDAS FUTURAMENTE (ou no ano = t), que chegam ao destino j, e são originárias de i =, i = 2,..., i = n; b) Os fatores de crescimento das zonas de origem i e das zonas de destino j para o ano futuro (ano = t). i F i Valor j F j Valor F,37 F,38 2 F 2,5 2 F 2,29 3 F 3,3 3 F 3,3 F,6 F,6

12 2 Resolução RESUMIDA do exercício: A resolução deste exercício é similar à resolução do exercício anterior, que era relacionado com viagens geradas; Contudo, como este exercício está relacionado com as viagens ATRAÍAS FUTURAMENTE por um destino j, então serão utilizadas as equações (2.) e (2.2) mostradas anteriormente. Bem, resultado final (ou a resposta do exercício) com o número TOTAL de viagens ATRAÍDAS FUTURAMENTE (ou no ano = t), pelos destinos j =, j = 2, j = 3 e j =, a partir das origens i =, i = 2, i = 3 e i =, está sublinhado e em negrito na matriz origem-destino a seguir. Número de viagens entre as zonas i e j na ATUALIDADE Origem ( i ) \ Destino ( j ) j = j = 2 j = 3 j = i = i = i = i = Número TOTAL de viagens ATRAÍDAS atualmente (ano = ) pelo destino j ( Q j ) Número TOTAL de viagens ATRAÍDAS FUTURAMENTE (ano = t) pelo destino j ( Q T j ) Q j = número TOTAL de viagens ATRAÍDAS ATUALMENTE (ou no ano = ), que chegam ao destino j, e são originárias de i =, i = 2,..., i = n; Q T j = número TOTAL de viagens ATRAÍDAS FUTURAMENTE (ou no ano = t), que chegam ao destino j, e são originárias de i =, i = 2,..., i = n; Referências Bibliográficas KAWAMOTO, E. Análise de sistemas de transporte. 2.ed. São Carlos - SP: Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo, p. NOVAES, A. G. Sistemas de transportes - análise da demanda. Vol.. São Paulo - SP: Edgard Blücher Ltda, p.