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Transcrição

1 # f'r0\í',a TIPO 0 AT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA l ~... :@.,â f H. ( m'%.b pa'& o P''l' e.jc«pm {'npz4ja,). ' Prova e semestre de 018 t''l ' %-''''',8 Ü B -5 -f } q -tenção: Nesta prova consideram-se dados uma orientação de 3 e m sistema de coordenadas S = (Oie) em E;, onde é uma base rtonormal positiva de 's. Salvo menção em contrário, equações de!tas, planos e coordenadas de pontos estão escritas no sistema S e )ordenadas de vetores estão escritas na base e. questão 1. Sejam 6 e C duas bases de '3, e :a C 3. -l,l, l)b e ] a matriz de mudança de base, então temos: Se E 'hz (0,0, f) (,3,0 l l, s.e 'T : 3t -zlf t+ T' J D o é, l ;Í {:'-,:,+'. 3 f ;l3,-,o).l ã. '7.1& -«-J»z 't. (D a = (lo, 6, 1)c ; a = (-4, 4, -1)c ; E' = (-3, 4, -1)c ; a' 6, -1)c a,6, 1)c!uestão. Clonsidere os planos ri : z = 0 e a- : z z l dual das seguintes equações representa um plano que é simultânea lente ortogonal a n'i e a-? 1 3z = 0; z -- 3g -- z + 1 :: 0; 1 3z z = 0; l z + 3g 4z + 8 = 0; l z+ y 3z-- 1 = 0.

2 'n Lobo ) festão 3. Seja 3 = {=, a, ia} uma base ortonormal positiva de 'S. 7 = (a,b,c)b é solução da equação (7 A ) A (7' A 7) = 36a, bão a soma lal + lól + lcl é igual C o b1., (.,., 36, :@, i? ),n(?,o?) 0 -) :(-.,',a). 9; 1; 6; $t3«.t l"l's. q'u" bc =a C -; ;G' c=t'' 4; 36. festão 4. Seja Q ação ao plano hão a + b + c é igual a: ' ' (a, b, c) o ponto simétrico de P = (1, 1,0) em y-à+p z = 1 -- À 4 z { -1 l ül+ ibf.f lcl ; é ' 9nd X=.f.} À'%,. cür.{x$: Dü', R''«< #'" $eqht - S{ P': t''np =0 4):9 X 1+ y =o :7:(1.1. 3,1.1 %'.«,GJ*.F.) P': (I'Â,-1",3À) ({ta)+ (-r+a)t3(3â)-3 a «,«',; ««, p':(-t,#,-#)..- K'w d t,,~,?..'l', p+. B;: (í.-l,.)+ I'95o, at b+ :(-#,-Ã,+) ". «

3 questão 5. São dados três vetores a,?, a C 3, e sabe-se que a cedida do ângulo entre = e a é Í, que a é ortogonal a :a e a B, e que ú,?, a) é base negativa de 3. Além disso, sabe-se que ll='ll = v, 7ll = 1 e llm+ll = 4. Segue-se desses fatos que 1=, B, al é igual a: 4 ; -8; ; 8 ; -4. questão 6. Se P = (, --1, 1) e a reta r é a interseção dos planos 1 : z--3+z 1 :;0ea : z--+3z--4=0, então adistância o ponto P à neta r é igual a: [i,i?, aj; ]]'a4?].]tê if caz',, s...,.m aj i?, Ç.l P $ '9'-'e p'"'s ; 4 i;à-' #.«.«ã«3"a clp lgc9.l =,;, ç } ê'c-v vu5a&va.d, 3- [a.?, ;): ]Íüall. Ít71Í. se.]:.].lli it.ç{)=xli'.j.f. Lobo, 4. (-J;: -{ R '--8.+, 7 R. -?-t 3ê l 4,A.: ( 3,,o) é; A-.- 44P: (- l -3, f) x-# t. = J. 'x: ç- -, -..'i ll». À = :3-.à 7 =..t,à,' Àé:lR.4,.,4) 4 ' "s',l.'.c,d;.4]ir:.3 4

4 ê: -9 b ] h -P ( 1., ) 0 f'",' G festão 7. Considere o vetor?' = (1, 3, ) e o plano r r+3+z Ü,z?.7 Se 7' = + B com 87n-, B J. n e 7 (a, P, '), e«tão a + P + 7 é {(.,:,,): lal a: 6 0 ; 9 ; :(a,7)j P.& festão 8. Se 3 = {=, B, ii7} é base de '3, sabemos que C = {4(a+, 4(a+a), {(a+e)} também é base de ';. Se 7 =(a,b,c)b, então L'l' o(+ Y' :orreto afirmar que: (a b, b c,c «)c; X a.t&-c. c, a + b + c, a b + c)c (a + b c, a + b + c, a b + c)c (a + b c,.a + b + c, a, + c)c; (a + b, b + c, c + a)c D\ l T? (a+ b.-c \ -'>.-+ t'4 w ).b C [ «; ed:b *..Ê Ú - at&t c.. { J.:a -a.tl,t c, a -É''''') E. C 6 tc

5 uestão 9. A distância da rega (1,0, 1) + À(-1, 1,0) à reta,4 :(i, o, r) c. 4. B ; (o,.,z) s,. 'R: (.-+.\..) lla.. =: Ç z...) IÍ:. '9 ã l;,.,-4 é igual a: s ; l {.. Ã,{?, JÜ?: 1. lr1',?,, n-..- r 7.As'lf 'Í ('-f,,,j. x.4# QA.«;l) L''s., #:.](x D9; X : (1+,x, l, tâ,l 1(1yÀ,l q*(l.fà) -31 questão x z 8; 10; Se P (a,,,c) e P' b',c') são os pontos da reta (1,1, 1) + À(,0, 1), À C R, que distam --R do plano n = 0, então a + b + c + a' + b' + cr é igual a: 4H l S,À-.l =1 «3 Â- 3 À- ; - a..tbí c +a)+àhc) : 6 t4 P; (3,1..) (s. À=1) P': (}-,1,.{) (" (À r {

6 @ # festão ll. Suponha que ai e a são planos cuja interseção é uma reta Sejam i8 e i8 vetores nã.c-nulos tais que ié l n-i e i8 J. a, e seja um vetar não-nulo paralelo a r. Considere as seguintes afirmações: n.,c7. * 7À A.c nt, - 7a, Çm).''r p"'s..-> i "'+ n =,$t: j. '";.«* 'n, { &.nã,.. çã, M.ct0]Óhii«l.!..lr.f JS., p'''s 7,4 ; 4 Õ" àrz =B' 1) 0s vetores B' e iê A i8 são paralelos; 4.4-Ü 7.* y 7,Á 8..? 1) 6 {nl, n, u } e uma base ortogonal de '31 1) 0s vetores B, a,\ iii e B A i8 são linearmente independentes. single a alternativa correta: só (1) e (111) são verdadeiras; só (1) e (11) são verdadeiras; só (111) é verdadeira; só (11) e (111) são verdadeiras; as três são verdadeiras. festão 1. Sabe-se que Á = (0,, 1) é vértice de um quadrado que ssui uma diagonal contida na rata r : z + 1 :: 3+ = z. Então é reto afirmar que existe um outro vértice C = (a, b, c) do quadrado.n a + b + c igual a: l 4 l 3 í), «-«d' q~e L'l.,? -. P p«a F.'7A;,.- ) a 'ê :?. 'a. E, : P?a'ã.:8 -t )"''7,4:B.Q P;. (J.'v«{r,,Ê,ã ;'.l d.íi?lt.t,.. rv,a,%:3#.,l. 'T. 748::. - 'o.y...,,..; à':. (.«. «. L.] ', H. # 9 : z- Â,' À c-rp.. * 7:(.,-z,Í,l#.«F : (- 1., o) e.l.$à 4s'm,.. Q::'» Q,: (-*.Â, zqâ, al,. i;.íb : 4Â- +4.\-+A-l M : (:;,4-, C A... Ãb : (o, z. l) a +b+' c (9aêP) ÀqQ : (-f'a, -..a, A-J). I'i. = i?,a-3 ]o p'7.s,

7 -à. { { mq' -) ; uestão 13. Sejam 7, 7, a W'3 vetores não-nulos. Considere as :guintes afirmações a respeito desses três vetores: (!) ['a,?, ;l: -+ q u4 v (1) Se B A? - JA a- a,\ # Õ,.«tão T + B + a 0; 't -., H) Seja,'a, al =ll ll?ll llall, então =, B, a são mutuamente ortogonais; n) Temos I+?, B+a, a+i - 0 se, e some«te se, I, 7', al 0 ntão podemos afirmar que: só (11) e (111) são verdadeiras; as três são verdadeiras; só (111) é verdadeira; só (1) e (111) são verdadeiras; só (1) e (11) são verdadeiras. questão 14. Sabendo-se que.4bc) é um tetraedro de volume 36.e }e os pontos M, ] c ]E3 são tais que 3BJÜ = B) e 4nN = -OC', )de-se conc]uir que o volume do tetraedro.4b]war é igual a: R' «d«u «#t, --+ '9? a,-9 -) -+ d h. W - 'w , { a,?,w'j L.D?,?J c.l. S'5«. p«], #.,.eg«,p.ê,l K i?a i? 't F.?A qu d?,4 7.. P?,4 7 tt? it. ll?il. ll ll. [Un,7,;.] ' J7#..t«e ltqll. ü, q'. o -n'b Ü { ;«9",6,.' o â«5«'e' -D.e «'E.k [o9.p, seno. c.h CP =l '«-',.,. '&,*JG sp«o.»oj s 9 ".p $tq'0a! cm q'àj? 0 :] '-+ = J? * G J? [LÊ ;'- wn,wh*u4j: ['Ê?.twH, wh-.-'3j+'l,v'-w, u''*".j.' 4; (-õ.- ã) r7, 7, ; +i] -' [l, ;, ;-.'ij -F ]'F, wq, a. ;J : [7, 7, WdJ t 6 ; ; &:-éã--.+ ã + [i,wq,71, 'Í]a',', w' b 3 ; 1,AW p.Í a -':f # c..., C'M, A+u, ãj: [:'ã, é. -3*{ ã,{ ã.'- -; B) =. [,G, &,.8] 1. "1' A,.., [t.ã,ã,'gjf:.â. 3. ]cã,;,újf:'ê %,..:# D :{71,4 '}

8 festão 15. Seja m 1R tal que as retas A À y f ),';léé 5 'zp 9 5t.» P --. := 77'} p:(â,-í-,à,-«.tâ,l:(-p, 5'rP,P) e S y 5 ) concorrentes. Sabendo-.se que P (a,,, c) é a interseção entre elas, l)4 ''""b $'"- A't P. â 'tp :orreto afirmar que a + b c é igual a: a+p-; "'z 1; 13; 4; al.b- c 5; À-F. P -sp -37 g P g P (-'f,+, '; :9 q festão 16. Considere as seguintes afirmações: <,; :!!$.a.l) Se 5 = {ih, ib, {i;} é base de 3 e 7'.«';..:. gaio; [,G,G] [l) Se =,?, a c ';, então = A 7 a U 7'Aa; [l) Se =, B, a C v;, e«tão (= A B') A a E'A(B'A m+) a: +a,b+a;g c v;, r;.;&,$1? IQÍ).' Ua.{ b) 'ia?..*: [i?,?,w+j: 7,G.i] 7,( [ (a)-' «,,d M..# -+ ul ''l 'z ;:? Ü U',l w' single a alternativa correta ( $1à {a,,ê,,$.«'... u'l M«..",! P-,Ü'«..ü kj. as três são verdadeiras; só (1) e (11) são verdadeiras; só (11) e (111) são verdadeiras; só (1) e (111) são verdadeiras; só (11) é verdadeira. < «({ i«; t«9', l..' -F&'- 0