FEUP. Análise e Simulação de Algoritmos de Estimação. Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. Trabalho Final de Curso

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1 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Trabalho Final de Curso Análise e Simulação de Algoritmos de Estimação Aluno Sérgio da Costa Mendes Orientadores Prof. José Rui Ferreira (FEUP) Eng. Manuel Veladas Dias (EFACEC) FEUP Julho de 2005

2 Agradecimentos O trabalho final de curso apresentado foi desenvolvido nas instalações da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto e da EFACEC Sistemas de Electrónica, SA. Apresento desde já o meu agradecimento pela disponibilização de equipamentos e meios logísticos. Gostaria de agradecer ao Prof. José Rui Ferreira, orientador da FEUP, e ao Eng. Manuel Veladas Dias, orientador da EFACEC, pelo apoio permanente ao longo da realização deste trabalho. Às restantes pessoas, que me apoiaram e ajudaram, gostaria de deixar presente a minha gratidão, e em especial à minha família e amigos, pelo apoio, encorajamento e carinho que demonstraram. Agradecimentos 1

3 Sumário O trabalho "Análise e Simulação de Algoritmos de Estimação" apresenta como principal objectivo a análise de algoritmos para estimação discreta de grandezas analógicas amostradas pela protecção. Na primeira fase, foram identificadas as vantagens e limitações teóricas da análise de Fourier e da análise de Wavelet. A análise de Wavelet e a respectiva Transformada Discreta de Wavelet apresentaram-se como o algoritmo com melhores capacidades de exploração e menores limitações. Na segunda fase, foram efectuadas várias simulações em MATLAB. Os resultados obtidos foram muito bons, e nas simulações com sinais reais foi possível identificar a ocorrência de defeitos de forma muito evidente. Na terceira fase foi desenvolvido um algoritmo capaz de efectuar a Transformada Discreta de Wavelet em C. O algoritmo desenvolvido funcionou perfeitamente, comprovando assim a possibilidade de implementação na protecção digital. Na quarta fase, é proposto um algoritmo de estimação para a protecção TPU S420. O algoritmo melhora de forma substancial o actual algoritmo da protecção. É eliminada a necessidade de filtros passivos, e são facilmente integradas funções de análise da qualidade de energia, como a identificação do tipo de perturbação e o cálculo da respectiva duração. É também possível verificar se a norma NP EN está ou não a ser respeitada. O algoritmo apresenta-se como uma solução completamente evolutiva para futuras plataformas de unidades de protecção e controlo que integrem a função da qualidade de energia como característica obrigatória. Sumário 2

4 Índice 1. Introdução Sistemas de protecção Características Protecções digitais Algoritmos de estimação Fundamentos teóricos Análise de Fourier Transformada de Fourier Transformada de tempo-curto de Fourier Análise de Wavelet Transformada de Wavelet Wavelets Transformada contínua de Wavelet Transformada discreta de Wavelet Reconstrução de Wavelet Famílias de Wavelets Simulações em MATLAB Simulações com sinais de teste Transformada de Wavelet Remoção de ruído Escolha da Wavelet Simulações com sinais reais Escolha do nível de decomposição Escolha da Wavelet Análise do sinal A Análise do sinal B Algoritmo para a DWT em C Princípios matemáticos Algoritmo Aplicação da DWT em protecções digitais Estimação de parâmetros (tensões e correntes) Algoritmo original Algoritmo proposto DWT na filtragem Escolha entre DFT e FFT Análise da qualidade de energia...53 Índice 3

5 Principais perturbações nos sistemas eléctricos de energia Avaliação de perturbações (NP EN ) DWT na identificação de perturbações DWT no cálculo da duração das perturbações DWT na avaliação do enquadramento normativo Conclusões...57 Referências...59 Anexos...61 A1. Código-fonte utilizado no algoritmo para a DWT em C...61 Índice 4

6 1. Introdução As protecções digitais são um dos elementos mais importantes num sistema de energia. Encontram-se instaladas em diversos locais do sistema, e além das funções de protecção permitem processar grandes quantidades de informação. Fazem parte de um sistema integrado de processamento de informação, permitindo obter ou implementar diversas funções, disponibilizando além das funções de protecção, funções de controlo, supervisão e monitorização do sistema. A aquisição de informação externa à protecção é efectuada através de algoritmos de estimação. Os algoritmos de estimação actuais são baseados na análise de Fourier. É o que acontece com a protecção digital da EFACEC modelo TPU S420, que utiliza a Transformada Discreta de Fourier como algoritmo base das grandezas eléctricas adquiridas (tensões e correntes). Para melhorar a adaptação das protecções aos actuais sistemas, com o objectivo não só de beneficiar tempos de resposta, mas também a segurança e fiabilidade, e de forma a introduzir novas funções baseadas em análise da qualidade de energia, torna-se importante analisar os principais algoritmos de estimação, quer a nível teórico, quer a nível prático. Nesse sentido, o trabalho "Análise e Simulação de Algoritmos de Estimação" foi proposto pela EFACEC, Sistemas de Electrónica, S.A. à Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. A equipa que participou no desenvolvimento do trabalho é composta pelos seguintes elementos: Sérgio da Costa Mendes (aluno); Prof. José Rui Ferreira (orientador na FEUP); Eng. Manuel Veladas Dias (orientador na EFACEC). Para a elaboração deste trabalho foram utilizadas as instalações de ambas as instituições: Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Rua Dr. Roberto Frias Porto EFACEC Sistemas de Electrónica, SA Rua da Garagem, nº 1 Apartado Carnaxide Capítulo 1 Introdução 5

7 2. Sistemas de protecção Este capítulo apresenta as características dos sistemas de protecção. São referenciadas as principais funções das protecções digitais, bem como a forma de aquisição de informação externa e quais os algoritmos de estimação mais utilizados Características O principal objectivo de um sistema de protecção é eliminar de forma rápida e selectiva o elemento causador de defeito num sistema eléctrico de energia. Caso o problema não seja eliminado atempadamente, são vários os perigos para o sistema eléctrico de energia: Perda de sincronismo dos geradores de um ou vários centros produtores; Risco de deterioração do material; Risco da saída do resto do sistema; Risco para os consumidores industriais, devido aos motores síncronos. Assim sendo, um sistema de protecção deverá ser sensível a diversas situações de perturbação: Defeitos, por exemplo, de isolamento originando diversos tipos de curto-circuitos; Condições anormais de operação associadas a: o Sobrecargas de longa duração; o Ligação ou corte simultâneo de cargas de valor elevado; o Sobretensões de manobra associadas, por exemplo, à abertura de linhas longas Protecções digitais As protecções digitais multifunções substituem as tecnologias tradicionais como o caso dos relés electromecânicos e tornam-se cada vez mais comuns nos sistemas eléctricos de energia. As funções associadas à protecção do sistema são apenas uma das funções desse sistema integrado. Esta nova forma de encarar o problema corresponde a uma mudança de filosofia e de concepção do sistema, tornada possível por grandes avanços tecnológicos na área de processamento de informação (velocidade de cálculo e custo de hardware) e na transmissão de informação entre diversos níveis hierárquicos. Relativamente aos sistemas tradicionais, as protecções digitais apresentam inúmeras vantagens: Custo mais reduzido; Melhor desempenho; Fiabilidade mais elevada; Capítulo 2 Sistemas de protecção 6

8 Maior flexibilidade; Possibilidade de agregação de diversas funções substituindo outros equipamentos (redução final do custo da instalação); Possibilidade de integração em sistemas de aquisição de dados, monitorização e controlo de sistemas eléctricos; Realização de funções mais complexas ou de características de operação que melhor se adequem ao equipamento a proteger; Possibilidade de auto-diagnóstico visto estar permanentemente a correr um programa; Possibilidade de reprogramação do equipamento; Possibilidade de tornar a ordem de disparo dependente da verificação de diversas condições; Possibilidade de utilização de rotinas para a detecção de erros e de algoritmos para a sua correcção. Actualmente, uma protecção digital desempenha diversos tipos de protecção simultaneamente, tais como: Protecção de máxima intensidade amperimétrica; Protecção contra sobrecargas; Protecção contra desequilíbrios ou falta de fase; Protecção de máxima intensidade contra rotor bloqueado; Protecção de mínima intensidade; Protecção de distância; Protecção diferencial; Protecção direccional de terra. Todo este conjunto de funções, bem como a capacidade de disponibilização de toda a informação a um sistema de gestão de nível superior (DMS Distribution Management System), são conseguidos através de uma plataforma electrónica de elevado desempenho baseada em microcontroladores avançados e de sistemas operativos de tempo-real especialmente concebido para este tipo de sistemas. Além disso, as funções de aquisição, controlo e monitorização permitem encarar a protecção digital como uma unidade terminal integrável num sistema de telecontrolo (SCADA Supervisory Command And Data Acquisition). As protecções digitais têm o seu acesso e configuração de parâmetros através de interfaces homemmáquina, podendo ainda consultar-se o estado do sistema e configurar-se cada função através de telecomunicações, como por exemplo, através de uma rede local (LAN Local Area Network). A seguinte figura refere-se a uma protecção digital da EFACEC, modelo TPU S420: Capítulo 2 Sistemas de protecção 7

9 2.3. Algoritmos de estimação (Fig. 2.1 Protecção digital TPU S420 da EFACEC) A aquisição de informação externa à protecção deve ser efectuada de modo a garantir um elevado nível de fiabilidade. Essa informação é constituída, normalmente, pelos sinais analógicos que replicam as tensões e correntes do equipamento a proteger, e por um conjunto de sinais binários correspondentes ao estado do equipamento. O processamento digital requer algoritmos capazes de eliminar as componentes indesejáveis do sinal, de forma a minimizar o erro de estimação dos parâmetros à frequência fundamental. Diversas ferramentas, como o caso das tradicionais análises de Fourier (DFT Discret Fourier Transform e FFT Fast Fourier Transform) e das análises de Wavelet (DWT Discret Wavelet Transform), podem ser utilizadas para a estimação das grandezas. Capítulo 2 Sistemas de protecção 8

10 3. Fundamentos teóricos Este capítulo apresenta os fundamentos teóricos relativos à análise de Fourier e à análise de Wavelet. Pretende-se focar a evolução nos diferentes tipos de transformada face às limitações com que foram lidando ao longo do tempo Análise de Fourier Transformada de Fourier A análise de sinais tem à sua disposição uma impressionante quantidade de ferramentas. A mais conhecida de todas deverá ser a análise de Fourier, que separa um sinal nas suas sinusóides constituintes de diferentes frequências. Outra forma de pensar na análise de Fourier é através da técnica matemática de transformação do sinal de base tempo para base frequência. (Fig. 3.1 Transformada de Fourier) Para muitos sinais, a análise de Fourier é extremamente útil porque o conteúdo de frequência do sinal é muito importante. No entanto, a análise de Fourier apresenta uma grande desvantagem: na transformação para o domínio da frequência a informação do tempo é perdida. Quando olhamos para uma transformada de Fourier de um determinado sinal, não é possível dizer quando um determinado evento ocorreu. Se as propriedades de um sinal não variarem muito ao longo do tempo, ou seja, se o sinal for estacionário, esta desvantagem não é muito importante. No entanto, grande parte dos sinais contêm inúmeras características transitórias ou não estacionárias. Estas características podem ser a parte mais importante do sinal, e a transformada de Fourier não é apropriada à sua detecção Transformada de tempo-curto de Fourier Na tentativa de corrigir este defeito, a transformada de Fourier foi adaptada para analisar apenas uma pequena porção do sinal de cada vez uma técnica chamada janela deslizante sobre o sinal. A técnica chamada de transformada de tempo-curto de Fourier trabalha o sinal numa função de duas dimensões de base tempo e frequência. Capítulo 3 Fundamentos teóricos 9

11 (Fig. 3.2 Transformada de tempo-curto de Fourier) A transformada de Fourier de tempo-curto fornece informações sobre quando e a que frequências um determinado evento ocorre no sinal. No entanto, essa informação só pode ser obtida com determinada precisão, e essa precisão é limitada pelo tamanho da janela. Outra das desvantagens desta técnica é que a partir do momento que se define o tamanho da janela, ela terá de ser a mesma para todas as frequências. Muitos sinais requerem uma técnica mais flexível, onde seja possível variar o tamanho da janela para determinar com melhor precisão na base tempo ou na base frequência Análise de Wavelet Transformada de Wavelet A análise de Wavelet representa o próximo passo lógico: uma técnica de janela deslizante com regiões de tamanhos variáveis. A análise de Wavelet permite o uso de longos intervalos de tempo, quando queremos maior precisão na informação de baixa-frequência, e pequenas regiões quando queremos informação de alta-frequência. (Fig. 3.3 Transformada de Wavelet) Comparando com a base-tempo, base-frequência e com a transformada de tempo-curto de Fourier, temos: Capítulo 3 Fundamentos teóricos 10

12 (Fig. 3.4 Comparação de bases entre análise de Fourier e análise de Wavelet) É possível observar que as Wavelets não utilizam uma região tempo-frequência, mas sim uma região tempo-escala Wavelets Uma Wavelet é uma forma de onda de curta duração com um valor médio nulo. Comparando as Wavelets com as sinusóides, que são a base da análise de Fourier, temos que as sinusóides não têm duração limitada entendem-se até mais infinito, e que as sinusóides são previsíveis enquanto que as Wavelets são irregulares e assimétricas. (Fig. 3.5 Comparação entre Sinusóide e Wavelet) A análise de Fourier consiste na divisão do sinal em sinusóides de várias frequências. De forma similar, a análise de Wavelet divide em versões deslocadas e escaladas da Wavelet original ou Wavelet mãe. Capítulo 3 Fundamentos teóricos 11

13 Transformada contínua de Wavelet Matematicamente, o processo da análise de Fourier é representado pela transformada de Fourier: jωt = f ( t e dt F ω ) ) ( (1) Que é a soma ao longo do tempo do sinal f(t) multiplicado por uma exponencial complexa. O resultado da transformada são os coeficientes de Fourier F(ω) que, quando multiplicados por uma sinusóide de frequência ω, resultam nas componentes sinusoidais do sinal original. Graficamente, o processo pode ser representado como: (Fig. 3.6 Sinusóides constituintes de diferentes frequências) Da mesma forma, a transformada contínua de Wavelet é definida como a soma ao longo do tempo do sinal multiplicado por versões escaladas e deslocadas da função Wavelet (ψ ) : C ( escala, posição) = f ( t) ψ ( escala, posição, t) dt (2) O resultado da transformada contínua de Wavelet são muitos coeficientes de Wavelet C, que são função de escala e posição. Multiplicando cada coeficiente pela Wavelet apropriada em escala e deslocamento, resultam as Wavelets constituintes do sinal original: Capítulo 3 Fundamentos teóricos 12

14 (Fig. 3.7 Wavelets constituintes de diferentes escalas e posições) Escala A escala duma Wavelet significa a sua extensão ou compressão. É assim introduzido um factor de escala normalmente designado pela letra a. No caso das sinusóides, o efeito escala é facilmente observável: (Fig. 3.8 Escala de Wavelets) No caso das Wavelets, o factor escala funciona exactamente da mesma forma. Quanto mais pequeno o factor de escala, mais comprimida é a Wavelet: Capítulo 3 Fundamentos teóricos 13

15 (Fig. 3.9 Compressão de Wavelets) É perfeitamente visível, a partir dos diagramas, que para uma sinusóide sin( ω t), o factor de escala a está relacionado de forma inversa com ω. Da mesma forma, com a análise de Wavelet, a escala está relacionada com a frequência do sinal. Deslocamento Deslocar a Wavelet significa simplesmente atrasá-la. Matematicamente, atrasar a função representado por f ( t k) : f (t) de k é (Fig Deslocamento de Wavelets) Transformada discreta de Wavelet Calcular os coeficientes de Wavelet para cada escala possível é uma grande quantidade de trabalho, e é gerada uma grande quantidade de dados. Capítulo 3 Fundamentos teóricos 14

16 Escolhendo apenas um conjunto de escalas e posições para fazer os cálculos, em que as escalas e as posições são escolhidas em potências de 2, a análise será muito mais eficiente. Esta análise é obtida através da transformada discreta de Wavelet (DWT Discret Wavelet Transform). Um método eficiente para aplicar este esquema usando filtros foi desenvolvido por Mallat, em O algoritmo de Mallat é um esquema clássico conhecido para processamento de sinal como codificador de sub banda de dois canais. Este prático algoritmo dá origem à transformada rápida de Wavelet uma caixa na qual o sinal passa, e na saída são obtidos os coeficientes de Wavelet. Filtro de um estado: aproximações e detalhes Para muitos sinais, o conteúdo a baixa-frequência é a parte mais importante. É isto que dá ao sinal a sua identidade. O conteúdo de alta-frequência, por outro lado, dá a característica ou a diferença. Considerando a voz humana, se se remover os conteúdos de alta-frequência, a voz soa diferente, mas o discurso continua a ser perceptível. No entanto, se remover conteúdos de baixa-frequência, o discurso deixa de ser perceptível. Na análise de Wavelet, falamos de aproximações e detalhes. As aproximações são os componentes de baixa-frequência e escala-alta do sinal. Os detalhes são os componentes de alta-frequência e escala-baixa do sinal. O processo de filtragem, ao nível mais básico, é parecido com: (Fig Processo de filtragem ao nível mais básico) O sinal original, S, passa em dois filtros complementares, e resultam dois sinais. Capítulo 3 Fundamentos teóricos 15

17 Decomposição de nível múltiplo O processo de decomposição pode ser iterado, com sucessivas aproximações a serem decompostas, de forma a que um sinal seja dividido em muitas componentes de baixa resolução. Isto é chamado de árvore de decomposição de Wavelet. (Fig Árvore de decomposição de Wavelet) Analisando a árvore de decomposição de Wavelet podemos obter informação importante. (Fig Informação obtida com a árvore de decomposição de Wavelet) Número de níveis A partir do momento em que o processo de análise é iterativo, em teoria pode ser continuado de forma indefinida. Na realidade, a decomposição pode ser efectuada até que os detalhes individuais consistam numa amostra simples ou pixel. Na prática, deve ser seleccionado um número de níveis baseado na natureza do sinal, ou num critério viável como a entropia. Capítulo 3 Fundamentos teóricos 16

18 Reconstrução de Wavelet Foi apresentada a forma como a transformada discreta de Wavelet pode ser utilizada para analisar ou decompor sinais e imagens. Este processo é chamado decomposição ou análise. Estes componentes podem ser conjugados, novamente, no sinal original sem perda de informação face ao sinal original. Este processo é chamado reconstrução ou síntese. A manipulação matemática que afecta a síntese é chamada transformada inversa discreta de Wavelet (IDWT Inverse Discrete Wavelet Transform). Para sintetizar um sinal, este é reconstruído a partir dos coeficientes de Wavelet. (Fig Reconstrução do sinal a partir dos coeficientes de Wavelet) Aproximações e detalhes da reconstrução Foi visto que é possível reconstruir o sinal original a partir dos coeficientes de aproximações e detalhes. (Fig Reconstrução do sinal a partir de aproximações e detalhes) Também é possível reconstruir as aproximações e detalhes a partir dos seus vectores de coeficientes. Como exemplo, considera-se a reconstrução ao primeiro nível da aproximação A 1 a partir do vector de coeficientes ca 1. Capítulo 3 Fundamentos teóricos 17

19 O vector de coeficientes ca 1 passa pelo mesmo processo utilizado na reconstrução do sinal original. Contudo, em vez de o combinar com o detalhe de primeiro nível cd 1, utilizamos um vector de zeros em lugar do vector dos coeficientes dos detalhes: (Fig Reconstrução da aproximação A1 a partir dos coeficientes) Através deste processo é obtida a reconstrução da aproximação A 1, que tem o mesmo comprimento do sinal original S e que é uma real aproximação dele. Da mesma forma, podemos reconstruir o detalhe de primeiro nível D 1, utilizando o processo análogo: (Fig Reconstrução do detalhe D1 a partir dos coeficientes) Os detalhes e aproximações reconstruídos são verdadeiros constituintes do sinal original. De facto, quando os combinamos obtemos: A 1 + D1 = S (3) De salientar que os vectores de coeficientes ca 1 e cd 1 (porque foram produzidos por downsampling e têm apenas metade do comprimento do sinal original) não podem ser directamente combinados para reconstruir o sinal. É necessário reconstruir as aproximações e os detalhes antes de os combinar. Capítulo 3 Fundamentos teóricos 18

20 Estendendo esta técnica aos componentes da análise multi-nível, encontramos relações semelhantes para todos os constituintes do sinal reconstruído, isto é, há várias maneiras para construir o sinal original: (Fig Componentes do sinal reconstruído) Famílias de Wavelets Existem inúmeras famílias de Wavelets. Em seguida, são apresentadas as famílias mais conhecidas e utilizadas. Haar A Wavelet Haar é a primeira e a mais simples Wavelet. A Wavelet Haar é descontínua e representa uma função com um degrau. Representa a mesma Wavelet que Daubechies db1. (Fig Wavelet Haar) Daubechies Ingrid Daubechies, uma das personalidades mais brilhantes na pesquisa e desenvolvimento das Wavelets, inventou o que é chamado de Wavelets ortonormais suportadas compactamente, tornando a análise discreta de Wavelet possível. Os nomes da família Daubechies são escritos como dbn, onde N é a ordem. A Wavelet db1, tal como referido anteriormente, é a Wavelet Haar. Os restantes 9 membros da família são em seguida representados. Capítulo 3 Fundamentos teóricos 19

21 (Fig Família de Wavelets Daubechies) Biorthogonal Esta família de Wavelets apresenta uma propriedade de fase linear, que é necessária para reconstrução de sinais e imagens. Utilizando duas Wavelets, uma para decomposição e outra para reconstrução, em vez de uma Wavelet única, são derivadas propriedades interessantes. Capítulo 3 Fundamentos teóricos 20

22 (Fig Família de Wavelets Biorthogonal) Coiflets Criadas por I. Daubechies a pedido de R. Coifman. A função Wavelet tem 2 N momentos iguais a 0, e a função escala têm 2N 1 momentos iguais a 0. As duas funções suportam um comprimento de 6N 1. Capítulo 3 Fundamentos teóricos 21

23 (Fig Família de Wavelets Coiflets) Symlets As Symlets são Wavelets quase simétricas, propostas por Daubechies como uma modificação à família db. As propriedades das duas famílias de Wavelets são similares. (Fig Família de Wavelets Symlets) Morlet Esta Wavelet não tem função escala. (Fig Wavelet Morlet) Capítulo 3 Fundamentos teóricos 22

24 Mexican Hat Esta Wavelet não tem função escala e é derivada de uma função que é proporcional à segunda derivada da função densidade de probabilidade Gaussiana. (Fig Wavelet Mexican Hat) Meyer A Wavelet Meyer e a função escala são definidas no domínio da frequência. (Fig Wavelet Meyer) Capítulo 3 Fundamentos teóricos 23

25 4. Simulações em MATLAB Este capítulo apresenta algumas das simulações efectuadas em MATLAB. O capítulo encontra-se dividido em dois tipos de simulações: simulações com sinais de teste e simulações com sinais reais. Nas simulações com sinais de teste foram utilizados sinais de teste do MATLAB, para permitir uma familiarização das funções relacionadas com as Wavelets e ao mesmo tempo permitir uma exploração das capacidades das Wavelets. Na segunda fase simulações com sinais reais foram utilizados sinais cuja aquisição foi feita pela protecção digital TPU S420 da EFACEC em subestações da rede de distribuição, para permitir testar o comportamento das Wavelets em situações reais Simulações com sinais de teste Transformada de Wavelet A primeira simulação efectuada é a operação mais simples do MATLAB no cálculo da transformada discreta de Wavelet. Para isso, é carregado o seguinte sinal: (Fig. 4.1 Sinal de teste leleccum ) Efectua-se agora uma decomposição do sinal ao nível 1 utilizando a Wavelet db1. São gerados os coeficientes da aproximação ao nível 1 (ca1) e o detalhe (cd1). Constroem-se as aproximações e detalhes a partir dos coeficientes, reconstruindo a aproximação e o detalhe ao nível 1 (A1 e D1) a partir dos coeficientes ca1 e cd1: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 24

26 (Fig. 4.2 Aproximação e detalhe ao nível 1 com a Wavelet db1 do sinal de teste leleccum ) Reconstrói-se o sinal utilizando a transformada inversa e efectua-se a decomposição do sinal multinível. Os coeficientes de todas as componentes da decomposição de terceiro nível (isto é, a aproximação de terceiro nível e os primeiros três níveis de detalhes) são devolvidos num vector C. O vector L dá os comprimentos de cada componente. (Fig. 4.3 Coeficientes da decomposição ao nível 3) Extraem-se as aproximações e os detalhes dos coeficientes. Os resultados são apresentados na seguinte figura, que contém o sinal S, os coeficientes da aproximação ao nível 3 (ca3), e os coeficientes dos detalhes do nível 3 ao nível 1 (cd3, cd2 e cd1), de cima para baixo: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 25

27 (Fig 4.4 Decomposição ao nível 3 com a Wavelet db1 do sinal de teste leleccum ) Reconstrói-se a aproximação ao nível 3 e os detalhes do nível 1, 2 e 3. Apresentam-se os resultados da decomposição multi-nível: (Fig. 4.5 Aproximação e detalhes ao nível 3 com a Wavelet db1 do sinal de teste leleccum ) Pretende-se agora reconstruir o sinal original a partir da decomposição do nível 3: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 26

28 (Fig 4.6 Reconstrução do sinal de teste leleccum a partir da decomposição ao nível 3 com a Wavelet db1) A reconstrução é perfeita e é possível obter uma réplica do sinal original a partir da aproximação e dos detalhes obtidos com a decomposição multi-nível Remoção de ruído O sinal utilizado corresponde a uma situação de consumo de energia eléctrica durante 3 dias. Este sinal apresenta algum ruído resultante de um defeito do equipamento de monitorização. Utilizar Wavelets para remover ruído de um sinal requer a identificação do componente ou componentes que contêm o ruído, e reconstruir o sinal sem esses componentes. Para evitar a perda de detalhes do sinal original, ou seja, para tentar fazer uma óptima remoção de ruído, utiliza-se uma técnica de aproximação chamada thresholding. Isto implica excluir apenas a porção de detalhes que excede um certo limite. Começando por carregar o sinal e efectuar uma decomposição multi-nível, verificam-se os resultados utilizando uma decomposição de nível 3 com a Wavelet db1: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 27

29 (Fig. 4.7 Remoção de ruído ao nível 3 com a Wavelet db1 de uma selecção do sinal leleccum ) Para analisar as diferenças entre os diversos níveis, efectua-se o mesmo procedimento para o nível 1: (Fig. 4.8 Remoção de ruído ao nível 1 com a Wavelet db1 de uma selecção do sinal leleccum ) E agora para o nível 2: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 28

30 (Fig. 4.9 Remoção de ruído ao nível 2 com a Wavelet db1 de uma selecção do sinal leleccum ) Por último, para o nível 4 temos: (Fig. 4.9 Remoção de ruído ao nível 4 com a Wavelet db1 de uma selecção do sinal leleccum ) Verifica-se assim que utilizando a remoção de ruído de nível 3 é possível remover o ruído do sinal sem comprometer o seu detalhe. Esta é uma das grandes vantagens da análise de Wavelets. No entanto, o Capítulo 4 Simulações em MATLAB 29

31 sinal obtido apresenta uma ligeira aparência em escada, que poderá ser eliminada conforme será descrito em seguida Escolha da Wavelet Outro ajuste de modo a optimizar o resultado final será a escolha da Wavelet mais adequada. Utilizando a família Daubechies, composta por 10 Wavelets, compararam-se os resultados obtidos, de forma a avaliar qual a Wavelet que oferece melhor aproximação para um determinado tipo de sinal. Uma boa aproximação foi obtida, por exemplo, com a Wavelet db9, pois quando comparado com o resultado da Wavelet db1, verifica-se que a aparência em escada é reduzida de uma forma muito significativa. Utilizando a Wavelet db1 temos: (Fig Remoção de ruído ao nível 3 com a Wavelet db1 do sinal noisdopp ) E utilizando a Wavelet db9 o resultado obtido é: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 30

32 (Fig Remoção de ruído ao nível 3 com a Wavelet db9 do sinal noisdopp ) Confirma-se assim que a escolha da Wavelet mais adequada é muito importante para os resultados obtidos com a decomposição, e que esta deve ser efectuada de acordo com o tipo de sinal utilizado Simulações com sinais reais Até agora foram utilizados sinais de teste do MATLAB para avaliar algumas das capacidades da DWT. Com o objectivo de avaliar a DWT para o caso concreto da protecção digital, torna-se necessário utilizar a transformada em sinais reais. Para isso, foram utilizados dois sinais de registo da ocorrência de defeitos, recolhidos pela protecção TPU S420 da Efacec. Os dois sinais recolhidos podem ser observados nas seguintes figuras: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 31

33 (Fig Oscilografia das correntes e tensões do sinal A) Analisando o sinal A, verifica-se que a amplitude das correntes I0 e IC aumenta bastante com a ocorrência do defeito, valor esse que se mantém constante durante algum tempo, sendo depois reduzido de forma abrupta e sofrendo um pico. Já as correntes IA e IB vêem a sua amplitude aumentada mais tarde que as correntes I0 e IC, e com valores praticamente constantes ao longo do tempo. O valor da amplitude das tensões UA e UB aumenta com a ocorrência do defeito, e decresce ao longo do tempo. A tensão UC apresenta um comportamento diferente, com uma diminuição abrupta durante algum tempo, retomando mais tarde para os valores iniciais. Capítulo 4 Simulações em MATLAB 32

34 (Fig Oscilografia das correntes e tensões do sinal B) Analisando o sinal B, verifica-se que a amplitude das correntes IA e IB aumenta bastante com a ocorrência do defeito, valor esse que decresce progressivamente ao longo do tempo. Já as correntes I0 e IC evidenciam uma amplitude que se mantém praticamente constante ao longo do tempo, e de valor superior à das correntes IA e IB. As variações nas tensões são menores. No entanto, o valor da amplitude da tensão UA aumenta ligeiramente a partir da ocorrência do defeito, enquanto que nas tensões UB e UC esse valor diminui ligeiramente Escolha do nível de decomposição O primeiro passo será a determinação do nível da decomposição. O nível de decomposição ideal está dependente da forma, amplitude e frequência do sinal, e claro, do tipo de informação que pretendemos obter com a transformada. Utilizando o sinal A, e começando por efectuar uma decomposição ao nível 4, o resultado obtido é: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 33

35 (Fig Simulação efectuada à corrente I0 do sinal A, com a Wavelet db1 e decomposição ao nível 4) O sinal obtido na aproximação deveria ser muito parecido com o sinal original, o que não acontece. Nota-se perfeitamente que o valor de cada período é bastante diferente, logo será necessário reduzir o nível da decomposição. Se os períodos apresentassem valores semelhantes, mas com formas de onda diferentes, então o problema dever-se-ia à escolha da Wavelet. Reduzindo a decomposição para o nível 3, obtemos: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 34

36 (Fig Simulação efectuada à corrente I0 do sinal A, com a Wavelet db1 e decomposição ao nível 3) O resultado melhorou, mas mesmo assim os sinais são bastante diferentes. É necessário reduzir novamente ao nível da decomposição. Para a decomposição ao nível 2 temos: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 35

37 (Fig Simulação efectuada à corrente I0 do sinal A, com a Wavelet db1 e decomposição ao nível 2) Agora os períodos apresentam valores muito semelhantes, logo o nível da decomposição está correcto. Para a protecção digital podemos utilizar a DWT com decomposição ao nível 2 ou inferior (nível 1). Esta diferença nos níveis de decomposição deve-se ao facto de que quanto maior for o nível, mais restritas são as bandas de frequências dos filtros, e uma pequena variação na frequência faz-se sentir na aproximação Escolha da Wavelet Para terminar o ajuste da DWT é necessário escolher a Wavelet mais apropriada. Depois de feitas as 10 simulações referentes às 10 Wavelets da família Daubechies, chegou-se à conclusão que as Wavelets db4 a db8 apresentam bons resultados, todos muito idênticos entre eles. Capítulo 4 Simulações em MATLAB 36

38 O facto dos resultados serem muito idênticos também se deve à filtragem utilizada pela protecção na recolha dos sinais, notando-se que o sinal apresenta muito pouco ruído. O resultado obtido para a Wavelet db4 pode ser observado na seguinte imagem: (Fig Simulação efectuada à corrente I0 do sinal A, com a Wavelet db4 e decomposição ao nível 2) A aproximação obtida é muito semelhante ao sinal original. Estas simulações foram efectuadas para as 4 correntes (I0, I1, I2, I3) e para as 3 tensões (UA, UB, UC) dos sinais A e B e os resultados mantiveram-se, confirmando a correcta escolha da Wavelet Análise do sinal A Observando a imagem anterior, verifica-se que o detalhe d1 apresenta um pico de valor bastante superior ao valor eficaz sempre que se verifica uma variação da amplitude do sinal. Capítulo 4 Simulações em MATLAB 37

39 Efectuando a DWT à corrente IA temos: (Fig Simulação efectuada à corrente IA do sinal A, com a Wavelet db4 e decomposição ao nível 2) Neste caso, verifica-se que além dos picos apresentados pela variação de amplitude, também uma ligeira variação de frequência (para t 235) é incluída nos detalhes. Para a corrente IC temos: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 38

40 (Fig Simulação efectuada à corrente IC do sinal A, com a Wavelet db4 e decomposição ao nível 2) Novamente as variações de amplitude estão presentes nos detalhes. Efectuando a DWT para a tensão UA, observamos: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 39

41 (Fig Simulação efectuada à tensão UA do sinal A, com a Wavelet db4 e decomposição ao nível 2) As várias variações de amplitude são evidentes no detalhe d1. Para a tensão UC, temos: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 40

42 (Fig Simulação efectuada à tensão UC do sinal A, com a Wavelet db4 e decomposição ao nível 2) Mais uma vez é evidente a variação de amplitude nos detalhes Análise do sinal B Efectuando a DWT para a corrente IA: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 41

43 (Fig Simulação efectuada à corrente IA do sinal B, com a Wavelet db4 e decomposição ao nível 2) É possível observar a vantagem da filtragem pela Wavelet face à filtragem analógica e pré-filtragem digital. A zona marcada com um rectângulo foi ampliada: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 42

44 (Fig Ampliação do sinal original e aproximação, da simulação efectuada à corrente IA do sinal B, com a Wavelet db4 e decomposição ao nível 2) É evidente a superior capacidade de filtragem por parte da Wavelet. Para a tensão UA, temos: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 43

45 (Fig Simulação efectuada à tensão UA do sinal B, com a Wavelet db4 e decomposição ao nível 2) Novamente uma pequena variação de amplitude se fez sentir de forma muito evidente no detalhe d1. Por último, para a tensão UB, temos: Capítulo 4 Simulações em MATLAB 44

46 (Fig Simulação efectuada à tensão UB do sinal B, com a Wavelet db4 e decomposição ao nível 2) A situação é idêntica à anterior. Nota-se também que a variação de amplitude se verificou ao mesmo tempo nas duas fases. Como estamos perante uma base-tempo, é possível medir as diferenças de tempo entre fases, e verificar, por exemplo, se a abertura dos pólos de um disjuntor é efectuada ao mesmo tempo em todas as fases. É também possível calcular a duração dos eventos, pois nos detalhes temos os picos que evidenciam as variações de amplitude e frequência. Capítulo 4 Simulações em MATLAB 45

47 5. Algoritmo para a DWT em C Este capítulo apresenta uma possível implementação do algoritmo para a DWT desenvolvido em linguagem C. Como os resultados das simulações anteriores são bastante interessantes, e como a protecção digital da EFACEC modelo TPU S420 utiliza algoritmos em C, é de extrema importância o desenvolvimento do algoritmo para avaliar a implementação da DWT na protecção digital Princípios matemáticos A transformada contínua de Wavelet e a sua inversa são definidas pelas seguintes relações: * w( s, ) = f ( t) ψ s,τ ( t) dt τ (1) f ( t) = w( s, τ ) ψ s, ( t) dτds (2) τ Onde as funções básicas ψ s, τ são obtidas pela escala e deslocamento de uma função simples, chamada de Wavelet mãe. A versão discreta da transformada de Wavelet actua em dados com uma amostragem uniforme com passos ( s, τ ) de escala e deslocamento fixos. Os eixos de tempo e frequência são amostrados de forma diádica em escalas de j 2 com um parâmetro de nível j. A família resultante de funções ψ j, n constitui uma base ortonormal para sinais de norma finita. A transformada discreta de Wavelet é um algoritmo que também é conhecido como transformada rápida de Wavelet Algoritmo O algoritmo foi desenvolvido com recurso a livrarias científicas GNU e compilado em GCC. Utiliza como entrada um vector linha ou coluna com os dados da amostragem, e a saída consiste num vector coluna com os coeficientes da transformada. O algoritmo corre em linha de comandos, ou seja, sem qualquer ambiente gráfico, pois só assim seria possível a sua integração na protecção. Neste algoritmo é possível definir o tamanho da janela, e estão suportadas as famílias de Wavelets Daubechies, Haar e Biorthogonal B-spline. O algoritmo foi compilado para um ficheiro exe e é acompanhado de 3 ficheiros dll que carregam as formas de onda e bibliotecas necessárias. O sinal de entrada poderá ser qualquer ficheiro de texto, desde que a entrada das amostras seja um vector Capítulo 5 Algoritmo para a DWT em C 46

48 linha ou coluna. O código-fonte completo, utilizado no algoritmo para a DWT em C, encontra-se no anexo A1 deste trabalho. A seguinte imagem representa o aspecto do algoritmo para a DWT em C: (Fig. 5.1 Algoritmo para a DWT em C) Na seguinte imagem é possível observar uma das livrarias científicas GNU: Capítulo 5 Algoritmo para a DWT em C 47

49 (Fig. 5.2 Livraria científica da GNU) A seguinte imagem representa a saída de dados em linha de comandos: Capítulo 5 Algoritmo para a DWT em C 48

50 (Fig. 5.3 Saída de dados em linha de comandos do algoritmo para a DWT em C) Para verificar o funcionamento do algoritmo, construiu-se o gráfico para o sinal de entrada e o gráfico para a aproximação obtida (sinal de saída): (Fig. 5.4 Sinal de teste) Capítulo 5 Algoritmo para a DWT em C 49

51 (Fig. 5.5 Aproximação da DWT efectuada ao sinal de teste) É possível verificar o correcto funcionamento do algoritmo. De salientar é o facto da optimização do sinal de saída não ter sido efectuada, uma vez que o objectivo é demonstrar o funcionamento do algoritmo, e não de efectuar a correcta escolha de parâmetros e da família de Wavelet mais apropriada ao sinal. Capítulo 5 Algoritmo para a DWT em C 50

52 6. Aplicação da DWT em protecções digitais Este capítulo apresenta possíveis aplicações da DWT em protecções digitais. Encontra-se dividido em duas partes: aplicações na estimação de parâmetros (tensões e correntes) e aplicações em análise da qualidade de energia. Na primeira parte, é apresentado o algoritmo original da protecção digital TPU S420 da EFACEC e é proposto um algoritmo com utilização da DWT, para aplicação na referida protecção e em futuras plataformas. São também apresentadas as melhorias obtidas ao nível da filtragem. Na segunda parte, são apresentados os principais factores de avaliação da qualidade de energia, com base na norma NP EN São também apresentadas aplicações da DWT na detecção do tipo de perturbação e no cálculo da respectiva duração, bem como na verificação do cumprimento do enquadramento normativo Estimação de parâmetros (tensões e correntes) Algoritmo original O algoritmo base de estimação das grandezas eléctricas adquiridas (tensões e correntes) utilizado na protecção digital TPU S420 da EFACEC pode ser observado na seguinte figura: (Fig. 6.1 Algoritmo original da protecção digital TPU S420 da EFACEC) Verifica-se que é um algoritmo que utiliza filtros passivos aplicados à entrada da imagem do sinal real, e que ao sinal resultante da filtragem é aplicado um algoritmo de estimação baseado na DFT para estimação dos parâmetros (tensões e correntes) Algoritmo proposto Com base nos fundamentos teóricos estudados durante este trabalho, e com base nos resultados obtidos para as várias simulações efectuadas, é proposto um novo algoritmo que apresenta diversas vantagens em relação ao algoritmo original. O algoritmo proposto pode ser observado na seguinte figura: Capítulo 6 Aplicação da DWT em protecções digitais 51

53 (Fig. 6.2 Algoritmo proposto para a protecção digital TPU S420 da EFACEC e futuras plataformas) No algoritmo proposto, o processo de filtragem é eliminado. Aplica-se sobre a imagem do sinal real um algoritmo de estimação baseado na DWT. A resultante da DWT será apenas a aproximação (frequência fundamental), e a esta aproximação é aplicado um algoritmo de estimação baseado na DFT ou na FFT para estimação dos parâmetros (tensões e correntes). A estimação dos parâmetros é feita de forma idêntica ao algoritmo original. Isto significa que não é necessário efectuar nenhuma alteração aos actuais algoritmos relacionados com as funções de protecção, simplificando bastante a integração do algoritmo proposto na protecção DWT na filtragem Verifica-se no algoritmo original que é efectuada uma filtragem analógica e uma pré-filtragem digital para eliminar todas as componentes cuja frequência seja diferente da fundamental. Esse processo de filtragem, embora possa apresentar uma boa resposta, evidencia também um determinado erro, porque o filtro não é ideal. Com a aplicação da transformada discreta de Wavelet ao sinal de entrada, será obtida uma aproximação à componente fundamental, tal como observado nas simulações com sinais reais. Essa aproximação apresenta uma filtragem claramente superior à obtida com o processo actual. A seguinte figura demonstra mais uma vez a excelente filtragem por parte da DWT: (Fig. 6.3 Aproximação da DWT a uma sinusóide com ruído) Capítulo 6 Aplicação da DWT em protecções digitais 52

54 Outro aspecto importante é o facto da protecção digital utilizar uma carta de hardware específica para efectuar o processo de filtragem. Com a utilização da DWT, essa carta deixaria de ser necessária. Além da melhoria obtida na resposta, com a redução do número de componentes electrónicos são obtidos outros tipos de melhorias: redução não só na probabilidade de avarias mas também no custo do hardware Escolha entre DFT e FFT A escolha entre a DFT e a FFT só está condicionada pela velocidade de processamento. O algoritmo original utiliza a DFT para 10 amostras. Para utilizar um maior número de amostras, o processador da protecção poderá não ter capacidade de efectuar a DFT. Nesse caso, justificar-se-ia a alteração do algoritmo para a FFT. A seguinte tabela apresenta a aceleração da FFT quando comparada com a DFT em função do número de amostras: N log 2 ( N ) 2 4 N 2 N log 2 ( N ) Aceleração x x ,3 x x ,6 x ,8 x x (Tabela 6.1 Comparação da velocidade de processamento entre DFT e FFT em função do número de amostras) O algoritmo da FFT é bastante mais rápido para um elevado valor de N Análise da qualidade de energia Principais perturbações nos sistemas eléctricos de energia Durante a normal exploração dos sistemas eléctricos de energia, estes podem sofrer diversas alterações ou perturbações causadas por: Factores atmosféricos (descargas atmosféricas, ventos fortes); Acidentes (gruas, escavações); Aves; Fogos florestais, contacto com árvores; Acidentes em clientes; Envelhecimento das redes (quebra de isoladores, avarias em seccionadores); Erros de operação. Capítulo 6 Aplicação da DWT em protecções digitais 53

55 Estas perturbações provocam diversas consequências na exploração da rede, tais como: Flutuação da tensão; Variação rápida da tensão; Variação da tensão; Tremulação; Severidade da tremulação; Cava; Interrupção da alimentação; Sobretensão temporária; Sobretensão transitória; Tensão harmónica; Tensão inter harmónica; Desequilíbrio da tensão; Harmónicas de corrente. Sendo a produtividade das empresas directamente afectada por estes eventos, todos os instrumentos que possibilitem anular ou reduzir estas perturbações são muito importantes Avaliação de perturbações (NP EN ) A norma portuguesa NP EN intitulada de Características da tensão fornecida pelas redes de distribuição pública de energia eléctrica descreve as características principais, no ponto de entrega ao cliente, da tensão de alimentação por uma rede de distribuição pública em baixa ou média tensão. A norma tem por objectivo definir e descrever os valores que caracterizam a tensão de alimentação, tais como: A frequência; A amplitude; A forma de onda; A simetria das tensões trifásicas. Para definir e descrever esses valores, a norma avalia as características de alimentação em: Frequência; Amplitude da tensão de alimentação; Variações da tensão de alimentação; Variações rápidas de tensão: o Amplitude das variações rápidas de tensão; o Severidade da tremulação; Cavas (abaixamentos) da tensão de alimentação; Interrupções breves da tensão de alimentação; Interrupções longas da tensão de alimentação; Capítulo 6 Aplicação da DWT em protecções digitais 54

56 Sobretensões temporárias entre os condutores activos e a terra; Sobretensões transitórias entre os condutores activos e a terra; Desequilíbrio das tensões de alimentação; Tensões harmónicas; Tensões inter-harmónicas; Transmissão de sinais de informação na rede. A avaliação destes factores é muito importante e, sempre que seja possível que a mesma seja efectuada pela protecção digital, obtemos, além de um valor acrescentado do produto, uma maior fiabilidade e segurança, e um excelente desenvolvimento e contributo para as funções de DMS e SCADA DWT na identificação de perturbações Sempre que ocorre um defeito, ou seja, sempre que a protecção detecta valores que ultrapassam os parâmetros predefinidos, a protecção efectua um registo do evento. Nesse registo é guardada a amostragem do sinal. Os detalhes da transformada de Wavelet dão importantes informações em sinais não estacionários, como é o caso dos defeitos. Adicionando à protecção a capacidade de efectuar a DWT aos registos de eventos, com a saída da aproximação e dos detalhes, é possível a identificação do tipo de defeito que ocorreu através de redes neuronais. Um sistema neuronal de classificação, utilizando a análise de Wavelet, é uma nova ferramenta que pode ser utilizada para distinguir oito tipos de defeitos: Interrupção longa da tensão de alimentação; Variação de tensão de alimentação; Interrupção breve da tensão de alimentação; Variação rápida de tensão de alimentação; Variação de frequência; Variação da amplitude da tensão de alimentação; Transitórios; Tremulação (flicker) DWT no cálculo da duração das perturbações Além da identificação do tipo de defeitos, a DWT efectuada aos registos de eventos permite também calcular a duração destes. Foi verificado nas simulações com sinais reais que a ocorrência de defeitos é observada nos detalhes através de picos de amplitude muito significativa. A seguinte figura representa mais uma vez a presença de picos a marcarem a ocorrência de defeitos: Capítulo 6 Aplicação da DWT em protecções digitais 55

57 (Fig. 6.4 Aproximação e detalhe ao nível 1, da simulação efectuada à tensão UC do sinal A, com a Wavelet db4 e decomposição ao nível 2) Como estamos perante uma base-tempo, um algoritmo de pesquisa desses picos, em que seja efectuada a diferença entre os tempos a que ocorrem, torna possível o cálculo da duração dos defeitos DWT na avaliação do enquadramento normativo Foram apresentadas as características de alimentação avaliadas pela norma NP EN Dado que grande parte dos defeitos avaliados pela norma poderão não só ser identificados como ter a sua duração calculada, facilmente verificaremos se a norma está ou não a ser respeitada. Para isso, bastará incluir um contador para o tempo de funcionamento da protecção, e efectuar o somatório dos tempos para cada tipo de defeito. Depois, um simples algoritmo poderá avaliar as características de alimentação. Capítulo 6 Aplicação da DWT em protecções digitais 56

58 7. Conclusões Analisando os fundamentos teóricos, verifica-se que a transformada de Fourier é extremamente útil porque o conteúdo de frequência do sinal é muito importante. No entanto, na transformação para o domínio da frequência, a informação do tempo é perdida, tornando-se uma grande desvantagem no caso do sinal conter inúmeras características transitórias e estacionárias. Se as propriedades do sinal não variarem muito ao longo do tempo, essa desvantagem não é muito importante. Para corrigir este defeito, foi criada uma adaptação à transformada de Fourier, chamada de transformada de tempo-curto de Fourier. Esta adaptação passa pela análise de uma pequena porção do sinal de cada vez, permitindo assim obter informações sobre quando e a que frequências um determinado evento ocorre no sinal. No entanto, essa informação só é obtida com determinada precisão. A análise de Wavelet é uma técnica de janela deslizante com regiões de tamanhos variáveis. Assumese assim como o próximo passo lógico, em que não é utilizada uma região tempo-frequência, mas sim uma região tempo-escala. A análise de Wavelet e a respectiva Transformada Discreta de Wavelet apresentaram-se como o algoritmo com melhores capacidades de exploração e menores limitações. As simulações efectuadas com sinais de teste permitiram um primeiro contacto com as ferramentas do MATLAB para a análise de Wavelet, e ao mesmo tempo permitiram explorar as capacidades das Wavelets atendendo à integração em sistemas eléctricos de energia. Foi possível verificar que a família de Wavelets Daubechies é apropriada para sinais eléctricos, com excepção da Wavelet db1 (ou Wavelet Haar), da qual resulta uma significativa aparência em escada. As funções de remoção de ruído também apresentaram resultados positivos. As simulações com sinais reais permitiram avaliar a utilização da DWT nas protecções digitais. Foi possível a optimização dos parâmetros da DWT: escolha do nível de decomposição e da Wavelet. A decomposição ao nível 2 ou inferior e a utilização de Wavelets da família Daubechies, nomeadamente da Wavelet db4 à Wavelet db8, permitiram obter excelentes resultados com as simulações. Foi possível verificar a ocorrência de defeitos de forma muito evidente, e verificar a excelente capacidade de filtragem da DWT. O desenvolvimento do algoritmo para a DWT em linguagem C permitiu avaliar uma possível implementação da DWT na protecção digital. O algoritmo desenvolvido funcionou perfeitamente, tornando viável a sua implementação na protecção digital. Na avaliação de possíveis aplicações da DWT em protecções digitais, é proposto um algoritmo para a protecção digital TPU S420, o qual faz uso da DWT. Com este algoritmo é possível melhorar o actual processo de filtragem da protecção digital, bem como eliminar a necessidade da utilização de uma carta de hardware específica para efectuar o processo de filtragem. Além disso, verifica-se que a DWT, Capítulo 7 Conclusões 57