ANÁLISE E AUTOMAÇÃO DAS AÇÕES DINÂMICAS DE VENTO EM TORRES METÁLICAS

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1 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 2005 Brazilian Assoc. for Comp. Mechanics (ABMEC) & Latin American Assoc. of Comp. Methods in Engineering (AMC), Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 21 st October 2005 Paper CIL ANÁLISE E AUTOMAÇÃO DAS AÇÕES DINÂMICAS DE VENTO EM TORRES METÁLICAS João Alberto Venegas Requena Philippe Remy Bernard Devloo Tiago Luís Duarte Forti requena@fec.unicamp.br phil@fec.unicamp.br fortiago@labmec.fec.unicamp.br Laboratório de Mecânica Computacional - LabMeC - Departamento de Estruturas - DES - Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo - FEC - Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP. Av. Albert Einstein, 951, Cidade Universitária Zeferino Vaz, CP 6021, CEP , Campinas - SP - Brasil. Abstract. Este trabalho apresenta o desenvolvimento de software de automação do projeto estrutural de torres metálicas treliçadas autoportantes com perfis tubulares e a análise das ações dinâmicas de vento. As ações de vento são calculadas segundo a NBR6123. Para torres treliçadas, as ações estáticas são calculadas através do item 7.7 e as ações dinâmicas conforme o item 9. Dois modelos de análise dinâmica são propostos pela norma: o modelo contínuo simplificado e o modelo discreto. O modelo dinâmico adotado é o modelo contínuo simplificado. Admite-se que a velocidade média do vento mantém-se constante durante um intervalo de tempo de 10 minutos ou mais, produzindo nas edificações efeitos puramente estáticos, as ações médias. Entretanto, as flutuações da velocidade do vento podem induzir à oscilações importantes em estruturas flexíveis, as ações flutuantes. Segundo a NBR6123, as ações flutuantes devem ser consideradas em estruturas com período fundamental de vibração superior a 1 segundo. Para obtenção do período fundamental a norma indica na sua tabela 19 a seguinte expressão: T(s)=0,29h ½ -0,4 em que h é a altura total da torre. Como alternativa, o período fundamental pode ser obtido empregando-se métodos da teoria de vibrações de estrutura. Foi implementado o método da potência de cálculo de autovalores para obtenção do período fundamental de vibração. Os resultados são comparados aos do programa comercial SAP2000 e aos valores propostos pela equação da tabela 19 da NBR6123. Nota-se que os valores encontrados com a fórmula proposta pela norma é bastante diferente dos valores obtidos com os programas de computador. Encontrado o período fundamental, as ações de vento são obtidas através dos métodos estático e dinâmico e seus resultados são comparados. As ações de vento são obtidas automaticamente através de rotinas implementadas no programa de automação do projeto estrutural. São comparados os dimensionamentos das torres submetidas às ações de vento calculadas segundo as diferentes análises. Keywords: Estruturas metálicas, torres treliçadas autoportantes, análise dinâmica, ações de vento

2 1 Vibrações mecânicas Todos os corpos que possuem massa e elasticidade podem entrar em vibração. Esse movimento periódico repete-se após um certo intervalo de tempo chamado período de vibração (T). Seu inverso, f=1/t, é a freqüência de vibração. As vibrações podem ser classificadas em livres e forçadas. Nas vibrações livres não há ação de forças exteriores ao sistema, o que acontece nas forçadas. Um sistema em vibração livre irá oscilar em uma ou mais de suas freqüências naturais. No caso de uma vibração forçada, se a força excitadora for harmônica, a vibração se efetuará nessa mesma freqüência. Se essa freqüência coincidir com uma das freqüências naturais do sistema, teremos uma ampliação progressiva das amplitudes (ressonância), com seu valor máximo dependendo do amortecimento do sistema. Em um sistema em vibração há dissipação de energia, sendo bastante complexa uma descrição real da força de amortecimento associada a essa dissipação de energia. Vários fatores influem em sua determinação, tais como, deslocamentos, velocidades, tensões, tipos e quantidade das ligações entre elementos estruturais, materiais etc. Na prática usam-se modelos matemáticos de fácil tratamento. Desses, o mais simples e que fornece uma aproximação satisfatória, é o do amortecimento viscoso, no qual a força de amortecimento é proporcional à velocidade. 1.1 Formulação Será examinado um método que permite estabelecer as equações do movimento. Esse método permite compreender o significado físico das equações do movimento e os termos que aparecem. Sejam: F = vetor das forças aplicadas, m = massa da estrutura (constante), u = vetor deslocamento do ponto de massa m. Tem-se que: F = m. u A força F agindo sobre a massa m pode ser de diversos tipos: forças externas aplicadas (F EXT ); força elástica: força de oposição ao deslocamento e proporcional a esse deslocamento (F EL ); forca de amortecimento viscoso: força de oposição à velocidade e proporcional a essa velocidade (F AV ). Introduzindo as forças inerciais (F I ) definidas por F I = m. u, a equação que exprime a soma das forças de inércia, de amortecimento viscoso, de caráter elástico e da força externa aplicada é nula. F I + F AV + F EL + F EXT = 0 O número de graus de liberdade indica o número mínimo de coordenadas independentes necessário para descrever o movimento do sistema. Considera-se um sistema descrito por n graus de liberdade (deslocamentos) q1, q2,...,qn. As forças aplicadas em todo ponto desse sistema são descritas por forças equivalentes aplicadas nos nós (para simplificação pode-se supor apenas um grau de liberdade por nó). Haverá em cada nó i uma força inercial, de amortecimento viscoso, de caráter elástico e uma força externa. O equilíbrio dos nós (i =1, 2,..., n) é: FI1+ FAV1+ FEL1 + FEXT1 = 0 FI 2 + FAV 2 + FFEL2 + FEXT 2 = 0... FIn + FAVn + FELn + FEXTn = 0

3 ou, matricialmente: {FI} + {FAV} + {FEL} + {FEXT} = 0 em que: forças inerciais. FI1 m11 m12... m1n q1' ' FI 2 m21 m22... m2n q2'' = * FIn mn1 mn2... mnn qn'' ou {FI} = - [M] {q } onde, [M] é a chamada matriz das massas e que mij = força correspondente no nó i causada por uma aceleração unitária no grau de liberdade j. Se não houver conexões dinâmicas entre as massas, é uma matriz diagonal; e {q } = vetor das acelerações. forças de amortecimento viscoso. FAV1 c11 c12... c1n q1' FAV 2 c21 c22... c2n q2' = * FAVn cn1 cn2... cnn qn' ou {FAV} = - [C] {q } onde, [C] é a chamada matriz de amortecimento e que cij =força correspondente ao grau de liberdade i causada por uma velocidade unitária no grau de liberdade j; e {q } = vetor das velocidades. forças elásticas. FEL1 k11 k12... k1n q1 FEL2 k21 k22... k2n q2 = * FELn kn1 kn2... knn qn ou {FEL} = - [K] {q} onde, [K] é a chamada matriz de rigidez e que kij = força correspondente no nó i causada por um deslocamento unitário no grau de liberdade j; e {q} = vetor dos deslocamentos. As equações de equilíbrio se escrevem, portanto: [M] {q } + [C] {q } + [K] {q} = {FEXT} (1) 1.2 Métodos de resolução da equação do movimento Alguns métodos são aplicáveis à resolução do movimento. São eles: integração temporal direta; análise freqüencial ou aplicação da Transformada de Fourier. análise modal, que exprime a resposta temporal por combinação dos modos próprios de vibração livre e não amortecidos da estrutura. 1.3 Oscilações livres Análise modal Nas oscilações livres, as forças externas FEXT valem zero. Desprezando-se os efeitos viscosos a equação 1 toma a forma

4 Pode-se procurar uma solução dada por (2) em que x é um vetor de constantes que multiplica a função temporal. Desse modo (3) Admitindo-se não haver movimentos de corpo rígido, pode-se afirmar que as matrizes M e K são não-singulares. Assim, pode-se reescrever a equação 3: em que Kx e Mx não valem zero, exceto no caso de x = 0. Substituindo-se (4) na equação 4, vem. (5) Geradin e Rixen (1994) mostram que se as matrizes K e M forem positivas definidas, λ > 0, e pode portanto ser substituído por A equação 5 toma a forma (6) ou (7) A equação 7 possui duas soluções. A primeira, chamada de solução trivial, é aquela em que x = 0. E a segunda, chamada de solução não trivial, é aquela em que (8) O problema de autovalores da equação 8 possui n raízes. Para cada raiz existe um x r associado. Como A equação diferencial temporal é dada pela equação 9 cuja solução é do tipo harmônica (9) O autovalor pode ser interpretado como a freqüência circular do modo r. A freqüência circular tem unidades de radianos por segundo. A freqüência (em Hertz) é dada por e o período de vibração (em segundos) A análise modal foi implementada no programa AutoTorre. A estrutura é tratada como elementos de pórtico espacial. A resolução do problema de autovalores é feita pelo método das potências, conforme descrito em Geradin e Rixen (2004). 2 Vibrações causadas pelo vento Segundo BLESMANN (1998), o processo que a norma brasileira NBR6123 apresenta para a determinação da ação estática do vento é baseado no método de vibração aleatória proposto por Davenport. Difere dele na determinação dos parâmetros que definem essa ação, além de destacar que a vibração da estrutura em seus modos naturais dá-se em torno da

5 posição deformada definida pela pressão causada pela componente estática do vento (isto é, pela velocidade média). As hipóteses fundamentais desse processo são as seguintes: as componentes flutuantes do vento (rajadas) são processos estacionários, com média zero; na determinação da resposta estrutural na direção da velocidade média do vento só é considerada a influência da componente flutuante nessa direção; a estrutura é discretizada em N partes. Em um dado instante, a ação total do vento, na direção da velocidade média, em cada parte da estrutura, é composta de duas parcelas: uma ação média e uma ação flutuante. Para a coordenada i: ) F ( t) = F + F( t) i max Para torres treliçadas, as ações estáticas são calculadas através do item 7.7 e as ações dinâmicas conforme o item 9 da NBR Cálculo da pressão do vento Nas análises estáticas da ação do vento, a NBR6123 define a pressão do vento em função da velocidade média sobre rajadas de 3 segundos. Essa velocidade é definida por: Vk = Vo S1 S2 S3 onde: Vo é a velocidade básica velocidade de uma rajada de 3 s, a 10m acima do terreno de categoria II, com um período médio de recorrência de 50 anos; S1: fator topográfico, que considera a influência da topografia nas vizinhanças da construção; S2: fator que considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, da variação da velocidade do vento com a altura acima do terreno e das dimensões da edificação ou parte da edificação em consideração; S3: fator probabilístico, que considera o grau de segurança requerido e a vida útil da construção. Para as análises de ação do vento dinamicamente a norma define a velocidade média sobre 10 minutos, a 10 metros de altura, em um terreno de categoria de rugosidade II (campo aberto e plano sem obstáculos consideráveis). Essa velocidade é definida por: Vp = 0,69 Vo S1 S3 onde: 0,69 é o fator de rajada para passar da velocidade média sobre 3s (Vo) para a velocidade média sobre 10 min, na categoria II e a 10 m acima de altura; e Vo, S1 e S3 os mesmos mencionados anteriormente. A pressão estática é determinada por: 2 q = 0,613 Vk [N/m 2 ], sendo Vk em m/s. (10) É interessante lembrar que a pressão do vento q varia em função da altura do ponto considerado. Essa variação está embutida no fator S2 de Vk. A pressão dinâmica varia com a altura em função da expressão: 2 p p γ ( ) ( ) 2 z h z 1+ 2γ q( z) = qo b + ξ (11) + + zref zref h 1 γ p i

6 Na expressão, o primeiro termo dentro dos colchetes corresponde à resposta média e o 2 segundo representa a amplitude máxima da resposta flutuante, sendo q o =,613V [N/m 2 ], 0 p com Vp em m/s. O expoente p e o coeficiente q dependem da categoria de rugosidade do terreno, de acordo com o indicado na tabela 20 da NBR6123. Os coeficientes de amplificação dinâmica ξ é função das dimensões da edificação, da razão de amortecimento crítico ς, e da freqüência própria de vibração f (através da relação adimensional ). O coeficiente ξ é f L apresentado nos gráficos das figuras 14 a 18 da NBR6123, para as cinco categorias de rugosidade de terreno consideradas pela norma. Este trabalho tem foco na freqüência própria de vibração f. Os itens 7.7 e 9 definem as ações de vento em torres treliçadas de seção quadrada ou triangular eqüilátera. Uma vez calculada a pressão do vento, devem-se calcular o coeficiente de arrasto e a área exposta da estrutura para se obter as forças atuantes na torre. O procedimento de obtenção do coeficiente de arrasto e da força atuante é o mesmo para as análises estáticas e dinâmicas. Para maiores detalhes pode-se consultar REQUENA (2002). 2.2 Cálculo da freqüência própria de vibração da estrutura A freqüência própria de vibração é necessária no cálculo da pressão de vento na análise dinâmica (equação 11). Além disso, a norma orienta o projetista a realizar a análise dinâmica do vento sempre que a freqüência for menor do que 1,0 (período maior que 1 segundo). Desse modo, a freqüência natural é um parâmetro importante para o projeto de torres treliçadas. Muitos programas comerciais dispõem do recurso de análise modal. O programa Sap2000, utilizado neste trabalho, é um exemplo. A norma NBR6123 sugere uma equação para cálculo aproximado do período de vibração de uma torre. A sugestão é dada na tabela 19 da NBR6123. a qual define o período como (12) 3 Automação do projeto estrutural de torres treliçadas Um programa de automação do projeto estrutural de torres treliçadas metálicas autoportantes com perfis tubulares foi desenvolvido na Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp em parceria com a V&M do Brasil. Esse programa, intitulado AutoTorre, é de livre distribuição e está disponível para download em O objetivo do programa é auxiliar engenheiros e estudantes de engenharia no desenvolvimento do projeto estrutural de torres. Essa primeira versão conta com as funcionalidades: geração automática da geometria; cálculo das ações de vento estática e dinâmica; obtenção dos esforços e dimensionamento; e análise modal da estrutura. Maiores detalhes podem ser obtidos em REQUENA et al (2005). 4 Análise de torres submetidas a ações de vento Nesta seção será apresentado o dimensionamento de uma torre modelo submetida à ação do vento na sua estrutura e em antenas posicionadas no topo da torre. Serão comparados os resultados com análise estática e dinâmica das ações de vento. Serão confrontados, ainda, os valores de período de vibração obtidos com os programas AutoTorre e Sap2000 e com o valor sugerido pela NBR6123 (equação 12). A Figura 1 mostra a silhueta da torre modelo. V p

7 Figura 1 Silhueta da torre modelo A altura total da torre é de 60 metros. A seção transversal é quadrada de lado igual a 4 metros. A torre possui 4 antenas no topo. Cada antena pesa 100kg. A área de cada antena é 3 m 2 e seu coeficiente de arrasto é 1,2. O modelo de cálculo utilizado é o de pórtico espacial em regime elasto-linear (WEAVER e GERE (1981)). Para o dimensionamento, utilizaram-se perfis tubulares circulares. Os montantes variaram a seção a cada 20 metros, enquanto as demais barras não variaram a seção em função da altura. Dimensionando a torre com a análise estática do vento obteve-se uma estrutura com peso final de kg. O período fundamental de vibração dessa configuração da torre foi de 0,744 segundos no programa AutoTorre. O programa SAP 2000 encontrou 0,730 segundos. Utilizando-se a equação sugerida pela norma (equação 12) obtém-se o período igual a 1,85 segundos. Adotando-se a análise dinâmica do vento, obteve-se uma estrutura com peso final de kg. E o período de vibração para essa configuração foi de 0,721 segundos. Essa análise leva a conclusão de que o cálculo do período fundamental sugerido pela NBR6123 é inadequado para muitos casos convencionais. A NBR6123 orienta o projetista a realizar a análise dinâmica para torres com períodos acima de 1 segundo. No exemplo, mostrou-se que, embora o período fosse menor que 1 segundo (0,7 segundos aproximadamente), a análise dinâmica era necessária. A análise dinâmica conduziu a uma estrutura mais pesada. Logo, a simplificação da análise estática foi contra a segurança da estrutura. A utilização do período proposto pela NBR6123 (1,85 segundos) conduziria a uma estrutura mais pesada ainda (18042 kg), sendo anti-econômica. A Figura 2 compara o perfil de pressão obtido com os cálculos estático e dinâmico para T = 0.7 segundos e T = 1.85 segundos.

8 Pressão de vento Análises estática e dinâmica Presão (N/m2) Estática Dinâmica_T_0.7 Dinâmica_T_ Altura (m) Figura 2 Pressão de vento. Análises estática e dinâmica Observa-se na Fig. 2 que, embora as integrais das curvas estática e dinâmica sejam muito próximas, a distribuição da pressão é bastante diferente. As análises dinâmicas produzem um momento de tombamento na estrutura maior que na análise estática. 5 Conclusões A análise modal implementada conduz a resultados equivalentes aos do programa Sap2000. Observou-se que o cálculo sugerido pela NBR6123 para o período de vibração é demasiado aproximado. Embora seja a favor da segurança, conduz a resultados antieconômicos. Com a facilidade de acesso a programas de computador, que realizam os cálculos do período de vibração, não se justifica mais utilizar a fórmula proposta pela norma. Evidencia-se a necessidade da análise dinâmica das ações de vento. O cálculo estático, que é uma simplificação, conduz a resultados contrários à segurança da estrutura. O programa AutoTorre, desenvolvido na FEC/Unicamp, automatiza o cálculo das ações de vento, bem como do período de vibração e do dimensionamento das barras da estrutura. 6 Agradecimentos Os autores agradecem à V&M do Brasil pela parceria e suporte financeiro no desenvolvimento do trabalho. REFERÊNCIAS Associação Brasileira De Normas Técnicas - ABNT NB599(NBR6123) Forças Devidas ao Vento em Edificações, ABNT, RJ., 1987 Blessmann, J. Introdução ao Estudo das Ações Dinâmicas do Vento, Editora da Universidade - UFRGS, Porto Alegre, 1998

9 Forti, T. L. D., Silva Forti, N. C., Requena, J. A. V. Automação de Projeto e Análise de Torres Metálicas Treliçadas Autoportantes Utilizando Perfis de Aço Tubulares. Revista Construção Metálica, ABCEM. Aceito para publicação, Géradin, M., Rixen, D. Mechanical Vibrations - Theory and Application to Structural Dynamics. Ed Wiley, Paris, Requena, J. A. V., Forti, T. L. D. Forças Devidas ao Vento em Torres Metálicas Treliçadas Autoportantes. Apostila FEC-UNICAMP, Campinas - SP, Weaver Jr., W., Gere, A. M. Análise de estruturas reticuladas. Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, RJ, 1981.