Conceitos de Metrologia em Física. Prof. Rogério Tramontano. IFSP campus São Roque

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1 Conceitos de Metrologia em Física Prof. Rogério Tramontano IFSP campus São Roque

2 2 1. Grandezas Grandeza é um conceito primitivo (não é preciso definir). Existem tentativas de definição: A mais comum é a seguinte: grandeza é tudo o que pode ser medido. Medir é comparar grandezas de mesma espécie. Existem certas manifestações que impropriamente são tratadas, em alguns setores da ciência, como se fossem grandezas. Elas não são grandezas físicas, são chamadas de grandezas subjetivas, pois não podem ser medidas por comparação com outras grandezas de mesma espécie. Toda grandeza física é mensurável nos termos da definição do que é medir. 1.1 Classificação Principal Grandezas Físicas Escalares São aquelas que ficam determinadas pelo conhecimento de sua intensidade. Para operar com grandezas escalares usamos o ente matemático chamado número. Exemplos: massa, tempo, trabalho, energia, temperatura, densidade, potencial, etc. Se, por exemplo, dissermos que um corpo tem massa igual a 10 kg, a grandeza física massa estará perfeitamente definida indicando-se simplesmente o número (10) e a unidade de medida (kg) Grandezas Físicas Vetoriais Somente ficam determinadas na sua plenitude quando além de sua intensidade, conhecemos também a sua direção e seu sentido. Para operar as grandezas físicas vetoriais lançamos mão de um ente matemático chamado vetor. Exemplos: força, velocidade, posição, aceleração, impulso, campo elétrico, etc. 1.2 Fórmula Operacional da Intensidade de uma Grandeza Física A intensidade de uma grandeza física pode ser representada por: onde G ng u G : intensidade; n : número puro, numeral, medida. Gu : unidade de medida. ex.: v 120 m/ s.

3 3 2. Unidades de Medida Podem ser classificadas em unidades fundamentais e derivadas. 2.1 Unidade Fundamental Unidades fundamentais são intensidades de grandezas convencionadas, fixadas, determinadas arbitrariamente; não existe nenhum compromisso teórico na sua fixação. Apesar da fixação de unidades fundamentais ser teoricamente arbitrária, existe um conjunto de técnicas e regras subordinadas ao bom senso que orientam a sua determinação. Existem laboratórios e comitês internacionais que pesquisam a melhor forma para fixar unidades fundamentais. Esse conjunto de regras que orientam a fixação de unidades é um capítulo da Física chamado Metrologia. 2.2 Unidade Derivada Unidades derivadas são obtidas pela aplicação de unidades fundamentais na equação física da grandeza pretendida. 2.3 Sistema de Unidades Entende-se por Sistema de Unidades de um determinado setor da física ao conjunto de unidades fundamentais e derivadas definidas para todas as grandezas daquele setor Sistema Internacional de Unidades (SI) Com um mínimo de unidades fundamentais abrange todos os setores da Física. O Sistema internacional de Unidades, ratificado pela 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM) em 1960, e atualizado até a 16ª CGPM de 1979, compreende:

4 4 a) sete unidades de base: GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s corrente elétrica ampère A temperatura termodinâmica kelvin K quantidade de matéria mol mol intensidade luminosa candela cd b) duas unidades suplementares: GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO Ângulo plano radiano rad Ângulo sólido esterradiano sr c) unidades derivadas, deduzidas direta ou indiretamente das unidades de base e suplementares: GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO freqüência hertz Hz força newton N pressão pascal Pa energia joule j potência watt W carga elétrica coulomb C potencial elétrico volt V resistência elétrica ohm condutância elétrica siemens S capacitância farad F indução magnética Tesla T fluxo magético weber Wb indutância henry H temperatura Celsius graus Celsius fluxo luminoso lumen lm luminescência Lux lx atividade becquerel Bq dose absorvida Gray Gy dose equivalente sievert Sv o C

5 5 d) os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades acima, cujos nomes são formados pelo emprego dos prefixos do Sistema de Unidades da tabela abaixo. É aceitável, quando conveniente, os valores de certas grandezas tomado como referência, na forma de fração ou porcentagem. observações: Prefixo Abreviatura Ordem de Grandeza atto a femto f pico p nano n 10 9 micro 10 6 mili m 10 3 centi c 10 2 deci d 10 1 deca da 10 1 hecto h 10 2 quilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T peta P exa E ) Por motivos históricos, o nome da unidade S.I. de massa contém um prefixo; excepcionalmente e por convenção, os múltiplos e submúltiplos dessa unidade são formados pela adjunção de outros prefixos S.I. à palavra grama e ao símbolo g. 2) Os prefixos desta tabela podem ser também empregados com unidades que não pertencem ao S.I. 3) Os prefixos não são usados com graus Celsius.

6 Unidades em uso junto com o S.I. Estas unidades não fazem parte do S.I.. Os prefixos podem ser utilizados com essas unidades, como por exemplo mililitro, megaeletronvolt, etc. Unidade Símbolo Valor no SI minuto min 60 s hora h 3600 s dia d s grau o 1,745 x 10-2 rad minuto ` 2,909 x 10-2 rad segundo `` 4,848 x 10-6 rad angstron A m barn b m 2 litro l, L 10-3 m 3 tonelada t 1000 kg bar bar 10 5 N/m 2 eletronvolt ev 1,602 x J u.m.a u 1,660 x kg Grafia dos Nomes de Unidades Quando escritos por extenso, os nomes de unidades começam por letra minúscula, mesmo quando tem o nome de um cientista (por exemplo, ampère, kelvin, newton, etc.), exceto o grau Celsius. Na expressão do valor numérico de uma grandeza, a respectiva unidade pode ser escrita por extenso ou representada pelo seu símbolo (por exemplo, quilovolts por milímetro ou kv/mm), não sendo admitidas combinações de partes escritas por extenso com partes expressas por símbolo Plural dos Nomes de Unidades Quando os nomes de unidades são escritos ou pronunciados por extenso, a formação do plural obedece às seguintes regras básicas: a) os prefixos SI são sempre invariáveis;

7 7 b) os nomes de unidades recebem a letra s no final de cada palavra, exceto nos casos da alínea c: quando são palavras simples. Por exemplo, ampères, candelas, curies, farads, grays, joules, kelvins, quilogramas, parsecs, roentgens, volts, webers, etc; quando são palavras compostas em que o elemento complementar de um nome de unidade não é ligado a este por hífen. Por exemplo, metros quadrados, milhas marítimas, unidades astronômicas, etc; quando são termos compostos por multiplicação, em que os componentes podem variar independentemente um do outro. Por exemplo, ampères-horas, newtons-metros, ohms-metros, pascals-segundos, watts-horas, etc Nota: Segundo esta regra, e a menos que o nome da unidade entre no uso vulgar, o plural não desfigura o nome que a unidade tem no singular (por exemplo, becquerels, decibels, henrys, mols, pascals, etc), não se aplicando aos nomes de unidades certas regras usuais de formação do plural de palavras. c) os nomes ou partes dos nomes de unidades não recebem a letra s no final: quando terminam pelas letras s, x ou z. Por exemplo: siemens, lux, hertz, etc; quando correspondem ao denominador de unidades compostas por divisão. por exemplo, quilômetros por hora, lumens por watt, etc; quando, em palavras compostas, são elementos complementares de nomes de unidades e ligados a este por hífen ou preposição. Por exemplo, anos-luz, elétron-volts, quilogramas-força, etc; Grafia dos Símbolos de Unidades A grafia dos símbolos de unidades obedece às seguintes regras básicas: a) os símbolos são invariáveis, não sendo admitido colocar, após o símbolo, seja ponto de abreviatura, seja s de plural, sejam sinais, letras ou índices. Por exemplo, o símbolo do watt é W, qualquer que seja o tipo de potência a que se refira: mecânica, elétrica, térmica, acústica, etc; b) os prefixos SI nunca são justapostos num mesmo símbolo. Por exemplo, unidades como Gwh, nm, pf, não devem ser substituídas por expressões em que se justaponham, respectivamente, os prefixos mega e quilo, mili e micro, micro e micro, etc; c) os prefixos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou divisão. Por exemplo, kn.cm, k.ma, kv/mm, etc; d) os símbolos de uma mesma unidade podem coexistir num símbolo composto por divisão. Por exemplo,.mm 2 /m, etc;

8 8 e) o símbolo é escrito no mesmo alinhamento do número a que se refere, e não como expoente ou índice. São exceções, os símbolos das unidades não SI de ângulo plano (o,,, ), os expoentes dos símbolos que tem expoente, o sinal o do símbolo do grau Celsius e os símbolos que tem divisão indicada por traço de fração horizontal; f) o símbolo de uma unidade composta por multiplicação pode ser formado pela justaposição dos símbolos componentes e que não cause ambigüidade (VA, kwh, etc), ou mediante a colocação de um ponto entre os símbolos componentes, na base da linha ou a meia altura (N.m ou N.m, m.s -1 ou m.s -1, etc); g) o símbolo de uma unidade que contém divisão pode ser formado por uma qualquer das três maneiras exemplificadas a seguir: W W / ( sr. m 2 ), W. sr 1. m 2, sr. m 2, não devendo ser empregada esta última forma quando o símbolo, escrito em duas linhas diferentes, puder causar confusão. h) quando um símbolo com prefixo tem expoente, deve-se entender que esse expoente afeta o conjunto prefixo-unidade, como se esse conjunto estivesse entre parênteses. Por exemplo: dm m, mm 10 m Grafia dos Números As prescrições desta seção não se aplicam aos números que não representam quantidades (por exemplo, numeração de elementos em seqüência, códigos de identificação, datas, números de telefones, etc). Para separar a parte inteira da parte decimal de um número, é empregada sempre uma vírgula; quando o valor absoluto do número é menor do que 1, coloca-se 0 à esquerda da vírgula. Os números que representam quantias em dinheiro, ou quantidades de mercadorias, bens ou serviços em documentos para efeitos fiscais, jurídicos e/ou comerciais, devem ser escritos com os algarismos separados em grupos de três, a contar da vírgula para a esquerda e para a direita, com pontos separando esses grupos entre si. Nos demais casos, é recomendado que os algarismos da parte inteira e os da parte decimal dos números sejam separados em grupos de três, a contar da vírgula para a esquerda e para a direita, com pequenos espaços entre esses grupos (por exemplo, em trabalhos de caráter técnico ou científico), mas é também admitido que os algarismos da parte inteira e os da parte decimal sejam escritos seguidamente (isto é, separados em grupos).

9 9 Para exprimir números sem escrever ou pronunciar todos os seus algarismos: a) para os números que representam quantias em dinheiros, ou quantidades de mercadorias, bens ou serviços, são empregadas de uma maneira geral as palavras: mil = 10 3 = milhão = 10 6 = bilhão = 10 9 = trilhão = = podendo ser opcionalmente empregados os prefixos SI ou os fatores decimais da tabela 1, em casos especiais (por exemplo, em cabeçalhos de tabelas); b) para trabalhos de caráter técnico ou científico, é recomendado o emprego dos prefixos SI ou fatores decimais da tabela Espaçamento entre Número e Símbolo O espaçamento entre um número e um símbolo da unidade correspondente deve atender a conveniência de cada caso. Assim, por exemplo: a) em frases de textos correntes, é dado normalmente o espaçamento correspondente a uma ou a meia letra, mas não se deve dar espaçamento quando há possibilidade de fraude; b) em colunas de tabelas, é facultado utilizar espaçamentos diversos entre os números e os símbolos das unidades correspondentes Pronúncia dos Múltiplos e Submúltiplos Decimais das Unidades Na forma oral, os nomes dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidades são pronunciados por extenso, prevalecendo a sílaba tônica da unidade. As palavras quilômetro, decímetro, centímetro e milímetro, consagradas pelo uso com o acento tônico deslocado para o prefixo, são a únicas exceções e esta regra; assim sendo, os outros múltiplos e submúltiplos decimais do metro devem ser pronunciados com o acento tônico na penúltima sílaba (mé), por exemplo, megametro, micrometro (distinto do micrômetro, instrumento de medição), nanometro, etc....

10 10 Tratamento de Dados Experimentais Com já foi dito um dos principais objetivos da física experimental é determinar o valor numérico de uma grandeza. Porém não basta registrar o resultado das medidas feitas em laboratório, para o físico é necessário saber o quanto confiável é esta medida. Com este objetivo utilizamos métodos estatísticos, o tratamento de dados experimentais com todos os seus aspectos matemáticos é por si só assunto para um livro inteiro, portanto abordaremos os aspectos básicos do tratamento dos dados experimentais. 3. Algarismos Significativos A medida de uma grandeza física é obtida, em geral, por meio de uma experiência. Pode-se definir medida de uma grandeza como sendo o resultado da comparação do valor adotado como padrão desta grandeza com um valor desconhecido da mesma. O resultado da medida é expresso por três itens: a) um número b) uma unidade c) uma indicação do desvio (incerteza) provável da medida. Desta forma o resultado de uma medida pode ser expresso da seguinte forma: ou Quanto ao números de algarismos em que a medida deve ser expressa, devemos tomar alguns cuidados, como no exemplo a seguir. Seja o segmento AB e a régua centimetrada:

11 11 Como a menor divisão da escala é u = 1 cm, Se 3 experimentadores fossem anotar o comprimento AB, a medida poderia ser expressa da seguinte forma: (sem considerar o desvio) a) Todos os 3 anotariam 13 unidades completas. b) Mas poderiam avaliar a fração de u de 3 modos diferentes : fração de u = 0,3 u fração de u = 0,2 u => Nenhum dos 3 estaria errado!!!!! fração de u = 0,4 u Portanto, o comprimento AB poderia ser anotado como sendo: AB = 13 u + 0,3 u = 13,3 u = 13,3 cm AB = 13 u + 0,2 u = 13,2 u = 13,2 cm AB = 13 u + 0,4 u = 13,4 u = 13,4 cm Entretanto, se o quarto experimentador avaliasse a fração como sendo 0,25 u = 0,25 cm, que sentido se poderia atribuir a esse resultado? Medindo-se com régua centimetrada tem sentido avaliar décimos, mas é discutível ou mesmo inaceitável avaliar centésimos ou frações menores. Em medições, é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão da escala do instrumento. Estimar centésimos ou milésimos da menor divisão da escala está fora dos limites de percepção da maioria dos seres humanos. A medida AB = 13,2 cm apresenta 3 dígitos ou algarismos, dos quais o dígito ou algarismo 2 resultou da fração avaliada da menor divisão da escala do instrumento. E é por este motivo que nele reside a dúvida ou incerteza na medida.

12 12 Já os dígitos 1 e 3 que constituem o número 13 são isentos de dúvidas, pois como o exemplo mostra, a divergência entre os 3 experimentadores está na avaliação da fração da menor divisão da escala. Como julgar, por exemplo, a medida 9,0 m/s? Então: Os algarismos corretos (não duvidosos) e também o algarismo duvidoso (um só) constituem os ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS de uma medida. na medida 13,3 cm tem-se 3 algarismos significativos; na medida 9,0 m/s tem-se 2 algarismos significativos; na medida 2 cm tem-se 1 algarismo significativo e ele próprio é duvidoso; na medida 1,6 x C tem-se 2 algarismos significativos; A quantidade de algarismos significativos de uma medida não se altera mediante uma transformação de unidades. Por exemplo : AB = 12,3 cm AB = 12,3 x 10-2 m = 0,123 m AB = 12,3 x 10-5 km = 0, km AB = 12,3 x 10 mm = 123 mm

13 13 apresentam 3 algarismos significativos, dos quais o dígito 3 é o duvidoso; isto significa que uma transformação de unidades NÃO ALTERA o número de algarismos significativos da grandeza física. Os dígitos de um número contam-se da esquerda para a direita, a partir do primeiro não nulo, e são significativos todos os corretos, e também o primeiro algarismo duvidoso, e mais nenhum! Como podemos observar nos exemplos acima é comum utilizar potências de dez no resultado de uma medida. Normalmente as unidades são indicadas acrescentando-se um prefixo que define a ordem de grandeza. O Bureau Internacional de Pesos e Medidas recomenda os prefixos da tabela 1 Tabela 1: Prefixos recomendados pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas Prefixo Abreviatura Ordem de Grandeza atto a femto f pico p nano n 10 9 micro 10 6 mili m 10 3 centi c 10 2 deci d 10 1 deca da 10 1 hecto h 10 2 quilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T peta P exa E 10 18

14 Regras de Aproximação Quando se eliminam algarismos não significativos, ou mesmo quando, deliberadamente se dispensam alguns algarismos significativos observam-se as seguintes regras: A) Se o primeiro algarismo suprimido for inferior a 5 (cinco), o anterior não muda. B) Se o primeiro algarismo suprimido for superior ou igual a 5 (cinco), o anterior é acrescido de uma unidade. Obs: Alguns autores adotam um procedimento diferente quando o primeiro algarismo suprimido for igual a 5, introduzindo a seguinte alteração do item B): Se o primeiro algarismo suprimido for superior a 5 (cinco), o anterior é acrescido de uma unidade, se o primeiro algarismo suprimido for igual a 5 (cinco) o anterior deve ser alterado de modo que fique par. No presente texto não adotamos este procedimento. Exemplo: 1,0234 arredondado 1,023 1,0235 arredondado 1,024 1,0236 arredondado 1, Operações com Algarismos Significativos No laboratório são realizadas diversas medidas (diretas ou indiretas) de uma ou mais grandezas físicas, em geral as medidas consistem em uma das etapas para obter o resultado final do experimento. As medidas realizadas com aparelhos de precisão diferentes e as medidas de grandezas físicas diferentes devem ser reunidas através de uma equação matemática para obter o resultado final do experimento. Neste caso teremos que manipular medidas com um número diferente de algarismos significativos que devem passar por operações matemáticas, então é natural então que surja uma dúvida quanto ao número de algarismos significativos que o resultado deva apresentar. Os critérios a seguir determinam o número correto de algarismos significativos das operações matemáticas mais utilizadas em uma medida Adição e Subtração Antes de efetuar a operação devemos exprimir todas as parcelas na mesma unidade. O resultado final deverá apresentar à direita da vírgula, um número de algarismos significativos igual ao da parcela mais pobre em algarismos significativos depois da vírgula. Exemplo: 4, ,14 = 7,327 7,33

15 15 4,187-3,14 = 1,047 1,05 5, ,000 = 8,421 8, Multiplicação e Divisão Produto (ou quociente) deverá conter um número de algarismos significativos igual ao fator (ou dividendo ou divisor) mais pobre em algarismos significativos (ou no máximo um a mais). Exemplo: 7,9 x 14,6 = 115, ,47 85 = 0, , Radiciação, Potenciação, Logaritmação (etc) Sendo M o número de algarismos significativos, o resultado (raiz) será no mínimo (M - 1) e no máximo M. Exemplo: Observação : Em operações de uma medida direta ou indireta envolvendo constantes matemáticas deve-se manter o número de algarismos significativos da medida. Exemplo Um dos métodos utilizados para a medida da aceleração da gravidade é utilizando-se de um pêndulo. No laboratório de Física utilizaremos este método para a medida da aceleração da gravidade. O pêndulo simples é um sistema mecânico que exibe movimento periódico, oscilatório. É constituído por uma massa puntiforme m pendurada em um fio leve, de comprimento L, que tem uma extremidade fixa, conforme mostra a figura a seguir.

16 16 O movimento ocorre num plano vertical e é provocado pela força da gravidade. As forças que atuam sobre a massa são a tensão W, que atua ao longo do fio, e o peso P (mg). Define-se o período de oscilação (T) de um pêndulo simples como sendo o tempo necessário para o corpo de massa m passar duas vezes consecutivas pelo mesmo ponto, movendo-se na mesma direção. O comprimento pendular (l) é a distância da extremidade fixa do fio até o centro do corpo pendurado. Para simplificar, vamos considerar que o corpo é puntiforme, portanto o período do movimento é dado por: portanto Tomando como base que foram obtidas as medidas a seguir: l = (60,00 0,05)cm T = (1,55 0,05)s Utilizando a expressão para determinar o período da oscilação encontramos o resultado 985, cm/s 2. É claro que nem todos os algarismos apresentados são significativos. Refazendo as contas, levando em conta os critérios adotados para operações com algarismos significativos, encontramos um valor que contém o número correto de algarismos significativos. o valor de T é 1,55, portanto com 3 algarismos significativos, portanto o resultado de T 2 deve ser expresso com 3 algarismos significativos. o traço acima do número indica o primeiro algarismo duvidoso 2 g 986 cm s