Gráficos: Construção e Análise. Laboratório de Física UVV Prof. Rudson R. Alves

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1 Gráficos: Construção e Análise Laboratório de Física UVV Prof. Rudson R. Alves

2 Por Rudson R. Alves Este texto é uma compilação simples de conhecimentos gerais sobre Gráficos e Análise Gráfica, para auxiliar na construção de gráficos para os relatórios e atividades de Física nas disciplinas de Física Experimental 1 e 2 dos cursos de Engenharia no Centro Universitário de Vila Velha. Este texto não tem a pretensão se constituir uma regra universal para a confecção e análise de gráfica.

3 Sumário Gráficos: Construção e Análise...1 Introdução... 1 Representação Gráfica...1 Precisão dos Eixos... 2 Rótulos e Unidades nos Eixos...2 Legenda, Título e Subtítulo...2 Área Útil do Gráfico... 4 Dimensões do Gráfico...4 Incrementos nas Escalas...5 Representação dos Pontos Experimentais...6 Mais algumas Recomendações...6 Análise Gráfica... 7 Análise Manual/Visual...8 Exemplo... 9 Análise Numérica - Regressão Linear...11 Exemplo... 12

4 Laboratório de Física - UVV Gráficos Introdução Num contexto profissional existem algumas formas práticas de apresentar resultados numéricos, sendo as mais utilizadas as tabelas e os gráficos. Tabelas são bastante práticas e deixam que os números falem por si, mostrando em detalhes os resultados medidos como sua precisão nas medidas, regularidade ou não nas medidas experimentais, intervalos de medição, entre outros. No entanto, as tabelas não são capazes de mostrar com eficiência e clareza algumas particularidades do comportamento de sistema físico experimentado, como pontos de inflexão, máximos, mínimos, tendência ou a forma da função que melhor representa seus dados experimentais. Um gráfico possui todas estas habilidades, quando bem constituído. No entanto, representação gráfica básica dos pontos experimentais está longe de expressar todos estes aspectos físicos/matemáticos de um experimento. Um gráfico sempre requer algum tipo de análise numérica, como o ajuste a uma reta ou outra função (esperada), a análise da curva de tendência, análise da taxa de variação dos dados em pontos específicos ou em todo seu conteúdo, além de vir acompanhado de algum esclarecimento destes aspectos no texto. Neste texto é apresentado alguns critérios para se fazer uma representação gráfica coerente, bem como técnicas básicas de análise visual e numérica, sem se estender por conceitos muitos sofisticados e interpolações complexas, as quais deixo para as disciplinas específicas. Representação Gráfica A construção de um gráfico requer alguns cuidados fundamentais, para se produzir uma apresentação coerente dos dados experimentais. Para tornar esta apresentação mais objetiva, considere as medidas da posição de uma partícula hipotética ao longo do tempo, representado pela Tabela 1, abaixo: 1,0 9,8 6,0 13,7 11,0 13,8 2,0 10,5 7,0 13,8 12,0 13,5 3,0 11,4 8,0 13,9 13,0 13,2 4,0 12,6 9,0 14,3 14,0 13,4 5,0 12,5 10,0 13,9 15,0 13,2 Tabela 1: Medidas da posição de uma partícula no tempo Uma investigação direta desta tabela permite observar um máximo próximo ao instante, e que se trata de uma função com concavidade para baixo, sem nenhum indicativo da forma da função, embora tudo isto fique pouco claro para um observador desatento. Para criar uma representação gráfica destes pontos, é importante observar os critérios a seguir:

5 Precisão dos Eixos Os eixos do gráfico devem possuir a mesma precisão dos seus dados experimentais, nem mais nem menos. Para os dados da Tabela 1, o eixo do tempo deve conter apenas um algarismo após a vírgula (de dois a três algarismos significativos), assim como o eixo da posição, se expresso em centímetros, Figura 1. Se expressado em metros, o eixo da posição deve conter três algarismos após a vírgula, como mostrado na Figura 2. Em essência, os eixos não podem apresentar uma precisão diferente a dos teus dados experimentais, por informar uma resolução errada do seu experimento. Embora apresentar uma resolução inferior aos dados experimentais possa parecer um erro menor, isto também não se justifica. Caso a precisão dos seus dados seja questionável, o correto é reduzir a precisão apresentada nas tabelas, mas manter a precisão dos gráficos coerente com as tabelas. Rótulos e Unidades nos Eixos É obrigatório a colocação de rótulos para identificar as grandezas representadas pelos eixos do gráfico, com a respectiva unidade entre colchetes ou parenteses. O uso de colchetes ou parenteses é determinado pelos padrões empregados na revista, jornal ou livro para o qual estiver escrevendo. Na ausência de um padrão estabelecido, utilize apenas uma forma, seja colchetes ou parenteses, ao longo de todo o texto. Nas Figuras 1 e 2 foram utilizados como padrão o uso de parenteses. 16,0 14,0 12,0 Posição (cm) 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 Figura 1: Posição de uma partícula no tempo. Escala vertical em centímetros Os rótulos dos eixos devem informar precisamente o conteúdo representado nos eixos do gráfico. Não use siglas simples com e, por mais que lhe pareça óbvio o seu significado. Dê preferência a texto mais diretos com Posição e Tempo, para não deixar margem a especulações. Eventualmente use textos mais longos como Posição do Esporo, Tempo de Decaimento, desde que não fique excessivamente longo. Legenda, Título e Subtítulo Na base do gráfico se deve colocar uma legenda apresentando o conteúdo do gráfico. Esta legenda não deve ser muito extensa, contendo apenas as informações essenciais do gráfico. Informações mais extensas, como análises detalhadas, devem ser apresentadas ao longo do texto, na apresentação do gráfico.

6 Laboratório de Física - UVV Gráficos 0,150 0,140 0,130 Posição (m) 0,120 0,110 0,100 0,090 0,080 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 Figura 2: Posição de uma partícula no tempo. Escala vertical em metros e remoção do excesso de espaço vazio na base do gráfico. Em alguns textos é comum o uso de Título e Subtítulo no gráfico. O uso de Título é mais restritivo, já que seu conteúdo não pode exceder a uma linha, embora o Subtítulo possa conter mais de uma linha, geralmente não ultrapassando a duas linhas. A figura a seguir apresenta um gráfico com o uso de Título e Subtítulo. A figura a seguir, possui o Título Figura 01 e o subtítulo Estudo do deslocamento de uma partícula, sem a Legenda como nos gráficos anteriores. Figura 01 Estudo do deslocamento de uma partícula Posição (m) 0,150 0,140 0,130 0,120 0,110 0,100 0,090 0,080 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 O Título deve ser escrito com letra maior que o Subtítulo, que por sua vez possui letra maior que os outros textos do gráfico, para salientar. O uso do Título e Subtítulo não deve ser empregado acompanhado do uso de Legenda no gráfico, já que os dois têm finalidades semelhantes. Títulos e Subtítulos são mais empregados em apresentações, já as legendas, em artigos, livros e textos acadêmicos em geral.

7 Área Útil do Gráfico As escalas dos eixos não necessitam iniciar em 0 (zero), devem iniciar e terminar com os valores mais adequados para que os pontos experimentais ocupem a maior área possível no interior gráfico. No exemplo da Figura 1, onde a área do gráfico é de enquanto os dados experimentais ocupam apenas de altura e de comprimento no interior do gráfico, totalizando ou seja da área total do gráfico. Na Figura 2, o eixo vertical é iniciado em em vez de, como no gráfico da Figura 1. Isto garante uma distribuição mais homogênea dos pontos e um aproveitamento de da área total do gráfico, já que a área apresentada foi reduzida de para Este aproveitamento da área do gráfico, também chamado de área útil, deve situar entre e da área total. Outro ponto importante sobre a área útil, é que esta deve sempre se manter no interior do gráfico, ou seja, os pontos experimentais nunca devem ficar sobre os eixos, dificultando a leitura da escala. Dimensões do Gráfico As dimensões (altura x largura) de um gráfico, devem possuir uma razão de a, que são as razões das dimensões de uma folha A4 (paisagem/retrato). Uma razão a área do gráfico será um quadrado. Razões fora deste intervalo, deixam o gráfico muito longo ou muito estreito, dificultando a análise visual das informações contidas no seu interior. A Figura 3 mostra dois exemplos de gráficos mau dimensionados, em contradição as representações nos gráficos anteriores.

8 Laboratório de Física - UVV Gráficos Deslocamento (m) 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 Deslocamento (m) 6,50 6,00 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50 Figura 3: Demonstração de gráficos mau dimensionados. No primeiro, à esquerda, a razão altura/comprimento é de 0,28, enquanto que o segundo, à direita, é de 2,1. Incrementos nas Escalas 3,00 0,0 10,0 20,0 Os incrementos empregados nas escalas dos eixos, devem ser uma potência de dez, dos valores, e. Outros valores dificultam a leitura direta nas escalas em pontos intermediários. Como exemplo, considere o gráfico representado na Figura 4, onde é apresentado o resíduo de um ajuste linear dos dados apresentados na Figura 3. Observe que a leitura de um ponto neste gráfico necessita do auxílio de uma régua e uma calculadora, visto que um intervalo de 2,12 (no eixo horizontal) não é nada conveniente. 0,580 0,350 Resíduo (m) 0,120-0,110 0,0 2,1 4,3 6,4 8,5 10,7 12,8 14,9 17,0 19,2 21,3-0,340-0,570-0,800 Figura 4: Resíduo do ajuste linear dos dados da Figura 3, em uma escala absurda. Na Figura 5 é refeito a representação dos pontos anteriores, com uma escala convencional, com intervalos de na horizontal e na vertical. Neste gráfico a leitura dos pontos se torna mais natural, sem a necessidade de outros instrumentos.

9 Deslocamento (m) 6,500 6,000 5,500 5,000 4,5004,270 4,209 4,000 3,500 3,581 4,307 4,119 4,638 5,049 4,817 4,284 4,8364,825 5,610 5,025 4,762 5,111 6,024 5,919 5,770 5,762 5,562 5,617 Figura 5: Resíduo do ajuste linear dos dados da Figura 3, em uma escala coerente. Representação dos Pontos Experimentais Os pontos experimentais no gráfico devem ser representados por símbolos visíveis como pontos gordos, triângulos, quadrados, círculos,... Em todos os gráficos apresentados até o momento, estes pontos foram muito bem representados. Os símbolos devem ser grandes o suficiente para serem bem distinguidos no gráfico, mas sem exageros. Alguns autores limitam as dimensões destes símbolos pelo tamanho das incertezas dos seus dados, mas isto não é obrigatório. Mais algumas Recomendações 3,000 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 A seguir algumas recomendações que são igualmente importantes, mas não necessitam de uma seção específica para comentá-las. Em hipótese alguma marque valores ou pontos nos eixos do gráfico, pois estas marcações apenas dificultam a leitura das escalas do gráfico. Os eixos devem permanecer limpos para uma boa leitura. Quando for necessário salientar algum ponto, utilize um rótulo, como uma letra A, posicionado logo acima do ponto experimental e, em seguida, comente a marcação no texto e/ou legenda do gráfico, veja a Figura 6.

10 Laboratório de Física - UVV Gráficos 6,500 6,000 Deslocamento (m) 5,500 5,000 4,500 4,000 3,500 A Uma outra prática não recomendada é a apresentação dos dados experimentais acima dos pontos, como mostra a Figura 5. Isto pode ser útil em gráficos de produção industrial e em alguns casos de gráficos estatísticos, no entanto está prática não acrescenta nada de relevante a apresentação de dados físicos, além de poluir o gráfico com informações que são melhores representadas em tabelas convencionais. Nunca ligue os pontos! Ligar os pontos experimentais não devem ser feitos a menos que isto tenha algum significado ao seu problema, como ocorre na evolução financeira de uma empresa, dados econômicos e afins. O comportamento das grandezas físicas, em sua maioria, geralmente é contínuo e sem pontos de descontinuidade, exceto em transformações de fase e alguns fenômenos mais específicos. Análise Gráfica 3,000 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 Figura 6: Representação do movimento de um corpo na tempo, enfatizando o ponto A. Um gráfico não é um objeto de decoração em um relatório ou qualquer outro documento profissional, mas sim um instrumento para transmitir alguma informação, como enfatizar o comportamento de um sistema, salientar alguns pontos de inflexão, determinar coeficientes de inclinação, taxa de crescimento, entre outras. Isto significa que um gráfico deve estar sempre acompanhado de algum tipo de análise seja ela semiquantitativa ou mesmo quantitativa, como o ajuste de uma reta ou outa função que melhor represente o comportamento seu sistema em estudo. Dentre os diversos tipos de funções para ajustes de curva, uma das mais importantes, e também mais simples, é o ajuste linear, o qual permite determinar a inclinação da reta de melhor ajuste e o coeficiente de interseção com o eixo vertical. Este ajuste pode ser feito numericamente, por meio da regressão linear, ou de forma semiquantitativa, como uma análise visual e um pouco técnica, apresentada adiante. Embora muitos dos problemas físicos não possuam um comportamento linear, em muitas ocasiões é possível linearizar o sistema com alguma transformação matemática. A Tabela 2 mostra alguns exemplos destes sistemas não lineares, mas linearizáveis

11 por meras operações de substituição. Sistema Determinação da aceleração da gravidade através de um pêndulo simples Desenvolvimento linearizando: com e tem-se a equação linear: Corrente de carga em um capacitor onde é a inclinação no gráfico linearizando o sistema: com ; ; e tem-se a equação linear: Tabela 2: Exemplos de sistemas linearizáveis Análise Manual/Visual A análise manual não é a mais recomendada para as aplicações atuais, onde computadores são equipamentos de fácil acesso, no entanto, sua prática permite uma rápida compreensão do comportamento do seu sistema e melhor senso crítico sobre os dados e comportamentos experimentais. O primeiro passo de uma análise manual é a confecção do gráfico. Para isto considere o gráfico da Figura 7, do movimento de um corpo aleatório. Suponha que o ajuste esperado para este movimento seja o de uma reta, ou seja, o corpo se move a velocidade constante, segundo o modelo físico do problema hipotético. A análise manual é bem simples: 1. Com uma régua transparente, posicione-a entre os pontos de forma que a quantidade e densidade de pontos acima e abaixo da borda da régua seja aproximadamente a mesma; 2. Passe a reta média pela borda da régua até que esta transpasse as bordas das escalas; 3. Tome dois pontos quaisquer nos extremos da reta média. Estes pontos não podem ser pontos experimentais e sim pontos na reta média. Em geral, os pontos mais convenientes são estes mais aos extremos da reta, o que reduz o erro no cálculo da inclinação; 4. Calcule a inclinação da reta média com estes pontos

12 Laboratório de Física - UVV Gráficos 5. Se necessário, o ponto em que a reta média intersecciona o eixo vertical é o coeficiente da reta média: Exemplo Como exemplo considere os dados de uma observação do movimento de um corpo hipotético, ao longo do eixo vertical, onde as medidas são apresentadas na Tabela 3. # Y (m) # Y (m) 1 1,0 3, ,0 4,8 2 2,0 4, ,0 5,2 3 3,0 4, ,0 5,4 4 4,0 4, ,0 6,0 5 5,0 4, ,0 6,1 6 6,0 4, ,0 5,9 7 7,0 4, ,0 6,2 8 8,0 4, ,0 6,0 9 9,0 4, ,0 5, ,0 4, ,0 6,7 Tabela 3: Dados da posição vs. deslocamento do movimento vertical de um corpo. O gráfico destes pontos é apresentado na Figura 7. 7,0 6,5 6,0 Posição (m) 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 Figura 7: Deslocamento de uma corpo aleatório. No gráfico seguinte, Figura 8, são traçadas duas retas de ajuste, a linha A, em azul, e a linha B, em verde.

13 A linha A é apenas ilustrativa, para salientar um erro comum, sendo apenas uma reta que liga o primeiro ao último ponto do gráfico. O mais motivo mais óbvio para invalidar esta escolha é o fato dela ignorar completamente todos demais pontos experimentais. Se os demais pontos não são relevantes, a pergunta eminente é para que haveria de medir os demais? Portanto esta escolha é insustentável e dificilmente esta reta será a mais adequada. A linha B, em verde, passa entre os pontos distribuindo-os acima e abaixo da reta, mais equilibradamente. Como é um ajuste manual, é óbvio que é uma aproximação, mas se feita com cuidado e um pouco de prática, deve resultar em uma boa aproximação. 7,0 6,5 6,0 5,5 Posição (m) 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 Figura 8: Gráfico com retas de ajuste. A linha B é o ajuste mais adequado, veja discussão no texto. Para terminando a análise gráfica deste exemplo, tome dois pontos nos extremos da reta média (linha B) e calcule o coeficiente de inclinação, a velocidade do corpo, e o, a sua posição inicial. Os pontos retirados do gráfico são: A inclinação, velocidade: Desloc. (m) P1 0,0 3,4 P2 22,0 6,7 Tabela 4: Pontos selecionados na Reta Média e a posição inicia:. Por fim, a equação para esta reta média é Na seção seguinte será feito a regressão linear nestes pontos, o que mostrará que o erro na velocidade acima foi de apena, bem razoável para uma técnica rápida e simples.

14 Laboratório de Física - UVV Gráficos Análise Numérica - Regressão Linear Para a apresentação do método numérico de regressão linear, considere um conjunto de n medidas com os dados representados pelo conjunto de pontos, onde a reta que melhor se ajusta a estes pontos é representada pela equação: (1) O desvio do i-ésimo ponto experimental, para a reta ajustada, com representado na Figura 9, é calculado como sendo a diferença entre o, experimental, com o valor do determinado pela reta do ajuste, equação (1), ou seja: (2) 7 6,5 6 Posição (m ) 5,5 5 4,5 4 3,5 Figura 9: Representação do desvio ( ) de um ponto ( ; ) à reta de ajuste O desvio quadrático total será: 3 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 ou simplesmente (3) Os coeficientes a e b que minimizam a equação do desvio quadrático, equação (4), são aqueles que satisfazem as equações: (4) e (5) Calculando as derivadas parciais acima são encontradas as equações

15 (6) ou (7) Estas equações podem ser escritas na forma do sistema abaixo: (8) cuja as soluções são: (9) e Outro fator importante para avaliar a qualidade do ajuste e a correspondência dos pontos experimentais ao ajuste é o coeficiente de ajuste linear, o qual é encontrado pela equação: (10) onde e são os valores médios de e, respectivamente. Quanto mais próximo de 1, melhor foi o ajuste da reta mádia aos pontos experimentais. Exemplo A Tabela 5 apresenta os coeficientes para o cálculo da regressão linear para os dados da Tabela 3, com sendo substituído pelo tempo. (11) Tabela 5: Coeficientes para regressão linear dos dados da Tabela 3. Em seguida aplica estes coeficientes para calcular as constantes da reta pelas equações (10) e (9), o coeficiente de ajuste dá um pouco mais de trabalho e as contas não serão apresentadas aqui. No entanto, o valor encontrado para estes dados foi de.