Laboratório de Física Experimental I

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1 Laboratório de Física Experimental I Universidade Vila Velha Representação Gráfica Laboratório de Física Prof. Rudson R. Alves 2012

2 2/13 Análise Gráfica Representação Gráfica e Regressão Linear Por Rudson R. Alves Este texto é uma compilação simples de conhecimentos gerais sobre Gráficos e Análise Gráfica para auxiliar na criação de Gráficos para relatórios de Física nas disciplinas de Física Experimental 1 e 2 dos cursos de Engenharia no Centro Universitário de Vila Velha. Este texto não tem a pretensão de se constituir uma regra universal para a confecção e análise de gráfica.

3 3/13 Sumário Análise Gráfica Representação Gráfica e Regressão Linear...2 Introdução...4 Representação Gráfica...4 Precisão dos eixos...4 Rótulos e unidades nos eixos...5 Legenda, Título e Subtítulo...5 Área Útil do Gráfico...6 Dimensões do Gráfico...7 Incrementos nas Escalas...7 Representação dos Pontos Experimentais...8 Mais algumas Recomendações...8 Análise Gráfica...9 Regressão Linear...11

4 4/13 Introdução Num contexto profissional existem algumas formas práticas de apresentar resultados numéricos, sendo as mais utilizadas as tabelas e os gráficos. Tabelas são bastante práticas e deixam que os números falem por si, mostrando em detalhes os resultados medidos como sua precisão nas medidas, regularidade ou não nas medidas experimentais, intervalos de medição, entre outros. No entanto as tabelas não são capazes de mostrar com eficiência e clareza algumas particularidades do comportamento de sistema físico experimentado, como pontos de inflexão, máximos, mínimos, tendência ou a forma da função que melhor se adéqua aos seus dados experimentais. Um gráfico possui todas estas habilidades, quando bem constituído. No entanto, representação gráfica básica dos pontos experimentais está longe de expressar todos estes aspectos físicos/matemáticos de um experimento. Um gráfico sempre requer algum tipo de análise numérica, como o ajuste a uma função, a análise da curva de tendência, análise da taxa de variação dos dados em pontos específicos ou em todo seu conteúdo. Neste texto serão apresentadas alguns critérios para fazer uma representação gráfica coerente, bem como técnicas básicas de análise numérica, sem se estender por conceitos muitos sofisticados e interpolações complexas, deixando isto paras as disciplinas específicas. Representação Gráfica A construção de um gráfico requer alguns cuidados fundamentais, para se produzir uma apresentação coerente dos dados experimentais. Para tornar esta apresentação mais objetiva, considere as medidas da posição de uma partícula hipotética ao longo do tempo, representado pela tabela abaixo: Uma investigação direta desta tabela, permite perceber um máximo próximo ao instante 9,0s e que se trata de uma função com concavidade para baixo, sem nenhum indicativo da forma da função, embora tudo isto fique pouco claro para um observador desatento. Para criar uma representação gráfica destes pontos, é importante observar os critérios a seguir: Precisão dos eixos t (s) x (cm) t (s) x (cm) t(s) x (cm) 1,0 9,8 6,0 13,7 11,0 13,8 2,0 10,5 7,0 13,8 12,0 13,5 3,0 11,4 8,0 13,9 13,0 13,2 4,0 12,6 9,0 14,3 14,0 13,4 5,0 12,5 10,0 13,9 15,0 13,2 Tabela 1: Medidas da posição de uma partícula no tempo Os eixos do gráfico devem possuir a mesma precisão dos seus dados experimentais, nem mais nem menos. Para os dados da Tabela 1, o eixo do tempo deve conter apenas um algarismo após a vírgula (de dois a três algarismos significativos), assim como o eixo da posição, se expresso em centímetros. Se expressado em metros, o eixo da posição deve conter três algarismos após a vírgula, como indica as Figuras 1 e 2, mantendo o número de algarismos significativos.

5 5/13 Rótulos e unidades nos eixos É obrigatório a colocação de rótulos para identificar as grandezas representadas pelos eixos do gráfico, com a respectiva unidade entre colchetes ou parenteses. O uso de colchetes ou parenteses é determinado pelos padrões empregados na revista, jornal ou livro para o qual estiver escrevendo. Na ausência de um padrão estabelecido, utilize apenas uma forma, seja colchetes ou parenteses, ao longo de todo o texto. Nas Figuras 1 e 2 foram utilizado como padrão o uso de parenteses. 16,0 14,0 12,0 Posição (cm) 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 Figura 1: Posição de uma partícula no tempo. Escala vertical em centímetros Os rótulos dos eixos devem informar precisamente o conteúdo representado nos eixos do gráfico. Não use siglas simples com x e t, ou outras, por mais que lhe pareça óbvio o seu significado. Dê preferência a texto mais diretos com Posição e Tempo, para não deixar margem a especulações. Eventualmente use textos mais completos como Posição do Esporo, Tempo de Decaimento,... Legenda, Título e Subtítulo Na base do gráfico se deve colocar uma legenda apresentando o conteúdo do gráfico. Esta legenda não deve ser muito extensa, contendo apenas as informações essenciais ao gráfico. Informações mais extensas, como análises detalhadas, devem ser apresentadas ao longo do texto.

6 6/13 0,150 0,140 0,130 Posição (m) 0,120 0,110 0,100 0,090 0,080 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 Figura 2: Posição de uma partícula no tempo. Escala vertical em metros e remoção do excesso de espaço vazio na base do gráfico. Em alguns textos é comum o uso de Título e Subtítulo no gráfico, embora esta prática seja mais usual de apresentações. O uso de Título é mais restritivo, já que seu conteúdo não pode exceder a uma linha, embora o Subtítulo possa conter mais de uma linha, geralmente não ultrapassando a duas linhas. A figura a seguir apresenta um gráfico com o uso de Título e Subtítulo. A figura a seguir (Figura 01), possui o Título Figura 01 e o subtítulo Estudo do deslocamento de uma partícula, mas sem a Legenda como nos gráficos anteriores. Figura 01 Estudo do deslocamento de uma partícula Posição (m) 0,150 0,140 0,130 0,120 0,110 0,100 0,090 0,080 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 O Título deve ser escrito com letra maior que o Subtítulo, que por sua vez possui letra maior que os outros textos do gráfico, para salientar. O par Título+Subtítulo não deve ser empregado com o uso de Legenda no gráfico, já que os dois possuem a mesma função, que é apresentar o conteúdo do gráfico. Área Útil do Gráfico As escalas dos eixos devem iniciar e terminar com os valores mais adequados para que os pontos experimentais ocupem a maior área possível no interior do gráfico. No exemplo da Figura

7 7/13 1, onde a área do gráfico é de 16 cm 16 s=256 cm s, enquanto os dados experimentais ocupam apenas 15 cm 9 cm=6 cm de altura e 15 s 1 s=14 s de comprimento no interior do gráfico, totalizando 6 cm 14 s=84 cm s ou seja: 84 cm s 256 cm s 0,33 33% da área total do gráfico. Na Figura 2, o eixo vertical é iniciado em 8,0cm ao invés de 0,0cm, como no gráfico da Figura 1. Isto garante uma distribuição mais homogênea dos pontos e um aproveitamento de 75% da área total do gráfico, já que a área total foi reduzida de 256cm s para 15cm 8cm 0 s 16s =112cm s Este aproveitamento deve situar entre 65% e 80% da área útil do gráfico, evitando, sempre que possível, iniciar ou terminar as escalas nos valores dos dados a serem representados, para que os pontos não se situem sobre os eixos, dificultando a leitura da escala. Dimensões do Gráfico As dimensões (altura x largura) de um gráfico, devem possuir uma razão de 0,71 a 1,4, que são as razões das dimensões de uma folha A4 (paisagem/retrato). Uma razão 1,0 a área do gráfico será um quadrado. Razões fora deste intervalo, deixam o gráfico muito longo ou muito estreito, dificultando a análise visual das informações contidas em seu interior. A Figura 3 mostra dois exemplos de gráficos erroneamente dimensionados, em contradição as representações nos gráficos anteriores. Deslocamento (m) 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 Deslocamento (m) 6,50 6,00 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50 Figura 3: Demonstração de gráficos mau dimensionados. No primeiro, à esquerda, a razão altura/comprimento é de 0,28, enquanto que o segundo, à direita, é de 2,1. Incrementos nas Escalas 3,00 0,0 10,0 20,0 Os incrementos empregados nas escalas dos eixos, devem ser uma potência de dez, dos valores 1, 2 e 5. Outros valores dificultam a leitura nas escalas, em pontos intermediários. Como exemplo, considere o gráfico representado na Figura 4, onde é apresentado o resíduo de um ajuste linear dos dados apresentados na Figura 3. Observe que a leitura de um ponto neste gráfico necessita do auxílio de uma régua e uma calculadora, visto que um intervalo de 2,12 (no eixo horizontal) não é nada padrão.

8 8/13 0,580 0,350 Resíduo (m) 0,120-0,110 0,0 2,1 4,3 6,4 8,5 10,7 12,8 14,9 17,0 19,2 21,3-0,340-0,570-0,800 Figura 4: Resíduo do ajuste linear dos dados da Figura 3, em uma escala absurda. Na Figura 5 é refeito a representação dos pontos anteriores, com uma escala convencional, com intervalos de 5,0s na escala horizontal e 0,200m na escala vertical. Neste gráfico a leitura dos pontos se torna mais natural, sem a necessidade de outros instrumentos adicionais. Deslocamento (m) 6,500 6,000 5,500 5,000 4,5004,270 4,209 4,000 3,500 3,581 4,307 4,119 4,638 5,049 4,817 4,284 4,8364,825 5,610 5,025 4,762 5,111 6,024 5,919 5,770 5,762 5,562 5,617 3,000 Figura 5: Resíduo do ajuste linear dos dados da Figura 3, em uma escala coerente. Representação dos Pontos Experimentais Os pontos experimentais no gráfico devem ser representados por símbolos visíveis como pontos gordos, triângulos, quadrados, círculos,... Os símbolos devem ser grandes o suficiente para serem bem visíveis no gráfico, mas sem exageros. Alguns autores limitam as dimensões destes símbolos pelo tamanho das incertezas dos seus dados, mas isto não é obrigatório. Mais algumas Recomendações 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 A seguir algumas recomendações que são igualmente importantes, mas não necessitam de uma seção específica para comentá-las.

9 9/13 Em hipótese alguma marque valores ou pontos nos eixos do gráfico, pois estas marcações apenas dificultam a leitura dos pontos no gráfico. Os eixos devem permanecer limpos para uma boa leitura. Quando for necessário salientar algum ponto, um rótulo, como uma letra A, pode ser colocado logo acima do ponto experimental, e em seguida, comentários podem ser adicionados na legenda do gráfico (Figura 6) ou mesmo no próprio texto. 6,500 Deslocamento (m) 6,000 5,500 5,000 4,500 4,000 3,500 A 3,000 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 Figura 6: Representação do movimento de um corpo na tempo, enfatizando o ponto A. Uma outra prática não recomendada é a apresentação dos dados experimentais acima dos pontos, como mostra a Figura 7. Isto é útil em gráficos de produção industrial e em alguns casos de gráficos estatísticos, no entanto, em geral, está prática não acrescenta nada de muito relevante além de poluir o gráfico com informações que são melhor representadas através de tabelas convencionais. Análise Gráfica Um gráfico não deve ser usado como uma decoração num relatório ou em qualquer outro documento profissional, mas sim como um instrumento para transmitir alguma informação, como enfatizar o comportamento de um sistema, salientar alguns pontos de inflexão, determinar coeficientes para seu modelo teórico, entre outras. Isto significa que um gráfico deve sempre ser acompanhado de algum tipo de análise numérica, como o ajuste de uma reta ou outra função que represente o comportamento físico do seu sistema.

10 10/13 6,500 6,000 Deslocamento (m) 5,500 5,000 4,500 4,000 3,500 3,000 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 Figura 7: Deslocamento de uma corpo aleatório. Neste gráfico foi adicionado o valor do eixo vertical, acima dos pontos experimentais. Esta prática não é recomendada. Dentre os diversos tipos de funções para ajustes de curva, uma das mais importantes, e também mais simples, é a regressão linear, que determina os coeficientes para o ajuste dos pontos experimentais a uma reta. Embora muitos dos problemas físicos não possuam um comportamento linear, em muitas ocasiões é possível linearizar o sistema com algumas transformações matemáticas simples. A Tabela 2 mostra alguns exemplos de sistemas não lineares, mas que são facilmente linearizados.

11 11/13 Sistema Determinação da aceleração da gravidade através de um pêndulo simples Desenvolvimento ω= g L linearizando: ω 2 =g (1 /L) com y=ω 2 e x=1/ L tem-se a equação linear: y=g x onde g é a inclinação no gráfico ω 2 (1/ L) Corrente de carga em um capacitor i=i 0 e t / τ linearizando o sistema: ln(i)=ln(i 0 ) (1/ τ)t com y=ln(i) ; y 0 =ln(i 0 ) ; e m= (1/τ ) tem-se a equação linear: y= y 0 + mt Tabela 2: Exemplos de sistemas linearizáveis O texto a seguir mostrará como fazer uma regressão linear a um conjunto de pontos experimentais. Regressão Linear Para a apresentação do método numérico de regressão linear, considere um conjunto de n medidas com os dados representados pelo conjunto de pontos (x i, y i ), onde a reta que melhor se ajusta a estes pontos é representada pela equação: y=ax b (01) O desvio do i - ésimo ponto experimental, para a reta ajustada, com representado na Figura 8, é calculado como sendo a diferença entre o y i, experimental, com o valor do y determinado pela reta do ajuste, equação 01, ou seja: i = y i a x i b = y i a x i b (02)

12 12/13 Deslocamento (m) 7,000 6,500 6,000 5,500 5,000 4,500 4,000 3,500 ε i (x i, y i ) O desvio quadrático total será: a,b = y 1 a x 1 b 2 y 2 a x 2 b 2... y i a x i b 2... y n a x n b 2 ou simplesmente n a,b = y i a x i b 2 (03) i=1 Os coeficientes a e b que minimizam a equação do desvio quadrático, equação (03), são aqueles que satisfazem as equações: a =0 e =0 (04) b Calculando as derivadas parciais acima são encontradas as equações ou n 2 i=1 n 2 i=1 y i a x i b x i =0 y i ax i b 1 =0 n y i x i ax 2 i b x i =0 i=1 n i =1 y i ax i b =0 (05) Estas equações podem ser escritas na forma do sistema abaixo: a ( x i2 )+ b ( x i )=( y i x i ) a ( x i )+ b n=( y i ) cuja as soluções são: 3,000 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 Figura 8: Representação do desvio (ε i ) de um ponto (x i, y i ) à reta de ajuste (06)

13 13/13 e b= y i a x i n (07) a= n y i x i x i y i n x i 2 ( x i ) 2 (08) Outro fator importante para avaliar a qualidade do ajuste e a correspondência dos pontos experimentais ao ajuste é o coeficiente de ajuste linear é encontrado pela equação: δ= a x i y i +b y i n ȳ 2 y i 2 n ȳ 2 onde x e y são os valores médios de x e y, respectivamente. Quanto mais próximo de um é este coeficiente, melhor é o ajuste dos pontos experimentais.