Geometria Diferencial

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1 Geometria Diferencial Projeto: Superfícies mínimas e de curvatura média constante em espaços homogêneos tridimensionais Breve introdução e retrospectiva: O linha de pesquisa do projeto na área da Geometria Diferencial é de candente atualidade. De fato, é um foco de pesquisa de certo grupo internacional de pesquisadores do Brasil, da França, da Itália e da Espanha. Participa atuando no projeto no Brasil os pesquisadores Ricardo Sá Earp da PUC-Rio, Walcy Santos da UFRJ e Maria Fernanda Elbert também da UFRJ, dentre outros brasileiros. Na França, participa atuando no projeto Eric Toubiana da Universidade de Paris VII, Pierrre Bérard da Universidade de Grenoble, e envolve Laurent Hauswith da Universidade de Marne-La Vallée, dentre outros. Na Itália participa atuando no projeto Barbara Nelli da Universidade de L'Aquila. Na Espanha participa atuando no projeto J. M. Espinar e J. A. Galvez ambos da Universidade de Granada, Espanha. Há outros geômetras da Alemanha, da Espanha e dos Estados Unidos atuantes na mesma linha de pesquisa do projeto. As referências citadas abaixo dão um panorama da atualidade e importância do tema, sublinhando vários pesquisadores internacionais envolvidos. De qualquer forma, vamos descrever em seguida alguns avanços e resultados nesta linha sobre o assunto. Num trabalho recente com Eric Toubiana da Universidade de Paris VII e Laurent Hauswirth da Universidade de Marne-La Vallée, França [H-SE-T], demonstramos que duas imersões mínimas simplesmente conexas conformes e mutuamente isométricas no espaço produto H 2 R, estão determinadas pelas respectivas diferenciais holomorfas de Hopf, a menos de uma isometria do ambiente. Exemplificamos que nem sempre (mínima) isométrica implica associada, mas deduzimos que tal propriedade é válida em alguns contextos. Além disso, deduzimos uma generalização de um teorema de Krust, quando o ambiente é M 2 R, onde M 2 é uma superfíce Riemanniana com curvatura de Gauss K 0. Tal resultado assegura que a superfície mínima associada a um gráfico vertical sobre um domínio convexo ainda é um gráfico vertical. Num trabalho com Eric Toubiana [SE-T3], deduzimos uma formula não-paramétrica que permite expressar as H- screw motion surfaces em H 2 R e S 2 R via uma fórmula nãoparamétrica integral explícita. Esta dá uma boa descrição do comportamento geométrico e que tem servido de base para várias aplicações: Por exemplo, obtivemos uma família explícita a dois parâmetros de superfícies mínimas mergulhadas completas em H 2 R invariantes por standard screw motions, alguns com curvatura de Gauss igual a -1. A fórmula obtida em [SE-T3] permite dar uma bela descrição das superfícies de revolução com curvatura média constante. Com a ajuda desta fórmula verifica-se que a curvatura total extrínseca de um fim catenóide mínimo é finita. Tal cálculo abre possibilidades para o desenvolvimento da teoria das superfícies- mínima ou de curvatura média constante <1/2- com curvatura total extrínseca finita em H 2 R. Claro que surge imediatamente a investigação da relação entre as noções de curvatura total finita, de estabilidade, e o

2 shape da superfície. Tal teoria foi alvo de intensas pesquisas quando o ambiente é um space form, Veja, por exemplo, [B-C-E], [B-C], [B-C-S]. Por outro lado, tendo estabelecido a boa noção de curvatura total, pode-se almejar conseguir estimativas a priori de curvatura, para superfícies estáveis, em particular, estimativas a priori de curvatura para gráficos verticais. Isto já foi feito no espaço Euclideano e nos space form. Veja, por exemplo, [S-2], [B-H], [B-C-S]. Estimativas ótimas de altura height estimates nos espaços H 2 R e S 2 R foram obtidas por Aledo, Espinar e Galvez [A-E- G]. Claro que este estudo se estende ao caso de hipersuperfícies de H n R e H n R. Em particular, estabelecer neste espaço a boa noção de curvatura total finita para hipersuperfícies com curvatura média constante e investigar estimativas a priori de curvatura para gráficos, e mais geralmente as hipersuperfícies estáveis. Num outro trabalho, inferimos uma fórmula explícita simples não paramétrica de uma superfície mínima tipo Scherk [S-E]. Esta superfície ou a fórmula explícita que a determina faz um papel importante num recente trabalho de P. Collin e H. Rosenberg [C-R] apresentando um contra-exemplo de uma famosa conjectura de R. Schoen [S-Y]. Tal exemplo está baseado na solução de certo problema de Dirichlet para a equação do gráfico mínimo vertical, tomando valores infinitos no bordo. Mais precisamente, é um gráfico mínimo vertical sobre um semi-plano de H 2 {0}, tomando valores sobre uma geodésica e valor assimptótico igual a 0, num arco do bordo assimptótico de H 2 {0}. O bordo assimptótico desta superfície é constituído de duas semi-retas verticais junto com o referido arco de H 2 {0}. Tal superfície tem sido usada como uma barrier para o problema de Dirichlet assegurando que num ponto q onde o dado no bordo assimptótico de H 2 {0} é contínuo a solução da equação da superfície mínima toma os valores prédeterminados em q. Além disso, obtivemos famílias de curvatura média constante igual a ½ (ou menor do que ½), completas, simplesmente conexas e mergulhadas, estáveis em H 2 R. Inferimos que existem tais exemplos dados por fórmulas não-paramétricas explícitas, folheados por curvas horocliclos (curvas eqüidistantes). Aliás, o trabalho [S-E]-embora ainda não esteja publicado- está citado em vários artigos relacionados ao tema, veja por exemplo, [C-R], [F-M1], [F-M3], [Su-T], [H-R-S2], [P-T], [G-M-M]. Junto com Barbara Nelli [N-SE], encetamos o estudo de certo Problema de Dirichlet Exterior que assegura a existência de gráficos verticais, definidos num domínio exterior, convergindo assimpoticamente (fracamente) no infinito a uma rotacional de curvatura média 1/2 em H 2 R. Tal construção abre várias perspectivas, problemas em abertos e conjecturas. Demonstramos também um resultado tipo Vertical half-space theorem que diz que uma superfície completa propriamente imersa contida no lado mean convex de uma rotacional simplesmente conexa de curvatura média 1/2 em H 2 R, deve ser uma superfície rotacional (a mesma ou uma translação vertical desta). Num trabalho com Barbara Nelli, Eric Toubiana e Walcy Santos da Universidade Federal do Rio de Janeiro [N-SE-S-T], deduzimos a caracterização de superfícies compactas com curvatura media constante menor ou igual a ½ que bordam um círculo horizontal, ou dois círculos horizontais em H 2 R. Por exemplo, deduzimos que a H-superfície neste espaço, com H=1/2, cujo bordo é um círculo horizontal faz parte da única superfície de revolução com diferencial quadrática de Abresh-Rosenberg nula [A-R]. Tais resultados

3 estendem conhecidos teoremas deduzidos no espaço Euclideano e no espaço hiperbólico tridimensional, veja por exemplo, [B-M-R-SE], [B-SE], [SE-T2], [Ba-SE]. Também inferimos que uma superfície, cuja média está limitada longe de zero, se estende diferenciavelmente ao cilindro do bordo assimptótico de H 2 R, então o seu bordo assimptótico é constituído de segmentos de retas verticais. Com a colaboração de Eric Toubiana da Universidade de Paris VII, empreendemos o estudo do problema de Dirichlet para equação da superfície mínima em H 2 R, considerando domínios não limitados H 2 {0}. Os domínios admissíveis são tais que cada componente do bordo é propriamente mergulhada e possui nenhum, um ou dois pontos no seu bordo assimptótico, possuindo uma propriedade geométrica adicional. Dentre tais domínios (não necessariamente convexos, e não necessariamente bordado por arcos convexos ou por geodésicas), se encontram o clássico domínio exterior à uma curva regular simples fechada (ou o exterior de várias de tais curvas disjuntas possuindo interiores disjuntos). Também é admissível um domínio cujas componentes do bordo são curvas eqüidistantes. Usando várias superfícies mínimas básicas como barriers obtivemos a existência do referido problema de Dirichlet tomando certos valores (data) pré-determinados no bordo usual finito e também no bordo assimptótico. Este estudo foi feito usando moldes parecidos com o que foi feito pelos autores em [SE-T5], fazendo uso do chamado Perron process. Por outro lado mostramos a inexistência de certas superfícies mínimas quando o bordo assimptótico sofre certas limitações (constraints). Por exemplo, mostramos que não existe uma superfície mínima cujo bordo assimptótico seja homotopicamente trivial e que esteja contido entre dois slices de H 2 R de distância menor ou igual a π [SE-T7]. Tal resultado é sharp, pois existem exemplos com fronteira uma curva de Jordan homotopicamente trivial no bordo assimptótico de H 2 R (que até usamos como barreiras no referido trabalho) saindo (pelo menos) epsilon de qualquer slab de distância igual a π. Note que em H 3, a situação é completamente diferente já que dada uma curva convexa qualquer em H 3, sempre existe uma superfície mínima mergulhada cujo bordo é esta curva, veja [SE-T5]. Na verdade, o problema de Dirichlet para a equação do gráfico mínimo (vertical) em H 3, é sempre solúvel num convexo para dados contínuos no bordo [SE-T5]. O conhecido resultado de M. Anderson [An1] e [An2] sobre a existência de superfícies mínimas em H 3 com bordo assimptótico dado, realça também o contraste do comportamento das superfícies mínimas nestes dois espaços homogêneos tridimensionais Descrição e colocação de problemas a serem abordados no projeto: Descrevendo o projeto num sentido amplo, visamos continuar o estudo das H- superfícies em H 2 R, mais geralmente, desenvolver a teoria das imersões mínimas ou de curvatura média constante nos espaços homogêneos tridimensionais simplemente conexos. Tais espaços aparecem dentro dos 8 modelos de geometrias de Thurston [T]: Mas precisamente, os space form R 3, S 3 (k), H 3 (k), de curvatura sectional k >0 e k<0, respectivamente, são os espaços homogêneos tridimensionais simplesmente conexos com a dimensão do grupo de isometria igual a 6. Outrossim, com a dimensão do grupo de isometria igual 4, aparecem os espaços produtos S 2 (k) R, H 2 (k) R, o espaço de Heisenberg Nil 3 (fibrado sobre R 2 ), as esferas de Berger (fibrado sobre S 2 (k)), o

4 recobrimento universal SL ~ (2, R) de SL(2, R). A descoberta por U. Abresch e H. Rosenberg de uma diferencial holomorfa quadrática para H-superfícies, tem impulsionado o estudo das superfícies mínimas de curvatura média constante nestes ambientes [A-R], [A-R2]. Por outro lado, cumpre notar que os brasileiros H. Alencar, M. do Carmo e R. Tribuzy em [ACT1], [ACT2] consideraram uma superfície imersa em M n (c) R, com vetor curvatura média paralelo, onde M n (c) é uma variedade riemanniana, n-dimensional, simplesmente conexa, de curvatura constante c. Para esta situação, provaram que a existência de uma diferencial holomorfa quadrática. Veja também [ACFT]. Além disso, há o espaço Solv(3), muito estudado sob o ponto de vista da dinâmica mas, pouco estudado sob o ponto de vista da teoria das superfícies-que tem dimensão do grupo de isometria igual a 3. Há vários problemas geométricos interessantes a serem exploradas nestes espaços homogêneos tridimensionais, alguns são extensões mudando o que tem que ser mudado- de seus correspondentes Euclideanos, e outros são inteiramente surpreendentes. Na verdade, a primeira pergunta a se fazer é se os teoremas clássicos no espaço Euclideano, como o teorema de Hadamard (caracterização dos ovalóides) e sua generalização o teorema de Stoker ( uma superfície completa com curvatura de Gauss K>0 em R 3 é ou bem homeomorfa a um plano ou a uma esfera ), o teorema de Hopf (caracterização da esfera) são válidos nestes espaços. Já se sabe alguns resultados neste sentido [A-R]. Todavia, por exemplo, o princípio de Alexandrov no espaço de Heisenberg e os resultados geométricos decorrentes deste, ainda é um interessante problema em aberto. Por outro lado, um teorema tipo Hopf na geometria solve e outros resultados da teoria das superfícies neste espaço ainda não foram devidamente explorados. O que é motivador, como dissemos antes, é a quantidade enorme de exemplos- muito maior que nos já bem batidos space form- de superfícies mínimas e de curvatura média constante, encontrados recentemente nos espaços produtos, principalmente em H 2 R. Tais exemplos, como a superfície mínima tipo Scherk dada por uma fórmula explícita em H 2 R, tem um papel importante na construção de exemplos fazendo uso de técnicas de barreiras para resolver certos problemas de Dirichlet-Douglas-Rado [R], [C-R], [N-R]. Este estudo está relacionado com a teoria das superfícies mínimas (ou com curvatura média constante) imersas no produto M 2 R, onde M é uma superfície Riemanniana. O projeto abrange questões da teoria das hipersuperfícies em M n R, onde M n é uma variedade Riemanniana de dimensão n, mais geralmente, envolve estudo de hipersuperfícies em M n R k, onde R k é um espaço Euclideano de dimensão k. Um outro desdobramento é o estudo das superfícies de Weingarten que tem sido muito estudadas no espaço Euclideano e no espaço hiperbólico. Veja, por exemplo, [B-SE], [SE-T1], [SE-T2], [E-G-R]. Problemas em aberto com detalhamentos técnicos relacionados ao projeto: Dentre os problemas geométricos em torno do tema, destacamos agora os seguintes: 1. Estudo do comportamento geométrico dos fins verticais de curvatura média constante em H 2 R, ou seja, verificar se o comportamento geométrico assimptótico é o mesmo de uma superfície de revolução de curvatura média constante em H 2 R. Num caso interessante em que a curvatura média é ½, o fim anular rotacional tem certo desenvolvimento assimptótico em r (distância

5 hiperbólica ao centro) que implica num crescimento exponencial em r. Será interessante comprovar se um fim geral, ou seja, se um gráfico vertical sobre um domínio exterior tem o mesmo crescimento assimptótico geométrico que as rotacionais de curvatura média ½,. Exemplos não triviais de tais gráficos verticais sobre um domínio exterior convergindo fracamente a uma rotacional (o fim é vertical, não possuindo pontos assimptóticos a uma altura finita) foram construídos em [N-SE]. Será que um tal gráfico converge geometricamente a um fim rotacional? Tal pergunta foi feita em [N-SE]. No espaço Euclideano um gráfico mínimo sobre um domínio exterior converge geometricamente a um fim tipo catenóide ou tipo plano. Tal fato sendo provado pode-se chegar a demonstrar um resultado tipo Schoen [S] para uma superfície completa de tipo topológico finito propriamente mergulhadas em H 2 R, com curvatura média ½ e dois fins tipo anel, concluindo que neste caso a superfície deve ser de revolução. Quando a curvatura média é estritamente menor que ½, o crescimento de um fim anular rotacional é linear em r e não exponencial, mas um problema de Dirichlet exterior análogo pode ser colocado e também o comportamento assimptótico de um fim vertical, quando a curvatura média é <1/2. 2. Construção de exemplos não triviais, resolvendo certo problema de Dirichlet exterior ou certo problemas de tipo Plateau (Douglas-Radó) para superfícies de curvatura média constante. Por exemplo: Construção de gráficos verticais mínimos ou de curvatura média constante com certas propriedades geométricas, o bordo é uma curva convexa num slice de H 2 R, o bordo assimptótico é um círculo, i. e, o fim é rotacional [SE-T4], [SE-T6]. Dada uma curva mergulhada, fechada e retificável em H 3 é interessante investigar a existência de um disco imerso bordando esta curva e cuja curvatura média seja 1. Sobretudo é interessante encontrar condições geométricas para que tal disco seja mergulhado. Tal problema está relacionado com o Problema de Plateau para a curvatura média 1 em H 3. Idem para o caso em que a curvatura média é constante e está entre 0 e 1. Analogamente, dada uma curva megulhada, fechada e retificável em H 2 R é interessante investigar a existência de um disco mergulhado bordando esta curva e cuja curvatura média seja 1/2. Tal problema está relacionado com o Problema de Plateau para a curvatura média 1/2 em H 2 R. Idem para o caso em que a curvatura média é constante e está entre 0 e 1/2. 3. Estabilidade e resultados tipo Schoen, Meeks-White. Devido à geometria dos catenóide mínimos de H 2 R e das superfícies de revolução com média constante H ½ [SE-T3], [N-SE-T-W]. É natural a pergunta do número de anéis mínimos (ou de curvatura média constante) bordando dois círculos em planos paralelos de H 2 R. No caso

6 Euclideano serão 0, 1 ou 2 anéis mínimos [M-W]. Existem generalizações deste resultado para duas curvas convexas contidas em planos paralelos. No caso de duas curvas paralelas o teorema de Schoen diz que qualquer superfície mínima bordando estas curvas tem que ser um anel [S]. Claro que tais questões são naturalmente colocadas em H 2 R, e tem um contraparte n-dimensional em H n R, estendida também para curvatura média constante satisfazendo H ½. 4. Estabilidade e curvatura total finita. Identificando a(s) boa(s) noção(ões) de curvatura total e extrair resultados geométricos, via resultado tipo os obtidos em [B-C-S]. Caracterizações de hipersuperfícies estáveis, via resultados tipo do Carmo- Peng [C-P], Fischer-Colbrie and Schoen [FS-S], dentre outros. Estimativas a priori de curvatura, via resultados tipo Schoen [S-2] ou tipo Bérard- Hauswirth [B-H]. Uma conjectura interessante e geral é que uma superfície estável, completa e com curvatura média ½ em H 2 R é ou bem um horocilindro (ou seja, um gráfico horizonta inteiro) ou bem é um gráfico vertical inteiro curvatura média Problemas tipo Alexandrov e Bernstein quando o ambiente é um espaço homogêneo tridimensional, notadamente o espaço de Heisenberg. No caso Euclideano e hiperbólico existem muitos resultados interessantes nesta linha. Veja bibliografia em [SE-T6]. Recentemente, foi demonstrado um resultado tipo Bernstein no espaço de Heisenberg [F-M3]. 6. Caracterizações de superfícies de curvatura média constante com uma dada propriedade geométrica, e. g, o bordo é um círculo [N-SE-S-T]. Tais questões podem ser estendidas para superfície com curvatura de Gauss extrínseca positiva [E-G-R], com possíveis generalizações n- dimensionais. 7. Estudo geométrico das superfícies de Weingarten, e. g, superfícies com curvatura de Gauss extrínseca constante positiva em H 2 R, S 2 R e, mais geralmente, superfícies de Weingarten em espaços homogêneos tridimensionais. Encontrar uma boa definição (ou adaptação), já que as totalmente umbílicas não têm necessariamente curvatura média constante, veja [Su-T] e estabelecer estimativas a priori da altura [A-E-G2], [E-G-R]. Note que é tentador considerar as Weingarten lineares da forma a H +b K=c, onde H, K são as curvaturas média e curvaturas de Gauss (intríseca ou extrínseca), a, b, c são constantes. Mas, é preciso que seja feito o estudo comparativo com as superfícies paralelas para ver qual é a generalização mais natural. Este estudo comparativo deverá ser feito via o estudo das rotacionais, sendo que uma tal análise nos foi sugerida por Espinar e Galvez numa recente visita à PUC-Rio. 8. Generalizações das height estimates de Aledo, Espinar e Galvez para o caso n- dimensional, considerando hipersuperfícies de curvatura média constante em H n R, S n R, e extraindo possíveis conseqüências geométricas destas. Tal projeto está sendo iniciado com a colaboração de J. M. Espinar e J. A. Galvez da Universidade de Granada. 9. Problemas de Dirichlet sobre domínios admissíveis ilimitados (e. g. domínio exterior clássico) em H 2 R para a equação da curvatura média constante H, com

7 0<H<1/2. Recentemente vários trabalhos em H 2 R sobre a equação da superfície mínima foram obtidos [N-R], [H-SE-T], [C-R], [F-M1], [S-E], [SE-T7], mas ainda há muito a ser feito quando H está entre 0 e ½, embora haja vários artigos a respeito [Sp], [H-R-S], [N-SE-S-T]. Referências: [A-R] U. Abresch e H. Rosenberg. A Hopf differential for constant mean curvature surfaces in H 2 R and S 2 R. Acta Math. 193, N0 2, , [A-R2] U. Abresch e H. Rosenberg. Generalized Hopf differentials. Preprint. [A-E-G] J.A. Aledo,.M. Espinar e J.A. Gálvez Height Estimates for surfaces with positive constant mean curvature in M 2 R. A ser publicado no Illinois. J. Math. [A-E-G2] J.A. Aledo,J.M. Espinar e J.A. Gálvez. Surfaces with constant curvature in S 2 R and H 2 R. Height estimates and representation. Preprint. [ACT1] - Alencar,A., do Carmo, M. e Tribuzy, R. A theorem of H. Hopf and the Cauchy- Riemann inequality. Comunications in Analysis and Geometry. v. 15, p , [ACT2] - Alencar A., do Carmo, M. e Tribuzy, R. Surfaces with parallel mean curvature in S2 R and H2 R. Preprint [ACFT] - Alencar, H., do Carmo, M., Fernández I. e Tribuzy, R. A Theorem of H. Hopf and the Cauchy-Riemann inequality II. Aceito para publicação no Boletim da Sociedade Brasileira de Matemática [B-C-E] J. L. Barbosa, M. do Carmo e J. Eschenburg. Stability of hypersurfaces of constant mean curvature in Riemannian manifolds. Math. Z. 197, , [B-C] J. L. Barbosa e A. G. Colares. Stability of hypersurfaces with constant r- mean curvature. Ann. Glob. Annal. Geom. 15, , [Ba-SE] J. L. Barbosa e R. Sa Earp. Prescribed Mean Curvature Hypersurfaces in H n+1 with Convex Planar Boundary II. Séminaire de Théorie Spectrale et Géométrie de l'institut Fourier de Grenoble,16, 43-79, [B-H] P. Bérard e L. Hauswirth. General curvature estimates for stable H-surfaces immersed into a space form. J.Math. Pures Appl. 78, , [B-C-S] P. Bérard, M. do Carmo e W. Santos. Complete hypersurfaces with constant mean curvature and finite total curvature. Ann. Global Anal. Geom. 16, , [B-M-R-SE] F. Braga Brito, W.Meeks III, H.Rosenberg e R. Sa Earp. Structure Theorems for Constant Mean Curvature Surfaces Bounded by Planar Curve. Indiana Univ. Math. J., 40, No 1, , [B-SE] F. B. Brito e R. Sa Earp. Special Weingarten Surfaces com Boundary a Round Circle Annales de la Faculté de Science de Toulouse, VI, n o 2, , [C-R] P. Collin e H. Rosenberg. Constuction of harmonic diffeomorphirms and minimal graphs. Preprint. [C-P] M. do Carmo e C. K. Peng. Stable minimal surfaces in R 3 are planes. Bull. Of thw A.M.S, 1, , [D] B. Daniel. Isometric Immersions into 3- dimensional homogeneous manifolds. Preprint. [E-G-R] Complete surfaces with positive extrinsic curvature in product spaces. J. M. Espinar, J. A. Gálvez e H. Rosenberg. Preprint.

8 [FS-S] D. Fischer-Colbrie e R. Schoen. The structure of complete stable minimal surfaces in 3-manifolds of non-negative scalar curvature. Comm. P. Appl. Math., 33, , [F-M1] I. Fernández e P. Mira. Harmonic maps and Constant mean curvature surfaces in H 2 R. Amer. J. Math., [F-M2] I. Fernández e P. Mira. A characterization of constant mean curvature surfaces in homogeneous 3- manifolds. [F-M3] I. Fernández e P. Mira. Holomorphic quadratic differentials and the Bernstein problem in Heisenberg space. [G-M-M] J. A. Galvez, A. Martinez e P. Mira. The Bonnet problem for surfaces in homogeneous 3-manifolds. Preprint. [H-M] D. Hoffman e W. Meeks III. Minimal surfaces based on the catenoid. The American Math. Monthly, 97, N8, , [H-SE-T] L. Hauswirth, R. Sa Earp e E. Toubiana. Associate and conjugate minimal immersions in M 2 R. Aceito para publicação no Tohôku Math J. [H-R-S] L. Hauswirth, H. Rosenberg and J. Spruck. Infinite boundary value problems for constant mean curvature graphs in H 2 R and S 2 R. Preprint. [H-R-S2] L. Hauswirth, H. Rosenberg and J. Spruck. On complete mean curvature curvature ½ surfaces in H 2 R. Preprint. [M-W] W. Meeks III e B. White. Minimal surfaces bounded by convex curves in parallel planes. Comment. Math. Helv. 66, , [N-R] B. Nelli e H. Rosenberg. Minimal surfaces in H 2 R. Bull. Braz. Math. Soc. 33, , [N-R2] B. Nelli e H. Rosenberg. Global properties of constant mean curvature surfaces in in H 2 R. Pacific J. Math. 226, N0 1, , [N-SE-S-T]. B. Nelli, R. Sa Earp, W. Santos e E. Toubiana. Uniqueness of H-surfaces in H 2 R, H ½, with boundary one or two parallel horizontal circles. Aceito para publicação no Annals of Global Analysis and Geometry. [N-SE] B. Nelli and R. Sa Earp. Vertical Ends of Constant Mean Curvature H=1/2 in H 2 R. Preprint. [P-T] P. Piccione e D. V. Tausk. An existence theorem for G-structure preserving affine immersions. Preprint. [R] H. Rosenberg. Minimal surfaces in M 2 R. Illinois J. Math. 46, , [R-SE] H. Rosenberg e R. Sa Earp. The Geometry of Properly Embedded Special Surfaces in R 3 e.g., surfaces satisfying: ah + bk = 1, where a and b are Positive. Duke Math. J., 73,no 2, , [SE-T1] R. Sa Earp e E. Toubiana. Classification des Surfaces Speciales de Revolution de Type Delaunay et Applications. American Journal of Mathematics, 121, n o 3, , 1999 [SE-T2] R. Sa Earp e E. Toubiana. Symmetry of Properly Embedded Special Weingarten Surfaces in H 3.Transactions of the American Mathematical, 352, n o 12, , [SE-T3] R. Sa Earp e E. Toubiana. Screw motion surfaces in H 2 R and S 2 R. Illinois J.Math., 49, No. 3, , [SE-T4] R. Sa Earp e E. Toubiana. Some Applications of Maximum Principle to Hypersurfaces in Euclidean and Hyperbolic Space. New Approaches in Nonlinear Analysis, Themistocles M. Rassias Editor, Hardonic Press, , 1999.

9 [SE-T5] R. Sa Earp e E. Toubiana. Existence and uniqueness of minimal surfaces. Asian J. Math., 4, N.3, , [SE-T6] R. Sa Earp e E. Toubiana Variants on Alexandrov reflection principle and other applications of maximum principle. Sém. De Théorie spectr. Et geom. De Grenoble, 19, , [SE-T7] R. Sa Earp e E. Toubiana. Minimal complete graphs with finite boundary and asymptotic boundary in H 2 R. Preprint. [S-E] R. Sa Earp. Parabolic and hyperbolic screw motion surfaces in H 2 R. A ser publicado no J. Austr. Math. Soc. [S] R. Schoen. Uniqueness, symmetry and embeddedness of minimal surfaces. Jour. of Diff. Geom. 18, , [S-1] R. Schoen. The role of harmonic mappings in rigidity and deformations problems. Complex Geometry (Osaka, 1990), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Dekker, N. Y. 143, , [S-2] R. Schoen. Estimates for stable minimal surfaces in three dimensional manifolds. In: E. Bombieri (Ed.), Seminar on Minimal submanifolds, Annals of Math. Studies, Princeton, [Su-T] R. Souam e E. Toubiana. Totally umbilic surfaces in homogeneous 3- manifolds. Preprint. [Sp] J. Spruck. Interior gradient estimates and existence theorems for contant mean curvature graphs em M n R. Preprint. [S-Y] R. Schoen e S.T. Yau. Lectures on harmonic maps. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology, II. International Press, Cambridge, MA, [T] W. Thurston. Three-dimensional Geometry and Topology. Princeton, 1997.