Análise do comportamento dinâmico não linear de vigas de concreto armado de pontes com distribuição variável de armadura

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1 Análise do comportamento dinâmico não linear de vigas de concreto armado de pontes com distribuição variável de armadura Ana Paula Imai, Roberto Dalledone Machado 2 Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Construção Civil (PPGECC),2,4 Universidade Federal do Paraná (UFPR),2,3,4 Curitiba, Brasil anaimai@ufprbr, rdm@ufprbr 2 Thiago de Oliveira Abeche 3, Marcos Arndt 4 Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia (PPGMNE) 2,3,4 Universidade Federal do Paraná (UFPR)),2,3,4 Curitiba, Brasil abeche@ufprbr 3, arndt@ufprbr 4 Resumo O processo de danificação do concreto depende, dentre diversos fatores, de sua interação com outros materiais A aplicabilidade do concreto armado é possibilitada pela proximidade entre os coeficientes de dilatação térmica do concreto e do aço, garantindo assim a aderência e evitando o escorregamento entre os materiais O início da fissuração, contudo, causa a perda desta aderência O processo de evolução do dano depende não apenas do estado de tensão, mas principalmente do estado de deformação acumulada Portanto, a distribuição de armadura ao longo de uma viga de ponte tem uma grande influência sobre o processo de danificação do concreto Considerando o caso de pontes rodoviárias e ferroviárias, os carregamentos dinâmicos originários da passagem de veículos podem amplificar a perda de integridade do concreto e o processo de plastificação do aço Contudo, as normas relativas ao projeto de pontes desconsideram os efeitos dinâmicos da estrutura, convertendo-os em uma carga estática majorada Além disso, as normas sugerem a consideração de um comportamento elástico linear dos materiais na análise estrutural A consideração da mecânica do dano e da plasticidade nas armaduras de aço aumenta a complexidade do modelo, transformando-o em um problema dinâmico não linear e, assim, modificando as respostas da estrutura Adicionalmente, a consideração de uma distribuição variável de armadura ao longo do comprimento da viga contribui para a análise de modelos mais realistas Portanto, este trabalho procura avaliar as respostas dinâmicas não lineares de uma ponte de concreto armado, através de sua interação dinâmica com um modelo veicular, em que a distribuição não uniforme de armadura afeta a evolução da danificação As pontes são modeladas através do método dos elementos finitos, usando o programa principal e rotinas adicionais desenvolvidas através da linguagem computacional C++, de modo a aplicar a distribuição de armaduras É adotado um modelo Agradecimentos à CAPES pelo suporte financeiro constitutivo de dano baseado no modelo de Mazars, adaptado de tal forma que é possível considerar a inversão de esforços mecânicos devido à vibração Palavras-chave dinâmica não linear; estruturas de concreto armado; mecânica do dano; interação dinâmica; método dos elementos finitos não linear I INTRODUÇÃO Com as recentes mudanças no conceito de utilização dos materiais, em vista de uma maior economia, iniciou-se a busca de um completo aproveitamento das características de resistência destes materiais Em consequência, surgiram estruturas mais esbeltas e com maiores possibilidades de apresentarem um comportamento não linear, seja em termos de equação constitutiva (não linearidade física) ou em termos de grandes deslocamentos e mudanças acentuadas na geometria (não linearidade geométrica) [] Apesar de diversos problemas na engenharia civil serem resolvidos através de modelos estáticos, a maioria das estruturas está submetida a carregamentos dinâmicos e quando essas são de baixa intensidade quando comparadas às estáticas, os efeitos dinâmicos podem ser desprezados [2] As normas brasileiras relacionadas ao desenvolvimento de projetos estruturais recomendam que as cargas sejam majoradas e as

2 resistências dos materiais sofram determinadas penalizações, de modo que essas estruturas sejam capazes de resistir solicitações superiores às realmente necessárias Além disso, para o caso de estruturas em concreto armado, as normas permitem que nas análises estruturais seja feita a consideração de um comportamento elástico linear destes materiais No caso de projetos de pontes e viadutos, porém, devido ao caráter das solicitações que atuam sobre estes, os carregamentos dinâmicos tornam-se um fator que não pode ser desprezado Nesses casos, as normas permitem que seja feita uma simplificação dos efeitos dinâmicos, transformando-os em carregamentos estáticos majorados por um coeficiente de impacto [2] Outro fator a ser considerado é que, quando estas estruturas estão sob solicitações que ocasionem o início da fissuração do concreto, uma análise linear já não representa um comportamento adequado da ponte Diversos problemas de engenharia, em geral, são de natureza complexa e necessitam de análises mais detalhadas e precisas É o caso tanto de estruturas com grandes dimensões quanto de sistemas estruturais sujeitos a efeitos físicos de maior complexidade [2] Devido à sua complexidade de comportamento, a formulação de um modelo constitutivo completo para o concreto se torna algo difícil Modelos têm sido formulados com base na teoria da plasticidade, na elasticidade, e mais recentemente na mecânica do dano, cada qual fornecendo boas respostas desde que a situação estudada proporcione um comportamento do concreto coerente com a teoria proposta [3] As simplificações relativas à natureza da análise e ao comportamento físico dos materiais podem não garantir a segurança estrutural, uma vez que o comportamento da estrutura pode mudar em decorrência dos efeitos dinâmicos e da degradação de seus materiais constituintes Este trabalho visa contribuir pra a análise apresentada por [2], de modo a avaliar a interação dinâmica entre um veículo e uma ponte discretizada em elemento finito de viga de Euler-Bernoulli, considerando a mecânica do dano no concreto, a teoria da plasticidade no aço e a distribuição variável de armaduras experimentais, além do fato de que envolve um número pequeno de parâmetros Quando esse modelo é aplicado em um elemento finito de viga de Euler-Bernoulli, utiliza-se uma variável escalar que quantifica o estado local de deterioração do material Esse modelo tem como hipóteses fundamentais [4]: Localmente, o dano é devido a alongamentos; O dano é representado por uma variável escalar, cuja evolução ocorre quando um valor de referência para o alongamento equivalente é superado; Considera-se que o dano seja isótropo, embora análises experimentais mostrem que o dano conduz, em geral, a uma anisotropia do concreto; O concreto com dano comporta-se como meio elástico Portanto, deformações permanentes evidenciadas experimentalmente numa situação de descarregamento são desprezadas Nesse sentido, define-se a deformação equivalente como uma variável escalar representativa do estado local de extensão, que é calculada como: ε = ε ε ε () onde ε +, ε 2 + e ε 3 + representam a parte positiva das componentes principais de deformação O dano pode ocorrer devido a tensões de tração e compressão Na compressão, o dano ocorre devido ao esmagamento do concreto Para o caso da tração, o dano representa a fissuração do concreto O início do processo de fissuração ocorre quando a deformação equivalente atinge um valor de referência, conforme mostrado na Fig II MODELOS MATEMÁTICOS Nesta seção são apresentados os modelos constitutivos utilizados no desenvolvimento deste trabalho: o modelo de dano de Mazars e a teoria da plasticidade, relativos ao comportamento do concreto e do aço, respectivamente Em seguida, é discutido o conceito de rigidez equivalente Para o desenvolvimento desta análise, é considerado o elemento finito de viga de Euler-Bernoulli, usando as funções de interpolação cúbicas de Hermite para o modelo da ponte A Modelo Constitutivo de Mazars Dentre diversos modelos constitutivos baseados na mecânica do dano e relacionados ao comportamento do concreto, o modelo de dano de Mazars [4] apresenta uma representação adequada de evidências Figura : Diagrama tensão-deformação do modelo de dano de Mazars A variável de dano é definida pela combinação linear [5]

3 D(ε) = α T D T + α C D C, (2) em que α T e α C são coeficientes obtidos a partir do estado de deformação em cada ponto do corpo, tendo-se sempre α T + α C = Para a tração pura, tem-se que α T = e para a compressão pura, α C = D T e D C representam o dano associado a estados uniaxiais de tração e compressão, respectivamente, e podem ser calculados como D T ( ε) = ε d( A T ) ε D C ( ε) = ε d( A C ) ε A T e B T ( ε εd ), (3) A C e B C ( ε εd ), (4) onde A T, B T, A C e B C são parâmetros característicos do material e que podem ser identificados através de ensaios uniaxiais [6] Este trabalho utiliza o modelo de dano proposto por [2], baseado no modelo de dano de Mazars, que inclui a consideração de inversão dinâmica de esforços devido aos efeitos de vibração O aço pode sofrer o efeito de plastificação quando alcança a tensão de escoamento σ sy Assim, o material terá uma deformação plástica ε p tal que +ε sy ε p +ε sy max no caso de tração, ou ε sy ε p ε sy max para o caso de compressão A tensão, neste modelo constitutivo, pode ser calculada como σ = { σsy + E sy (ε p ε sy ), ±ε sy ε p ε sy max E s ε sy, ε sy ε ε sy C Rigidez Equivalente De modo a considerar a seção transversal da viga, é usado o método da rigidez equivalente [8] Portanto, é possível dividir a seção em camadas e aplicar a danificação, para o caso do concreto, e a plastificação, para o caso do aço, para assim modificar a rigidez de cada camada com a precisão apropriada As barras de aço são transformadas em camadas, com área e posição equivalentes A seção transversal da viga é dividida em n camadas, conforme mostrado na Fig 3 (5) camada B Teoria da Plasticidade Como modelo constitutivo dos vergalhões de aço das vigas, é adotado um modelo bilinear elastoplástico, que considera o encruamento a partir da deformação plástica, com comportamento simétrico quando sujeito à tração e à compressão A Fig 2 demonstra esse comportamento s camada 2 camada n/2 camada i LN yi- yi y = - h/2 yn = h/2 s max camada n sy E sy b Figura 3: Seção transversal da viga dividida em n camadas [2] O cálculo da rigidez equivalente é dado por E s sy p Figura 2: Modelo constitutivo do aço sy max em que σ sy representa a tensão de escoamento do aço, E s seu modulo de elasticidade inicial, ε sy o limite da deformação elástica e E sy o módulo de elasticidade após a ocorrência de escoamento das barras de aço [7] EI eqv = 3 b E i (y 3 i y 3 i ) (6) onde n é o número de camadas, b a largura constante da viga, E i o módulo de elasticidade da i-ésima camada, considerando diferentes materiais y i e y i são as coordenadas das divisões no eixo y [2] O refinamento pode ser aplicado considerando a necessidade de detecção de dano em cada seção de cada elemento Aquelas que forem mais suscetíveis aos efeitos do dano (mais distantes da linha

4 neutra, por exemplo), podem necessitar um melhor refino local A Fig 4 exemplifica como um mesmo sólido pode ter diferentes graus de refinamento Figura 4: Diferentes graus de refinamento de uma viga D Dinâmica Não Linear A solução para obtenção das respostas dinâmicas em um sistema não linear, utilizando o Método dos Elementos Finitos, é obtida utilizando as formulações incrementais, os procedimentos de solução iterativa e os algoritmos de integração no tempo [9] Devido às não linearidades físicas do sistema interativo entre viga e ponte, considerando a mecânica do dano e a plastificação, a equação global de movimento deve ser resolvida iterativa e incrementalmente, utilizando assim os métodos de Newton-Raphson e de Newmark, respectivamente Diversos pesquisadores desenvolveram variados métodos para solucionar problemas não lineares, entre estes pode-se apontar [] e [2] por aplica-los aos problemas dinâmicos No caso de deterioração do material, as forças não são mais linearmente dependentes do deslocamento Este modelo considera que o dano afeta diretamente a rigidez do sistema e, consequentemente, o amortecimento estrutural [] A matriz de rigidez pode ser descrita como [K B ] = [K B ({u B ( x, t)})], EI = f( x, t) (7) É possível notar que a matriz de rigidez torna-se dependente do deslocamento que, por sua vez, é função do tempo e do vetor de posição A matriz de amortecimento, de acordo com o método de Rayleigh, é definida conforme (8) [C B ({u B ( x, t)})] (i ) = ( α B) (i ) [M B] (i ) + ( β B ) (i ) [K B({u B ( x, t)})] (i ) onde α B e β B são coeficientes de Rayleigh para cálculo da matriz de amortecimento, t + t é o incremento de tempo e i o passo de iteração A matriz de amortecimento, devido a sua relação com a (8) matriz de rigidez, também torna-se dependente do tempo e do vetor de posição A equação dinâmica não linear, para uma viga danificada, é mostrada em (9) ( [MB ] (i ) β t 2 + γ[cb] ) (i ) {u B } (i) β t + [K B] (i ) { u}(i) = {FB ext } + [M B] (i ) β t 2 ({u B } t + { u B } t t+ (, 5 β) {ü B } t t 2 ) (i) + [C B ] (i ) ( γ β t + ( ) ( ) γ γ β { u B } t + 2β {ü B } t t) (i) {FB int } (i ) onde β e γ são os parâmetros do método de Newmark, i é a iteração em questão, {FB ext} o vetor de forças externas, {FB int} o vetor de forças internas e { u} o vetor de deslocamentos incrementais [M B ], [C B ], [K B ] são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, {u B }, { u B } e {ü B } são os vetores de deslocamento, velocidade e aceleração globais, respectivamente É usado o programa ABXDNL 27 [2] para o cálculo de (9), considerando a mecânica do dano e a teoria da plasticidade III ANÁLISE NUMÉRICA O objetivo deste artigo é comparar as respostas dinâmicas lineares e não lineares, considerando a mecânica do dano e a teoria da plasticidade, de uma ponte de concreto armado, sobre a qual atravessa um veículo com um grau de liberdade Para a análise numérica, adota-se o caso de um projeto estrutural de ponte, apresentado por [] A ponte é composta por uma viga de concreto armado, com dois balanços e simétrica A distribuição da armadura é variável ao longo do comprimento Ao todo, são 5 configurações diferentes de armaduras na viga A distribuição da armadura nas seções e seus parâmetros geométricos são mostrados na Fig 5 e na Tabela I, respectivamente Tabela I: DADOS DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS Seção Dados A S inf A S sup A C ρ m (cm 2 ) (cm 2 ) (m 2 ) (%) (kg/m), 9,64,923, , 57,33,99, ,97 57,33,9, ,23 9,82,9, ,93,,97, (9)

5 da linha neutra Contudo, as zonas mais próximas da linha neutra podem não necessitar de um refinamento tão elevado, fato que pode ser aproveitado de modo a atingir uma melhor performance computacional da análise O veículo, composto por massa da roda (m ), massa suspensa (m 2 ), mola com coeficiente de rigidez (k) e amortecimento (c), atravessa a ponte com velocidade constante Para estas simulações, desconsideraram-se os efeitos das irregularidades da via (a) (b) (c) (d) (e) Figura 5: Configurações das seções transversais da viga: (a) Seção, (b) Seção 2, (c) Seção 3, (d) Seção 4, (e) Seção 5 A viga é discretizada em 4 elementos finitos, cada elemento com uma das 5 configurações apresentadas na Fig 5 A distribuição das configurações de seção ao longo da viga e o sistema ponte-veículo são mostrados na Fig 7 k m 2 c v cte A seção transversal discretizada em camadas de materiais é apresentada na Fig 6 m ,25 2,25 2, 2, 2, 2, 2, 4,5,5 5, Figura 7: Sistema ponte-veículo e distribuição das diferentes seções transversais da viga Os dados de entrada para a ponte, o veículo e os parâmetros de Newmark são apresentados na Tabela III (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6: Configurações das seções discretizadas da viga: (a) Seção, (b) Seção 2, (c) Seção 3, (d) Seção 4, (e) Seção 5 Cada uma dessas camadas de materiais pode ter o refinamento aumentado O número de camadas totais adotado nesta análise numérica é conforme mostrado na Tabela II Tabela II: DADOS DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS Seção camadas camadas camadas 4 camadas 8 camadas As áreas de cobrimento das armaduras apresentam um maior grau de refinamento de camadas Nos casos em que há camadas duplas ou triplas de aço, as áreas em concreto entre as armaduras também apresentam uma discretização maior Este refino local é aplicado de modo a obter melhores respostas do comportamento do concreto, uma vez que o dano inicia-se nas camadas mais afastadas Tabela III: DADOS DE ENTRADA DA PONTE, VEÍCULO E DE NEWMARK Dados Ponte Veículo Parâmetros de Newmark L B = 3 m m = 44 kgf γ =, 5 b =, 5 m m 2 = 32 kgf β =, 25 h =, 85 m k = 92 kn/m 28 Passos de tempo I =, 2638 m 4 c = 96 kns/m dt =, 543 s E C = 29, 43 GP a v = 5 km/h ζ =, 25 ν C =, 2 a = m/s 2 4 Elementos 4 Passos de tempo Os dados de entrada dos modelos constitutivos do concreto e do aço são apresentados na Tabela IV O período a ser analisado consiste em um total de 28 passos de tempo, equivalente a 4, 32 s Os primeiros 4 passos de tempo representam o período necessário para o veículo atravessar a ponte Adicionam-se 4 passos de tempo a este período, de modo a captar as respostas de amortecimento da estrutura

6 Tabela IV: DADOS DE ENTRADA DOS MODELOS DE DANO E PLASTICIDADE Dano A T =, 995 Dados Plasticidade E s = 2 GP a B T = 3 ν s =, 3 A C =, 2 B C = 5 ε d = 5 5 ε sy = O deslocamento vertical no nó central da viga, considerando as respostas dinâmicas linear e não linear são apresentadas na Fig 8 velocidade (m/s) x dinâmica linear dinâmica não linear tempo (s) 2 Figura 9: Resposta dinâmica de velocidade no centro do vão deslocamento (m) - -2 altura (m) comprimento (m) Figura : Configuração final de dano na viga -5 dinâmica linear dinâmica não linear tempo (s) Figura 8: Resposta dinâmica de deslocamento no centro do vão É possível notar que a resposta dinâmica não linear apresenta diferenças na amplitude e na frequência das oscilações, quando comparadas às obtidas através da dinâmica linear As respostas dinâmicas de velocidade no nó central são apresentadas na Fig 9 Observa-se a ocorrência de picos de velocidade nos momentos de entrada e saída do veículo da ponte As amplitudes e frequências de oscilação também são diferentes, quando comparam-se as respostas linear e não linear A configuração final danificada da viga é mostrada na Fig De modo a melhorar a visualização do dano em cada camada, é apresentada uma imagem distorcida da configuração final danificada da viga na Fig Como pode ser observado, o dano não é aplicado às camadas de aço As variações das primeiras frequências naturais de vibração, quando comparadas as dinâmicas linear e não linear, são apresentadas na Tabela V Tabela V: FREQUÊNCIAS NATURAIS DE VIBRAÇÃO Frequências Naturais Frequência Natural Análise Linear (rad/s) Análise não Linear (rad/s) Variação (%) a 43, ,9265-8,96% 2 a 37,4322 8, ,68% 3 a 2,8356 8,429-4,54% 4 a 34, , ,22% 5 a 58,53 428,5636-5,72% 6 a 82,45 687, ,23% 7 a 2,7524 8, ,89% 8 a 59, ,4268-4,36% 9 a 8, ,4333-2,8% a 243, ,6522-3,42% Devido à perda na rigidez da estrutura, decorrente do dano no concreto, as frequências naturais apresentam uma redução de quase 9%, considerando o caso da primeira frequência natural

7 REFERÊNCIAS altura (m) comprimento (m) Figura : Configuração ampliada do dano na viga IV CONCLUSÕES Pode-se notar que, devido à perda de rigidez da estrutura em decorrência do dano no concreto, as respostas de deslocamento vertical apresentam uma maior amplitude no caso da dinâmica não linear Outra observação importante é a redução nas frequências naturais da viga, devido à degradação do concreto Em geral, a análise de estruturas sujeitas a carregamentos dinâmicos envolve a investigação dessa propriedade, de modo a evitar-se que essa se aproxime das frequências solicitantes, fato que pode ocasionar o fenômeno de ressonância Quando as frequências de ressonância são atingidas, as estruturas apresentam uma amplificação de suas respostas dinâmicas Portanto, a consideração do dano no concreto, que desencadeia a alteração das frequências naturais de vibração da ponte, é de grande importância na análise estrutural É possível notar que, apesar de a viga apresentar simetria ao longo de seu comprimento, a configuração final de dano é assimétrica Analisando o 2 o e o 3 o elementos, por exemplo, suas configurações finais apresentam diferenças significativas nas camadas inferiores Esse fato pode decorrer da falta de refino nas camadas em questão, uma vez que não existe armadura nessa região Para uma configuração de dano e respostas dinâmicas mais precisas, é aconselhável aumentar o refinamento dessas áreas específicas e realizar uma nova simulação computacional [] R Dalledone Machado Análise dinâmica não-linear de sistemas rígido-flexíveis Diss de mestrado Rio de Janeiro: Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia (COPPE), Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), 983 [2] Thiago de Oliveira Abeche Modelagem computacional da interação dinâmica desacoplada entre viga e veículo considerando as irregularidades da via e a mecânica do dano contínuo Diss de mestrado Pontifícia Universidade Católica do Paraná, 25 [3] José Julio de Cerqueira Pituba Estudo e aplicação de modelos constitutivos para o concreto fundamentados na mecânica do dano contínuo Tese de doutorado São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 998 [4] Jacky Mazars Application de la mécanique de l endommagement au comportement non linéaire et á la rupture du béton de structure Tese de doutorado Paris: Université Paris 6, 984 [5] M Perego Danneggiamento dei materiali lapidei: leggi constitutive, analisis per elementi finiti ed applicazioni Diss de mestrado Politecnico di Milano, 989 [6] M S Álvares Contribuição ao estudo e emprego de modelos simplificados de dano e plasticidade para a análise de estruturas de barras em concreto armado Tese de doutorado Escola de Engenharia de São Carlos - USP, 999 [7] Thiago de Oliveira Abeche et al Análise Dinâmica Não Linear através da Mecânica do Dano e da Plasticidade de Vigas de Ponte com Irregularidades Periódicas e Aperiódicas Aleatórias da Via e Veículo com Variações de Aceleração Em: I Simpósio de Métodos Numéricos em Engenharia 26 [8] F P Beer e E R Johnston Mechanics of Materials Pearson Makron Books, 995 [9] Klaus-Jürgen Bathe Finite Element Procedures Prentice-Hall, 996 [] Thiago de Oliveira Abeche et al Damage Effects from Dynamic Interaction between Vehicles, Irregularities and Railway Bridges in the Nonlinear Dynamic Response of Structures Em: Third International Conference on Railway Technology: Research, Development and Maintenance (Railways 26) Ed por J Pombo Vol Stirlingshire, Scotland: Civil- Comp Press Cagliari, Sardinia, Italy, 26, pp 23 [] Wilson Gorges Notas de Aula de Engenharia de Pontes Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Paraná 22 AGRADECIMENTOS Agradecimentos à CAPES pelo suporte financeiro