Ana Paula Imai 3, Marcos Arndt 4 Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Construção Civil (PPGECC), AC em Materiais e Estruturas 1,3,4

Transcrição

1 Comparação entre as Respostas Dinâmicas Não Lineares de Modelos em Elementos Finitos de Viga de Euler-Bernoulli e Estado Plano de Tensão obtidos da Interação Dinâmica entre Veículo, Irregularidades e Ponte em Concreto Armado Thiago de Oliveira Abeche, Roberto Dalledone Machado Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia (PPGMNE, AC em Mecânica Computacional,, Universidade Federal do Paraná (UFPR,,, Curitiba, Brasil abeche@ufprbr, rdm@ufprbr Ana Paula Imai, Marcos Arndt Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Construção Civil (PPGECC, AC em Materiais e Estruturas,, Universidade Federal do Paraná (UFPR,,, Curitiba, Brasil anaimai@ufprbr, arndt@ufprbr Resumo Um modelo numérico é comumente considerado representativo se for capaz de aproximar a solução analítica com a menor quantidade de erro no processo A mensuração dessa aproximação é um teste eficiente para modelos matemáticos ao simular problemas lineares em regimes bem conhecidos ou em estados iniciais de problemas não lineares Diversos problemas de engenharia, entretanto, não possuem uma solução analítica Nestes, para obter uma solução consistente, é necessário considerar alguns efeitos físicos representativos do problema A mecânica do dano e a teoria da plasticidade são ciências egrégias para representar, respectivamente, a propagação de fissuras difusas em concreto e deformações permanentes de barras de aço fenômenos de interação dinâmica entre veículos, irregularidades e pontes de concreto armado Esses efeitos transformam o modelo dinâmico linear em um modelo dinâmico não linear de difícil convergência Além disso, uma convergência numérica não necessariamente pode representar uma solução física plausível Ademais, a quantidade de não linearidades físicas nos sistemas de interação dinâmica pode tornar o problema oneroso, exigindo maior eficiência computacional, tanto em tempo processamento da CPU como em requisitos de memória, e métodos numéricos aperfeiçoados Esse trabalho apresenta a fundamentação teórica do programa ABXNL desenvolvido com elementos finitos de Euler-Bernoulli de modo a comparar essas respostas dinâmicas com um novo modelo dinâmico não linear proposto através da teoria de elementos finitos bidimensional não linear em estado plano de tensões Rotinas adicionais em C++ foram implementadas para consideração do novo modelo É adotado um modelo constitutivo dinâmico de dano baseado no modelo de dano de Mazars para considerar os efeitos da inversão de esforços devido à vibrações O amortecimento estrutural é definido pelo método de Rayleigh com coeficientes atualizados pela não linearidade da danificação A mecânica do dano é considerada dinamicamente, sendo necessário avaliar a danificação de cada camada para cada iteração dentro de cada passo de tempo As equações de movimento são obtidas pelo equilíbrio dinâmico não linear e integradas numericamente no tempo utilizando o método de Newmark em conjunto com o método iterativo de Newton-Raphson Essa proposta visa contribuir para a linha de pesquisa em dinâmica não linear com o estudo do monitoramento da saúde e integridade estrutural de pontes danificadas Palavras-chave dinâmica não linear; mecânica do dano; método dos elementos finitos não linear; interação dinâmica; mecânica computacional Trabalho patrocinado pela CAPES

2 I INTRODUÇÃO O aparecimento de sistemas estruturais complexos, sujeitos às ações preponderantemente dinâmicas, como estruturas offshore, de prospecção e exploração em plataforma de petróleo, estruturas de pontes, etc, tem exigido estudos dinâmicos e materiais mais complexos nos projetos estruturais [] O problema de interação dinâmica entre veículos e pontes tem sido estudado por pesquisadores nos últimos 5 anos Esse problema está entre os mais antigos problemas da dinâmica estrutural Inicialmente, métodos analíticos foram aplicados em modelos simples variandose as condições de contorno do problema O desenvolvimento de métodos numéricos e computacionais como o método dos elementos finitos permitiu que modelos complexos e refinados produzissem resultados precisos que puderam ser verificados através de medições experimentais [] Esse artigo procura apresentar a fundamentação teórica do programa de pesquisa científica ABXDNL, em linguagem de programação C++, previamente desenvolvido para usar elementos finitos não lineares de viga de Euler-Bernoulli e agora aperfeiçoado para também utilizar elementos finitos bidimensionais não lineares de estado plano de tensão de modo a analisar as respostas dinâmicas não lineares de um sistema dinâmico entre veículo, irregularidade e ponte através da mecânica do dano e da teoria da plasticidade II MODELOS CONSTITUTIVOS A Modelo Constitutivo de Dano de Mazars para o Concreto Rabotnov et al [] propuseram considerar a perda de rigidez do material como resultado da fissuração Posteriormente, a mecânica do dano contínuo foi formalizada baseada na termodinâmica de processos irreversíveis por Lemaitre & Chaboche [] A evolução do dano no concreto é simulada através do modelo constitutivo de dano proposto por Mazars [5] Este modelo é baseado em algumas evidências experimentais observadas em ensaios uniaxiais de corpo de prova em concreto, tendo por hipóteses fundamentais [6]: (a o dano é representado por uma variável escalar D ( D cuja evolução ocorre quando um valor de referência para o alongamento equivalente é superado; (b localmente o dano é proveniente da existência de deformações de alongamento; (c considera-se, portanto, que o dano seja isótropo, embora análises experimentais mostrem que o dano conduz, em geral, a uma anisotropia do concreto, o qual pode ser considerado inicialmente como isótropo; e (d o concreto com dano se comporta como meio elástico, portanto deformações permanentes, sejam elas de natureza plástica, viscosa ou induzida pelo próprio processo de danificação, evidenciadas experimentalmente numa situação de descarregamento são desprezadas O estado de extensão é localmente caracterizado por um alongamento ou uma deformação equivalente, expressa como [6] ε = ε + + ε + + ε + ( em que ε i são as componentes de deformação principal e suas partes positivas definidas por ε i + = [ε i + ε i ] = εi, se ε i >, caso contrário Adota-se que o dano se inicia quando a deformação equivalente ε atinge um valor de deformação de referência ε d determinado em ensaios de tração uniaxial em correspondência à tensão máxima, como mostrado na Fig E d ~ E = E( - DC Figura : Diagrama tensão-deformação à compressão do modelo de dano de Mazars A relação constitutiva, no caso particular de estado unidimensional de tensão, é definida por ( σ = ( D(ε E c ε ( Neste modelo, quando a deformação equivalente ε atinge um certo valor limite, ε d no caso, inicia-se a evolução do dano Este critério pode ser escrito como uma função f, da seguinte forma f( ε, D = ε S(D, S( = ε d ( Admitindo a continuidade dos fenômenos ao longo do tempo, a lei de evolução da variável de dano que segue os princípios da termodinâmica é definida por [] Ḋ =, se f e f < F ( ε ε +, se f = e f = em que F ( ε é a função contínua e positiva da deformação equivalente ε, tal que Ḋ para qualquer ε Isso garante que o dano é crescente e irreversível Nesse sentido, a função F ( ε deve ser capaz de reproduzir o comportamento experimental observado em experimentos uni, bi ou triaxiais Mazars [5] define duas variáveis distintas de dano, D T e D C (5

3 representando, respectivamente, o dano por tração e por compressão Assim, tem-se duas leis distintas de evolução do dano Ḋ T = F T ( ε ε +, Ḋ C = F C ( ε ε + (6 Para casos onde tensões de tração e compressão ocorrem simultaneamente nos estados de tensão, a variável de dano D é definida por uma combinação linear das variáveis básicas de dano D T e D C através dos coeficientes de combinação α T e α C por D(ε = α T D T + α C D C, α T + α C = (7 em que os valores dos coeficientes α T e α C estão contidos no intervalo fechado [, ] e procuram representar a contribuição dos esforços de tração e compressão para o estado local de extensão, respectivamente [7] ε = ε, se ε υ ε, do contrário em que υ é o coeficiente de Poisson do concreto ( Mazars [5] propôs os seguintes limites de variação para os parâmetros A T, B T, A C e B T, obtidos a partir da calibração com resultados experimentais [6] 7 A T B T 5 5 ε d A C 5 B C ( O comportamento do modelo de dano de Mazars quando o material é submetido à tração é apresentado na Fig Esses coeficientes podem ser obtidos por α T = Σ i ε Ti + ε +, α C = Σ i ε Ci + V ε + (8 V em que ε Ti e ε Ci são os componentes de deformação determinados pela parcela positiva e negativa do tensor de tensões principal obtido da relação constitutiva elástica linear Portanto, as deformações são definidas por ε T } = +ν E [σ] + ν E Σ iσ i + [I] ε C } = +ν E [σ] ν E Σ iσ i [I] (9 ε + V = Σ i ε Ti + + Σ i ε Ci + em que σi + = (σ i + σ i σ i = (σ i σ i As variáveis básicas de dano são definidas por [5] D T ( ε = ε d ( A T ε A T e B T ( ε ε d ( ( e D C ( ε = ε d ( A C A C ( ε e B C( ε ε d em que A T, B T, A C e B T são os parâmetros característicos do material em tração e compressão uniaxial, respectivamente, ε a deformação equivalente abaixo da qual não ocorre danificação e ε d o parâmetro limite da deformação elástica Os subíndices T e C referem-se à tração e compressão, respectivamente Portanto, se a deformação equivalente é menor do que a deformação de referência ( ε ε d, então não ocorre o processo de danificação (D = De modo a considerar o efeito de Poisson no concreto, a deformação equivalente é dada por E d ~ E = E( - DT Figura : Diagrama tensão-deformação à tração do modelo de dano de Mazars, adaptado de [6] Uma maneira mais rigorosa de definir o dano é através do tensor de quarta ordem de dano D ijrs que transforma o tensor de elasticidade inicial do material íntegro no E ijkl no tensor atual de elasticidade amaciado pelo dano Ẽijkl, da seguinte forma Ẽ ijkl = (I ijrs D ijrs E rskl (5 De um ponto de vista puramente teórico, a relação demonstrada na Eq (5 não produz uma variável real de estado porque exige o conhecimento de um determinado comportamento do material, como a elasticidade [8] Entretanto, essa relação permite determinar indiretamente a variável de dano para materiais elásticos a partir de medições do módulo de Young realizadas em ensaios com ciclos de carregamento e descarregamento No caso uniaxial de dano isotrópico sem o efeito de fechamento das microfissuras na compressão, o valor médio das microtensões é obtido do equilíbrio de forças [] Dessa forma, a tensão efetiva pode ser escrita como σ = F S = F S( D = σ ( D (6 em que F é a força aplicada no elemento de volume representativo, S é a área efetiva, a qual é a área intacta S subtraída da área defeituosa S D, e σ é a tensão atuante Embora este modelo negligencie a deformação permanente na

4 situação de descarregamento, o dano é irreversível e cumulativo Portanto, se um material com dano tem o carregamento atuante removido, o módulo de Young E é atualizado para o módulo de Young danificado Ẽ e não retorna ao seu estado inicial, ou seja, só é possível ocasionar maiores danos ao material, reduzindo ainda mais o módulo de Young III MODELOS ESTRUTURAIS DE PONTES ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NÃO LINEAR São apresentados dois diferentes modelos para a estrutura da ponte: um modelado através do estado plano de tensão bidimensional e o outro através da viga de Euler-Bernoulli B Modelo Constitutivo de Plasticidade para o Aço Estrutural Como nas estruturas de concreto armado as barras de aço resistem fundamentalmente a esforços axiais, utiliza-se um modelo uniaxial para descrever o comportamento do aço estrutural Neste sentido, um simples modelo elastoplástico bilinear com encruamento é adotado para o aço, pelo fato do material ter aproximadamente o mesmo comportamento quando submetido à tração e à compressão Embora muito simplista, este modelo para o aço estrutural é mais sensato que os modelos de cálculo e dimensionamento elástico lineares normativos utilizados na maioria dos escritórios de cálculo estrutural por considerar o encruamento por deformação plástica A Fig apresenta o comportamento deste modelo no diagrama tensão-deformação do aço estrutural s A Estado Plano de Tensão Bidimensional Primeiramente, é adotado o elemento finito bidimensional linear com nós para o estado plano de tensão, com dimensões L e L, conforme apresentado abaixo Figura : Elemento finito bidimensional linear com nós para o estado plano de tensões [9] s max sy E sy As funções de forma para esse tipo de elemento com dimensões L e L são E s sy p sy max Figura : Modelo elastiplástico bilinear com encruamento para o aço estrutural em que σ sy é a tensão de escoamento, E s é o módulo de Young inicial, ε sy é a extensão de escoamento e E sy é o módulo de elasticidade após o escoamento das barras de aço O aço pode sofrer o efeito da plastificação ao atingir a tensão de escoamento σ sy Portanto, o material terá uma deformação plástica ε p dentro dos limites +ε sy ε p +ε sy max em caso de tração, ou ε sy ε p ε sy max em caso de compressão Assim, neste modelo, se o aço estrutural é descarregado no segundo trecho do diagrama apresentado na Fig, o modelo terá uma deformação permanente, ε p, associada Neste modelo constitutivo de plasticidade, a tensão atuante no aço estrutural é determinado por σsy + E σ = sy (ε p ε sy, E s ε sy, ±ε sy ε p ε sy max ε sy ε el ε sy (7 em que ε el é a deformação elástica linear N (x, x = L L ( L x ( L N (x, x = L L ( L + x ( L N (x, x = L L ( L + x ( L N (x, x = L L ( L x ( L x x + x + x (8 Ao expandir as funções N i, pode-se perceber que as funções de forma não possuem os termos quadráticos de segundo grau Nesse sentido, as funções de forma N i são polinômios de segundo grau incompletos Isso será discutido posteriormente devido a sua influência nas respostas não lineares, especialmente nas dinâmicas não lineares A matriz de rigidez para o elemento finito bidimensional de estado plano de tensão é definida por [K] = [B] T [D][B]dΩ = [B] T [D][B]hdS = L L Ω L L S [B] T [D][B]hdx dx (9 A matriz de massa deste elemento finito, por sua vez, pode ser definida por

5 [m] = ρ[n] T [N]dΩ ( Ω [J] = [ s x x s x s s ] (6 A relação entre os tensores de tensão e deformação para materiais isotrópicos em um estado plano de tensões é definido por [σ] = [D][ε] ( em que σ, D e ε representam, respectivamente, os tensores de tensões, elasticidade e deformações A Eq ( pode ser expandida em σ σ σ = E υ υ υ υ ε ε γ ( De modo a considerar os fenômenos físicos não lineares na análise, é de extrema importância calcular as variáveis nos pontos de integração de Gauss Para que isso seja possível, é necessário desenvolver um elemento finito quadrilátero geral de geometria arbitrária Os integrais, nestes casos, precisam ser calculados em um domínio de integração quadrilátero irregular de geometria definida pelos nós do elemento Para simplificar o processo e no intuito de calcular os integrais nos pontos de integração de Gauss, é de grande vantagem substituir as variáveis x e x, do seguinte modo x x (s, s x x (s, s ( com o limite de integração em ambas as direções definido pelo intervalo fechado [, ] A mudança no sistema de coordenadas é realizado por interpolação Assim, as funções de forma são facilmente obtidas ao substituir x i por s i na Eq (8, como demonstrado abaixo N (s, s = ( s ( s N (s, s = ( + s ( s N (s, s = ( + s ( + s N (s, s = ( s ( + s Depois de substituir as variáveis, a matriz de rigidez torna-se [K] = ( [B] T [D][B]h J ds ds (5 em que J é o determinante da matriz Jacobiana, ou matriz de transformação, definida por Os componentes da matriz Jacobiana podem ser obtidos através da multiplicação matricial das coordenadas cartesianas da seguinte maneira [J] = [ s x x s x s s ] [ ] x x = x x x x x x s s s s s s s s (7 em que a matriz à direita, [ ] s, é simplesmente obtida ao se derivar as funções de forma N i em relação a s i O tensor de deformações para o elemento aqui apresentado é definido por [B] = x x x x x x x x x x x x x x x x De modo a obter os componentes necessários do tensor, as operações subsequentes podem ser realizadas x x x x = s s s s [ x s s (8 ] (9 Finalmente, os componentes obtidos são realocados no tensor de deformações [B] Um integral múltiplo cujos limites de integração são definidos pelo intervalo [, ] para todas as variáveis pode ser calculado pela quadratura Gaussiana Para o caso bidimensional, tem-se np f(s, s ds ds = np l= m= W l W m f(p l, P m ( em que n p e n p são os pontos de integração de Gauss associados com as direções s e s, respectivamente Analogamente, W l e W m são os pesos associados à essas direções Ao substituir a Eq (5 na Eq (, obtém-se f(s, s = f(p l, P m = [B] T [D][B]h J (

6 L L np Portanto, a matriz de rigidez pode ser calculada em qualquer ponto de qualquer elemento Similarmente, após obter-se as respostas dinâmicas de deslocamento, velocidade e aceleração ao resolver a equação de movimento, também é possível avaliar os estados de tensão e deformação No entanto, observa-se que há uma precisão muito maior se os pontos selecionados forem os pontos de integração de Gauss Para avaliação da estrutura pela mecânica do dano e pela teoria da plasticidade, esse procedimento é essencial para obter-se convergência no equilíbrio mecânica não linear e, também, para obter-se respostas matemáticas consistes com as respostas físicas reais da estrutura B Viga de Euler-Bernoulli As funções de forma para o elemento finito de viga de Euler- Bernoulli são as funções de interpolação cúbicas Hermitianas, definidas por H (x = x H (x = L 8 x H (x = + x H (x = L 8 x L + x L x L + x L L x L + x L + x L ( Portanto, o tensor de deformações B} é obtido por B} = d H dx = 6s L Assim, a Eq ( torna-se d H dx L s L d H 6s L dx d H dx } L s L [K] = EI B} T B} dx ds = EI W l f(p l, ds f(s = f(p l = B} T B}J l= } (6 (7 Modelo de Rigidez Equivalente: Para poder simular a mecânica do dano nos elementos finitos de viga de Euler-Bernoulli, a consideração das outras dimensões x e x, para as propriedades geométricas e materiais são necessárias As seções transversais retangulares dos elementos da ponte são divididas em n camadas, como vigas de compósitos laminados, de modo a determinar a rigidez equivalente de cada elemento A Fig 5 apresenta essa divisão camada Do princípio dos trabalhos virtuais, por exemplo, tem-se camada y = - h/ camada n/ [K] = [B] T [D][B]dΩ = Ω L L ( = B} T B}E x dsdx = EI B} T B}dx S A transformação agora corresponde ao primeiro termo na Eq ( A substituição da coordenada x para a coordenada s é simplesmente realizada por x = L s Neste caso, o Jacobiano é um escalar definido por J = = L dx Assim, as funções de forma são definidas ds por H (s = s H (s J = ( s H (s = + s H (s J = ( s + s s + s s + s J + s J ( De modo a calcular os componentes do tensor de deformações B}, as seguintes operações podem ser realizadas, de acordo com a regra da cadeia dh i ds d H i ds d ( dhi ds ds ds = d ( dhi J dx dx = dh i dx dx = d dx J d H i = d H i dx ds ( dhi dx ds ds J (5 camada i camada n b Figura 5: Seção transversal da viga de Euler-Bernoulli dividida em n camadas Para o caso particular de simetria nas vigas de compósitos laminados com largura constante b, a rigidez equivalente EI eqv é determinada por EI eqv = LN yi- yi yn = h/ n E i (yi yi (8 i= em que n é o número de camadas, b é a largura constante da seção transversal retangular, E i é o modo de Young da i ésima camada, no caso E C para as camadas de concreto e E S para as camadas de aço estrutural, y i e y i são os valores das coordenadas no eixo y dos i ésimos pontos divisores que se subtraídos resultam na altura da referida camada Quando o concreto ou o aço apresentam comportamento físico não linear, a posição da linha neutra varia e é recalculada a cada iteração numérica de acordo com a danificação ou plasticação de cada camada por

7 ( yi yi Ei A i y LN = (9 Ei A i em que A i é a área da i ésima camada e y LN é a posição recalculada da linha neutra no eixo y Como a mecânica do dano e a plasticidade são calculadas dinamicamente, de modo a considerar tais efeitos, é necessário avaliar tais efeitos em cada camada de cada seção transversal dos elementos de viga para cada iteração dentro de cada passo de tempo Ainda, ao considerar essa variação, é possível captar a condição de inversão de esforços devido, entre outros motivos, à vibração da estrutura IV MODELAGEM COMPUTACIONAL PARA A INTERAÇÃO DINÂMICA ENTRE OS SISTEMAS A Modelo Matemático Dinâmico Linear Apenas para descrever o caso linear de modo a entender o modelo matemático dinâmico não linear, são simplesmente descritas algumas particularidades dos modelo lineares e sua equação de movimento Diferentemente do modelo dinâmico não linear, no modelo linear não há distinção do tensor de elasticidade [D] No elemento finito bidimensional de estado plano de tensões, o módulo de Young e o coeficiente de Poisson permanecem constantes ao longo da análise No elemento finito de viga de Euler-Bernoulli, não há consideração da geometria da seção transversal Assim, somente o momento de inércia e o módulo de Young são levados em consideração, ambos constantes ao longo do tempo A equação governante do problema é apresentada na Eq ( [m]ü} + [C] u} + [K]u} = F (t} ( em que [m], [C] e [K] são as matrizes globais de massa, amortecimento e rigidez, ü}, ü} e u} são os vetores globais de deslocamentos, velocidades e acelerações e, finalmente, F (t} representa o vetor de forças externas que varia no tempo Para resolução da Eq (, pode-se utilizar um método de integração temporal como o método de Newmark Após isso, o sistema pode ser resolvido pelo método da eliminação de Gauss em cada passo de tempo B Modelo Matemático Dinâmico Não Linear pela Mecânica do Dano e Plasticidade No caso da deterioração do material, as forças não são mais linearmente dependentes dos deslocamentos Este modelo considera que o dano afeta diretamente a rigidez do sistema e consequentemente o amortecimento estrutural, mas não afeta a massa estrutural, como o caso de um lançamento de um foguete, fazendo, assim, com que a matriz de rigidez previamente constante se torne instantânea, caracterizando não linearidade física como mostrado abaixo [] [K B ] = [K B (u B ( x, t}] ( Observa-se que a matriz de rigidez previamente fixa agora se torna instantânea Esta é dependente dos deslocamentos que, por sua vez, são função do vetor posição x e, também, do tempo t Assim, os valores preditores, ou das estimativas, das velocidades e dos deslocamentos no tempo t em relação ao tempo t + t são, respectivamente, definidos como [] u B } = u B } t + ( γü B } t t ( ũ B } = u B } t + u B } t t + β ü B } t t ( em que γ e β são parâmetros do método de Newmark determinados para precisão e estabilidade de integração numérica Devido às não linearidades físicas, a equação de movimento global, previamente linear, apresentada na Eq ( se torna dinâmica e não linear, necessitando ser resolvida de forma iterativa e incremental, combinando a técnica iterativa de Newton-Raphson com o operador de integração implícita no tempo do método de Newmark Nesse sentido, a equação dinâmica não linear de movimento global para a ponte danificada pode ser escrita como [] em que [M B ] (i ü B} (i + [C B] (i u B} (i + [K B ] (i u}(i = F B } F B } = F ext B } F int B ( } (i ( e onde i é a iteração atual, FB ext}, FB int} e F B } são, respectivamente, o vetor de forças externas, o vetor de forças internas e o vetor de forças desbalanceadas no tempo t + t e u} é o vetor incremental de deslocamentos Pode-se observar que ao combinar a técnica iterativa de Newton- Raphson com o método de Newmark e com os valores preditores, as forças internas buscam o equilíbrio dinâmico não linear em cada iteração dentro de cada passo de tempo, a fim de fazer com que o vetor de forças desbalanceadas tenda ao vetor nulo conforme um critério de convergência Assim, o vetor de forças internas global busca a configuração de equilíbrio dinâmico não linear Seus componentes são as parcelas de força provenientes das tensões que atuam em cada camada da seção transversal de cada elemento Essas são numericamente obtidas em cada iteração dentro de cada passo de tempo da seguinte forma [9] FB int } (i = m V (m [B] (m T [σ](m (m dv (5 Fazendo uso da técnica da quadratura de Gauss, o vetor de forças internas global busca a configuração de equilíbrio dinâmico não linear

8 altura (m em cada iteração da técnica iterativa de Newton-Raphson, dentro de cada passo de tempo do método de Newmark O critério de convergência utilizado é um critério de energia que inclui tanto termos de forças como termos de deslocamentos, definido por [9] u} (i T (F ext B ( tol E u} ( T } FB int } (i ( F ext B } FB int (6 } t em que tol E é a tolerância de convergência energética Aplicando os termos da Eq ( na Eq (, tem-se [] ( [MB ] (i β t + γ[cb] (i u B } (i β t + [K B ] (i u}(i = F ext ( + u B } t t + β ( γ + β u B } t + F int B } (i B } + [M B] (i β t (i ü B } t t + [C B ] (i ( (i γ β ü B } t t ( u B } t ( γ β t (7 A matriz de amortecimento torna-se dinâmica e não linear, como definido na Eq (8 Tabela I: Dados de entrada dos parâmetros da ponte Euler-Bernoulli Estado Plano de Tensões Materiais Geométricos Elementos Elementos E c = 9 GPa b = m - Elementos-x ν c = h = m - Elementos-y Cam Concreto I b = 5 m gl gl E elemento elemento s = GPa Camadas nós nós ν elemento elemento s = A c = 96 m cond de cont cond de cont Cam Aço A s = 6 m L e = m L = m ρ s = 78 kg/m d = 77 m - L = variável ρ c = kg/m d = m m = variável cam elemento m = variável elemento ρ = 586% L b = m Tabela II: Dados de entrada do veículo, irregularidade, dinâmicos e parâmetros de dano Veículo Irregularidade Dinâmicos Parâmetros de Dano m = kgf y = A sin(ω et γ = 5 A T = 995 m = 76 kgf l = m β = 5 B T = k = 9 kn/m A = 5 m dt = 7 e s A C = c = 86 kns/m ω e = rad/s PT B C = 5 v = 5 km/h - ζ = 5 ε d = 5e 5 a = m/s - tol u = - PT PT tol F = tol E = - As condições de contorno adotadas restringem os deslocamentos verticais nos graus de liberdade de ambas extremidades no elemento de Euler-Bernoulli As condições de contorno para o estado plano de tensões, por sua vez, restringem os deslocamentos verticais e horizontais na extremidade esquerda e os verticais na extremidade direita, localizados no eixo central A malha utilizada em ambos os modelos, sendo a rigidez equivalente para Euler-Bernoulli, é apresentada na Fig 6 [C B (u B ( x, t}] (i = ( α B (i [M B] (i + ( β B (i [K B(u B ( x, t}] (i (8 Após obter-se as respostas dinâmicas não lineares ao final da iteração dentro do passo de tempo de interesse, um novo passo de tempo é iniciado sempre que se pretender calcular os deslocamentos, velocidades, acelerações, etc, para um novo tempo até se atingir o tempo final de análise, em que o processo é encerrado O programa ABXDNL 9 foi desenvolvido para solucionar a equação dinâmica não linear Eq (7, considerando a mecânica do dano e a teoria da plasticidade dentro de elementos finitos de viga de Euler-Bernoulli e bidimensionais de estado plano de tensões V SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS E CONCLUSÕES Esse trabalho procura avaliar as respostas dinâmicas, influenciadas pela mecânica do dano e pela teoria da plasticidade, de elementos finitos de viga de Euler-Bernoulli e bidimensionais de estado plano de tensão As Tabelas I e II apresentam os dados de entrada para as simulações comprimento (m Figura 6: Malha utilizada nos modelos dinâmicos não lineares de Euler-Bernoulli e Estado Plano de Tensões (EPT A Tabela III apresenta a redução da primeira frequência natural de vibração obtida em ambos os modelos Tabela III: Redução das frequências naturais de vibração para ambos os modelos FN de Euler-Bernoulli Estado Plano de Tensões Vibração Linear Não linear Linear Não linear a Obviamente, observa-se a diferença nas respostas lineares devido a diferença nos graus de liberdade do modelo O efeito da danificação

9 aceleração (m/s² aceleração (m/s² deslocamento (m altura (m altura (m deslocamento (m reduziu as frequências naturais nos resultados não lineares Esta foi mais drástica no modelo de estado plano de tensões A Fig 7 ilustra a configuração danificada final para ambos os modelos que ocasionou a perda de rigidez para todos os resultados não lineares comprimento (m comprimento (m Figura 7: Configuração danificada final: (a Estado Plano de Tensões, (b Euler-Bernoulli As respostas dinâmicas de aceleração para ambos os modelos são apresentadas na Fig central e inferior do modelo de EPT e no grau de liberdade central do modelo de Euler-Bernoulli # - estática linear dinâmica não linear # - tempo (s estática linear dinâmica não linear tempo (s Figura 9: Respostas dinâmicas de deslocamento obtidas de: (a EPT (centro inferior, (b Euler-Bernoulli (centro dinâmica não linear dinâmica não linear É possível observar que as respostas dinâmicas lineares oscilam em torno da resposta estática ao longo do tempo As respostas dinâmicas não lineares obtidas em ambos os sistemas foram amplificadas pela mecânica do dano Durante a passagem do veículo na ponte não houve aumento na frequência das respostas dinâmicas Esse é um caso típico do comportamento de respostas dinâmicas não lineares pela mecânica do dano perante excitações harmônicas senoidais, devido às irregularidades, enquanto não há uma completa falha do material tempo (s tempo (s Figura 8: Respostas dinâmicas de aceleração: (a EPT (centro inferior, (b Euler-Bernoulli (centro Claramente, observa-se picos de aceleração nas respostas dinâmicas não lineares de ambos os modelos Isso pode justificar as diferenças entre as respostas experimentais obtidas através de acelerômetros com as respostas de simulações computacionais obtidas através modelos dinâmicos lineares A diferença de amplificação nas respostas dos modelos não somente devido à diferença na evolução dinâmica do dano observada na Fig 7, mas também pela representação física envolvida neles, como observa-se nas respostas dinâmicas lineares A Fig 9 apresenta as respostas estáticas, dinâmicas lineares e não lineares do deslocamento vertical obtidas no grau de liberdade As respostas foram obviamente maiores no modelo de EPT, tanto lineares como não lineares Isso é inerente à característica dos modelos: no modelo de Euler-Bernoulli uma barra movimentase, somente, de acordo com os deslocamentos verticais e a rotação de seus graus de liberdade, sem consideração dos deslocamentos horizontais, mesmo incorporando o modelo de rigidez equivalente no problema, enquanto no modelo de EPT as respostas ocorrem devido, somente, aos deslocamentos horizontais e verticais de um elemento bidimensional, sem consideração da rotação Ainda, também nota-se que as respostas dinâmicas não lineares foram claramente maiores no modelo de EPT Assim, a evolução dinâmica do dano foi maior nesse modelo Isso pode ter sido ocasionado por problemas de concentração de tensões em modelos bidimensionais e, especialmente, devido às funções de forma desse elemento O fato destas funções não terem os termos quadráticos de um polinômio do segundo grau, sendo portanto um polinômio incompleto, afeta diretamente o comportamento não linear Se em problemas lineares, até mesmo em estáticos, essa é uma questão de extrema importância, em problemas não lineares, especialmente

10 velocidade (m/s velocidade (m/s na dinâmica, isso afeta completamente as respostas uma vez que o refinamento com tais funções incompletas não necessariamente garantirá respostas consistentes De qualquer modo, neste estudo, não são apresentados resultados com refinamento de malha já que este tipo de análise não é o foco do presente artigo Contudo, embora com a malha grosseira utilizada neste trabalho, foram obtidas respostas lineares aproximadas para ambos os modelos, refinamentos adicionais na malha poderiam levar a algum ganho nas respostas não lineares Porém, com melhores funções de forma de elementos mais complexos um menor refinamento poderia melhorar significativamente as respostas não lineares As respostas dinâmicas de velocidade obtidas em ambos os modelos são apresentadas conforme a Fig Todas as conclusões discutidas anteriormente podem ser observadas nas respostas abaixo dinâmica não linear tempo (s dinâmica não linear tempo (s Figura : Respostas dinâmicas de velocidade obtidas de: (a EPT (centro inferior, (b Euler-Bernoulli (centro Apesar das limitações de ambos os modelos e a falta de refinamento na malha, as simulações foram capazes de representar o comportamento esperado para os dois casos Isso indica uma evolução nas rotinas do programa ABXDNL de modo a capturar efeitos dinâmicos não lineares em problemas bidimensionais pela mecânica do dano e pela teoria da plasticidade Investigações adicionais com modelos aperfeiçoados, especialmente com elementos mais complexos, assim como com diferentes formas de irregularidades, distribuição de armadura e diferentes ações externas são sugestões para pesquisas futuras AGRADECIMENTOS Os autores gostariam de registrar o agradecimento à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES pelo fomento para a presente pesquisa desenvolvida e, em especial, agradecer ao Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia (PPGMNE e ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Construção Civil (PPGECC, ambos situados na Universidade Federal do Paraná (UFPR, pela estrutura e acolhimento fornecidos para realização deste trabalho REFERÊNCIAS [] Roberto Dalledone Machado Análise dinâmica não-linear de sistemas rígido-flexíveis Diss de mestrado Rio de Janeiro: Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia (COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ, 98 [] Fernando Luiz Martinechen Beghetto e João Elias Abdalla Filho Modeling the Dynamic Response of a Railway Bridge and Vehicle System Em: Tenth International Conference on Computational Structures Technology Ed por B H V Topping et al Stirlingshire, UK: Civil-Comp Press [] Yuri Nikolaevich Rabotnov, Frederick Alexander Leckie e William Prager Creep Problems in Structural Members Em: Journal of Applied Mechanics 7 (97, p 9 [] Jean Lemaitre e Jean-Louis Chaboche Mécanique Des Matériaux Solides, Dunod, Paris(Mechanics of solid materials Berlin: Springer Verlag 985 [5] Jacky Mazars Application de la mécanique de l endommagement au comportement non linéaire et à la rupture du béton de structure Tese de doutorado Paris: Université Paris 6, 98 [6] José Julio de Cerqueira Pituba Estudo e aplicação de modelos constitutivos para o concreto fundamentados na mecânica do dano contínuo Tese de doutorado São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 998 [7] José Julio de Cerqueira Pituba e Sergio Persival Baroncini Proença Estudo e aplicação de modelos constitutivos para o concreto fundamentados na mecânica do dano contínuo Em: Cadernos de Engenharia de Estruturas 7 (5, pp 6 [8] Jean Lemaitre e Rodrigue Desmorat Engineering damage mechanics: ductile, creep, fatigue and brittle failures Springer Science & Business Media, 5 [9] Klaus-Jürgen Bathe Finite Element Procedures Prentice-Hall, 996 [] Thiago de Oliveira Abeche et al Computational Modeling of Vehicle-Irregularity-Bridge Dynamic Interaction by Damage Mechanics Em: st Pan-American Congress on Computational Mechanics (PANACM 5 in conjunction with the XI Argentine Congress on Computational Mechanics (MECOM 5 Ed por Sergio Idelsohn et al Vol Barcelona, Espanha: International Center for Numerical Methods in Engineering (CIMNE Buenos Aires, Argentina, 5, pp [] Breno Pinheiro Jacob e Nelson Francisco Favilla Ebecken An optimized implementation of the Newmark/Newton-Raphson algorithm for the time integration of non-linear problems Em: Communications in Numerical Methods in Engineering (99, pp [] Thiago de Oliveira Abeche et al Damage Effects from Dynamic Interaction between Vehicles, Irregularities and Railway Bridges in the Nonlinear Dynamic Response of Structures Em: Third International Conference on Railway Technology: Research, Development and Maintenance (Railways 6 Ed por João Pombo Vol Stirlingshire, Escócia: Civil- Comp Press Cagliari, Sardenha, Itália, 6, pp