Exame Final Nacional. MACS 11.º ano. Preparação para o. Matemática Aplicada às Ciências Sociais

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1 Preparação para o Exame Final Nacional MACS 11.º ano Matemática Aplicada às Ciências Sociais Maria Augusta Ferreira Neves Sandra Bolinhas Luísa Faria 11 Oo

2 Índice Apresentação 3 Capítulo 1 Percentagens Definição e representação Resolução de problemas usando percentagens 8 Questões propostas 13 Capítulo 2 Teoria matemática das eleições Sistemas maioritários Sistemas de eleição de representação proporcional Sistemas eleitorais posicionais ou preferenciais Teorema de Arrow. Considerações gerais 31 Questões resolvidas 32 Questões propostas 38 Capítulo 3 Teoria da partilha equilibrada Princípios gerais de uma partilha 44 Questões resolvidas 52 Questões propostas 54 Capítulo 4 Modelos financeiros Descontos Aumentos Imposto sobre o Valor Acrescentado (IVA) Regime de Capitalização Simples (RCS) Regime de Capitalização Composto (RCC) Resolução de problemas de juros compostos Empréstimos 61 Questões resolvidas 62 Questões propostas 65 Capítulo 5 Teoria dos grafos Linguagem e notação da teoria dos grafos Grafos eulerianos Grafos hamiltonianos árvores 75 Questões resolvidas 81 Questões propostas 88 4 Capítulo 6 Modelos populacionais Definições e simbologia Modelo de crescimento linear Modelo de crescimento exponencial Modelo de crescimento logístico Modelo de crescimento logarítmico 100 Questões resolvidas 106 Questões propostas 113

3 Capítulo 7 Estatística Definições Tipos de dados estatísticos Tabelas de frequências Frequências acumuladas Função cumulativa para dados discretos Função cumulativa para dados agrupados em intervalos Diagrama de caule e folhas Tipos de gráficos de barras Diferentes tipos de gráficos Medidas de localização Medidas de dispersão Dados bivariados ou dados bidimensionais 144 Questões resolvidas 149 Questões propostas 159 Capítulo 8 Modelos de probabilidades Princípio fundamental da contagem Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos Probabilidades Propriedades das probabilidades Probabilidade condicional Probabilidade total e regra de Bayes Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas 196 Questões propostas 204 Capítulo 9 Inferência estatística Introdução Distribuição de amostragem. Teorema do limite central Intervalo de confiança Estimar uma proporção 221 Questões resolvidas 2 Questões propostas 230 EXAMES NACIONAIS com sugestão de resolução 232 Exame Nacional de a fase 233 Exame Nacional de a fase 241 Exame Nacional de a fase 251 Exame Nacional de a fase 1 Soluções 273 5

4 Capítulo 2 Teoria matemática das eleições 2.1. Sistemas maioritários Nos sistemas maioritários o candidato mais votado ganha tudo e os outros candidatos não ganham nada. Os sistemas maioritários mais utilizados são: o sistema maioritário de uma volta (ou sistema maioritário simples); o sistema maioritário de duas voltas; o sistema maioritário de duas ou mais voltas. No sistema maioritário de uma volta ganha o candidato mais votado, independentemente de ter uma maioria absoluta ou uma maioria relativa. No sistema maioritário de duas voltas ganha o candidato que obtiver maioria absoluta na primeira volta, caso contrário serão admitidos à segunda volta os dois candidatos mais votados e ganhará o que obtiver mais votos. Observação Diz se que um candidato obteve maioria absoluta numa votação se obteve mais de 50% dos votos validamente expressos. Caso contrário, a maioria será apenas relativa. Votos validamente expressos são todos os votos exceto os votos nulos e os votos em branco. O sistema maioritário de duas ou mais voltas é uma variante do sistema maioritário de duas voltas em que são admitidos na segunda votação não apenas os dois candidatos mais votados, mas todos aqueles que atinjam uma determinada percentagem de votos, repetindo se o processo até se obter o vencedor com maioria absoluta. O sistema maioritário de duas voltas é usado em Portugal para a eleição do Presidente da República. Exemplo 1 Presidente da República Após o 25 de Abril de 1974, quais foram os presidentes da República eleitos por sufrágio universal em Portugal? Sugestão de resolução Depois do 25 de Abril de 1974, foram presidentes da República, eleitos por sufrágio universal: CPEN_MACS11 Porto Editora Ramalho Eanes Mário Soares Jorge Sampaio Cavaco Silva Marcelo R. Sousa 15

5 Questões Resolvidas 1. Eleição para o delegado de turma Na eleição para o delegado de turma do 10. E foram obtidos os seguintes resultados: Nomes N. o de votos CPEN_MACS11 Porto Editora Adriana 4 Hugo 5 Ana Miguel 10 Leandro 1 Nulos 2 Brancos 4 Total 1.1. Qual a percentagem de votos de cada aluno? Apresente o resultado aproximado às unidades Quem ganha pelo sistema maioritário de uma volta? 1.3. Quantos votos o delegado de turma teria de obter para ganhar à primeira volta no sistema maioritário de duas voltas? Resolução 1.1. Pela regra de três simples vem: 100% x = 4 * 100 ) 15% ; 4 x y = 5 * 100 z = 10 * 100 w = 1 * 100 ) 19% ; ) 38% e ) 4%. Resposta: A Adriana obteve aproximadamente 15%, o Hugo aproximadamente 19%, a Ana Miguel aproximadamente 38% e o Leandro aproximadamente 4% dos votos A Ana Miguel, pois obteve a maioria dos votos O delegado de turma necessitaria de mais de 50% dos votos validamente expressos (excluindo os votos em branco e os votos nulos). Neste caso os votos validamente expressos são 20. ( = 20), 50% de 20 = 10. Assim, para ser eleito delegado de turma um aluno necessita de ter 11 votos. (50% de votos validamente expressos mais um voto.)

6 Questões Propostas (Soluções no final do livro) 1. A Inês aplicou 2000 euros num produto financeiro de capitalização composta. A taxa de juro praticada no primeiro semestre foi de 3,5%. Em cada um dos semestre seguintes, a taxa de juro aumentou meio ponto percentual Complete o quadro seguinte, considerando que a Inês teve o capital aplicado durante dois anos e meio. Semestre Capital inicial C Juro J Capital acumulado C n 1.º 2000?? CPEN_MACS11 Porto Editora 1.2. Qual é o capital acumulado ao fim de um ano? 1.3. Qual é o juro total gerado no final do investimento? 1.4. Compare o juro obtido em 1.3. com o juro obtido em R.C.S. no mesmo período de tempo e com a mesma taxa semestral. 2. Comente a seguinte afirmação: É mais rentável uma taxa de juro de 3% semestral do que uma taxa de juro de 6% anual. Dê exemplos e refira os dois regimes: R.C.S. e R.C.C. 3. A Sara e o João abriram uma conta poupança habitação nas seguintes condições: 1000 euros de capital inicial; depósitos trimestrais, a partir do final do 1. o trimestre, de 500 euros; taxa de juro 1,5% capitalizado trimestralmente. Calcule: 3.1. O capital acumulado ao fim de três anos Se para comprar uma casa é necessário ter, pelo menos, euros na conta, quantos anos devem decorrer desde o primeiro depósito até que tal aconteça? 4. O Pedro pediu à mãe emprestados 6500 euros para aplicar em ações. Comprometeu se ao seguinte plano de pagamento: 2000 euros no final do 2. o ano; 1500 euros um ano após o primeiro pagamento; 4000 euros dois anos após o primeiro pagamento. O Pedro comprou ações de uma empresa. No final do primeiro ano de investimento obteve 1500 euros de lucro que acrescentou ao investimento. No segundo ano lucrou 18% do que investiu. Nos dois anos seguintes perdeu sempre 5% do capital investido. Será que o Pedro teve sempre possibilidade de honrar os seus compromissos com a mãe? Escreva um pequeno texto e apresente os cálculos necessários de modo a explicar o que se passou durante os três anos do investimento. 65 CPEN_MACS11 05